输油管的布置最优化模型

输油管的布置最优化模型
一、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。

在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。

两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为5;8;15;20
====。

a b c l
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。

铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。

估算结果如下表所示：
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。

这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。

请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、模型假设
1）假设地势平坦，每段管线都是直的;
2）假设只考虑管线铺设费用；
3）假设铁路线近似为一条直线；。

4）假设b a
三、符号说明
、：分别代表两家炼油厂；
A B
a：炼油厂A到铁路线的距离；
b：炼油厂B到铁路线的距离；
C：炼油厂A与铁路线的垂足；
D：炼油厂B与铁路线的垂足；
l：两垂足C和D之间的距离；
P：两家炼油厂成品油的集运点；
H：成品油的集运点与铁路线的垂足；
k：非共用管线费用是共用管线费用的倍数；
y：成品油的集运点到铁路线的距离；
w：管线的长度；
Q：输油管线与城区和郊区分界线的交点；
z：输油管线与城区和郊区分界线的交点到铁路线的距离；
W：总费用；
p:单位长度管线铺设费用；
q：城区附加费用；
(,)
x y：点P的坐标；
(,)
c z：点Q的坐标。

四、问题分析（问题一）
根据题意可以知道，P到铁路线的一段共用管线肯定与铁路线垂直，根据镜像原理也可以知道AP与BP两部分管线关于该条垂线对称。

（一）考虑共用管线和非公用管线费用相同时，问题就是纯几何问题，意在求到两定点和一直线距离之和最短的点，可以利用Fermat点（中文意思是费马点，在最后的备注中会加以说明）的性质去解决问题。

所以我们从A B
、两点分别向铁路线引倾角为30 的直线，其交点就是所求的P（注：本次利用的是Fermat点的第二个性质）（如图1）。

L
（图1）
但是，从作图过程可以看到，可能会出现两种例外情况：
(1)
当
b a
l
-
>
时，A点将位于B点所引直线下方或在B点所引直线上，
A点便是Fermat点，所以最佳方案就是把车站建在C点，将管线直接铺设在AB 和AC连线上（如图2）。

L
（图2）
(2)
当a b l
+<
时，所引直线将交于铁路线下方。

最佳方案便是利用镜像原理以及两定点之间的所有连线之中直线上的点到两定点距离之和最短的院里将管线交汇点放在铁路线上，可以确定P 点的位置（如图3）。

（图3）
（二）
考虑共用管线和非共用管线费用不同时，纯几何的方法已经不再适用，但上述所说的对称性和垂直性依然不变，所以可以利用解析几何的方法建模解决该类问题。

五、模型建立与求解（问题一）
（如图4）根据上述分析可知PA 加PB 的值可以用y 的函数来表示为
则该问题的数学模型可以表示为
,(0)
w ky y a =+≤≤
（图4）
根据k 的取值不同，可以分为以下两种情况：
（一）当1k =时，即共用管线与非共用管线费用相同且0y a ≤≤时。

根据几何方法列式
a y
b y l -+-=
可以求得
1()
23y a b =+-
利用直线AP 的方程
3y x a =-
+
可以求得
)12x l a b ⎡
⎤=
-⎣⎦ 则此时
1
()2w a b =
+
但还有两种例外情况
（1
）当1()02a b +<时，这时应取0y =。

则利用直线'A B 的方程
a b
y x a l +=
- 可以求得相应的
al x a b =
+
则此时
w =
（2）当1()2a b a
+>时，这时应取y a =。

则相应的
0x =
此时
w a
=
（二）当12k <<时，即共用管线与非共用管线费用不同时。

利用对函数
,(0)
w ky y a =≤≤
求极值的方法可以求得
1()
2y a b =+
1())
2x l b a k =--
1
(())2w a b k l =
++
同时也有两种例外情况
（1）当1()0
2a b +<时，取0y =。

相应的
al
x a b =
+
此时
w =
（2）当1()2a b a
+>时，取y a =。

相应的
0x =
此时
w ka
=
六、 问题分析（问题二）
（1）首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用，然后根据三家咨询公司的
资质，对他们的结果进行筛选，在此我们选择公司一；
（2）由于城区管线铺设的费用大大高于郊区，因此不用考虑将共用管线建在城区，只需将共用管线建在郊区。

七、模型建立与求解（问题二）
结合问题一和图5可以求得总费用为
()(
2
p
W a z c p q
=++++
（图5）
对上式进行求导得
'1
W=
令导数等于零，则求得
z b
=
min
())
W a
b c l c
=+++-
此时点Q的坐标为
(,
Q c
b
，
则点P的坐标为
11
((),())
223
P c z a a z
-+-
代入数据
5;8;15;20;7.2;21
a b c l p q
======
可得出
(8,6.22259)
Q，(6.888705,1.281168)
P，
min
179.892072()
W=万元
八、问题分析（问题三）
由于每段的费用都不相同，则前面的对称性、镜像原理在这里都不能使用了，因此我们就把每段费用分别表示出来然后求和。

九、模型建立与求解（问题三）
3(,,)
F x y z AP PQ PH QB
p p p y p =+++=∙+其中只有;;x y z 三个变量，其余的均为已知，因此我们可以用多元函数的微分来求极值：
F x
∂=∂
3
F k y ∂=∂
F z ∂=∂
然后令0
F F F x y z ∂∂∂===∂∂∂，求函数的驻点，将求出的驻点分别带入函数表达
式，找出函数值最小的那个驻点这个问题就可以解决了。

十、附录
讨论、提出假设与建立模型：李苗、渠庆国、秦启辉；求解：李苗、渠庆国；排版、编辑：渠庆国、秦启辉。

费马点定义（在网上查的）：
在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120
的三角形，分别以 AB ,BC ,CA ，为边，向三角形外侧做正三角形1ABC ,1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120
,则此钝角的顶点就是所求. (3)当△ABC 为等边三角形时,此时外心与费马点重合。