考点过关测试 第11章 概率与统计 2 (文)

2021年高考数学一轮复习第十一章统计与概率课时跟踪检测五十二古典概型文一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(xx·徐州高三年级期中考试)从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是________.解析：由列举法得，基本事件共10个，满足条件的事件共6个，所以概率为610＝35. 答案：352．(xx·苏锡常镇一模)从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有(1,2)，(2,4)，共2个，所以这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：133．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率P ＝412＝13. 答案：134．(xx·苏北四市一模)现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.解析：把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有1种，故所求概率为16. 答案：16 5．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．解析：因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，所以要使其为实数，须n 2＝m 2，即m ＝n .由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率P ＝636＝16. 答案：166．(xx·苏州期末)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为________．解析：设基本事件为(a ，b )，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，共有6×6＝36个．满足a ＋b ＝7的解有6组：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，所以P ＝636＝16. 答案：16二保高考，全练题型做到高考达标1．(xx·南通调研)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率为________．解析：从100张分别写有1,2,3，…，100的卡片中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有1×6,2×6，…，16×6，共16个，所以所取卡片上的数是6的倍数的概率为16100＝425. 答案：4252．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 答案：253．已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}a ，b |a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14. 答案：144．(xx·南京一模)甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________．解析：由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8种情况，编号之和大于6的有(1,6)，(2,5)，(2,6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为38. 答案：385．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 答案：136．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．解析：对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23. 答案：237．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________． 解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25. 答案：258．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 答案：569．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，抽取的卡片上的数字(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89， 因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 10．一个均匀的正四面体四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)记z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根a ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )共有4×4＝16种． 当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2种，所以z ＝4的概率P ＝216＝18. (2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以b ＝3，c ＝4.综上所述，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率P ＝316. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(xx·扬州期末)已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－3,1)，(－3,2)，(－1，－3)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－3)，(1，－1)，(1,2)，(2，－3)，(2，－1)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)这4种能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P ＝412＝13. 答案：132．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的值为________．解析：由题意知，点P 的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种；当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种．因此，当C n 的概率最大时，n ＝2.答案：23．已知集合A ＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M 的坐标(x ，y )满足x ∈A ，y ∈A .(1)请列出点M 的所有坐标；(2)求点M 不在y 轴上的概率；(3)求点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5<0，x >0，y >0上的概率．解：(1)因为集合A ＝{－2,0,1,3}，点M (x ，y )的坐标x ∈A ，y ∈A ，所以点M 的坐标为(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2，3)，(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，共16个．(2)点M 在y 轴上的坐标为(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共4个．所以点M 不在y 轴上的概率为1－416＝34. (3)点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5<0，x >0，y >0上的坐标为(1,1)，(1,3)，(3,1)，共3个．故M 正好落在该区域上的概率为316.。

【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题十一 概率与统计一、选择题1.【2016全国大联考1（山东卷）】将800个个体编号为001~800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121~400的个体中应抽取的个体数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D.2.【2016押题卷2（课标Ⅱ卷）】2016年高考体检，某中学随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表： x 165 160 175 155 170 y5852624360根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则=a （ ） A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.104 【答案】A【解析】由表中数据可得16555x y ，==，∵点,()x y 一定在回归直线方程0.92y x a =+上，∴550.92165a =⨯+，解得96.8a =-．故选A ．3.【2016押题卷1（课标1卷）】某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】C【解析】由题意，得甲组中78888486929095887m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，所以9n =，所以12m n +=，故选C ．4.【2016全国大联考2（课标Ⅱ卷）】高考在即，某学校对2016届高三学生学生进行考前心理辅导辅导，在高三甲班50名学生中，男生有有30人，女生有有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列说法：（1）男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系统抽样； （3）不是分层抽样；（4）每个学生被抽取的概率相同. 以上说法正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（4） 【答案】C【解析】由抽样的概念可知，此抽样方法不是分层抽样，不管用哪种抽样，每个学生被抽取到的概率相同，故（3），（4）正确.5.【2016全国大联考3（课标Ⅱ卷）】已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ） A.310 B.35 C.12 D.14【答案】C【解析】记“第一次取出次品”为事件A ，“第二次取出次品”为事件B ，则3()5P A =， 323()5410P AB ⨯==⨯，所以()1()()2P AB P B A P A ==，故选C ． 二、填空题6.【2016押题卷3（课标1卷）】若样本数据1021,,,x x x 的平均数为10，则数据341-x ，342-x ，…，3410-x ，的平均数为 .【答案】377.【2016押题卷1（课标2卷）】设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________． 【答案】19【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．8.【2016押题卷2（山东卷）】已知两抛物线x x y 22+-=，2x y =，以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能构建一正方形，设两抛物线所围成的图形区域为M ，若某人向该正方形区域内撒一粒黄豆，则黄豆能落在M 内的概率为 ． 【答案】319.【2016全国大联考2（山东卷）】某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]上，其频率分布直方图如图所示，已知各个小方形按高度依次构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)上的产品件数是 ．