输油管的布置数学模型

《数学建模课程设计报告》题目：输油管的布置优化问题专业：数学与应用数学学号：姓名：组员：指导教师：成绩：二〇一〇年十二月二十五日输油管的布置优化问题摘要：本文研究的是管线建设费用最省问题。

针对问题一：我们首先对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情形给出了四个线路的铺设方案。

然后，对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情况，以及共用管线费用与非共用管线费用相同和不同进行了讨论，给出了方案的选择以及最优化方案时铺设管线的费用。

如表1，表2所示表1 费用相同时确定了城市建设管线附加费用的权重及费用的数值，我们从一般情况出发，考虑了是否有共用管线，建立了非线性规划的数学模型，利用Matlab程序编程，从而求出最优解为：282.6973万元，布置方案如图6所示。

针对问题三：在问题二的基础上，我们建立了一个非线性规划的数学模型，利用Matlab 程序编程，从而求出最优解为：251.9685万元，布置方案如图9所示。

关键词：非线性规划层次分析法（AHP）权重Matlab 程序1问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。

在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。

两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。

铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： C2904 所属学校（请填写完整的全名）：泉州理工职业学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 乐美芳2. 高陈冲3. 沈标安指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：刘秀梅日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管的布置摘要论文对输油管建设的布置进行了研究,力求以最短距离敷设管线,使管线建设费用最小.运用线性规划中常用的图解法与单纯形法来解决管线布置方案及相应费用的目标规划.用MATLAB计算出具体数值,从而确定出最优的方案.针对问题一所要求的设计方案，根据两点之间线段最短以及中垂线定理，借助图解法求出设计的方案.针对问题二所要设计的管线布置方案及相应的费用，借助图解法来求解出满足问题二条件的最优方案是车站必须建在CD两点之间使得相应的费用最省,具体位置在C点右边 4.902千米处.用解决问题二的方法来求解出问题三所要解答的问题是车站必须建在CD两点之间,具体位置在C点右边7.0213千米处.通过对此问题的解决,用同样的方法来解决排水管的布置.天然气的运输有着现实可行的意义.可以把此问题推广开来.【关键词】中垂线定理图解法优化设计 MATLAB一 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案.在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A 厂位于郊区（图中的I 区域）, B 厂位于城区（图中的II 区域）,两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位:千米）分别为5a =, b =8, 15c =, 20l =.若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示: 3. 在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元,输送B 厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二 符号假设i : A 厂到车站的距离,单位:千米;j : A 厂到共用管线起点的距离,单位:千米;O : 是 A 、B 两厂的中点;工程咨询公司 公司一 公司二 公司三附加费用（万元/千米） 21 24 201h : O 点到共用管线起点的距离,单位:千米;2h : 共用管线起点到车站的距离,单位:千米;x : 车站与分界线的距离,单位:千米;1z : 每千米A 、B 两厂单独铺设输油管到车站的费用,单位:万元;2z : 每千米A 、B 两厂用共用管道铺设到车站的费用,单位:万元;m : A 、B 两厂之间距离的一半,单位:千米;y : A 、B 两厂共用管线的距离,单位:千米;W : A 、B 两产共用管线的总费用,单位:万元;u f: 输送A 厂成品油每千米的费用,单位:万元; v f: 输送B 厂成品油每千米的费用,单位:万元; uv f: 输送A 、B 两厂共用管线的费用,单位:万元; iC : 第i 个工程咨询公司评估出来每千米的费用,单位:万元, 1,2,3i ; 三 模型假设1.两炼油厂建在安全的距离范围之内,如果其中一个厂爆炸的话并不会影响到另一个厂.2. A 、B 两炼油厂铺设管道之前所花的代价忽略不计.3.在建立模型时把炼油厂和车站都看作一个点4.铺设管道的过程中,铺设管道的方向不受任何因素的影响5.铺设管道的水平高度都一样三 问题的分析问题一:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形再加上若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.根据两点之间线段最短的原理来分析出其中的一种情况是A 、B 两厂垂直于铁路,垂足为车站,这是一种最理想最优的方案,然而现实生活中很难存在这样的情况.所以应该认为所有点都为动点,根据中垂线定理来解决出这个问题的一般情况.问题二:如果车站建立在D 点的右边,在城市建车站所需的附加费用比车站建在C 点与D 点的费用多.如果车站建在C 点的左边,增加两厂离车站的距离,会增大铺设管道的费用且比建在C点与D点的费用多,最合理的方式就是把车站建在CD之间.因为涉及到拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.