人教版八年级上册 构造全等三角形的方法(例题+练习)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．(1)当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，则Rt△ABC≌Rt△DEF（依据：________）(2)当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是________；A．全等B．不全等C．不一定全等(3)第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．【答案】（1）HL；（2）C；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)通过HL即可证明.(2)以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.(3)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再证明Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可证出△ABC≌△DEF．【详解】解：（1）△ABC≌△DEF（依据：HL）（2）选择C理由：以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.（3）证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠CBA=∠FED ，∴180°﹣∠CBA=180°﹣∠FED ，即∠CBG=∠FEH ，在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），∴CG=FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩， Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A=∠D ，在△ABC 和△DEF 中，A D CBA FED AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．52．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB//DE，AB=DE，BC=EF．求证：AC=DF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用三角形全等即可证明.【详解】证明：∵AB DE∴B E∠=∠∵AB DE=,=BC EF∴△ABC≌△DEF=∴AC DF【点睛】掌握证明三角形全等的条件是解答本题的关键.53．如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.求证：DE=EC．（用三种方法证明）【答案】证明见解析.【解析】【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于三角形全等证明的熟练程度，对于本题而言，根据题意给出证明即可解答.【详解】解：方法一：连接BE∵在三角形ABC中，∠C=90°, ∠A=30°，∴∠ABC=60°,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴∠DBE=∠A=30°,∴∠DBE=∠CBE,∴BE平分∠DBC,又∵ED⊥AB,CE⊥BC∴DE=EC方法二：连接CD,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∵△ABC是直角三角形，∠B=60°∴△BCD是等边三角形∴∠BDC=∠BCD=60°∵∠CDE=90°-60°∠ECD=90°-60°∴∠CDE=∠ECD∴DE=CE方法三：构造等边三角形ABM如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D,E延长BC、DE相交于点M，连接AM.在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°又∵DE 垂直平分AB,∴AM=BM ，△ABM 是等边三角形，∴AD=CM在△ADE 和△MCE 中AED MEC ADE MCE AD MC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ADE ≌△MCE （AAS ）∴DE=CE.【点睛】由本题题干及题意可知,这是一道考查三角形全等的题,对于初中数学来说，牢牢掌握基础定义是解题的关键手段.54．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，8)，B (4，8)，C 是x 轴正半轴上一点，点P 满足下面两个条件：①P 到①AOC 两边的距离相等；①PA ＝ PB ． (1)利用尺规，作出点P 的位置(不写作法，保留作图痕迹)；(2)点P 的坐标为 ．【答案】(1)见解析；(2)P (2，2)．【分析】（1）根据尺规作图法进行画图；（2）由角平分线和垂直平分线的定义作答.【详解】（1）(2)由题可知，C 的坐标为（4，0），由角平分线与垂直平分线定义知，∠POC=450，所以P 的坐标为（2，2）.，【点睛】本题考查了尺规作图的步骤、角平分线与垂直平分线的定义，熟练掌握尺规作图、角平分线与垂直平分线的定义是本题解题关键.55．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB DC =，E F ∠=∠，EC ①FB ．求证：EA FD =．【答案】证明见解析.【分析】根据平行线的性质可得到∠1=∠2，根据等式的性由已知AB=CD 可得AC=BD ，从而可利用AAS 来判定△AEC ≌△DFB ，再根据全等三角形的对应边相等即可得到EA=FD ．【详解】∵AB DC =(已知)，∵AC DB =(等量加等量，和相等)．∵EC ∵FB (已知)，∵12∠=∠(两直线平行，内错角相等)．在AEC 和DFB 中，,12,,E F AC DB （已知）（已证）（已证）∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AEC ∵DFB (AAS )．∵EA FD =( 全等三角形的对应边相等)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．56．如图，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，AE ∥DC ，AE 与BC 的延长线相交于点E，∠ACE=80°，求∠CAE的度数．【答案】50°【解析】【分析】根据邻补角的定义求得∠ACB=100°；然后利用角平分线的定义求得∠DCA=50°；最后由平行线的性质和等量代换求得∠CAE的度数．【详解】∵∠ACE=80°（已知），∴∠ACB=100°（邻补角的定义），又∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA=100°×12=50°，∵AE∥DC（已知），∴∠CAE=∠DCA=50°（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用邻补角的定义求得∠ACB=100°是解题的关键．57．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．(1)如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1；②求证：∠EAC=①EDC；(2)如图2，点C在直线AB的上方，0°＜①CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可证得∠EDC ＝∠B；（2）如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，进而可推出△CEF是等边三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.【详解】(1)①补全图形如图所示．②∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAC=∠B．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD．∴CD=CB．∴∠EDC=∠B．∴∠EAC=∠EDC．(2)BE=CE+DE．如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=60°．∴CD=CB．∴∠EDC=∠EBC．∴∠EDC=∠EAC．∵∠1=∠2，∴∠DEA=∠ACD=60°．∴∠AEB=120°．∵EA=EB，m⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=60°．∴△CEF是等边三角形．∴∠CEF=∠CFE=60°．∴△CDF≌△CBE．∴DF=BE．∴BE=CE+DE．