【全国百强校】重庆市第八中学2017届高三上学期定时训练(12.6)文数(解析版)

π 3


2 3
，则
sin

2
A

π 6


___________．
-2-/4
x y 3 0,
15．设不等式组

x

2
y

3

0,
，表示的平面区域为
1
，直线
y

k

x

3
分平面区域
1
为面积相等的两部
x 1
分，则 k ___________．
16．已知双曲线 C :
A．12 2 35 B． 4 2 3
C． 3 8
D． 3 4
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知单位向量 a,b ，若向量 2a b 与 b 垂直，则向量 a 与 b 的夹角为___________．
14．已知
sin

A

A．{2，3}
B．{5，6}
C．{3，5}
2．设复数 z 满足 z 2i (1 i) (1 i) ，则 i （
A． 2 2i
B． 2 2i
C． 2 2i
D．{4，6} ）
D． 2 2i
3．从区间[4，4] 中任取一个数，则该数能使函数 f (x) ln(9 x2 ) 有意义的概率为（ ）
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；
（Ⅱ）设 c 1，证明：当 x1,c 时， f x 0 ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程

重庆市第八中学2017届高三上学期适应性月考（三）理综物理试题二、选择题14. 下列说法正确的是（ ）A.第谷通过几十年对行星运动的观测，推导总结出了行星运动的规律B.牛顿在前人研究的基础上总结出了万有引力定律，并测出了引力常量的大小C.伽利略利用斜面实验，推测出自由落体是匀加速直线运动D.库仑通过扭秤实验建立了库仑定律，并比较精确地测出了元电荷e 的电量 【答案】C考点：物理学史【名师点睛】本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一。

15. 在竖直面内固定一个半径为R 的半球形碗，球心为O ，图4所示为其剖面图。

一小钢球从碗口的内侧边缘上方A 点处无初速度释放，不计一切阻力，到达图中的B 点时，小钢球对碗的压力为所受重力的2倍，已知B 点与球心O 的连线与竖直方向夹角为60，则A 点到碗口的高度为（ ）A.4R B.2R【答案】A 【解析】试题分析：在B 点对物块受力分析如图所示：设B 点速度为v ，则在B 点根据牛顿第二定律：2cos 60Nmg m Rv F-=，而且2N mg F =设A 点距碗边的高度为h ，根据动能定理可以得到：()()211cos 602mg h R mgR m v+--=，联立以上方程式可以得到：4Rh =，故选项A 正确。

考点：动能定理、牛顿第二定律【名师点睛】本题考查动能定理以及牛顿第二定律，主要向心力的表示方法。

16. 如图5所示，虚线为电场中的等差等势线，实线为一带电粒子在电场中的运动轨迹，若带电粒子只在电场力作用下从a 处运动到b 处，则下列说法正确的是（ ）A.带电粒子一定带正电B.电场中a 处的电势大于b 处的电势C.带电粒子在a 处的加速度小于b 处的加速度D.带电粒子在a 处的电势能大于b 处的电势能 【答案】D 【解析】试题分析：由电场力方向应指向轨迹的内侧得知，但点电荷的电性不知，所以粒子带何种电荷也无法确定，故A 错误；由于电荷电性未知，从而电场方向未知，故无法判断电势的高低，故选项B 错误；b 点处的电场线较疏，而a 点处电场线较密，则b 点处的电场强度较小，粒子所受的电场力也较小，粒子的加速度也小，故C 错误；粒子所受电场力方向大致斜向右上方，与运动方向的夹角小于90︒，电场力对粒子做正功，其电势能减小，动能增大，则知粒子在a 点的电势能大于在b 点的电势能，故D 正确。