为了在铺设管道后的几十年管道不出问题，应采取有优势的公司来对在铺设管线还需拆迁和工程补偿等的附加费用的估算,在这三家公司由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.再通过各种几何关系及角度的大小,来得出各个量之间的关系.利用MATLAB 来求出具体的数值,得出最优方案及相应的费用.问题三:同问题二的分析,在该实际问题中,为进一步节省费用,根据炼油厂不同的生产能力,就会有A 、B 两厂不同的运输费用. 最合理的方式就是把车站建在CD 之间.因为涉及到拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.为了在铺设管道后的几十年管道不出问题，应采取有优势的公司来对铺设管线还需拆迁和工程补偿等的附加费用的估算,在这三家公司由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.再通过各种几何关系及角度的大小,来得出各个量之间的关系.利用MATLAB 来求出具体的数值,得出最优方案及相应的费用.五 模型的建立（一） 问题一:根据垂直平分线的定理,任取两点分别作为A 厂和B 厂.作A 、B 两点中点的垂直平分线交铁路于G 点, G 点即为铁路线上的车站.如要用到共用管线,那么共用管线的起点必在这条垂直平分线上.但也同样存在A 、B 都垂直于铁路相交与G 点.1 方案一(如图一所示):图一1) 当共用管线费用相同，即12z z 时,两厂单独铺设输油管到车站的费用为:()()112i i j z i j z +-=-⎡⎤⎣⎦ ①其中：1z ，表示每千米A 、B 两厂单独铺设输油管到车站的费用2z ，表示每千米A 、B 两厂用共用管道铺设到车站的费用两厂用共用管道铺设到车站的费用为:()121jz i j z iz +-= ②由①-②得,()10i j z ->因此采用铺设共用管道的方案所需的费用更省,所以选用铺设共用管道的方案.2) 当共用管道费用不相同，即12z z ≠时,两厂单独铺设输油管到车站的费用为:()()122i i j z i j z +-=-⎡⎤⎣⎦ ③两厂用共用管道铺设到车站的费用为:()12jz i j z +- ④当③-④≥0时,解得212z z ≤因此当212z z ≤时,采用有铺设共用管道的方案.反之采用单用铺设管道的方案.2 方案二(如图二所示):图二1）当共用管线费用相同,即12z z =时，两厂单独铺设输油管到车站的费用为:12iz ⑤两厂用共用管道铺设到车站的费用为:()1222122jz h z j h z +=+ ⑥ 其中：1z ，表示每千米A 、B 两厂单独铺设输油管到车站的费用2z ，表示每千米A 、B 两厂用共用管道铺设到车站的费用若⑤-⑥0≥,则两厂单独铺设输油管到车站的费用比较多,所以采用有铺设共用管道的方案所需的费用更省.若⑤-⑥0<,则两厂用共用管道铺设到车站的费用比较多,所以采用单独铺设输油管的方案所需的费用更省2) 当共用管道费用不相同，即12z z ≠时,两厂单独铺设输油管到车站的费用为:12iz ⑦两厂用共用管道铺设到车站的费用为:1222jz h z + ⑧若⑦-⑧0≥,则两厂单独铺设输油管到车站的费用比较多,所以采用有铺设共用管道的方案所需的费用更省.若⑦-⑧0<,则两厂用共用管道铺设到车站的费用比较多,所以采用单独铺设输油管的方案所需的费用更省.（二）问题二:由第二个问题中所给的图形再根据根据两点之间线段最短的原理可得下图（根据两点之间线段最短的原理图中A 厂和B 厂的共用管线垂直于铁路线,垂足为车站的所在点）,如图三所示：图三为了使附加费用最省,所以在城区的范围内作B 厂垂直于分界线的线段,垂足为F .共用管道的长度不能高于B 厂到车站的距离. 建立如下模型: EF F F u v v i uv f f f C f y AE ++B +B + ⑨ 其中：W 表示A 、B 两产共用管线的总费用u f表示输送A 厂成品油每千米的费用; v f表示输送B 厂成品油每千米的费用;uvf 表示输送A 、B 两厂共用管线的费用; iC 第i 个工程咨询公司评估出来每千米的费用，1,2,3i =；（三）问题三如图四所示:图四建立如下模型:W F F F u v v i uv f f f C f y =AE +E +B +B + ⑩其中：W 表示A 、B 两产共用管线的总费用u f表示输送A 厂成品油每千米的费用; v f 表示输送B 厂成品油每千米的费用;uvf 表示输送A 、B 两厂共用管线的费用; iC 第i 个工程咨询公司评估出来每千米的费用，1,2,3i =；六 模型的求解利用上面的分析,根据各个管道不同的费用来解决出具体的数值.由问题二的已知条件可以确定出x 的取值范围在0到15之间,y 的的取值范围在0到8之间.为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司进行了估算.由于公司一的资质为甲级,所以选择公司一估算的21万元.1、对问题二进行求解用MATLAB 进行曲线拟合（见附录程序一）得如图五所示图五把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型:W 5*7.25*217.2y =+++约束条件015.08x s t y ≤≤⎧⎨≤≤⎩利用MATLAB 软件进行编程（见附录程序四），求得，当x =10.098(千米). y =2.16989(千米)时,即把车站建在C 点右边4.902千米处铺设管道的总费用最省,此时的总费用为281.3307(万元).2 对问题三进行求解用MATLAB 进行曲线拟合（见附录程序三）得如图六所示图六把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型:W 5*65*217.2y =+++约束条件为015..08x s t y ≤≤⎧⎨≤≤⎩利用MATLAB 软件进行编程（见附录程序四），求得当x =7.9787(千米). y =0.3303(千米), 即把车站建在C 点右边7.0213千米处铺设管道总费用最省,此时总费用为250.8742(万元).七. 模型的评价和推广模型很好的描述出了两炼油厂管线到车站的路径是变化的，在铺设的过程中可分为有共用管线与无共用管线，不同的铺设方案能够较为准确的预算出总费用,并且可以算出具体的费用.对铺设管线的不同方式有较好的指导作用.能尽可能的把铺设管线的费用降到最低.模型的不足之处在于很多现实生活中存在的客观因素并没有很全面的考虑在内。

