上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。
2020-2021学年上海市实验学校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. “两条直线的斜率乘积为−1”是“两条直线互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知点M(a,b)在圆O ：x 2+y 2=1外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定3. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A. ①B. ②C. ①②D. ①②③4. 己知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是平面内的三个单位向量，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +2c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为( )A. √29−3√2B. √29C. √29−2√3D. 5二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）5. 过点(2,−1)且法向量为(2,−1)的直线方程是 ．6. 设向量a ⃗ =(3,0)，b ⃗ =(2,6)，则b ⃗ 在a⃗ 上的投影为______． 7. 已知点A(−2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6，则动点P 的轨迹方程是______．8. 直线2x −y +2=0与4x +2y −3=0的夹角是______．9. 已知方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆的充要条件是______．10. 圆心在直线y =−x +1上，且与直线x +y −2=0相切于点(1,1)的圆的方程是______．11. 已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．12. 已知直线l ：x −y −1=0，l 1：2x −y −2=0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程为______．13. 在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点F 为△ADC 内(包括边界)任意一点，若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−2μ的取值范围为______．14. 若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a +b +3|=|5a −3b +3|=t√a 2+b 2，则实数t 的所有可能的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 15. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=1，且向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线．(1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，求(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )；(2)若向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．16. 已知△ABC 的顶点A(2,1)，AB 边上的中线所在直线的方程为2x +3y −1=0，∠B 的平分线所在直线的方程为x −2y +5=0． (1)求B 点坐标；(2)求BC 边所在的直线方程．17. 在△ABC 中，AC =2，BC =6，∠ACB =60°，点O 为△ABC 所在平面上一点，满足OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R 且m +n ≠1)． (1)证明：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nm+n−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若点O 为△ABC 的重心，求m 、n 的值； (3)若点O 为△ABC 的外心，求m 、n 的值．18. (1)已知直线l 过点P(−3,4)，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；(2)已知直线l 过点P(3,2)且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求△ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；(3)已知直线l 经过点P(2,−2)，且与第一象限的平分线y =x(x ≥0)，y 轴(原点除外)分别交于A ，B 两点，直线l ，射线y =x(x ≥0)，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．19.已知曲线C：y=ax2，直线l1、l2都过点(1,−2)且互相垂直，若曲线C与直线l1、l2中的至少一条相交，求a的取值范围．20.设0<a<b，过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹．答案和解析1.【答案】A【解析】解：“两条直线的斜率乘积为−1”⇒“两条直线互相垂直”，反之不成立，例如：一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在．∴“两条直线的斜率乘积为−1”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．由“两条直线的斜率乘积为−1”可得：“两条直线互相垂直”，反之不成立，可举例说明．本题考查了两条直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，∴a2+b2>1．<1．∴圆O：x2+y2=1的圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=√a2+b2则直线ax+by=1与圆O的位置关系是相交．故选：A．由点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，得a2+b2>1，求得圆O的圆心到直线ax+by=1<1.则答案可求．的距离d=√a2+b2本题考查点与圆、直线与圆位置关系的应用，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了曲线与方程，属于拔高题．将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，∴y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，所以由△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2√33]，所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确；当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，(当x=y时取等)，∴x2+y2≤2，∴√x2+y2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2，故②正确；在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故③错误，故选C．4.【答案】B【解析】解：根据题意设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗对应的点C在单位圆上，(a⃗+2c⃗ )2−(2a⃗+c⃗ )2=3c⃗2−3a⃗2=0，所以|a⃗+2c⃗|=|2a⃗+c⃗|，|2a⃗+c⃗|+|3a⃗+2b⃗ −c⃗|表示C点到点(−2,0)和(3,2)的距离之和，过点(−2,0)和(3,2)的直线为2x−5y+4=0，原点到直线2x−5y+4=0的距离为√22+(−5)2=√29<1，所以与单位圆相交，所以|2a ⃗ +c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为点(−2,0)和(3,2)之间的距离，为√29， 即|a ⃗ +2c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为√29． 