高级微观经济学中利润最大化和成本最小化之比较
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第２Ｉ卷第５期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＹｕｎｎａｎ Ｆｉｎａｎｃｅ＆Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．２１，Ｎｏ．５
高级微观经济学中利润最大化和成本最小化之比较
阿燃燃佟东 （云南财经大学经济研究院，云南昆明６５０２２１） 关键词：高级微观经济理论；利润最大化问题；成本最小化问题；比较 摘要：从利润最大化问题和成本最小化问题的基本条件着手，对两个ｆ．３题的诸多相似之处进行比较分 析。从而为更好地研究其他微观经济理论打下坚实的基础。 中圈分类号：Ｆ１Ｄｌ６ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１６７２—４７５５（２００６）０５—００４６－０３ 一、利润最大化行为与成本最小化行为的检验 在进行行为检验之前。我们先定义两个函数。这两 个函数与我们将要进行的分析密切相关，它们是要素 需求函数ｘ（Ｐ，Ｗ）与条件要素需求函数ｘ（Ｗ，Ｙ） 要素 需求函数ｘ（Ｐ，Ｗ）是把价格ｐ当自变量，确定投入Ｗ和 产出Ｙ的最优选择的函数。而条件要素需求函数ｘ（Ｗ， ｙ）是把Ｙ当自变量，确定投入Ｗ的最优选择的函数。 对利润最大化和成本最小化的行为检验可以采取 三种不同的方法：使用一阶条件的比较静态、使用代数 的比较静态和对偶方法。这三种方法分别对最优选择 的一阶条件、最大化特征以及利润函数和成本函数的 特征进行了分析。 （一）使用一阶条件的比较静态分析 为了便于分析，只考虑两种投入的利润最大化问 题。并且将其价格正规化为Ｐ＝１，于是得到具体化了的 利滑最大化问题的表达式为 Ｍａｘ［（ｘＩ（ｗＩ，Ｗ２），ｘ２（ＷＩ，Ｗ２））一ＷＩＷＩ—Ｗ２ｘ２（１） 对利润最大化问题的一阶条件进行分析，我们可 以得到 ａｆ（ｘＩ（ＷＩ，Ｗ２），ｘ２（Ｗｌ，Ｗ２）） … ———■ —一 八 ：ｗ，（３） ａ】【２ ‘。 式子（２）（３）是对ｗｌ和ｗ２分别求偏导数而得出 的利润最大化的一阶条件。下面再对（２）（３）分别就 ｗｌ和Ｗ２求偏导数，从而得到利润最大化的二阶条件 写成矩阵形式为
其中，矩阵 ＝㈤
称为替代矩阵，它描述了 厂商如何随着价格的变动改变用一种投入代替另一种 投入。同理，我们可以对投入的耍寨数目取任意值，从 而得到更一般的结论： 利润最大化的一阶条件为 Ｄｆ（Ｘ（Ｗ））一Ｗ＂ｆｉ０ Ｄｘ（ｗ）；［Ｄ２ｆ（ｘ（ｗ））］ （４） 式子（４）即为替代矩阵的一般的解，它是一个对称 的负半定矩阵。 而对于成本最小化问题来说，我们仍旧通过运用 拉格朗日乘数法来分析，类似地我们也将成本最小化 的表达式简化为两物品的特殊形式来分析 Ｌ（ ，Ｘｌ，ｘ２）＝ＷｌＸｌ＋Ｗ２ｘ２一 （ｆ（Ｘｌ（Ｗｌ。Ｗ２，Ｙ），Ｘ２ （Ｗｌ，ｗ２，ｙ）一Ｙ）（５） 从而得到成本最小化的一阶条件 ｆ（ｘＩ（ＷＩ，Ｗ２，ｙ），Ｘ２（ＷＩ，Ｗ２，Ｙ））窖ｙ（６） 收稿日期：２００６一ｏ７—２８ 作者简介：阿燃燃（１９８１一），女，傣族，云南华坪人，硕士研究生，主要研究方向为发展中国与发展经济学。佟东 （１９８２一），满族，辽宁本溪人，硕士研究生，主要研究方向为经济全球化与经济转轨。 一 畹一 ‘蔷一‘砉 以一 一１． 生 一 一