北京八中2016-2017学年度第一学期期中练习（高三文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知全集，若集合，则（）．A. 或B. 或C. D.【答案】A【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义得结果.详解：∵集合，∴或，故选．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.设为虚数单位，则复数的模（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：，．故选．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．考点：函数的单调性．4.数列{}中，“（n∈N*）”是“数列{}为等比数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若数列{a n}是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当a n=0，此式也成立，但数列{a n}不是等比数列，∴“”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5.将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．【此处有视频，请去附件查看】7.函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.【此处有视频，请去附件查看】8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：“不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元”，相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由已知该程序的功能是出租车的收费系统，里程不超过千米收元，超过毎千米，按每千米元收费，小于千米则不收费，若其大于或等于千米则按千米收费,而的含意就是“小于千米不收费，大于千米按千米收费”，由于当车程超过千米时，另收燃油附加费元，因此应选D.考点：程序框图的条件结构流程图.二、填空题（每小题5分，共30分）9.抛物线的焦点坐标为__________．【答案】【解析】抛物线焦点坐标（-p/2，0），带入得10.已知向量，，，且，则实数__________．【答案】【解析】分析：先根据向量加法求，再根据向量数量积为零得方程，解得实数值.详解：，∵，∴，解得．点睛：(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：11.圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为．【答案】【解析】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程，令，解得，因此,,在中，,,,因此为直角三角形，即,故弦所对的圆心角的大小为；考点：圆的标准方程12.一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【答案】，【解析】试题分析：由题可知，由四棱锥的三视图还原成立体图形，即此时的四棱锥底面是边长为1的正方形，高为，通过棱锥体积公式，得出；在四棱锥中，最大的侧面是，通过三视图，我们可以得到,因此,即三角形的面积为；考点：柱锥台的表面积与体积13.某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的__________．【答案】【解析】分析：先求平均融化速度，再观察，，，处切线斜率，选最接近平均融化速度的点.详解：，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致．点睛：本题考查瞬时变化率与平均变化率的概念与区别，考查识别与应用基本概念解决问题的能力.14.区域由不等式组给定，若为上的动点，点，为坐标原点，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先作可行域，再根据向量数量积得，视作直线，结合图像可得直线经过点时轴上的截距最大，从而最大．详解：由不等式组确定的平面区域如图所示，，即，首先做出直线，将直线平行移动，当经过点时轴上的截距最大，从而最大．因为，故的最大值为．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题（共80分）15.已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数的值域．【答案】（1）定义域为，最小正周期．（2）【解析】分析：（1）先根据正切函数定义域得原函数定义域，再根据同角三角函数关系、二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据，确定正弦函数范围，再根据正弦函数性质求值域.详解：解：（Ⅰ）函数的定义域为，∵．∴的最小正周期．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，故当时，函数的值域为．点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．16.已知数列的前项和满足，其中．（Ⅰ）求证：数列为等比数列．