故选：B ．把a ⃗ ，b ⃗ 当成平面直角坐标系的基向量，由|a ⃗ +2c ⃗ |=2|12a ⃗ +c ⃗ |，根据阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为|a⃗ +2c ⃗ |=|2a ⃗ +c ⃗ |. 本题考查平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．5.【答案】2x −y −5=0【解析】 【分析】先求出直线的方向向量，可得直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 本题主要考查直线的法向量和方向向量，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 【解答】解：过点(2,−1)且法向量为(2,−1)的直线的方向向量为(1,2)，故直线的斜率为21=2，故直线的方程为y +1=2(x −2)，即2x −y −5=0， 故答案为：2x −y −5=0．6.【答案】2【解析】解：因为向量b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为：a ⃗ ⋅b ⃗|a|⃗⃗⃗⃗ =√32+0=2， 故答案为：2．根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．7.【答案】y 2=x【解析】解：由题意得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,−y)， 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6，所以(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x 2−6，可得y 2=x ． 故点P 的轨迹方程为y 2=x ． 故答案为：y 2=x ．先由两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，表示出本题中PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；利用斜率的数量积公式转化求解点P 的轨迹方程．本题考查两点确定向量坐标公式及两向量数量积公式的应用，轨迹方程的求法，是基础题．8.【答案】arctan 43【解析】解：直线2x −y +2=0的斜率为2，直线4x +2y −3=0的斜率为−2， 设它们的夹角为θ，则tanθ=|−2−21+2×(−2)|=43，故它们的夹角为arctan 43， 故答案为：arctan 43．先求出直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式，反三角函数，求得结果．本题主要考查直线的斜率，两条直线的夹角公式的应用，反三角函数的应用，属于中档题．9.【答案】A =0且D 2+E 2−4F >0【解析】解：方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆，则A =0，配方可得：(x +D2)2+(y +E2)2=D 2+E 2−4F4>0，∴方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆的充要条件是A =0，D 2+E 2−4F >0，故答案为：A =0，D 2+E 2−4F >0．方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆，必需A =0，配方可得：(x +D2)2+(y +E2)2=D 2+E 2−4F4>0，进而得出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、圆的一般方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】(x −12)2+(y −12)2=12【解析】解：设圆心坐标为O(a,b)． ∵圆心在直线y =−x +1上， ∴b =−a +1．又∵直线l ：x +y −2=0相切于点P(1,1)． 则OP ⊥l ． ∴k OP =1−a 1+a−1=1．解得，a =12． ∴b =−a +1=12．∴圆心O(12,12). 圆的半径r =|OP|=√(1−12)2+(1−12)2=√22． ∴圆的方程为：(x −12)2+(y −12)2=12． 故答案是：(x −12)2+(y −12)2=12．设圆心坐标为O(a,b).则b =−a +1.根据直线l ：x +y −2=0相切于点P(1,1).则OP ⊥l.可解得圆心坐标．利用两点的距离公式求出r =|OP|.从而得到圆的方程． 本题考查直线与圆相切的性质以及两点距离公式的运用．属于中档题．11.【答案】(−∞,−4]∪[34,+∞)【解析】解：如图， k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为(−∞,−4]∪[34,+∞)． 故答案为：(−∞,−4]∪[34,+∞)．由题意画出图形，求出PA 和PB 的斜率，数形结合得答案．本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.【答案】x −2y −1=0【解析】解：联立{x −y −1=02x −y −2=0解得{x =1y =0，所以三条直线的交点为(1,0) 在l 1上取点(2,2)，依题意该点关于l 的对称点(3,1)在l 2上 由两点式得l 2的方程为y−01−0=x−13−1，化简得x −2y −1=0 故答案为：x −2y −1=0．先解方程组得l 与l 1的交点(1,0)也在l 2上，然后在l 1上去一点(2,2)，则该点关于l 的对称点(3,1)也在l 2上，用两点式即可求得l 2的方程． 本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题．13.【答案】[−8,−1]【解析】解：如图所示：记ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μED ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2μEG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是由“等系数和线”知识可得： 当F 点位于直线BG 上时，λ−2μ=1；当F 位于点A 时，λ−2μ取得最大值−1，此时EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +0⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ=−1,μ=0； 当F 为点C 时，λ−2μ取得最小值−8，此时EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(−EB⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ=−2，μ=3； 综上可得：λ−2μ的取值范围为[−8,−1]， 故答案为：[−8,−1]．利用数形结合以及等系数和线知识，即可求解．本题考查了平面向量基本定理知识，涉及到数形结合思想，属于中档题．14.【答案】52，11√5353，115【解析】解：由已知可得t >0，整理可得t =√a 2+b 2=√a 2+b 2，看成恰有三条直线满足A(2,1)，b(5,−3)到直线ax +by +3=0(不过原点)的距离相等， 由|AB|=√(2−5)2+(1−(−3))2=5，(1)当t =12|AB|=52，此时，可得符合题意的直线l 为AB 的垂直平分线6x −8y −29=0， 以及直线AB 平行的两条直线8x +6y +3=0和8x +6y −47=0；(2)当t <12|AB|=52，有4条直线l 会使A ，B 到它们的距离相等，注意到l 不过原点， 所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去，设A 到直线l 的距离为d ， ①作为增根被舍去的直线l ，过原点和AB 的中点(72,−1)，其方程为2x +7y =0，此时t =d =√53<52，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为方向向量，其方程为4x +3y =0，此时t =d =115<52，符合；综上可得，满足题意的t 为52，11√5353，115． 