维普资讯 http://www.cqvip.com 阿燃燃等：高级微观经济学中利润最大化和成本最小化之比较 ・４７・ 些 ；ｗ （７）八———————— ———————一；ｗ１ ，Ｊ ｏｘｌ ‘ 入 。ｗ：（８）八————— ———一‘ｗ２ 石Ｊ 再对Ｗ。求偏导数，写成矩阵形式为 我们可以得出成本最小化问题的替代矩阵 （二）使用代数的比较静态分析 这一问题主要集中在两个公理上，即利润最大化 弱公理和成本最小化弱公理。表４列出了这两个公理 的相似之处。 （ ）＝（吣 Ｄ ｒ（ｘ ），） 表４ 比较４一利润最大化弱公理和成本最小化问题弱公理 利润最大化弱公理（ＷＡＰＭ） 成本最小化弱公理（ＷＡＣＭ） 价格向量Ｐ ，产出向量Ｙ‘（Ｐ ），其他产出向量Ｙ。 产出向量Ｙ‘，要素价格向量Ｗ‘， 给定条件 （ｔ，ｓ＝１…．，Ｔ） 以及要素水平ｘ‘（ｔ，ｓ＝ｌ…．，Ｔ） 表达式 ｐ＇ｙ‘ ｐ＇ｙ‘，（ｔ，ｓ＝１…．， ｒ） Ｗ‘ｘ ｓｗ Ｘ，（ｔ，ｓ＝１，．．．，Ｔ） 若厂商是在最大化利润，则在价格Ｐ‘时的产出 若厂商是在最小化成本，则在价格Ｗ 时的 文字表述 Ｙ 的利润水平，至少与厂商选择其他产出水平 投入ｘ‘的成本水平应不大于产出至少同样 Ｙ。的利润水平一样。 多的产出水平的任何其他水平投入的成本 ＡｐＡｙ＞０，即价格变动向世与相关联的净产出 ａｗａｘ＿＜０，即要素需求向量一定 推 论 变动向量的内积一定是非负的。 与要素价格向量朝相反方向移动。 通过表４的比较，两个公理的要点跃然纸上，一目 了然，而对于由公理得出的两个推论的证明只是用到 了不等式的变换，对于有一定数学基础的人来说并不 困难，因此不再赘述。 （三）对偶方法 对于一个给定的数据集，满足ＷＡＰＭ（或ＷＡＣＭ）， 总可以找到一项技术，对该技术而盲，观察到的选择是 利润最大化选择（或成本最小化选择）。通过构造一个 生产集的外界和内界，来确定生产一项技术的真实的 集。 通过对上述问题的分析，可以得到利润最大化条 件下的生产集的内界ＹＩ为 Ｙ１＝｛Ｙ‘：ｔ＝ｌ…．．，Ｔ｝的凸单调壳（可由ＷＡＰＭ 结合反证法证明得出） 外界ＹＯ为 ＹＯ＝｛ｙ：ｐ＇ｙ ｓ ｐ＇ｙ‘，ｔ＝Ｉ……．。Ｔ｝（可由ＷＡＰＭ 结合补集知识得出） 从而得出结论，ＹＯ和Ｙｌ就形成了生产该技术的 真实生产集的最紧密的外界和内界。 类似地，成本最小化条件下的生产集的内界ＹＩ为 ＹＩ ｛Ｘ：Ｙ ｙ｝的凸单调壳（可由ＷＡＣＭ得出） 外界ＹＯ为ＹＯ＝｛ｘ：Ｗ‘ｘ Ｗ ｘ’，８．ｔ．Ｙ‘ Ｙ｝（可由 ｗＡＣＭ得出） 从而得出结论，ＹＯ和Ｙｌ就形成了生产该技术的 真实生产集的最紧密的外界和内界。 以上，就是高级微观经济理论中，从利润最大化和 成本最小化的基本条件出发，得出的一些简单而又非 常重要的结论，这些结论有助于今后对消费者行为、生 产者行为。以及福利经济学等问题的研究。而要更进 一步了解利润最大化和成本最小化问题我们还须了解 更为具体的利润函数和成本函数。 二、利润函数与成本函数 （一）运用利润函数与成本函数获得净供给函数与 要素需求函数的方法 给出净供给函数Ｙ（Ｐ），我们可以容易地得到利润 函数叮ｒ（Ｐ）＝ＰＹ（Ｐ），那么，我们如何从给定的利润函数 那里得到供给函数Ｙ（Ｐ）呢，高级微观经济理论给了我 们两种获得Ｙ（Ｐ）的方法一霍特林引理（Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ￣Ｌｅｍ— ｍｒｔ）和包络定理（Ｔｈｅ Ｅｎｖｅｌｏｐｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ）。 类似地。我们可以从条件要素需求函数ｘ（Ｗ，Ｙ）得