（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】(1)见解析（2）【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列的前项和详解：解：（Ⅰ），①∴当时，，解得；当时，，②由①-②得，∴，∴，由得，故是首项为，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，则的前项和，．点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）17.椭圆的左顶点为，是椭圆上上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）求点的坐标和椭圆的离心率．（Ⅱ）若椭圆上是否存在点，使得，若存在，求出横坐标的取值；若不存在，说明理由．【答案】（1）点坐标为，离心率．（2）不存在【解析】分析：（1）先根据椭圆方程得，，，再根据左顶点定义以及离心率公式求结果，（2）设点坐标，由对称得P坐标，根据向量数量积为零得，与点M在椭圆上，联立方程组解得无解.详解：解：（Ⅰ）椭圆，∴，，，故点坐标为，离心率．（Ⅱ）在椭圆上不存在点，使，理由如下：假设存在点使，设点，则且，∵，∴，化简得，∵，∴方程无解．故在椭圆上不存在点，使得．点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.（I）写出a的值；（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（I）.a=0.03.（II）.870人.（III）所以X的分布列为：E（X）=.【解析】试题分析：（1）根据各矩形面积之和为，可求得的值；（2）先根据直方图算出初中生中，阅读时间不小于个小时的学生频率以及高中生中，阅读时间不小于个小时的学生频率，结合总人数可估计该校所有学生中，阅读时间不小于个小时的学生人数；（3）的可能取值，利用组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（I）.a=0.03.（II）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.（III）.初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0.005×10）×40=2人.故X的可能取值为l，2，3.则P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.所以X的分布列为：所以E（X）=1×+2×+3×=.19.已知函数（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为,求函数的单调区间;（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为,单调递减区间为；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义求出，再通过研究导函数的符号变化研究函数的单调性；（Ⅱ）将函数在区间上单调递增转化为对恒成立，进一步转化为求函数的最值问题.试题解析：（Ⅰ）因为所以曲线经过点,又曲线在点处的切线的斜率为,所以所以.当变化时,的变化情况如下表：所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为;（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增,所以对,只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为当时,在上的最小值为,解,得或所以此种情况不成立；当时,在上的最小值为解得综上,实数的取值范围是20.已知椭圆的左、右焦点坐标为别为，，离心率是．椭圆的左、右顶点分别记为，．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）求线段长度的最小值．（Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上的点满足：的面积为．试确定点的个数．【答案】（1）（2）（3）2【解析】分析：（1）先根据焦点坐标得，再根据离心率得a，解得b,（2）设直线的方程为，解得S，得直线的方程，与直线联立解得M,N坐标，即得，最后根据基本不等式求最值，（3）当线段的长度最小时，求出S，由的面积得点到直线的距离等于，与点T在椭圆上，联立方程组，根据解的个数确定点的个数．详解：解：（Ⅰ）∵，且，∴，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）易知椭圆的左、右顶点坐标为，，直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而．由得．设，则，得，从而，即．又，故直线的方程为，由得，∴，故，当且仅当，即时等号成立．故当时，线段的长度取最小值．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当线段的长度最小值时，，此时的方程为，，∴，要使的面积为，只需点到直线的距离等于，所以点在平行于且与距离等于的直线上．设，则由，解得或．①当时，由得，∵，故直线与椭圆有两个不同交点．②当时，由得，∵，故直线与椭圆没有交点．综上所述，点的个数为．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.。