故答案为：52，11√5353，115． 化简得到t =√a 2+b 2=√a 2+b 2，看成恰有三条直线满足A(2,1)，b(5,−3)到直线ax +by +3=0(不过原点)的距离相等，再对t 讨论，可得所求值．本题考查点到直线的距离公式的运用，以及方程组解的个数问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos45°=1×1×√22=√22． ∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=2+√22−1=1+√22．(2)∵向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，∴(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )<0，且不能反向共线，故k ≠0，∴k 2a ⃗ 2−b ⃗ 2=k 2−1<0，解得−1<k <1．∴实数k 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．【解析】(1)由a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，可得a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos45°.展开(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2，代入即可得出．(2)由向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )<0，且不能反向共线，即可得出．本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)设B(m,n)，由题意可知，B(m,n)在∠B 的平分线x −2y +5=0上， ∴m −2n +5=0①， 从而AB 的中点(1+12m,1+n 2)，因为AB 边上的中线所在直线的方程为2x +3y −1=0， 所以2+m +3+3n 2−1=0②，①②联立可得，n =57，m =−257 ∴B(−257,57)，(2)设A 关于x −2y +5=0对称的点D(x,y)，则{y−1x−2=−2x+22−2×y+12+5=0，解可得，x =0，y =5， 由题意可得D(0,5)在BC 上， ∴BC 边所在的直线斜率k =5−57257=65， 故BC 所在的直线方程为y =65x +5即6x −5y +25=0．【解析】(1)设B(m,n)，由题意可知，B(m,n)在∠B 的平分线x −2y +5=0上，AB 的中点(1+12m,1+n 2)在AB 边上的中线上，从而可求．(2)设A 关于x −2y +5=0对称的点D(x,y)，由题意可得D 在BC 上，根据对称性可求D ，进而可求．本题主要考查了直线方程的求解，直线对称性的应用，属于中档试题．17.【答案】解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nn+m−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2)点O 为△ABC 的重心， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴m =−1，n =−1； (3)点O 为△ABC 的外心，∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6， ∵CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m m+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n n+m−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m m+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n n+m−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2m −3n =3m +2n =−1，∴{m =37n =−57．【解析】(1)由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理即可求解； (2)由三角形重心性质可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，代入即可求解； (3)由O 为△ABC 的外心，可求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6，然后根据已知分别求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量的基本定理即可求出m ，n ．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)由题意显然直线的斜率存在求不为0，设直线l 的方程为y =kx +b ， 由直线过P 点(−3,4)，所以4=−3k +b ，所以b =3k +4，所以直线在x 轴的截距−bk =−3−4k ， 在y 轴的截距为b =3k +4，由题意可得3k +4−3−4k =12，整理可得：3k 2−11k −4=0，解得：k =−13或k =4，所以直线l的方程为：y=−13x+3或y=4x+16，即x+3y−9=0或4x−y+16=0；(2)直线l过点P(3,2)且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，设直线方程为y=kx+b，k<0，过P(3,2)，所以2=3k+b，所以b=2−3k，可得在x轴的截距为：−bk =3−2k，在y轴的截距为b=2−3k，所以S△OAB=12(2−3k)⋅(3−2k)=12[12+(−9k)+(−4k)]，因为−9k>0，−4k>0，所以12⋅[12+(−9k)+(−4k)]≥12⋅(12+2√(−9k)⋅(−4k))=12，当且仅当−9k=−4k，k<0即k=−23，b=2−3k=4，所以△ABO面积最小值为12，此时直线的方程为y=−23x+4即2x+3y−12=0；(3)符合要求的直线共有1条；理由如下：设直线AB的方程为：y=kx+b，k>0且b<−4，由过P(2,−2)，所以可得−2=2k+b，即b=−2−2k，所以在y轴的截距为b=−2−2k<−4，即k>1，与直线y=x的交点为x=y=b1−k，所以可得S△OAB=12⋅|x A|⋅|x B|=12⋅b1−k⋅(2+2k)=12⋅(−2+2k1−k)⋅(2+2k)=−2(1+k)21−k，由题意可得−2(1+k)21−k=12解得k=2−√11(舍去)或k=2+√11．∴符合要求的直线共有1条．【解析】(1)设直线l的方程为y=kx+b(k、b≠0)，根据截距之和为12，即可直线方程．(2)利用基本不等式求△ABO面积最小值，可得k的值，从而求解直线l的一般式方程；(3)根据直线l经过点P(2,−2)，且与第一象限的平分线y=x(x≥0)，y轴(原点除外)分别交于A，B两点，可设直线AB的方程为：y=kx+b，k>0且b<−4，根据射线y= x(x≥0)，y轴围成的三角形OAB的面积为12，即可求解k的值，从而可判断条数．本题考查了直线方程的求法，截距问题，面积的最小值问题，基本不等式的应用，属于中档题．19.【答案】解：由题意，可得a ≠0，若a <0，可得曲线C 为开口向下的抛物线，而(1,−2)为第四象限的点， 可得曲线C 与直线l 1、l 2中的至少一条相交； 若a >0，先考虑抛物线与直线l 1，l 2都没有交点．则可设l 1的斜率存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为−1k ， 则l 1的方程为y +2=k(x −1)，l 2的方程为y +2=−1k (x −1)， 由{y =ax 2y +2=k(x −1)可得ax 2−kx +k +2=0， 由l 1与y =ax 2的图象没有交点，则△1=k 2−4a(k +2)<0，①同理可得，由l 2与y =ax 2的图象没有交点，则△2=(−1k )2−4a(−1k +2)<0，② 由①得2a −2√a 2+2a <k <2a +2√a 2+2a ， 由②得k <a−√a2+2a4a或k >a+√a2+2a4a，若①②无解，可得2a −2√a 2+2a ≥a−√a 2+2a4a且2a +2√a 2+2a ≤a+√a2+2a4a，解得0<a ≤18，所以①②有解等价为a >18，所以曲线C 与直线l 1、l 2中的至少一条相交，则a 的取值范围是(0,18]. 