变拆迁补偿输油管布置的优化模型 问题：某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
问题推广：3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
4.假如拆迁费用与距郊区的距离呈线性关系()10k x x 万元/千米，进一步考虑问题2.工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20一、 问题分析在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。
共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。
本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。
二、 模型假设与符号说明模型假设（1）两炼油厂分别为A 、B ，位于铁道线的同侧；（2）铁路是一条直线，不考虑其弯曲情况，且E 点为车站； （3）相同资质的工程咨询公司在估价中权重相等；（4） 点P 为共用管线与非共用管线的节点；共用管线费用是非共用管线费用k倍，且（12k ≤≤）（5）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。
符号说明（1） 到铁路线的垂直距离；炼油厂A a : （2） 到铁路线的垂直距离；：炼油厂B b（3） 水平距离；到城区与郊区交界线的：炼钢厂A c（4） 的水平距离；、炼油厂B A l : （5） 管线建设总费用；:ω （6） ：非共用管线的费用；0ε（7） m ：城区铺设管道时需付的拆迁附加费用。
三、 模型的建立及求解模型一：同一区域内管道铺设的最省费用假设非共用管道铺设费用为0ε，总长度为1L ；共用管道铺设费用为0k ε，总长度为2L ；铺设管道的总费用记为ω。
以铁道所在直线为x 轴，A 厂到铁路的垂线为y 轴，建立如图1所示的直角坐标系，设A （0，a ），B （,l b ），A 、B 点在x 轴上的垂足分别记为C 、D ；不妨设a b ≤。
设点P （,x y ）到x 轴的距离记为PE ，则：0102L k L ωεε=⋅+⋅即 00()PA PB k PE ωεε=⋅++⋅易得，欲使00()PA PB k PE ωεε=⋅++⋅最小，点P 一定在四边形CABD 内部（含边界），显然y 不可能大于ay a >，即P 点不会位于直线y a =上方由于000000()PA PB k PE AB k PE AB k AC ωεεεεεε=⋅++⋅≥⋅+⋅>⋅+⋅ 所以，ω取最小值时，点P 不可能在A 点上方，则有00y a ≤≤； 设点A 关于直线y y =的对称点为'A （0，02y a -），如图2所示；0000|||||'|||PA PB k PE PA PB k PE ωεεεε=⋅++⋅=⋅++⋅ 00|'|||A B k PE εε≥⋅+⋅图1即：00()y k y ωεε=⋅ (0)y a ≤≤则0k y ωε∂=∂=令0yω∂=∂002(2)k a b y εε⇒=⋅+- 2222(2)4(2)k l b y a a b y ⎡⎤⇒+-+=+-⎣⎦2222(4)(2)k l k a b y ⇒=-+-2a b y ⇒+-=2a b y +⇒=或2a b y a +=>（舍去） 又0y a ≤≤()()b a l a b ⇒-≤+ （1）当0()l b a <<-0yω∂<∂，()y ω在区间[]0,a 上单调递减， 此时，min 00()()y a k a ωωεε==⋅即点P 坐标为（0,a）时，min 00k a ωεε=⋅ （2）当()()b a l a b -≤≤+()y ω在区间0,2a b ⎡⎤+⎢⎣上单调递减，在区间2a b a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时，00min ()()(22k a b l a b y εεωω⋅++==由2a b y +=-得'A点坐标（b 0，∴直线B A '的方程为y x b =+ ①直线y y =的方程为2a b y +=- ②联立方程组①②，解得2x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即点P2a b +minω=（3）当()l a b >+0yω∂>∂，()y ω在区间[]0,a 上单调递增，此时，min 0()(0)y ωωε==易得，点'A 坐标为（0,a -），直线B A '的方程为a by x a l+=- 令0y =，得alx a b =+ 即点P 坐标为（,0ala b +）时，min 0ωε= 综上所述：当共用管线与非公用管线费用不同时，有以下三种情况：(1)当0()l b a <<-时，min 00k a ωεε=⋅，此时点P 坐标为（0,a ）；(2)当()()b a l a b -≤≤+min ω=，此时点P 坐标为（(),22a b kl a b k ++(3)当()l a b >+时，min 0ωε=，此时点P 坐标为（,0ala b+）。