【点睛】本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.58．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，①BDC=90°，①DBC=45°．(1)求证：∠BAD=①CAD；(2)求∠ADB的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∵ADB =135°．【解析】【分析】（1）根据∠BDC=90°，∠DBC=45°可推出DBDC ，进而可证△ABD ≌△ACD ，即可证得∠BAD ＝∠CAD ；（2）根据△ABD ≌△ACD ，可得∠ADB ＝∠ADC ，又根据∠BDC ＝90°，∠ADB ＋∠ADC ＋∠BDC ＝360°，即可求出∠ADB 的大小.【详解】(1)∵∠BDC =90°，∠DBC =45°，∴∠DCB=∠DBC =45°．∴DB =DC ．在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ，, ∴△ABD ≌△ACD ．∴∠BAD =∠CAD ．(2)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB =∠ADC ．∵∠BDC =90°，∴∠ADB =135°．【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证出△ADB ≌△ACD.59．已知：如图，D 是BC 上的一点，AB=BD ， DE ①AB ，①A=①DBE ．求证： AC=BE ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可.【详解】∵DE ∵AB ，∵∵ABC=∵EDB ．在△ABC 和△BDE 中A=DBE AB=BDABC=EDB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∵∵ABC ∵∵BDE ．∵AC=BE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.60．（发现）(1)如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，对于以下结论：①AD是△ABC的中线；①S△ABD：S△ACD＝AB：AC；①AB：AC＝BD：DC,其中正确的是(只填序号)（探究）(2)请你选择(1)中正确的一个选项，简述理由（应用）(3)如图2，①ABC的三个内角的角平分线相交于点O，且AB＝40，BC＝48，AC＝32，则S ABO：S△BCO：S△ACO＝：：（拓展）(4)在(1)中的条件下，过点D作DE①AB于点E，DF①AB于点F，连接EF，求证：AD垂直平分EF．【答案】(1)②∵；(2)见解析；(3)5，6，4；(4)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形面积公式逐一判断可得；（2）②由AD平分∠BAC知点D到AB、AC的距离相等，设为h，由S△ABD=1 2AB•h，S△ACD=12AC•h可判断结论②；③作AP⊥BC，由S△ABD=12BD•AP，S△ACD=12CD•AP知S△ABD：S△ACD=BD：CD，结合S△ABD：S△ACD=AB：AC可得答案；（3）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，根据角平分线的性质知OE=OF=OG，根据S△ABO=12AB•OE，S△BCO=12BC•OF，S△ACO=12AC•OG可得答案；（4）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形的可得AE=AF，再利用等腰三角形的证明即可．【详解】(1)正确的是∵∵，故答案为：∵∵．(2)∵∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，设为h，则S△ABD＝12AB•h，S△ACD＝12AC•h，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC；∵如图1，作AP∵BC于点P，则S△ABD＝12BD•AP，S△ACD＝12CD•AP，∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，又∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∵AB：AC＝BD：CD．(3)如图2，过点O作OE∵AB于E，OF∵BC于F，OG∵AC于G，∵AO，BO，CO分别平分∠BAC，∵ABC，∵ACB，∵OE＝OF＝OG，∵S△ABO＝12AB•OE，S△BCO＝12BC•OF，S△ACO＝12AC•OG，∵S ABO：S△BCO：S△ACO＝AB：BC：AC＝40：48：32＝5：6：4，故答案为：5：6：4；(4)如图3，∵AD平分∠BAC，DE∵AB，DF∵AC，∵DE＝DF，在△ADE和△ADF中，∵AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，∵∵ADE∵∵ADF(HL)，∵AE＝AF，又∵AD平分∠BAC，∵AD垂直平分EF．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质等知识点．。

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明BE＝CD．【答案】见详解.【解析】【分析】由BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高得出∠BDC=∠CEB=90°，再根据“HL”证△BDC≌△CEB得BE＝CD.【详解】证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，∴∠BDC=∠CEB=90°，在Rt△BDC和Rt△CEB中，∵BD CE BC CB=⎧⎨=⎩，∴△BDC≌△CEB（HL），∴BE＝CD.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．62．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和CBE全等吗？请说明理由．【答案】全等，理由见详解.【解析】【分析】由AD∥BC可得∠A=∠C，由AE=CF可得AF=CE，已知AD=CB，从而由“SAS”可证得△ADF≌△CBE．【详解】解：全等∵AD∥BC∴∠A=∠C∵AE=CF∴AF=CE在△ADF和△CBE中，∵AD CBA CAF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△CBE（SAS）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，考查三角形全等的判定，注意条件不同判定也不同，由已知条件得出判定全等所需要的条件是比较关键的．63．（1）（问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在①ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：①.由已知和作图能得到①ADC①①EDB，依据是________．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA①.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）（学会运用）如图①，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．【详解】解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，BD CDBDE CDA DE AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC，∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，∴1＜AD＜9，故答案为：1＜AD＜9；（2）延长AD至M，使DM＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△MCD中，BD CDADB MDC AD DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△MCD（SAS），∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，∵AB＝CE，∴CM＝CE，∵∠BAC＝∠BCA，∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，在△ACE和△ACM中，AC ACACE ACM CM CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACM≌△ACE（SAS），∴AE＝AM，∵AM＝2AD，∴AE＝2AD．