综上可得，a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,18].【解析】首先确定a ≠0，判断a <0满足题意，考虑a >0，首先求抛物线与直线l 1，l 2都没有交点，设出直线方程，联立抛物线的方程，由判别式小于0，解a 的不等式组可得a 的范围．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用判别式法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：设l ：y =k 1(x −a)，m ：y =k 2(x −b)，于是l 、m 可写为(k 1x −y −k 1a)(k 2x −y −k 2b)=0．∴交点满足{y 2=x(k 1x −y −k 1a)(k 2x −y −k 2b)=0若四个交点共圆，则此圆可写为(k1x−y−k1a)(k2x−y−k2b)+λ(y2−x)=0．此方程中xy项必为0，故得k1=−k2，设k1=−k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k(x−a)与y=−k(x−b)．消去k，得2x−(a+b)=0，(y≠0)即为所求轨迹方程．【解析】设出l、m的方程，进而可表示圆的方程，利用圆方程的特点，确定l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．本题考查轨迹方程，考查圆的方程，利用圆系是解题的关键．。
复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为____________.【答案】3(1)0x y --+=【解析】【分析】先求直线的方向向量，进而可得法向量，即可得解.【详解】因为直线l 过点()()1,0,2,3A B ，且()1,3AB =，所以直线l 的一个法向量为()3,1n =-，所以该直线的点法向式方程为3(1)0x y --+=.故答案为：3(1)0x y --+=.2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t =_____________． 【答案】45【解析】【分析】根据代数余子式的定义可得，元素6的代数余子式为1228(1)2729t t +-⋅=-+，代值即可得解. 【详解】根据代数余子式的定义可知：元素6在第一行，第二列，所以元素6的代数余子式为1228(1)9t+-⋅， 而1228(1)272189t t+-⋅=-+=-， 所以45t =，故答案：45.3. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.【答案】【解析】【分析】 由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解.【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>，所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上），该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠， 当0x =时，y =±，所以ABC面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解. 4. 直线10210111xy =的倾斜角是____________. 【答案】34π 【解析】【分析】 根据1211021201121111x y y x x y =+=+-=，求得1k =-，即可得解. 【详解】由121102*********x y y x x y =+=+-，可得20x y +-=，故斜率为1k =-， 所以倾斜角为34π， 故答案为：34π. 5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是____________．【答案】8【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为4y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数4z x y =+可化为4y x z =-，上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以max 544833z =⨯+=. 故答案为：8.6. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____ 【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题意，点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，即(12)(13)0m m -+⋅+≤，求解即可.【详解】若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，则有(12)(13)0m m -+⋅+≤， 解得：1132x -≤≤， 所以m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为：11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为__________ 【答案】(4,7)(7,10)【解析】【分析】 根据题意,结合椭圆的标准方程可得:40100410k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,进而求得k 的取值范围. 【详解】根据题意可得方程221410x y k k+=--表示椭圆的方程 ∴ 40100410k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得:410k <<且7k ≠∴实数k 的取值范围是(4,7)(7,10).故答案为:(4,7)(7,10).【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程. 注意当a b =时22221x y a b+=表示的是圆的方程,属于基础题. 8. 已知△ABC的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x 上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为_______.【答案】()231,1y x x =-≠【解析】【分析】 设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，由重心的性质可得333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程化简即可得解.【详解】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠， 则有363333x x x y y -''++⎧==⎪⎨='⎪⎪⎪⎩，即333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，所以1x ≠， 因为点C 在曲线2y x 上，所以有()2333y x =-，即()231,1y x x =-≠，故答案为：()231,1y x x =-≠.9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值是__________. 【答案】112【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，设25z x y =+-，结合图象求得目标函数的最值，进而求得25x y +-的最大值，得到答案. 【详解】由不等式11y x ≥--，当1≥x 时，可得2y x ≥-，当1x <时，可得y x ≥-， 由不等式1y x ≤-+，当0x ≥时，可得1y x ≥-+，当0x <时，可得1y x ≥+，画出不等式组2,1,11,01,0y x xy x xy x xy x x≥-≥⎧⎪≥-<⎪⎨≥-+≥⎪⎪≥+<⎩，所以表示的平面区域，如图所示，可得3111 (,),(,) 2222A B--，设25z x y=+-，可化为25y x z=-+-，当直线25y x z=-+-过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，最小值为min31525222z=⨯--=-；当直线25y x z=-+-过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值，最大值为max11112()5222z=⨯-+-=-，所以25x y+-的最大值是112.