特别地，当共用管线与非共用管线费用相同时，即1k =时，即有以下三种情况：(1)当0)l b a <<-时，min 0ωε⎤=⎦，此时点P 坐标为（0,a ）；(2)))b a l a b -≤≤+时，0min ()2a b εω⋅+=，此时点P 坐标为（),226a b l a b +++-）(3)当)l a b >+时，min 0ωε=此时点P 坐标为（,0ala b+）。
模型二：划分郊区和城区分析：确定了两炼油厂的具体位置，分别在郊区和城区，由于铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，应对附加费用进行估计。
由题目得三家工程咨询公司的估算结果如表所示：因公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质，则附加费用应按权估计321m m m m γβα++=根据各公司的资质不同取权重： %50=α%25%25==γβ代入得拆迁的附加费用m =21.5（万元/千米）对于郊区，可以利用模型一的结论。
将Ⅰ和Ⅱ区的管线费用类比为两个介质不同的区域 则有：令0=∂∂xω0=∂∂y ω 即0=0y y y y εε--+=等价于：1212121sin 1sin αεεαεε== 命题成立（一）当点P 在Ⅰ区时，由模型一得出，当共用管线与非共用管线费用相同时，即1k =，有以下三种情况：设点()z c F ,为城区与郊区输油管线的转折点,则有：(1)当)(30a z c -<<时，即)13(5+>z 。
因80≤≤z ，所以在此范围内不成立。
(2)当)(3)(3a z c a z +≤≤-时，即()135)13(5+≤≤-z ，符合条件，则：()2222220201)()()()(,y y x x y y x x y x -+-+-+-=εεω()0000()()222a z z m m d dz εωεεεω⨯+=+++=+令0=dzd ω02ε=得()()0022()/m b z z b l c εεεε⇒=⇒⋅+-=⇒=--代入数值⎪⎩⎪⎨⎧======)(20,15,8,5/5.21/2.70单位：千米千米万元千米万元l c b a m ε即可解得 7.353z = min 282.6873ω=（万元） (3)当)5(3+>z c 时，即)13(5-<z ，则：。
()()()()()()()()()()()2202202202202222z b c l z b m z a c z a dzd z b c l m z a c z -+--⨯+++++⨯=-+-++++=εεωεεω 0=dzd ω令0a z m b z ++-=(()(00a z m b z εε⇒+=+-()()()()()()222222200a z l c b z m b z c a z εε⎡⎤⎡⎤⇒+-+-=+-++⎣⎦⎣⎦()()()()()2242322222200000241z a b z l c a ab b m c z εεεεε⎡⎤⇒+-+-+-+-++⎣⎦()()()()2222000222a l c ab b a m c b a z εεε⎡⎤+-+-++-⎣⎦()()()222222200()a l c ab m b c a εε+-+-+-=0即得一元四次方程 0234=++++E Dz Cz Bz Az ，其中 ()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-+-=-++-+-=-+-+-+-=-==22220222022020202022202202020)(222142a c b m ab c l a E a b c m a b ab c l a D c m b ab a c l C b a B A εεεεεεεεεε代入数值 ⎪⎩⎪⎨⎧======)(20,15,8,5/5.21/2.70单位：千米千米万元千米万元l c b a m ε解以上常系数一元四次方程得：()千米660254.3=z （万元）7212.314min =ω通过对上述三种情况的分析，最优输油管道路线的设计应为（2），即6973.282min =ω（万元），如图5，36827.7=z（二）若P 点在Ⅱ区（城区），建立坐标系，则节P 点）（00,y x 位置如图6所示：已知各点坐标为、）、，（、、)0,20(00)8,20()5,0(D C B A 又设),15()0,(0z F x E 、 同理得出费用最省时，总费用5973.384min =ω万元，此时点P 的坐标为（0，15），点F 为（15，0）.综合P 点在Ⅰ区和Ⅱ区两种情况，在第一种情况下管线费用最省,即节点P 在Ⅰ区，最优路线（见图5）为：共用路线为 PE ，由P 点到A 为A 厂的单独管道路线，由P 点经F 到B 为B 厂的单独管道路线。
