全等三角形
一、目标认知
学习目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：
1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；
2 .三角形全等的性质和条件。
难点：
1.掌握用综合法证明的格式；
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等
经典例题透析
类型一：全等三角形性质的应用
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.
总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？
【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B，
又∠A=30°，∠B=50°，
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应
边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
∠ACB=90°.
求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.
【答案】
(1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=
∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应
角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°，
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．
思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
解析：∵AC＝BD(已知)
∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)
即 AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证 AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD＝90°(垂直定义)
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S．A．S)
∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)
类型三：综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：
AB+AC>2AD.
思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以
AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.
总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：
【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
求证：BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠
BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)
