直接微积分简化教学二小时

２０１４年第２期　数学教学　２一　直接微积分简化教学二小时１　美国圣地亚哥州立大学数学和统计系　沈善普　１０００８０　中国科学院数学与系统科学研究院　林　群　

现在全国每年有几百万大学生和高中生　学习微积分．教微积分的老师们常常思考如何　上好头两节课，把学生直接引导到微积分的核　心，提高学生自觉学习微积分的能力．而传统　的微积分教学从极限开始，经过了７－８节课时，　学生还不能了解微积分的中心思想是什么．甚　至有些教学到了一学期快结束的时候才学到微　积分基本定理和中心思想．我们这篇文章的目　的是使用在牛顿之前的、比较简洁的微积分方　法为微积分老师提供一个头两节课的教学素　材，老师们可以用头两节课时间介绍微积分的　定义、基本计算方法、微积分基本定理，然后　再全面讲授微积分的内容和应用．我们能做到　这一点就是通过引进ＤＡ对、曲线坡度和高度　的联系、智能手机和电脑操作．希望我们的文　章能为微积分教学提供一个简单的补充教材，　使得学生能在头一个星期就能知道微积分的　基本全貌，并能够叙述出来微积分的基本概念，　也能够通过智能手机或电脑做简单的微积分计　算和应用．这样的教学或许可以使得学生很快　明白微积分课程的学习目的，破除微积分神秘　和深奥的感觉，减少学生在微积分学习中的畏　难情绪，最终能自觉地将微积分应用到实际工　作中去．　近２０年来，微积分教学的现代化已有了很　多研究，出版了很多文章和书（见文ｆ４１、［５】和　其中的参考文献）．张景中院士也在文『５］的总　序中描叙了国人对于第三代微积分教学的贡　献．这里不对已有的贡献一一评述，只是在前　人的工作基础上，结合现代计算设备的发展，　建立一个微积分教学的开场白．　

一、

坡度、导数、ＤＡ对　

汽车上下大坡时，我们有时会看到公路上　的９％坡度指示牌ｆ如图１）．公路９％的下坡度　就是说，如果路在水平方向延伸ｉ０００米，路面　高度会下降９０米．这坡度的计算公示如下：　