故答案为：112.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by=+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by=+转化为直线的斜截式：a zy xb b=-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b=-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bzx a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.．10. 已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的半焦距为c，且3=c b，若椭圆E经过,A B两点，且AB是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ②-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由=c 可得22223a b c b -==，即2214b a =， 又AB 的中点M (2,1)-， 所以2212122121()11(2)()42AB y y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+， 即240x y -+=.故答案为：240x y -+=【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率. 11. 设,x y 满足22220x y x y +--=的取值范围为_______. 【答案】[0,1]【解析】【分析】由题意，得到22(||1)(||1)2x y -+-=表示点(,)x y与点()52,12M ----连线的斜率，结合图像，即可得出结果. 【详解】由22220x y x y +--=可得 22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程对应的图象，+1+25+2x +表示点(,)x y 与点(52,12M --连线的斜率， 由图像可得，直线4y x =+与圆22(1)(1)2x y ++-=显然相切，且4y x =+过点(52,12M --，+1+215+2x ≤+； 直线12y =--22(1)(1)2x y +++=相切，且12y =--(52,12M --，所以+1+205+2x ≥+， +1+25+2x +的取值范围为[0,1]. 故答案为：[0,1].【点睛】思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c 倍； 2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）2222Ax By Cz Ax By C A B A B ++=++=+⋅+表示的是可行域内的点(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的22A B +倍.12. 已知在面积为2的△ABC 中， O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点，点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是__________.【答案】(),2222,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ 【解析】【分析】建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用平面向量数量积运算的运算律及坐标表示即可得22AC t s t BP OB s ⎛⎫=-+ ⎪⋅+⎝⎭，结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】如图建系，设()(),0,,0A m B m -，(),,0C s t s ≠，因为△ABC 面积为2，所以1222m t ⋅⋅=即2mt =，因为E 、F 分别是三条边AC 、BC 的中点，点P 在直线EF 上，所以设点,2t P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为90COP ∠=︒，所以202t OP OC sx ⋅=+=即22t x s =-，所以2,22t t P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2,22t t CP s s⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()22AC BP OB BO AO OC OB OP =+++⋅⋅+ ()22OB AO OP OC BO OB OP A O O AO CP C =-+⋅+⋅=⋅+=-⋅ 2t t s ms s t s ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以由对勾函数的性质可得2AC BP OB ⋅+的取值范围是(),22,⎡-∞-+∞⎣. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，再结合平面向量运算的坐标表示及基本不等式即可得解.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由1l 和2l 垂直可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解得1m =±，即可得解.【详解】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件.故选：A. 14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ ）. A. 2πB. πC. 2D. 1 【答案】B【解析】【分析】由椭圆的方程，结合椭圆的面积公式求出n S ，再利用数列极限的性质求解即可.【详解】由221111122x y n n+=+-可得，a b == 所以n C的面积n ab S π==lim =lim n n n S ππ→+∞→+∞==， 故选：B.15. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】按照0k =、0k ≠分类，求出截距后列方程即可得解. 【详解】当0k =时，直线:10l y -=，不合题意； 当0k ≠时，若0x =，则21y k =+，若0y =，则12x k=+， 所以111121244422AOB S k k kk△，所以1448k k或1448k k， 解得12k =或3222k 或3222k；所以满足要求的直线l 的条数是3. 故选：C.16. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ ）.A. 相切B. 相离C. 相交D. 不能确定【答案】A 【解析】 【分析】将0OC aOA bOB ++=，移项平方化简，可得221a b +=，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.【详解】由0OC aOA bOB ++=得，22()()1aOA bOB OC +=-=，22222()12a OA b OB abOA OB OC ⋅=++-=因为0OA OB ⋅=，1OA OB ==， 所以221a b +=， 所以圆心到直线l 的距离1d r ===，故相切，故选：A.【点睛】解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.三. 解答题（本大题共5题，共76分）17. ,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）转化条件为方程组解的个数，按照系数行列式0D ≠、0D =分类，即可得解；（2）求出直线所过定点即可得解. 