到成本函数ｃ（ｗ，Ｙ），同样我们也可以反过来通过成本 维普资讯 http://www.cqvip.com ・４８・ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｎｎａｎ Ｆｉｎａｎｃｅ＆Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．２１。Ｎ ５ 函数来获得条件要索需求函数。对于这个问题，高级 微观经济理论同样给了我们两种解决问题的办法一一 谢泼德引理（Ｓｈｅｐｈａｒｄ￣Ｌｅｍｍａ）和带约束条件的包络 定理。 现在分析分别就净供给函数和条件要素需求函数 的求解方法作一比较。它们之间存在着诸多的相似之 处。 从霍特林引理和谢泼德引理的比较以及求解净供 给函数和要素需求函数的方法中可以看出，这两个引 理都运用了导数的特性。而在引理的证明过程中也有 相似的地方，无论是假定条件，定义函数的方法。还是 得到结果的过程，都体现了二者对此类问题分析时思 路上的一致和方法上的相同。 包络定理与带约束条件的包络定理两个定理与霍 特林引理与谢泼德引理所比较的两个引理的不同之处 在于包络定理与带约束条件的包络定理比霍特林引理 与谢泼德引理更加一般化。他们所分析的不仅仅局限 于利润最大化问题或成本最小化问题，而是更一般的 最大化或最小化问题。 霍特林引理与谢泼德引理，及包络定理与带约束 条件的包络定理系统地给出了根据利润函数或成本函 数求解净供给函数或要素需求函数的方法，为了更清 晰地得出这四个函数之间的关系，我们进一步了解这 四个函数的特性之间存有怎样的关系。 （二）利润函数与净供给函数以及成本函数与要素 需求函数的特性 利润函数与净供给函数之间是可以相互转化的。 同样，成本函数与条件要素需求函数之间也是可以相 互转化的。由此我们可以推得，利润函数与净供给函 数，以及成本函数与条件要素需求函数的特性之间必 然存在着某种联系，图ｌ是对这一问题的分析说明。 净艏玉缸．々持世卜一ｍＪ－
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图１比较７一两组函数的特性 从利润函数和成本函数的定义，以及净供给函数 与条件要素需求函数的求解方法中我们可以明确地得 到这四个函数的特性。通过图ｌ的比较分析，从这些 特性中我们可以得到函数之间的联系，它们彼此之间 是通过导数的一些性质联系在一起的，这被称作使用 利润函数的比较静态（或使用成本函数的比较静态）。 三、结语 ’ 通过比较分析利润最大化问题和成本最小化问 题，我们可以清晰地看到，在分析这两个问题过程中所 涉及的问题的提出，研究方法，思路，检验方法。甚至遇 到的困难都存在极其相似之处。而对于利润函数和成 ｉ１一
鼻生产， Ｉ 产出．产出竹拇 ｔ且Ｉ ｛＾丰 喜幸 ｌｔ骨＃ Ｉ青暑．ｔ＾， ｌ＇． ‘．’ 笔 ．『｜１．．．．， 图２ 内客总结 本函数，我们知道 利润最大化问题与成本最小化 问题是微观经济学中的基本问题，我们不仅仅要理解 这些基本的原理，更重要的是在学习的过程中掌握一 种分析问题和解决问题的方法和手段，而这些分析和 解决问题的方法则会在今后的学习和研究中帮助我们 处理一些新问题，扩大我们的思维空间。本文也正是 本着这样一个目的，在初涉高级微观经济理论的时候 做一小结，以便在今后的学习和研究中对各种各样类 似的问题游刃有余地进行分析和解决。同时，也给那 些仍苦恼于无法着手高级微观经济理论学习的人们一 点启迪，为他们艰辛的学习道路，增添一道阳光。 参考文献 ［１］哈尔・瓦里安．微观经济学（第三版）［Ｍ］．北京：经济 科学出版社，１９９７年４月第１版 ［２］约翰・伊特韦尔、默里・米尔盖特、彼得・纽曼新帕尔 格雷夫经济学大辞热［Ｍ］．北京：经济科学出版社，１９９６． ［３］马斯－克莱尔．微观经济学［Ｍ］．北京：中国社会科学出 版社。２００１．
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