．　９０　…　ｍ＝＝＝　ａｎ　＝＝：丁　～ｉ０００‘…………’（　）　

也就是说坡度是一个直角三角形的对边除以邻　边ｆ如图Ｉ的三角形所示）．　

图１　

图２　显然公路一般不是一条笔直的斜线，而　是一条曲线．曲线在某一点的切线是直线，这　

沈善普教授１９８２年毕业于中国南京理工大学，１９８３年留学美国，１９８７年获得美国威斯康星大学博士学位．先后担　任美国宇航局客座研究员、加拿大阿伯特大学教授、加拿大数学学会副理事长、加拿大应用数学与工业数学学会主　席、中国教育部大学公共数学教改研讨组成员等职．他所研究的领域涉及气候、环境、资源和应用数学，并曾荣获日本　的东京大学研究奖、美国国科会伙伴奖等多项殊荣．林群院士现任中国科学院数学与系统科学研究院研究员．１９９３年　评为中国科学院院士，１９９９年评为第三世界科学院院士．１９９５－－１９９９年曾连续两届任中国数学会副理事长．　２—２　数学数学　２０１４年第２期　条直线的坡度就定义为曲线在这一点的坡度，　或叫做斜率．因为曲线在不同点有不同的切　线，所以曲线的坡度随点而变，不是固定的．　图２为没有引进坐标的曲线上有Ｐ、　、ｊＥ｝三　点．　为该曲线在Ｐ点的切线．这个切线的斜　率就是曲线在Ｐ点的斜率，英文为ｓｌｏｐｅ，就是　坡度．微积分计　算就是研究一条曲线在各个点　的坡度ｍ＝ｔａｎ０，以及一条曲线从一点　到另　一点ＪＥ；的高度变化日．几何直观告诉我们这个　高度变化与曲线各点的坡度有关．坡度大，高　度变化就大．这个几何直观的计算方法就是微　积分基本定理．　我们对于瞌线引进坐标系后，就可以用函　数和代数公式来描述曲线上各点的坡度和曲线　的高度变化ｆ见图３）．切线的特点是它和曲线　只触摸到一个点．切线的英文是ｔａｎｇｅｎｔ　ｌｉｎｅ，　“ｔａｎｇｅｎｔ”是从拉丁语派生出来的，即是“触　摸”的意思．切线和它的曲线方程联解至少　是二重根．　让我们用抛物线Ｙ＝Ｘ２．……………．．（２）　为例来计算该曲线在Ｐ（ｘ０，Ｙ０）点的切线．切线　方程如下：Ｙ—Ｙｏ：ｍ（　—ｘｏ）．…………・・（３）　－　｜Ｉ　。　Ｐ／Ｈ　／　ｂ　—　｝　图３　（６）－Ｊ（口）　在方程（３）中，ＹＯ＝　；，而ｆｎ是切线　的坡　度．联立方程（２）和（３）对于未知量　来说有个　二重根，因为它是切点．Ｘ＝　ｎ本身就是一个　根，那它一定是重根．为保证它是重根，ｍ要适　合以下条件．将（２）代入ｆ３），分解因式得到　（Ｘ—　ｏ）（　＋ＸＯ—ｍ）＝０，………………（４）　这个方程的两个根是　ｌ＝ＸＯ，……………………………－・（５）　Ｘ２＝一ＸＯ＋ｍ，………………………………（６）　要使得这两个根Ｘｌ和Ｘ２都等于ＸＯ，必须有　ｍ＝２ｘｏ，………………………………………（７）　所以我们说Ｙ：Ｘ　当　＝　０时的坡度是２　０，　当　＝ａ时是２　，当　＝２．４时是２×２．４＝４．８，　时是２　．坡度随着切点Ｐ（ｘ，．厂（　））变化．当　Ｘ＞０，坡度为正数，是上坡；当　＜０，坡度为　负数，是下坡．所以，坡度也是一个函数，是一　个由原来函数Ｙ＝Ｘ　衍生出的新函数　呵以叫　导函数、衍函数（英文ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ），或　用现在通行的简称叫导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），英文　字ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ在普通使用中就是派生、衍生的　意思．我们就用这个例子来叙述导数的定义．　定义１　（导数和ＤＡ对的定义１坡度２ｚ　叫做　的导数，而　则叫做２　的反导数　（ａｎｔｉｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）．另外我们叫（２ｘ，　０）为导数一　反导数对ｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ—ａｎｔｉｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｐａｉｒ），记　为ＤＡ对．　这个定义可以推，　到一般的函数Ｙ＝　

．　（ｚ），这个函数对应曲线的坡度就是导数，　记作．厂　（　），而ｆ（ｘ）就是＿厂　（ｚ）的反导数．所以　（１厂　（　），，（　））组成一个ＤＡ对．　反导数也叫做原函数，即原来的函数．也　就是说ｆ（ｘ）是，　（　）的原来的函数，　（　）是　由ｆ（ｘ）导出的函数，或衍生出的函数．　下面举几个ＤＡ对的例子．如果ｆ（ｘ）＝Ｃ　是常数，Ｙ＝Ｃ表示一条水平线，它的坡度在每　点都是零．所以，（　）　＝０，并且（０，　）是　一个　ＤＡ对．　如果是线性函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，那么Ｙ＝　ｆ（ｘ）表示一条一般的直线，它的坡度在每点都　是ａ．所以，（ａｘ＋６）　＝ａ，并且（ａ，ａｘ＋ｂ）是一　个ＤＡ对．　所以导数的几何意义是坡度　它描述一个　函数曲线的陡和缓、上坡和下坡．导数还有物　理意义，如速度Ｖ，它对应的反导数是物体行使　的距离８，所以（Ｖ，８）组成一个ＤＡ对．在我们　日常生活中，任何东西随时间变化的速度ｆ或　叫变化率）都是导数，而这个“任何东西”就是　反导数，所以ｆ变化率，东西）组成ＤＡ对．　再一个例子，我们知道自由落体的速度和　距离分别是　＝ｇｔ和ｓ＝去　，这里ｇ是重力加　１　速度，ｔ是时间．所以（ｇｔ，去ｇ　）组成一个ＤＡ　