【详解】（1）由题意，列方程组(1)28(21)44m x my mn x ny n -+=⎧⎨-+=⎩，因为12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--，①当0D ≠即2m n ≠时，12,l l 相交； ②当0D =即2m n =时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩，（i ）当20m n ==时，12,l l 重合； （ii ）20m n =≠时，12l l //； （2）当12l l //时，20m n =≠，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ，2:(21)440l n x ny n -+-=恒过点()0,1B ，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的距离最大，最大值为3AB =. 18. 直线BC 经过定点(0,2)N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.【答案】（1）2220x y y +-=；（2）()min+1TP PQ=.【解析】 【分析】（1）(,)M x y 设，因为0OM BC OM MN OM MN ⊥⇒⊥⇒⋅=，转化为坐标表示即可求解； （2）圆心()0,1E ；求出()3,1T -关于直:20l x y --=的对称的点(3,5)T '-，++QE +TP PQ T P PQ QE T E ''=+≥===.【详解】（1）(,)M x y 设，因为0OM BC OM MN OM MN ⊥⇒⊥⇒⋅=， 则()(),0,20x y x y ⋅--=，所以2(2)0x y y +-=，2220M x y y +-=即点的轨迹方程为：.（2）圆E 的方程为：22(1)1y x +-=，圆心()0,1E ；设()3,1T -关于直:20l x y --=的对称的为00T (,)x y '，则00001113312022y x x y -⎧⋅=-⎪+⎪⎨-+⎪--=⎪⎩ ，可得0035x y =⎧⎨=-⎩，所以(3,5)T '-，连接线段ET '交圆E 于点Q ，交直线l 于点P ，则22+++364535TP PQ QE T P PQ QE T E ''=+≥=+==，当且仅当E ，Q ，P ，T '共线时，达到最小值35， 因为=1QE ，所以()min+351TP PQ=-.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是想到找()3,1T -关于直:20l x y --=的对称点(3,5)T '-，先求22+++364535TP PQ QE T P PQ QE T E ''=+≥=+==，再减去半径.19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程； （2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解； （2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ， 所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆， 因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒， 所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>，所以121288,77x x x x +=-=-， 所以()221212882411424777CD x x x x ⎛⎫=+⋅+-=⨯-+⨯=⎪⎝⎭. 20. 如图，已知半圆()2221:0C x y by +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2:C ()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y ab x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ.（1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠； 以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积.（3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.【答案】（1）2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）1arccos 3EPF ∠=；（3）132++（3）(]()(]min 0,1=2,1,,0t MT t t t t ∈-∈+∞⎨⎪∈-∞⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得答案；（2）在PEF 中由余弦定理得1cos =3EPF ∠可得答案； （3）令:l y λ=+，得22142y y x λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩据0∆=可得λ，再由22142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得M （可得答案，所以MN = （3）据圆的性质：minMTTE t ==，对t 进行讨论，可得min MT .【详解】（1）由2222c a b b c bc ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）设组成Γ的上半个椭圆为2C ，下半个圆为1C 因为2BE =，由=3>PE BE 知，P 只能在1Γ上，注意到E 为椭圆的下焦点，所以=21PE a PE -= ，又EF =，所以在PEF 中，由余弦定理得1cos =3EPF ∠， 所以1arccos3EPF ∠=. （3）设与MN 平行的直线l 与1C 的切点为0S ，与2C 的切点为0T ， 则当S ，T 恰好取0S ，0T 两点时，四边形MSNT 面积最大，令:l y λ=+，得22142y y x λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得22440x x ++-=λ据0∆=得=λλ-（舍去），此时，l y =+：所以0SMNd →==，又0MN T d →=，再由22142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得M （，所以OM =所以MN =所以四边形MSNT的面积的最大值为13)(12332S =+=++. （3）据圆的性质：当(],0t ∈-∞时，minMTTE t ==，设C 为椭圆的上顶点，则当[)2,t ∈+∞时，min2MT TC t ==-，当()0,2t ∈时，M 必在2C 上，MT 可取最小值，设(,)M x y 则[]221(0,2)24x y y +=∈，由MT ==， 知(]20,2t ∈时，只需2y t =，可得minMT =2(2,4)t ∈即(1,2)t ∈时，只需2y =，可得min2.MTt =-所以，(]()(]min 0,1=2,1,,0t MT t t t t ∈-∈+∞⎨⎪∈-∞⎪⎩.【点睛】关键点点睛：求椭圆的方程，解题关键是找到关于a b c 、、的等量关系．焦点三角形中常用到余弦定理；（3）中当S ，T 恰好取0S ，0T 两点时，四边形MSNT面积最大是关键；MT 是关键点，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．考查了分类讨论思想，有一定的计算量.21. 如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos 5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ=.（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.【答案】（1）2214x y -=；（2）(],1PM PN ⋅∈-∞-；（3）135195S ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭，. 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到双曲线的渐近线方程，根据夹角公式，由题中条件，得到224a b =，再由点到直线距离公式，求出,a b ，进而可得出结果；（2）先由题意，设()2,M m m ，()2,N n n -，0m >，0n >，当=1λ，得到,2m n P m n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程，得到1mn =，再计算向量数量积，即可得出结果； （3）同（2），设()2,M m m ，()2,N n n -，0m >，0n >，由MP PN λ=得22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入双曲线方程，得到()214mn λλ+=，再由点到直线距离公式，两点间距离公式，求出，由题中条件，求出)5510+λ⎡∈∞⎣，，进而可求出结果. 