输油管布置的数学模型作者：周小红邓昌瑞来源：《读写算》2011年第68期摘要本文建立了输油管线布置方案的优化模型。

依据提供的数据及相关信息，对各个问题进行了分析与论证，得到了相应的结论。

问题的提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

两炼油厂的具体位置由附图所示，两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

管线铺设费用分别为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元。

针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形与考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，提出管线的设计方案。

假设：不考虑地貌的影响，假设管线都在同一水平线，假设以铁路线为水平线，而垂直于铁路的线为竖直线。

符号说明：：炼油厂A到铁路线的垂直距离；：炼油厂B到铁路线的垂直距离；：输送A厂成品油的管线长度；：输送B厂成品油的管线长度；：共用管线的长度；：炼油厂A在铁路线上的垂点到车站的距离；：两炼油厂间的距离；：炼油厂B在铁路线上的垂点到车站的距离；：炼油厂A到车站的单位非共用管线费用；：单位共用管线费用；：炼油厂B到车站的单位非共用管线费用；：总费用；：炼油厂A到共用管线一端水平线的垂直距离；：炼油厂B到共用管线一端水平线的垂直距离。

问题分析1问题的性质。

本文主要研究的是输油管的布置问题，我们需要解决的关键问题是共用管线长度的确定。

2解决问题的思路(1)输油管布置：根据问题的要求以“费用最少”为目标，主要针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油长间距离的不同情况建立不同的方案。

对两炼油厂间水平距离的不同的分析：有两种情况：(Ⅰ)两炼油厂间水平距离为0；(Ⅱ)两炼油厂间水平距离不为0。

对有共用管线情况的分析，考虑到共用管线有多种情况：（1）当管线费用与非共用管线费用相同时；（2）当单位共用管线费用小于两种单位非共用管线费用之和时；（3）当单位共用管线费用大于两种单位非共用管线费用之和时。

