四边形知识点总结
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四边形知识点：
一、 关系结构图：
二、知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）：
ABCD是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（
2.平行四边形的判定（难点）： ABDOC
CDABABCDO.
3. 矩形的性质：
因为ABCD是矩形.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形． 四边形ABCD是矩形.
5. 菱形的性质：
因为ABCD是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（
6. 菱形的判定：
边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（
8. 正方形的判定：
一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD是正方形.
ABDOCADBCADBCOCDBAOCDBAO
名称 定义
性质 判定 面积
平
行
四
边
形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ① 对边平行；
②对边相等；
③对角相等；
④邻角互补；
⑤对角线互相平分；
⑥是中心对称图形 ①定义；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④两组对角分别相等的四边形；
⑤对角线互相平分的四边形。 S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)
矩
形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；
②对角线相等；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③定义。 S=ab(a为一边长，b为另一边长)
菱
形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 除具有平行四边形的性质外，还有
①四边形相等；
②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①四条边相等的四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③定义。 ①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；
②(b、c为两条对角线的长)
正
方
形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；
②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形；
③定义。 ①(a为边长)；
②(b为对角线长)
梯形知识总结
一、相关定义
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。在梯形中，平行的两边叫做底，（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底），不平行的两条边叫做腰，两底之间的距离叫做高。
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 腰腰高下底上底FEDCBA直角梯形 等腰梯形 图1
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
注意：在等腰梯形中不可能有直角，在直角梯形中不可能有相等的腰，等腰梯形和直角梯形都是特殊的梯形，等腰梯形特殊在腰上，直角梯形特殊在角上。梯形的面积计算公式是：(2S上底下底）高。
例题、如图1，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD=BC，若AD=5,CD=2,AB=8.求：梯形ABCD的面积.
分析：由已知条件知，梯形ABCD是等腰梯形，因为等腰梯形是一个轴对称图形，由图中的辅助线很容易想到AE=CF。在此基础上应用勾股定理，就能够解决问题。
解：过点D、C作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，
根据等腰梯形的轴对称性可知AE=BF。
因为DE//AB, DE⊥AB，CF⊥AB，
所以四边形CDEF是矩形，
所以DC=EF。
所以AE=12(AB-CD)=12(8-2)=3，
在RtΔADE中，根据勾股定理有，
DE=2222534ADAE，
所以S梯形ABCD=12(2+8)×4=20。
二、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等。这是等腰梯形的重要性质，这条性质能够由等腰梯形的轴对称性得出。同一底上的两个内角相等，不但仅是两个“下底角”相等，两个“上底角”也相等。
（2）等腰梯形的两条对角线相等。在解题过程中，经常能够通过平移对角线出现等腰三角形和平行四边形，得到相等的线段。
（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。
例题、若等腰梯形的三边长分别为3、5、11，则这个等腰梯形的周长为_________。
分析：题目中没有明确指明三边不知道哪条边是腰、上底和下底，不能马上得出梯形的周长，为了确认3、5、11中它们具体是那一条边的长度，能够做一腰的平行线，将梯形问题转化成三角形和平行四边形，然后再实行解决。
解：如图2所示经过点C作CE∥AD交AB于点E，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以能够得到平行四边形AECD和等腰三角形EBC。
所以CE=AD，AE=DC，
所以CE=BC，BE=AB－AE=AB－CD。
在△BCE中，有CE+BC>BE，
因为梯形的三边分别为3，5，11，边长为3的边不可能是下底，以下分成几种情况实行讨论：
（1）若3为上底，5为下底，11为腰，
则BE=2，CE=BC=11，能够构成三角形ΔBCE，
所以这种情况成立，等腰梯形周长为3＋5＋11＋11=30。
（2）若3为腰，5为上底，11为下底，
则BE=6，CE=BC=3，不能够构成三角形ΔBCE，
所以这种情况不成立。
（3）若3为上底，5为腰，11为下底，
则BE=8，CE=BC=5，能够构成三角形ΔBCE，
所以这种情况成立，等腰梯形周长为5＋5＋3＋11=24。
所以这个等腰梯形的周长为30或者24。
三、等腰梯形的判定
判断一个梯形是否为等腰梯形，能够根据它的定义来实行判断之外，还能够利用“同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”和“对角线相等的梯形是等腰梯形”实行判断。 EDCBA图2
例题1、如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC=BD。说明梯形ABCD是等腰梯形的理由。
解：过点C做CE∥BD交AB延长线于E。
因为AB∥CD，CE∥BD
所以四边形BECD为平行四边形
所以BD=CE，∠2=∠E，
又因为AC=BD，
所以AC=AE，
所以∠1=∠E，
所以∠1=∠2，
所以△BCA≌△ABD(SAS)
所以AD=BC，
所以梯形ABCD是等腰梯形（等腰梯形的定义）。
例题2、如图4所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是AB的中点，并且ED=EC，说明梯形ABCD是等腰梯形的理由。
解；在梯形ABCD中，AB∥CD，
所以∠1=∠3，∠2=∠4，
又因为ED=EC，
所以∠3=∠4，所以∠1=∠2，
因为点E是AB的中点，
所以EA=EB，
所以△DAE≌△CBE(SAS)。
所以∠A=∠B，
所以梯形ABCD是等腰梯形。 21EDCBA图3
4321EDCBA图4