【详解】（1）由题意双曲线渐近线为0bx ay ±=.根据夹角公式2222222222345b a a b a ba b a b --==⇒=++.2114b a =⇒=⇒=.所以2214x y -=.（2）由题意，设()2,M m m ，()2,N n n -，0m >，0n >，当=1λ时，MP PN =，则,2m n P m n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22()144m n m n -+-=，整理得1mn =； 又,2m n PM m n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2n m PN n m --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()()()2222255·424444m n PM PN m n m n mn m n mn +=---=-++=-+++ 54414mn ≤-⋅+=-，当且仅当1m n ==时，等号成立；所以(]·,1PM PN ∈-∞-. （3）同（2），设()2,M m m ，()2,N n n -，0m >，0n >，由MP PN λ=得()OP OM ON OP λ-=-，即()1OP OM ON λλ+=+， 则122,1111m n m n OP OM ON λλλλλλλ+-⎛⎫=+= ⎪++++⎝⎭ 所以22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫⎪++⎝⎭.把点P 的坐标代入双曲线的方程得22221141m n m n λλλλ+⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭. 222()()(1)m n m n λλλ+--=+ 所以()214mn λλ+=，因为直线MN 的斜率为22MN m nk m n +=-，则直线MN 的方程为()222m ny m x m m n+-=--，即()()2240m n x m n y mn +---=，所以点O 到直线()()2240m n x m n y mn +---=的距离为d=， 又MN == 所以()211222S MN d mn λλ+=⋅⋅==，由题意知，0λ>，所以，212111122S λλλλλ++⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭. 设(),P x y 是双曲线右支上一点，记双曲线左右焦点分别为()1F ，)2F ， 由双曲线的性质可得，12PF PF >，又2PF==222x x ==-=-，[)2,x ∈+∞，所以)22,PF ∈+∞，即双曲线上的点到其焦点的距离的范围是)2,+∞， 由题意可得，)10+λ⎡∈∞⎣，， 令()1112f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，)10+x ⎡∈∞⎣，， 任取12110x x <<<，则()()()121212121211111110222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然成立， 所以()1112f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在)10+x ⎡∈∞⎣，上单调递增， 因此()()min19105f x f ==， 即min S =所以195S⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭，.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解；（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围；（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围；（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.。
复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 3. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .4. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ．6. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 .9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值是 .10. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 . 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4的直线被椭圆截得的弦长.20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ=. （1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN 的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 【答案】3(1)0x y --+= 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 【答案】453. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .【答案】434. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.PNM y xO【答案】34π 5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的【公众号魔都Maths 】区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ． 【答案】86. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .【答案】(4,7)(7,10)8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 . 【答案】()()2311y x x =-≠9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值【公众号魔都Maths 】是 .【答案】11210. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 .【解析】由点差法，得2222214AB OMb b k k a bc ⋅=-=-=-+，而(2,1)M -，所以12OM k =-，所以12AB k =， 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+，即240x y -+=. 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.【解析】由22220x y x y +--=可得22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程图象，(,)x y与点(51--连线的斜率，由图形得取值范围为[0,1].12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .【解析】如图建系，因为△ABC 面积为2， 【公众号魔都Maths 】所以12222m t mt ⋅=⇒=，设点,2t P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由90COP ∠=︒得225t x =-，所以2,252t t P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2(02,,),2t t AO m CP s s ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，()22()AC BP OB BO OP AO OC OB =+⋅+++222t t s AO OB AO OP OC BO C O s B m t s s P ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⋅+⋅+， 所以2AC BP OB +的取值范围是(),2222,⎡-∞-+∞⎦⎣.