对．这个ＤＡ对是可以通过公式（２）一（７）推导　出来．　２０１４年第２期　数学教学　２一　同理，我们也很容易模仿推导Ｘ　的ＤＡ对　的办法来推导Ｘ３的ＤＡ对，就是解以下两个联　立方程（即寻找曲线和切线在切点的多重解）：　Ｙ＝Ｘ。，…………………………………………（８）　一Ｙｏ＝ｍ（　—ｘｏ），………………………・（９）　方程（８）代人方程（９）得到　。一　３＝ｍ（　—ｘｏ），……………………（１０）　分解因式得到　（Ｘ—ｘｏ）（ｘ　＋ＸＸＯ＋ｘｏ—ｍ）＝０，…・（１１）　因为相会在切点，Ｘ１：Ｘ０一定是一个解，重　根　２＝　０必须适合　；＋Ｘ２Ｘ０＋　３一ｍ＝０，　所以ｍ＝ｚ；＋Ｘ２Ｘ０＋ｚ３＝３４，对应的ＤＡ对　就是ｆ３ｘ２，ｘ３）．　总结以上我们接触到的导数计算，我们可　以列出以下一组ＤＡ对：　（０，　）、（１，　）、（２ｘ，　）、（３ｘ。，Ｘ３），…（１２）　如此类推，一般的单项式Ｘ　ｆ此处ｎ是正整　数）的ＤＡ对是　（ｎｘｎ一　，　”）．………………………………・・（１３）　如果ｎ不是正整数，公式（１３）也成立，但　推导过程有些复杂，不过我们可以借用电脑来　完成计算．现在有很多免费的开源电脑程序　可以使用，如ＷａｌｆｒａｍＡｌｐｈａ，它在电脑和智能　手机上都能轻松使用．在网站ｗｏｌｆｒａｍａｌｐｈ５．　ｃｏｒｎ上打入ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ￣令和函数，结果就显示　出来了．如　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ＸＡ（３／２１＋４ｘ＾３　０　就会输出昙　＋１２ｘ２，就是函数　＋　４ｘ３的导数，并且程序还会输出函数图像等　附加信息ｆ见图４）．　｜一｜ＷｏｌｆｒａｍＡｌｐｈａ　邈　＝＝＝＝二＝＝＝＝　口∞聋’……　…一　……～～ｉ“　ｐ　ｒ　。４，｝＝；ｆ８，＋　ｊ　—ｍ　ｇ　ｆ¨　｜ｔ　图４　要计算反导数，就输入ａｎｔｉｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ指　令，如　ａｎｔｉｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ＸＡ（３／２）－４－４ｘ　３　利用这个程序，我们很容易计算出常用的　ＤＡ对：　（１）指数函数：（ｅ　，ｅ　），　（２）自然对数函数：　，ｌｎｘ），　（３）正弦函数：（ＣＯＳＸ，ｓｉｎｘ），　（４）余弦函数：（一ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ），　（５）正切函数：（ｓｅｃ　Ｘ，ｔａｎｘ）．　二、曲线的高度增量和积分的定义　我们以上研究了一条曲线的坡度，现在研　究一条曲线从一点走到另一点的高度差，可以　想象这个高度差是与坡度相关的，坡度大走过　相同水平距离的高度差就大，所以高度差是坡　度和水平距离的某种累积，这个累积就是积分，　英文叫ｉｎｔｅｇｒａｌ，这个英文单词起源于１６世纪　中期，来自拉丁文ｉｎｔｅｇｒａｌｉｓ，意思即累加出来　的东西．累积，或积分，在我们生活中无处不在：　如我们走过的距离就是我们行走速度和时间乘　积的累积；一堆物质的质量就是密度和体积乘　积的累积．　图３显示函数Ｙ＝ｆ（ｘ）从Ａ（ａ，．厂（０））到　Ｂ（ｂ，，（６））的高度增量Ｈ＝ｆ（ｂ）一，（０）．我们　就用这个增量来阐述如下的积分定义．　定义２　ｆ将积分定义为曲线高度的增量）　函数ｆ（ｘ）从Ａ（ａ，Ｉ厂（０））点到Ｂ（ｂ，．厂（ｂ））点的增　量ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）叫做函数，　（　）在积分区间（ａ，ｂ）　上的积分，记作１Ｉｆ　（　），ａ，６］＝ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）或　１Ｉｆ　（　），ａ，ｂ］＝ｆ（ｘ）　这个定义把ＤＡ对（，　（　），，（　））放到了一　起．根据这个定义和我们以上讲的ＤＡ对例子，　我们可以很容易计算几个积分．　『１ｊ　０，２］＝　

＝２—０＝２．图５显示这个积分值与图中ａ＝０，　ｂ＝２时长方形的面积吻合，即直线Ｙ＝１以下，　Ｙ＝０以上，Ｘ＝０以右，Ｘ＝２以左的长方　形的面积．　

图５