2016-2017学年重庆八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，，则A∩B=（）A． B．（0，1） C．D．2．已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若l1∥α，l1⊥β，则α∥βC．若α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2 D．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2E．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2 F．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l24．直线ax+y﹣5=0截圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的弦长为4，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．35．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．36．如图是某多面体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．32 B．C．16 D．7．设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．已知a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．9．若函数f（x）为定义在R上的连续奇函数且3f（x）+xf′（x）＞0对x＞0恒成立，则方程x3f（x）=﹣1的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，在底面△ABC中，∠C=60°，，则此直三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．16πD．11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2﹣C．D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，满足，|，且（λ＞0），则λ=．14．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为．15．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则△PFM周长最小值为．a n，a1=4，则数列{a n}的通项公式为16．若S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=a n+1a n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若a=3，，求的最大值．18．重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率．（1）求T的分布列与P（T＜E（T））；（2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于E（T）的人数，求X的分布列与E（X）；（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．19．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1，M，N 分别为AC，BC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1MN；（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．20．在直角坐标系xOy中，点P（2，1）为抛物线C：y=上的定点，A，B为抛物线C上两个动点．（1）若直线PA与PB的倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值；（2）若PA⊥PB，直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．21．设函数f（x）=（x+2a）ln（x+1）﹣2x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及所有零点；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为函数g（x）=f（x）+x2﹣xln（x+1）图象上的三个不同点，且x1+x2=2x3．问：是否存在实数a，使得函数g（x）在点C处的切线与直线AB平行？若存在，求出所有满足条件的实数a的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=2，PC=4，求CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．2016-2017学年重庆八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，，则A∩B=（）A． B．（0，1） C．D．【考点】交集及其运算．【分析】先分别出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，={x|0＜x＜}，∴A∩B={x|0＜x＜}=（0，）．故选：A．2．已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．【解答】解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D3．已知α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若l1∥α，l1⊥β，则α∥βC．若α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2 D．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2E．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2 F．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】反例判断A的错误；利用直线与平面的关系判断B错误；反例判断C 错误；直线与平面垂直判断D正误即可．【解答】解：α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，对于A，α⊥γ，β⊥γ，则α∩β=a也可能平行，所以A不正确．对于B，若l1∥α，l1⊥β，则α⊥β，所以B不正确；对于C，α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2，也可能相交也可能异面，所以C不正确；对于D，若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2，l1与l2是平面的法向量，显然正确；故选：D．4．直线ax+y﹣5=0截圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的弦长为4，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0配方为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，可得圆心C （2，1），半径r=2．直线ax+y﹣5=0截圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的弦长为4，可得直线经过圆心．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0配方为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，可得圆心C（2，1），半径r=2．∵直线ax+y﹣5=0截圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的弦长为4，∴直线经过圆心，∴2a+1﹣5=0，解得a=2．故选：C．5．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义判断②，根据三角函数的图象判断④【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1对任意x均成立，∴a=0，b=1即对称中心（0，1），故正确③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．故选：A6．如图是某多面体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．32 B．C．