微积分教学大纲课程名称：微积分课程编号适用专业：生物、地理、心理、管理、教育、经济等专业总学时数：160 学分数：10理论教学时数： 160 实验实践教学时数：上机时数：一、课程的性质、目的与任务微积分是高等院校财经专业基础课程之一,对于自然科学和工程技术,它是理论研究的重要工具;通过本课程的学习,要使学生获得一元及多元函数和常微分方程等方面的基本概念,基本理论和基本运算技能,以培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础;微积分学是高等数学的中心内容,在经济等学科中有着广泛的应用;二、课程教学基本要求：一函数1﹑掌握集合的表示法,理解集合运算的性质,了解区间,邻域的含意;2﹑理解实数与实数的绝对值的概念及其基本性质,掌握绝对值不等式的解法;3﹑理解函数的概念及函数符号的意义,能正确地求出函数的定义域和值域;4﹑熟悉函数的表示方法,了解分段函数的概念;5﹑了解函数的几何特性,并掌握各几何特性的图形特征;6﹑理解反函数的概念,知道函数与其反函数的几何关系,并会求反函数;7﹑理解复合函数的概念,了解两个或多个函数能够成复合函数的条件掌握将一个复合函数分解为一些较简单函数的方法;8﹑理解基本初等函数、初等函数的概念,掌握基本初等函数的定义域、值域﹑基本性质及其图象;9﹑会建立简单应用问题及经济学中常见的函数关系;二极限与连续1、理解数列与函数极限的概念;2、理解无穷小量和无穷大量的概念和基本性质,掌握无穷小量阶的比较法知道无穷小量与无穷大量间的关系;3、熟练掌握运用极限的运算法则求极限的基本方法;4、知道两个极限存在定理, 熟练掌握两个重要极限并能用于求某些函数的极限;5、理解函数连续性的概念,理解函数间断点的概念,掌握讨论分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的运算法则,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、掌握闭区间上连续函数的基本性质只作几何说明不证明;8、熟练掌握求极限的基本方法: 利用极限的运算法则,无穷小量的性质,两个重要极限及函数的连续性等求极限值三导数与微分1、了解导数的概念知道导数的几何意义,了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算;3、掌握反函数的求导法则,掌握对数求导法与隐函数的求导法则;4、熟练掌握复合函数的求导法则;5、了解高阶导数的概念,掌握求二阶导数及某些简单函数n阶导数的方法;6、了解微分的概念,掌握可导与可微的关系以及一阶微分形式不变性,熟练掌握求可微函数微分的方法;四中值定理,导数的应用1、了解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的含意,知道这些定理间的关系,会利用这些定理证明一些简单的证明题;2、熟练掌握罗必塔法则和各种未定式的定值方法;3、熟练掌握函数单调性的判别方法;4、熟练掌握求函数极值最值的方法,了解函数极值与最值的关系与区别,会求解某些简单的应用问题;5、熟练掌握曲线凹凸性的判别方法,会求曲线的拐点;6、掌握函数作图的基本步骤和方法,会作较简单函数的图形;7、知道边际与弹性的概念会求简单的经济应用题;五不定积分1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,明确不定积分与微分在运算上的互逆关系,了解不定积分的几何意义,能够依初始条件确定积分常数;2、 掌握不定积分的性质;3、 熟练掌握不定积分的两种换元积分法和分部积分法,注意三种方法的综合应用,能熟练地求出常见的初等函数的不定积分; 4、 熟练掌握不定积分的基本积分公式： 5、会计算三种简单的分式不定积分 六定积分1、 掌握定积分的概念及性质,理解并掌握定积分的几何意义;2、 明确定积分与不定积分概念的区别,会求变上限积分的导数,并熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、 熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法,注意定积分换元法与不定积分换元法之间的相似性与区别;4、 积分计算平面图形的面积,旋转体的体积以及求解简单的经济 应用题;义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法 知道广义积分dx x p ⎰∞+11与⎰101dx x P 收敛的条件,知道Γ函数的概念,基本性质和递推公式七无穷级数1、 了解无穷级数的概念,理解无穷级数收敛与发散的定义,理解无穷级数的性质,会用无穷级数收敛与发散的定义及性质判定简单无穷级数的敛散性;2、 掌握几何级数与级数的敛散性判别条件,知道调和级数敛散性;3、 掌握正项级数的比较判别法,熟练掌握正项级数的比值判别法;4、掌握交错级数的莱布尼兹判别法;5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法;6、掌握级数的收敛半径,收敛区间的求法,知道幂级数的性质,能求幂级数的和函数;7、知道泰勒级数,会将初等函数用间接展开法展开为幂级数;八多元函数1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离,了解空间曲面与方程的关系;了解邻域、开集、区域、闭区域等概念;;2、了解多元函数的概念及图形,掌握二元函数的定义域的求法及几何图形;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、了解多元函数的偏导数与全微分的概念;熟练掌握求偏导数与全微分的方法,了解偏导与全微分间的关系;5、掌握求多元复合函数偏导数的方法;知道多元函数一阶全微分的形式不变性;6、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;7、掌握高阶偏导的求法;8、了解二元函数极值与条件极值的概念;掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极值问题的方法;9、了解二重积分的概念,几何意义与基本性质;掌握在直角坐标系与坐标系下计算二重积分的常用方法;九微分方程与差分方程简介1、理解微分方程的阶,通解与特解等概念;2、掌握可分离变量微分方程,齐次方程和一阶线性微分方程的解法;3、知道二阶常系数线性微分方程的解法;4、理解差分方程的阶,通解与特解等概念;5、知道一阶常系数线性齐次差分方程的通解;知道一阶常系数线性非齐次差分方程的解法6、知道二阶常系数线性齐次差分方程的通解;知道二阶常系数线性非齐次差分方程的解法7、本章内容对于B级班的学生不做要求,而对于A级班的学员不仅要掌握掌握基本知识和基本技能,还要求有一定的综合知识的应用能力;高等数学在经济管理中的应用：边际函数,利润、成本的最优化等; 