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ A ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ B ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ C ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ A ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【解析】由题意得22()()1aOA bOB OC +=-=，即221a b +=，所以圆心到直线l 的距离1d r ===，故相切，选A .三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.【解析】（1）(1)28(21)44m x my mn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--（2分）12,,l l ≠⇔≠（a)当D 0m 2n 时相交（4分）D=⇒当0m=2n 时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n -+=⎧⎨-+=⎩=（b ）m=2n 0，12,l l 重合 （6分） ≠（c ）m=2n 0，12l l （8分）（2）法一： 1220l l m n =≠当时，，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ；2:(21)440l n x ny n -+-= 恒过点()0,1B ，（12分）根据斜边总是大于直角边，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的 距离最大，最大值为3. （14分）法二：两者之间的距离，（10分）所以1234≤= （12分）当且仅当1,12m =n=时，max 3.d = （14分） 18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.【解析】（1）(,)M x y 设，因为0OM BC OM MN OM MN ⊥⇒⊥⇒⋅=（2分）()()2,0,20(2)0x y x y x y y ⇒⋅--=⇒+-=2220M x y y +-=即点的轨迹方程为：（6分） （2） 22'E (1)1,O 0,1x y +-=圆方程：圆心为 （）'00T -3,1T (,)l x y 设（）关于的对称点为000000111335312022y x x y x y -⎧⋅=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪--=⎪⎩则 ，所以(3,5)T '- （9分） '''O T O Q l P 联结线段交圆于，交直线于'''''TP +PQ +Q PQ +QO O T P T O =+≥===则（12分）''00O ,,,Q P T 当且仅当共线时，达到最小值因为'QO =1，所以()minTP +PQ1=（14分）19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【解析】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标P 设（x,y)为椭圆上一点，由图可知PF +PO =AO =4FO =2⇒（2分）所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆（4分） 因为22,24c a ==，所以2221,23c a b a c ==⇒=-=（6分）所以22143x y +=椭圆标准方程为（7分） （2）如图，不妨令过()F 1,0-的直线交椭圆于A ，B 且倾斜角45︒所以1AB y x =+直线方程为（9分）222341278801x y x x y x ⎧+=⇒+-=⎨=+⎩联立（11分）所以12224277AB ==（14分） 20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>【解析】（1）由2222c a b b cbc ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩（2分）得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4分）（2）设组成Γ的上半个椭圆为2C ，下半个圆为1C因为2,PE =3BE =由>1BE P Γ知，只能在上（5分）注意到E为椭圆的下焦点，所以PE =2a-1,PE EF ==又（7分）所以1PEF cos EPF=3∆∠在中，由余弦定理可得（9分） 所以1arccos3EPF ∠= （10分） （3）<1>设与MN 平行的直线l 与1C 的切点为0S ，与2C 的切点为0T则当S ，T 恰好取0S ，0T 两点时，四边形MSNT 面积最大令:l y λ=+，得22142y y x λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得22440x x ++-=λ0=λλ∆=-据得l y =+： （12分）所以003MN S MN T d d →→===13分）22M 142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩再由得（，所以OM =所以MN =15分）所以max112MSNTS==+.（16分）（3）<2> (]min,0MTt TE t∈-∞==据圆的性质：当时（11分）[)minC2,MT2TC t∈+∞==-设为椭圆的上顶点，则当t时，（12分）()20,2M MTt C∈当时，必在上，可取最小值[]22M1(0,2)24x yy+=∈设（x,y)则MT==由（13分）(](]min20,20,12,t y t MT∈∈==知即t时，只需可得（14分）()()min22,41,22, 2.t t y MT t∈∈==-即时，只需可得（15分）所以，(]()(]min0,1=2,1,,0tMT t tt t∈-∈+∞⎨⎪∈-∞⎪⎩（16分）），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，MP PNλ=.（1）求双曲线C的方程；（2）当=1λ时，求PM PN的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.【解析】（1）由题意双曲线渐近线为0bx ay ±=.根据夹角公式2222222222345b aa b a b a b a b --==⇒=++.（2分）又222114bc b a b a =⇒=⇒=+.所以2214x y -=. （4分） （2）设2,),(2,),0,0m m N n n m n ->>（， =1PM=PN ,2m n P m n λ-⎛⎫⇒+ ⎪⎝⎭，， ()22()1 1.44m n m n mn -+-=⇒= （6分）所以(,),22m n n m PM PN m n n m +--⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭ ()22253())442m n m n m n mn +=---=-++（（8分）532 1.42mn mn mn ≤-⋅+=-=-所以(],1PM PN ⋅∈-∞-.（10分）（3）根据条件得22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫⎪++⎝⎭. （11分）PNMyxO把点P 的坐标代入双曲线的方程得22221141m n m n λλλλ+⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭.222()()(1)m n m n λλλ+--=+ 所以2(1)4mn +=λλ（13分）所以21211S=212.222001m m mmn n mn n n-==-（14分） 212111()122S λλλλλ++=⋅=++.（15分）设(),P x y 是双曲线上一点，[)222,.2d x x x ====-=-∈+∞，所以))2,10+d λ⎡∈+∞⇒∈∞⎣，. （17分）因为S 在)10+⎡∞⎣，上关于λ单调递增， 所以当10λ时， min S =所以19S +.5⎡⎫∈∞⎪⎢⎪⎣⎭，（18分）。