16 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A﹣BCD，其外面图形为棱长为4的正方体．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣BCD，其外面图形为棱长为4的正方体．∴该多面体的体积V==．故选：D．7．设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）．由T=，得ω=2．∴f（x）=2sin（2x+φ﹣）．又f（﹣x）=f（x），∴sin（﹣2x+φ）=2sin（2x+φ﹣）．得﹣2x+φ=2x+φ﹣+2kπ或﹣2x+φ+2x+φ﹣=π+2kπ，k∈Z．解得φ=，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x．则f（x）在（0，）单调递增．故选：C．8．已知a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】由等比中项推导出a+b=1，从而===，由此利用基本不等式能求出的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，∴3a•3b=3a+b=（）2=3，∴a+b=1，∴===≤=．当且仅当时，取等号，∴的最大值为．故选：B．9．若函数f（x）为定义在R上的连续奇函数且3f（x）+xf′（x）＞0对x＞0恒成立，则方程x3f（x）=﹣1的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数恒成立问题．【分析】可构造函数g（x）=x3f（x），利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．【解答】解：令g（x）=x3f（x），则g′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵3f（x）+xf′（x）＞0对x＞0恒成立，∴g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）为增函数，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）为R上的增函数，∴方程x3f（x）=﹣1的实根个数为1．故选：B．10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，在底面△ABC中，∠C=60°，，则此直三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．16πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圆ABC的半径为=1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：=2，外接球的表面积为：4π•22=16π．故选C．11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解．【解答】解：如图，tan∠NMF=，tan∠NFO=，∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF，即tan∠NFO=，∴，则b2=a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，得e=．故选：A．12．已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2﹣C．D．﹣【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2=1，x1+x2＞=2，（4﹣x3）•（4﹣x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k≥恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|=|lnx2|，即x1•x2=1，x1+x2＞=2，|ln（4﹣x3）|=|（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k≥恒成立，由=== [（x1+x2）﹣4+8]≤2﹣故k≥2﹣，故实数k的最小值为2﹣，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，满足，|，且（λ＞0），则λ=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求出的值，而由可得到，两边平方即可得到关于λ的方程，解出λ即可．【解答】解：；由得，；∴；∴4=λ2，且λ＞0；∴λ=2．故答案为：2．14．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为[﹣2，4] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），联立，解得B（4，0），由图可知，当目标函数z=x﹣3y过A时，z有最小值为﹣2；当目标函数z=x﹣3y过B时，z有最大值为：4．故答案为：[﹣2，4]．15．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则△PFM周长最小值为．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，由双曲线C：可得a=1，b=，c=2，即有F（2，0），F'（﹣2，0），△PFM周长为|PM|+|PF|+|MF|=|PM|+|PF|+2，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a=2，即有|PM|+|PF|=|PM|+|PF'|+2，当P在左支上运动到M，P，F'共线时，|PM|+|PF'|取得最小值|MF'|=2，则有△APF周长的最小值为2+2+2=2+4．故答案为：16．若S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=a n+1a n，a1=4，则数列{a n}的通项公式为a n=．【考点】数列递推式．【分析】2S n=a n+1a n，a1=4，n=1时，2×4=4a2，解得a2．n≥2时，2S n﹣1=a n a n﹣1，可得2a n=a n+1a n﹣a n a n﹣1，可得a n+1﹣a n﹣1=2．n≥2时，a n+1﹣a n﹣1=2，可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别为等差数列．【解答】解：∵2S n=a n+1a n，a1=4，∴n=1时，2×4=4a2，解得a2=2．n≥2时，2S n﹣1=a n a n﹣1，可得2a n=a n+1a n﹣a n a n﹣1，∴a n=0（舍去），或a n+1﹣a n﹣1=2．n≥2时，a n+1﹣a n﹣1=2，可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别为等差数列．∴a2k﹣1=4+2（k﹣1）=2k+2．k∈N*．a2k=2+2（k﹣1）=2k．∴a n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若a=3，，求的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由等差数列的性质可得2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理，三角形内角和定理化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求，即可得解．（2）利用平面向量的运算，余弦定理可得，进而利用基本不等式即可计算得解．【解答】解：（1）∵由题意知2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理知sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，又∵sinB≠0，∴，∴．（2）∵，∴=（）=（c2+b2+2cbcosA）=（c2+b2+cb），又∵由余弦定理可得：a2=c2+b2﹣2cbcosA=c2+b2﹣cb=9，∴，∵由c2+b2﹣cb=9≥2cb﹣cb=cb，当且仅当c=b时取等号，∴，∴的最大值为．18．重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率．（1）求T的分布列与P（T＜E（T））；（2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于E（T）的人数，求X的分布列与E（X）；（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）以频率估计频率，即可取得T的分布列．求出期望，得到概率即可．（2）判断分布列是二项分布，然后列出分布列求出期望．