三、课程教学主要内容第一章函数集合实数集函数关系函数表示法建立函数关系的例题函数的几种简单性质反函数与复合函数初等函数函数图形的简单组合与变换第二章极限与连续数列的极限函数的极限变量的极无穷大量与无穷小量极限的运算法则两个重要的极限函数的连续性第三章导数与微分引出导数概念的例题导数概念导数的基本公式和运算法则高阶导数微分第四章中值定理,导数的应用中值定理未定式的定值法——罗彼塔法则函数的增减性函数的极值最大值与最小值,极值的应用问题曲线的凹向与拐点函数图形的作法变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍第五章不定积分不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数的积分第六章定积分引出定积分概念的例题定积分的定义定积分的基本性质定积分与不定积分的关系定积分的换元积分法定积分的分部积分法定积分的应用定积分的近似计算广义积分与函数第七章无穷级数无穷级数的概念无穷级数的基本性质正项级数任意项级数,绝对收敛幂级数泰勒公式与泰勒级数某些初等函数的幂级数展开式幂级数的应用举例第八章多元函数空间解析几何简介多元函数的概念二元函数的极限与连续偏导数全微分复合函数的微分法隐函数的微分法二元函数的极值二重积分第九章微分方程与差分方程简介微分方程的一般概念一阶微分方程几种二阶微分方程二阶常系数线性微分方程差分方程的一般概念一阶和二阶常系数线性差分方程四、学时分配五、课程与其他课程的联系与分先修课程：后续课程：线性代数、复变函数、概率统计;六教学建议1本课程以课堂讲授为主,精讲多练;在本课程讲授前,先安排学生看一次有关微积分发展史及其应用的录像片,加深学生的感性认识;各章中均选择部分内容引导学生自学;（2）在作业和练习方面,A组题要求每一个学生都会做,B组题主要针对数学基础扎实和有数学兴趣的同学,同时根据教学对象和教学内容的需要,教师可为学生选择一些难度略高于教材的习题,并适当增加应用题的数最,以锻炼学生解决实际问题的能力;（3）根据教育发展的趋势和教学改革的要求,在本课程的教学过程将逐步引入现代化教学手段;鼓励使用多媒体教学或直接使用现成的教学课件;在教学过程中向学生介绍Mathematica,Mathlab、Mathcad等优秀数学软件并进行应用示范;适当介绍数学建模或数学实验等;（4）除教材之外,给学生指定相关的参考书,以拓宽学生的知识面;在教学过程中,任课教师还要向学生介绍主要专业词汇的英语单词,为学生阅读外文数学文献打基础;七推荐教材及教学参考书高等数学,同济大学应用数学系,高等教育出版社,2003实用微积分,张银生安建业,中国人民大学出版社,2002制订：审定：批准：。
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。
填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。
求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。
证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。
第14章 微积分（和微分方程）在经济中的应用一、考试内容与要求1 经济数学中的常用函数(1) 成本函数C(x): C(x)=固定成本+可变成本(2) 需求函数Q(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为Q=a-bp (3) 供给函数S(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为S=c+dp (4) 收益函数R(x): R(x)=x ·p, x 是产量，p 是价格 (5) 利润函数L(x): L(x)=R(x)-C(x) （或-T ，税收）(6) 平均成本函数：C x C x x()()=2 导数在经济分析中的应用(1) 边际概念： y=f(x), 'f x ()0 边际成本: 'C x () 边际收益: 'R x () 边际利润: 'L x () (2) 函数的弹性 y f x x f x f x ==⋅'(),()()ε 特别需求价格弹性：)()(),(p Q p Q p p Q Q '==ε, 或假定Q 为p 的递减函数，且弹性大于零，则)()(p Q p Q p'-=ε. 表示价格每变动1%时，需求量变动的百分数(3) 最值问题 最大利润、最大成本等，通过建立函数关系式转化为一元函数或多元函数的极值与最值问题。
通常，在所求问题只有一个极值点，而所求最值一定存在，则此极值即为最值。
3 微分与差分方程在经济分析中的应用 如已知商品价格弹性，求商品需求函数等问题4 积分在经济分析中的应用如已知总产量变化率dQ/dt, 则时间间隔[a, b]内产量Q =dQ dtdt ab ⋅⎰二、重要公式与结论 1 复利公式分期复利计息公式 A A r t =+01(), 其中r 为年利率 连续复利计息公式 A A e rt =0 现值公式 A Ae rt 0=-2 库存模型某一时期内，需求总量为Q ，分x 次进货，每次进货费用为k, 每件产品库存费用为p, 产品均匀销售，求最优批次，使总费用最小？总成本为： C Qxp x k =+=+⋅库存费进货费用12三、典型题型与例题1 微分在经济上的应用例1 已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x C ++=（元），问： （1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品？（2） 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解 （1） 由240120025000)(x x x C ++=，得平均成本 4020025000)(xx x C ++= 因而401250002+-=x dx C d , 令0=dx C d 得x=1000或x=-1000(舍去). 0100022>=x dxCd ,所以x=1000时，)(x C 取极小值，也即最小值。