输油管的布置摘要本文针对最优化输油管线问题，建立优化数学模型，把生活中的数学问题转化为简单的数学模型来解决.通过Matlab软件编程对数据进行处理，计算出结果.将非常复杂的问题简单化.在问题1中，先考虑无共用管线情形，主要是使管线的总长度最短.为了解决此问题，作出了图形1，采用初等几何的方法，利用对称性求出最短距离，然后由勾股定理等求出管线的总长度.然后考虑有共用管线情形，运用求偏导的方法求出最短管线的长度.讨论共用管线与非共用管线价格的相同与不同，得出铺设管线的费用，对此进行比较.求出问题的最优解.在问题2中，考虑到两炼油厂分别位于郊区和城区，所需的铺设管线费用不同.经过对附加费用进行评估，比较得出三家公司最合适的一家，据此，建立几何图形，然后列出方程.通过运用Matlab软件编程，解出每种情况中管线的费用.最后再比较每种情况的计算结果，取费用最少的作为最终的设计方案.在问题3中，实际上是对问题1和问题2的更进步一考虑.考虑了炼油厂输送成品油到车站所铺设管线的费用不同，根据分析图形中每段管线的几何关系列出方程，然后通过Matlab软件编程对数据进行处理，计算出结果，得到最优设计方案.最后，经过认真的探究讨论，将这种生活中常见的复杂问题通过建立数学模型，结合简单的数学知识去解决，得问题的答案，将复杂的问题简单化.关键词：共用管线；最优解；管线费用一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.问题1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案.在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.问题 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20.若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示：工程咨询公司4 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用.问题3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二、问题分析对于问题1，为了解决两炼油厂到铁路距离和两炼油厂间距离的最优方案，设计了两种解决方案：根据方案作出了图形1、2.图形中用A、B、E 分别表示两炼油厂和车站，方案1，考虑两炼油厂没有共用管线，线段AE、BE 之和就是我们所要求的总管线长度，通过做A 点关于铁路线的对称点，构造出直角三角形，然后直接列出方程.方案2，考虑两炼油厂有共用管线.图形2中还要考虑到一段共用管线，当共用管线与非共用管线的费用相同时，只要求出管线最短就可以求出最省费用.当共用管线与非共用管线的费用不同时，将使用共用管线与不使用共用管线的费用比较得出最省的方案.1A 对于问题2，由于两炼油厂建立在两个不同的区域，但由于铺设城区的管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，给解题带来了难度.在附加费用上聘请了三家工程咨询公司，但因他们的资质不同我们还要对其进行求解分析.题目中已经介绍所有管线（共用管线和非共用管线）费用相同，即我们不用考虑管道的质量问题.对此，我们设计了最优的解决方案.运用问题1中所得到得结果和 Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果，对于问题3，在该问题中，为了进一步接近实际还需要考虑从A、B 两厂输送成品油到车站的管线费用不同.铺设A 厂管线到车站的价格便宜，B 厂稍贵，他们的共用管线最贵，我们可以将铁路设置的离A 远点，B 近点，共用管线短点.三、模型假设我们认为建造两家炼油厂主要从路线及费用考虑，寻找一种可行的路线同时又较为省钱，为了这个问题的最佳方案，我们做出几点假设. 1．假设管线接口处无损失. 2．假设管线的质量无影响.3．假设管线的架设不受地理、人为环境的影响. 4．假设铁路是直的.5．对于问题一不考虑两炼油厂位于不同区域. 6．把两炼油厂与车站看作三点.四、符号说明a……表示炼油厂A 到铁路的距离； b……表示炼油厂B 到铁路的距离； m……最优方案中的共用管线的的长度； q……管线费用；1q ……共用管线的价格； 2q ……非共用管线的价格；S……管线总费用；k……表示公司附加费用； l ……相对于铁路的水平距离；附录中：X(1)……表示模型二求解中的m ； X(2)……表示模型二求解中的n ； X(2)……表示模型三求解中的r ； X(3)……表示模型三求解中的n.五、模型建立与求解5．1模型一的建立与求解该模型针对问题1，仅考虑管线的路线，分别找出路线在图形中的位置关系，将之简化成简单的数学模型，利用数学模型来解答所要求的问题.假设图形1中线段AE 与线段BE 的和就是我们所求管线的长.