（3）设T1，T2分别表示往返所需时间，设事件A表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则P（A）=P（T1=25）P（T2≤45）+P（T1=30）P（T2≤40）+P（T1=35）P（T2≤35）+P（T1=40）P（T2≤30）求解即可．【解答】解：（1）以频率估计频率得T的分布列为：∴E（T）=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟），P（T＜E（T））=P（T＜32）=0.2+0.3=0.5．（2）X～B（3，），P（X=k）=（k=0，1，2，3）．E（X）=3×=．（3）设T1，T2分别表示往返所需时间，设事件A表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则P（A）=P（T1=25）P（T2≤45）+P（T1=30）P（T2≤40）+P（T1=35）P（T2≤35）+P（T1=40）P（T2≤30）=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91．19．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1，M，N 分别为AC，BC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1MN；（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接B1N，B1C，设B1C与NC1交于点G，推导出四边形B1C1CN是平行四边形，从而MG∥AB1，由此能证明AB1∥平面C1MN．（2）以点M为坐标原点，MA，MB，MA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣MC1﹣N的大小．【解答】证明：（1）连接B1N，B1C，设B1C与NC1交于点G，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=2A1B1，则BC=2B1C1，而N是BC的中点，B1C1∥BC，则B1C1NC，所以四边形B1C1CN是平行四边形，G是B1C的中点，在△AB1C中，M是AC的中点，则MG∥AB1，又AB1⊄平面C1MN，MG⊂平面C1MN，所以AB1∥平面C1MN．解：（2）由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面ABC，而AB⊥BC，AB=BC，则MB⊥AC，所以MA，MB，MA1两两垂直，故以点M为坐标原点，MA，MB，MA1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，则A1B1=CC1=1，AC=2，AM=，B（0，，0），C（﹣，0，0），C1（﹣，0，1），N（﹣，，0），则平面ACC1A1的一个法向量为=（0，1，0），设平面C1MN的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，1，），cos＜＞=，由图形得得二面角C﹣MC1﹣N为锐角，所以二面角C﹣MC1﹣N的大小为60°．20．在直角坐标系xOy中，点P（2，1）为抛物线C：y=上的定点，A，B为抛物线C上两个动点．（1）若直线PA与PB的倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值；（2）若PA⊥PB，直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出A、B坐标，利用斜率公式及直线PA与PB的倾斜角互补两直线斜率相反，从而求出AB斜率．（2）若PA⊥PB，则两直线斜率积为﹣1，求出直线AB 的方程，可得直线AB经过定点（﹣2，5）．【解答】证明：（1）设点A（x1，），B（x2，），若直线PA与PB的倾斜角互补，则两直线斜率相反，又k PA==，k PB==，所以+=0，整理得x1+x2+4=0，所以k AB===﹣1．（2）解：因为PA⊥PB，所以k PA k PB=•=﹣1，即x1x2+2（x1+x2）+20=0，①直线AB的方程为：，整理得：4y﹣=（x1+x2）（x﹣x1），即x1x2﹣x（x1+x2）+4y=0，②由①②可得，解得，即直线AB经过定点（﹣2，5）．21．设函数f（x）=（x+2a）ln（x+1）﹣2x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及所有零点；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为函数g（x）=f（x）+x2﹣xln（x+1）图象上的三个不同点，且x1+x2=2x3．问：是否存在实数a，使得函数g（x）在点C处的切线与直线AB平行？若存在，求出所有满足条件的实数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的零点即可；（2）求出g（x）的表达式，根据直线AB的斜率k=，得到g′（）=，即aln=，通过讨论a=0和a≠0，从而确定满足题意的a的值即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+2）ln（x+1）﹣2x，则f′（x）=ln（x+1）+﹣1，记h（x）=ln（x+1）+﹣1，则h′（x）=≥0，即x≥0，从而，h（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，则h（x）≥h（0）=0，即f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无单调递减区间，又f（0）=0，则0为唯一零点．（2）由题意知g（x）=f（x）+x2﹣ln（x+1）=2aln（x+1）+x2﹣2x，则g′（x）=+2x﹣2，直线AB的斜率k=，则有：g′（）=，即+2•﹣2=，即+x1+x2﹣2=+x2+x1﹣2，即=，即aln=，①当a=0时，①式恒成立，满足条件；当a≠0时，①式得ln=2•=2•，②记t=﹣1，不妨设x2＞x1，则t＞0，②式得ln（t+1）=．③由（1）问可知，方程③在（0，+∞）上无零点．综上，满足条件的实数a=0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=2，PC=4，求CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PC是圆O的切线，通过∠ACP=∠ABC，得到∠APC=∠BAC，求出∠BAC=90°，说明BC是圆O的直径．（2）说明△APC∽△CAD，推出，利用数据关系求解即可．【解答】（1）证明：∵PC是圆O的切线，∴∠ACP=∠ABC，又∵∠ACB=∠APC，∴∠APC=∠BAC，而∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BAC=90°，∴BC是圆O的直径．（2）解：∵∠BPC=∠DAC，∠ACP=∠ADC，∴△APC∽△CAD，∴，∴AC2=PA•CD，①又由切割线定理PC2=PA•PB，PC=4，AB=2，得PA=2，②由①②得CD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为，由此能求出曲线C的直角坐标方．（2）P的坐标为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，由此能求出|PD|的长．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴x2+y2=2，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）P的坐标为，在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，设点A，B，D对应的参数分别为t1，t2，t3，则，t1t2=3，，∴|PD|的长为．[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]．（1）求实数a，b的值；（2）若实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，求证：|n|＜．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，利用条件建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）利用|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|，即可证明结论．【解答】（1）解：关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣b﹣a，b﹣a]，∵关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6，2]，∴，∴a=2，b=4；（2）证明：∵实数m，n满足|am+n|＜，|m﹣bn|＜，∴|n|=|（2m+n）﹣（2m﹣8n）|≤|2m+n|+2|m﹣4n|＜=．2017年4月19日。