全等三角形难题题型归类及解析
一、角平分线型
角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分
线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。
1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，
连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，
•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．
3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ；
(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
． A
B C D
E P
D A C
B
M N
5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）
2
1P
F
M
D
B
A C
E
6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．
（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1
2
BD ；
（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；
若不变，求出它的度数，并说明理由。
8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，
求证：AC=AE+CD ．
二、中点型
由中点应产生以下联想：
E
D C B
A
1、想到中线，倍长中线
2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线
4、三角形的中位线
2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，
CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1
2
CE BF =
D A
E F
C
H
G
B
3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。
4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
2、如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．
F
G
E D
C
B
A
E F
C
D
A
3、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB
，若AD=4，EC=2.求DE 的长。
4、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。
4. 如图∠ACB=90°,AC=BC,BE ⊥CE,AD ⊥CE 于D ，AD=2、5cm ，DE=1.7cm,求BE
的长
A
B C D
E
H
5.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
6.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、
C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.
F E D
C
B
A
（4）归纳前二个问得出BD 、DE 、CE 关系。用简洁的语言加以说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．
（2） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的
猜想是正确的；
（3） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化
过程．
2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰ
Ｅ的大小。
