信号与系统第四章-第一节课

如果{i (t)}(i 1, 2, , n) 是一个完备正交函数集，则用上式求得 Ci 后，
有 2 ＝0
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刘安安
第四章 连续系统的频域分析
二、用完备正交函数集表示周期信号——傅立叶级数
周期信号f(t)可以表示为： f (t) f (t mT ), t (, )
其中，m为任意整数，T为重复周期，简称周期，F＝1/T称为重复频率，
构成的正交函数集不一定完备），可以表示为：
f (t) C11(t) C22 (t) Cnn (t) ，不完备正交函数集
n
C j j (t) ，完备正交函数集 j 1
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第四章 连续系统的频域分析
2.信号正交分解系数求解：
选择系数 C1, C2 , , Cn 达到最佳近似的准则——误差的方均值（方均误
1 t1
t2 t1
f
2
t
2
f
t
n
C j j
j 1
t
n
C j j
j 1
t
2
dt
0
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第四章 连续系统的频域分析
交换求偏导与积分的次序，并考虑到不包含 Ci 的各项对Ci 求偏导，
其导数为零，以及序号不同的正交函数相乘后，各项的积分为零。得到：
2 1
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第四章 连续系统的频域分析
②复指数函数集 {e jnt }(n 0, 1, 2, ) 在区间 (t0 ,t0 T ) 内构成
完备正交函数集。
这是因为该函数集满足复函数正交条件：
t0 T e jmt e jnt dt t0
t0 T t0
e
jmnt dt
0, m T, m
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第四章 连续系统的频域分析
3、完备正交函数集
如果正交函数集 {1 (t),2 (t), ,n (t)} 之外，不存在一个函数g(t)与 i (t)(i 1, 2, , n) 正交，则称{i (t)}(i 1, 2, , n) 为完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例
①三角函数集{1,cos1t,sin1t,cos 2,t,sin 2t, ,cos nt,sin nt,
t0T f t dt＝有限值，即满足绝对可 t0
积条件
我们遇到的周期 信号均满足该条 件，即物理可实 现的信号
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第四章 连续系统的频域分析
2.三角傅立叶级数第一种形式：
➢ 三角函数集 {1,cos1t,sin1t,cos 2,t,sin 2t, ,cos nt,sin nt, } 在区间
简称频率，Ω＝2π/T＝2πF为角频率。
一）用三角函数集表示周期信号——三角傅立叶级数 任意一个函数f(t)只有用一个完备的正交函数集表示它，才不致产生误
差。
1.周期信号做傅立叶级数展开条件：只有当周期信号满足狄利赫利条件时 才能展开为傅立叶级数。
狄利赫利（Dirichlet）条件 （P120下）
函数在任意有限区间内连续 如果有第一类间断点，则数目有限 极大值与极小值数目有限
（第一堂第1节）
第四章 连续系统的频域分析
时域分解
信号分解 （时域信号）
频域分解
冲激信号的线性叠加 阶跃信号的线性叠加 正弦信号的线性组合 虚指数信号的线性组合
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一、信号分解为正交函数集(本章后续课程的数学基础)
一）完备正交函数集
1、正交函数
➢ 实函数正交：设1(t) 和 2 (t) 为定义在区间 (t1, t2 )内的两个t的实函
➢ 复正交函数集：如果n个t的复函数{i (t)}(i 1, 2, , n) 在区间(t1, t2 )内满 足复函数正交条件，即
t2 t1
i
t
* j
t
dt
0,i j
Ki
,
i
j
则称此复函数集为区间 (t1 ,
t2
)内的复正交函数集。其中
* j
(t
)
为
j (t)
的共轭复函数。
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(t0 , t0
T )（其中 T
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）组成完备正交函数集。
这是因为该函数集满足实函数正交条件：
0, m n
t0 T
cos
mt
cos
ntdt
T
,
m
n
0
t0
2
T , m n 0
0, m n
t0 T t0
sin
mt
sin
ntdt
T 2
,
m
n
0
} 在区间
n t0T sin mt cos ntdt 0 ,任意 m 和 t0
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2、正交函数集
➢ 实正交函数集：如果n个t的实函数{i (t)}(i 1, 2, 足实函数正交条件，即
, n) 在区间(t1, t2 ) 内满
t2 t1
i
t
j
t
dt
0,i j
Ki
,
i
j,
Ki为正数
则称此实函数集为区间(t1, t2 )内的实正交函数集。
Ci t2 t1
t2 t1
Ci
2
f
t
n
C j j
j 1
t
Ci
Cii
t
2
dt
0
即
t2 t1
2
f
t i
t
2Cii2
t
dt
0
所以，满足最小方均误差最小的各系数 Ci 的表达式为：
Ci
t2 t1
f t i t dt
t2 2
t1 i
t
dt
1 Ki
t2 t1
f ti tdt
由此就可以求出信号f(t)在各正交函数中的分量 C1, C2 , , Cn 。
n n
③其他正交函数集：沃尔什（Walsh）函数集
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二）信号的正交分解 1.信号正交分解的表示：
设n个函数1(t),2 (t), ,n (t) 在区间(t1, t2 ) 内构成一个正交函数集。
将任意函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似（因为由这n个函数
数，如果
t2 t1
1
t
2
t
dt
0
——
实函数正交条件
则称1(t) 和 2 (t) 在区间 (t1, t2 ) 内正交。
➢ 复函数正交：设1(t) 和 2 (t) 为定义在区间 (t1, t2 ) 内的两个复函数，
如果
t2 t1
1
t
2*
t
dt
t2 t1
1*
t
2
t
dt
0
——复函数正交条件
则称1(t) 和 2 (t) 在区间 (t1, t2 ) 内正交。
差，记作 2 (C1,C2, ,Cn ) ，简记作 2 ）最小化：
2
1
2 t2 t1
t2
f
t1
t
n
C j j
j 1
t
dt
为求出使得方均误差最小的系数 Ci ，令
2
Ci
Ci
1
t2
t1
t2 t1
f
t
n
C j j
j 1
t 2
dt
0
即
2
Ci
Ci
t2