图形1中我们首先设A 到铁路的距离为AC=a,B 到铁路的距离为b.作A 点关于铁路的对称点，连接B，由对称性知道B 为最短管线，如图1中CD 长为l ，延长BD 到使得=a，连接，建立直角三角形1A 1B 1A 11A DB 11B A 11A B B 图形2中设共用管线的长度为m，若要使得总的管线建设费用为最优值（即最小值），则有、E、B 三点在一条直线上时建设管线的费用最省.图1、2中示的距离（单位：千米）1A图形1中AC、BD 都垂直于铁路CD，因为A 点与点关于CD 对称得出,根据勾股定理求解管线1A E A AE 1=1A B =,所求管线的费用为B A q s 12×=,根据平面直角坐标系建立方程，得出车站建在距离AC 的距离为alCE a b=+.把①式代入f 得到图形2中建立直角坐标系，则1(0,2)A m a −，1(,2)B l m a −，(,)B l b ， .(,E x )m 我们知道、E、B 在一条直线上，如图形2所示，根据勾股定理得1A 1AB =则所用管线的长度为f m =+.为了求得最省管线建设费用我们要使得变量m 最小.对f求导'1f =+.令'f=0,得到1(2m a b =+①1min()(2f a b =++−32即为所求管线的最小值. qⅠ.若共用管线与非共用管线费用相同，即1q q =则我们只要用最短管线乘以就是最省费用S，即min()s f q =×.根据点、1A B 求得直线方程为1A B 22b a my x lm a +−=+−. 把E 点代入方程y 得x =.所以我们应将车站设在距离C3：AE、BE 铺设非共用管线， m 段铺设共用管线.Ⅱ.若共用管线费用与非共用管线的费用不同,即21q q ≠.考虑质量等问题. 21q q 〉1）若使用共用管线，如图形2则管线建设费用最优解为21()s AE BE q mq =+×+ = 1A B 21q mq ×+= 2q ×+. ②1mq 2）若不使用共用管线，如图1，即m=0.则管线建设费用最优解为2()s AE BE q =+×2q ③因为最优方案的费用是价格和管线长度之积，所以管线最短不一定费用最省，因此对上述做了比较.当② < ③时，则我们选择1）为管线建设的最佳方案. 当② > ③时，则我们选择2）为管线建设的最佳方案.当② = ③时，原则上1）与2）都可行，但是为了建设上的方便我们最好选择不使用共用管线.5．2模型二的建立与求解针对问题2，问题中因为铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程费补偿等附加费用，我们为了减少费用，建立了最优方案，如下所示.图形3铺设在城区的管线还需考虑拆迁和工程补偿等附加费用，为了减少这项费用，同时考虑管线铺设的长度，因此假设铺设在城区的最优管线为BH.设共用管线的长度为m，图中我们作A 与点关于对称，可以得到，设HN=n (05 ) ， 图3中各字母表示的距离（单位：千米）.1A 1L 1AE A E =m ≤≤0n ≤≤8因为所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，城区管线拆迁和工程补偿等附加费用每千米k 万元，所以我们得出管线建设总费用的方程为7.2)(7.2)s m k =×+++.运用Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果： k=21时，m=5.0000 , n= 7.7681, 最小值 s= 286.9751 k=20时，m= 5.0000, n= 7.7602, 最小值 s= 281.9696 k=24时，m=5.0000 , n=7.7889, 最小值s=301.9898 k=21.6时，m=5.0000 , n= 7.7726, 最小值s= 289.9783通过对铺设管线的费用和三家工程咨询公司的资质两方面的问题的综合考虑，根据附表1中图线的走向，最后我们得出最优解决方案是：我们选择公司一进行的估算，当k=21时，铺设管线的最小费用为s=286.9751万元.根据图形2的求解可以得到车站所建设的位置距离C 点2.9496==千米处5．3模型三的建立与求解此模型针对问题3中牵涉到炼油厂输送成品油到车站的费用不同，进一步节省费用，设车站到A 炼油厂的水平距离为EF r = ，共用管线的费用为m ， （，，）通过对问题1和问题2的分析，综合问题1和问题2的解决方法得出问题3管线最佳布置方案及相应的费用.所以管线费用的方程为HN n =01r ≤≤505m ≤≤0n ≤≤85.66(621)7.2s m=+++× （，，）01r ≤≤505m ≤≤08n ≤≤通过Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果，如下： m=0.1328; r=6.7425 ; n=7.2659 最小值:s=249.4422所以管线的铺设费用s=249.4422万元.车站建设的位置距离C 点6.7425千米处.