【点睛】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．64．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E、F是垂足，AE=DF，AB=DC．求证：AC=DB．【答案】见解析.【解析】【分析】根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，推出Rt△ABE≌Rt△DCF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，推出BF＝CE，证得△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB DC AE DF⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF，∴BF＝CE，在△AEC 和△DFB 中，AEC DFB CE BF ⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝， ∴△AEC ≌△DFB （SAS ），∴AC ＝DB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．65．如图，B 、D 、E 在一条直线上，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，（1）求证：BD=CE（2）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先求出∠BAD =∠CAE ，然后利用SAS 证明△BAD ≌△CAE 可得BD=CE ；（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD=∠2，由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2.【详解】（1）∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC=∠DAE －∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AD AE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ；（2）∠3=∠1+∠2，理由：∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠2，∵∠3=∠1+∠ABD ，∴∠3=∠1+∠2.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能证明△BAD ≌△CAE 是解此题的关键.66．已知：如图，AB=DE ，BE=CF ，∠B=∠DEF ．求证：∠A=∠D证明：∵BE=CF （ ）∴BE+EC=CF+EC即(________)在△ABC 和△DEF 中，()(?)(? )AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知 ∴∆ABC DFE ≅（ ）∴∠A=∠D （ ）【答案】见解析.【解析】【分析】首先求出BC=EF ，然后根据SAS 证明ABC DFE ≅即可得到∠A=∠D.【详解】证明：∵BE=CF （已知），∴BE+EC=CF+EC ，即(BC=EF) ，在△ABC 和△DEF 中，()()()AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已证， ∴∆ABC DFE ≅（SAS ），∴∠A=∠D （全等三角形，对应角相等）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.67．如图，,..C D CE DE AE BE ∠=∠==求证：【答案】见解析.【解析】【分析】根据ASA 直接证明△AEC ≌△BED 即可得到AE=BE.【详解】证明：在△AEC 和△BED 中，∵C D CE DE CEA DEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEC ≌△BED （ASA ），∴AE=BE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.68．如图①，Rt ABC ∆中，90C =∠，D 是AB 的中点，过点D 作DE AC ⊥于点E ；过点B 作BF ED ⊥，交ED 的延长线于点F .（1）求证：DFB DEA ∆≅∆；（2）某数学兴趣小组解答（1）后发现，在图中只需将AED ∆剪下来拼到BFD ∆处，就可得到一个与ABC ∆等面积的矩形EFBC 继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法（不需要证明）【答案】（1）见解析；（2）如图见解析.【解析】【分析】（1）利用AAS 即可证明DFB DEA ∆≅∆；（2）找AC 、BC 的中点，构造以AB 为边的矩形即可.找AC 、AB 的中点，构造以BC 为边的矩形即可.找AB 、BC 的中点，构造以AC 为边的矩形即可.【详解】（1）证明：∵DE AC ⊥，BF ED ⊥，D 是AB 的中点，∴90AED BFD ∠=∠=，AD BD =，∵ADE BDF ∠=∠，即DFB DEA ∆≅∆.（2）如图：方法比较多作法① ：找AC 、BC 的中点，作垂线，构造以AB 为边的矩形即可. 作法②：找AC 、AB 的中点，作垂线，构造以BC 为边的矩形即可.作法③：找AB、BC的中点，作垂线，构造以AC为边的矩形即可.【点睛】本题考点涉及三角形全等，（2）难度较大，根据题意分析，找出方法是解答本题的关键.69．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。

全等三角形的判定(三)HL【经典例题】例1.如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，求证：CD AB //例2.已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD=BC ，求证：AD ∥BC.例3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.例4.如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.ADBABEDFABDCEFA【经典练习】1.如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 或 ．2.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL4.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ABCDE F 125.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．【巩固练习】 基础训练题1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=︒90，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF（填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSS B. ASAC. SASD. HL3．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个4．过等腰△ABC 的顶点A 作底边的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 5．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.6．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）. A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等ACDB ┐ ABM C☆7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等， 还需要补充的条件是 .9．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.10．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF 吗？谈谈你的理由DBF11．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.能力提高题1.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.A E DC3.如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。