六、模型的评价6．1 模型优点1、本文的模型简单，其算法直观易于理解.2、模型中巧妙的运用直角坐标系，使模型简单化.3、该模型实用性强，对现实具有很强的指导意义.4、假设合理、分析透彻6．2模型缺点在建模与编程过程中，使用的数据有的只是一种近似值，因而得出的结果可能与实际情况有一定的差距.由于人为等因素的影响管线的铺设与模型的建立可能存在差距.七、模型的推广随着社会的经济发展，建设节约型社会是我们工作的宗旨，节约资源是我们做好每一项工程所应考虑的因素，该模型具有普遍的实用性，不仅可以应用到输油管的布置，在排除地理因素的影响下，我们只要把模型中的输油管线用其他的材料铺设，此模型还可以用于污水排放的管道、地下光缆铺设管道、建设运输天然气管道等，这样我们只需要建立一种模型就可以解决许多相似的管道铺设方面的问题.将实际生活中的复杂问题，综合利用本文中的最优方法，求的最优解，有利于资源的节省.综上所述，我们把输油管的布置合适的应用到其他方面的设计具有可行性、经济性.参考文献[1] 谭永基，蔡志杰，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005.[2] 华东师范大学数学系，数学分析，北京：高等教育出版社，2001.[3] 雷功炎，数学模型讲义，北京：北京大学出版社，2000.[4] 袁震东，洪渊，林武忠，数学建模，上海：华东师范大学出版社，2000.[5] 龚劬，图论与网络最优化算法，重庆：重庆大学出版社，2009.[6] 杨启帆等，数学模型，杭州：浙江大学出版社，1990.[7] 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003.九、附录9．1三家工程咨询公司费用图：11 12 21 2231321322 331 332333 K1(21) 249.4422 286.9751 250.9751 249.1177 280.1771 442.4364281.3307 229.1516 250.8742250.9543 K2(20) 244.3865 281.9696 245.9696 244.1177 275.1343 437.4028276.3307 224.1516 245.8742245.9543 K3(24) 264.5867 301.9898 265.9898 264.1177 295.2888 457.5247296.3307 244.1516 265.8742265.9543 K4(21.6) 252.4737 289.9783 253.9783 252.1177 283.2013 445.4554284.3307 232.1516 253.8742253.9543附表19．2运用Matlab软件编程模型二的计算如下：function f=test12(x)% kk=21;% kk=20;% kk=24;kk=21.6;f=7.2*(sqrt((x(2)+5-2*x(1))^2+15^2)+x(1))+(7.2+kk)*sqrt((8-x(2))^2+5^2) ;endA=[1 0;-1 0;0 1;0 -1];b=[8;5;8;0];lb=[5 0];ub=[8 8];x0=[5 0];[x,fval,exitflag]=fmincon(@test12,x0,A,b,[],[],lb)运行结果：k=21时：最小值点:( 5.0000 7.7681),最小值: 286.9751k=20时：最小值点:( 5.0000 7.7602),最小值: 281.9696k=24时：最小值点:( 5.0000 7.7889),最小值: 301.9898k=21.6时：最小值点:( 5.0000 7.7726),最小值: 289.97839．3运用Matlab软件编程模型二的计算如下：function f=test11(x)% kk=21;% kk=20;% kk=24;kk=21.6;f=5.6*sqrt((5-x(1))^2+x(2)^2)+6*sqrt((15-x(2))^2+(x(3)-x(1))^2)+(6+kk)*sqrt(5^2 +(8-x(3))^2)+7.2*x(1);endA=[1 0 0;-1 0 0;0 1 0;0 -1 0;0 0 1;0 0 -1];b=[5;0;15;05;8;0];lb=[0 0 0];ub=[5 15 8];x0=[0 0 0];[x,fval,exitflag]=fmincon(@test11,x0,A,b,[],[],lb)运行结果：k=21.6时：最小值点:( 0.1328 6.7425 7.2659),最小值: 249.4422k=20时：最小值点:( 0.1196 6.7607 7.2370),最小值: 244.3865k=24时：最小值点:( 0.1668 6.6953 7.3406),最小值: 264.5867k=21.6时：最小值点:( 0.1402 6.7322 7.2822),最小值: 252.473711。