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238【答案】100【解析】由题意可知0.050,,,,a b c d 构成等差数列，设公差为t 由小长方形的面积之和为1可得(0.050)21a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=， 所以5450.0500.52t ⨯⨯+=， 解得0.025t =.所以0.0500.02520.10b =+⨯=；0.0500.02540.150d =+⨯=. 所以净重在区间[98,102）上的频率为 ()2(0.100.150)20.5b d +⨯=+⨯=. 净重在区间[98,102）上的产品数为 2000.5100⨯=.10.【2016全国大联考4（山东卷）】已知A(0)2，,B a,0，点P 2,1在直线AB 上，函数y sin a x 的最小正周期为μ，若变量X 服从正态分布2N(,a )μ，则X 落在区间4.5,8.5（）内的概率为_________. （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）【答案】0.1359.三、解答题11.【2016押题卷3（山东卷）】人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90． （Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；（Ⅱ）用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X 表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n ，第2组、第3组的频率分别为2p ，3p ， 则30.025350.375p =⨯⨯=，所以390240n p ==， ················································ 3分 由20.375(0.0250.0130.037)51p ++++⨯=，解得20.25p =，所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25．·················· 6分12.【2016押题卷1（山东卷）】有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m 元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议. 【解析】（1）根据对立事件的性质，所求概率为216916565651=⨯⨯-=P …………2分 （2）试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为m m m m -,3,2,，且21675)65(61)(213=⨯⨯==C m P ξ；……………………4分 2161565)61()2(223=⨯⨯==C m P ξ；……………………6分 2161)61()3(333=⨯==C m P ξ；……………………8分216125)65()(303=⨯=-=C m P ξ；……………………10分所以m m m m m E 21617)(2161253216122161521675-=-⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. 显然0<ξE ，因此建议大家不要尝试.………………12分13.【2016全国大联考1（课标I 卷）】某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS 系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如下表所示：（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X ． 下面的临界值表供参考：独立性检验统计量()()()()(),22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中.d c b a n +++=【解析】（1）根据题意列出22⨯列联表如下：()22104910250.4 2.07255552525K -⨯===<⨯⨯⨯⨯，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关； （6分）14.【2016全国大联考1（课标Ⅱ卷）】2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．空气质量指数(0,35](35,75](75,115](115,150](150,250]250>空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲区天数13 20 42 20 3 2乙区天数8 32 40 16 2 2 （Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．.在（Ⅰ）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望；【解析】（Ⅰ）甲区通过监测的概率约为42201331004++=．乙区通过监测的概率约为4032841005++=．15.【2016全国大联考1（山东卷）】在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军.世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛.比赛的积分规则是：30-或者31-取胜的球队积3分，负队积0分；32-取胜的球队积2分，负队积1分.在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为23. （1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？ （2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望.【解析】（1）中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜只有两种可能：以31-获胜或以32-获胜.以31-获胜时，中国队需要在接下来的3局比赛中全部获胜，概率为331328()327p C ==；---------------2分以32-获胜时，中国队需要在接下来的3局比赛中获胜2局，输掉1局，最后的第5局获胜，概率为22232228()(1)33327p C =-=； ---------------4分因此在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是128816272727p p p =+=+=. ---------------5分（2）设中国队与美国队比赛中，中国队获得的积分为ξ，则3,2,1,0ξ=.---------------6分332233222216(3)()()(1)333327p C C ξ==+-=，222422216(2)()(1)33381p C ξ==-=，22241118(1)()(1)33381p C ξ==-=，33223311111(0)()()(1)33339p C C ξ==+-=. ---------------8分 故ξ的分布列如下：ξ 3 2 1 0p1627 1681 881 19---------------10分积分的期望1616811843210278181981E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ---------------12分16.【2016全国大联考4（课标Ⅰ卷）】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15~65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（Ⅰ）由以上统计数据填下面22列联表，并问是否有90％的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据：【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为（0.01+0.01)×10×50=10，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3，45岁以下支持“延迟退休”的人数为25，则22列联表如下：………………………………………………2分2250(257153)40102822K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯429.3≈＞2.706…………………4分所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.…………5分(Ⅱ)由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]的人数都为0.01×10×50=5，其中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]支持“延迟退休”的人数分别为2，1，故ξ的所有可能取值为0, 1,2,3, ………………………6分22342255C C9(0),C C50Pξ===()11221234342255C C C C C1C CPξ+===2512，45岁以下45岁以上合计支持不支持合计年龄45岁以下人数年龄45岁以上人数合计支持25 3 28不支持15 7 22合计40 10 50()22111242342255C C C C C 2C C P ξ+===103， 142255C (3)C C P ξ===251，……………………10分所以ξ的分布列是91231012350251025E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=56. ………………………12分 17.【2016全国大联考4（山东卷）】2016年年初不合格疫苗事件震惊全国，事件发生后，涉事地的某防疫组织迅速行动，对现存有的六类涉事疫苗进行抽样调查，从中共随机抽取了50支疫苗进行达标检验，并将检验结果向社会公布如下：（I ）根据上述检验结果，求a 的值并估计该组织现存有涉事疫苗达标的概率；（II ）若从5号、6号疫苗中各随机选取2支调查，调查的4支中没有达标的支数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解析】（I ）因为调查的共有50支疫苗，所以a 50610121246=-----=.……………………（1分）其中达标的共有：36664328+++++=（支）.…………………………………（2分） 故所求涉事疫苗达标的概率为280.5650P ==．…………………………………（4分）18.[2016全国大联考3(课标I卷)】随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图，（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；（2）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从这20名中选取2名担任主要发言人．记这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100520301035----=，②位置应填数字为：300.30100=．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：22.50.0527.50.2032.50.3537.50.3042.50.1033.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；… 5分（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故ξ的可能取值为0,1,2，215220C21(0)C38Pξ===，11515220C C15(1)C38Pξ===，25220C1(2)C19Pξ===，∴ξ的分布列为：ξ012P21381538119210123838192EX=⨯+⨯+⨯=．……12分19.【2016全国大联考2（课标I卷）】广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x 的分布列及其数学期望．（3）由图可知，年龄在[20,30）的广场舞者有0.00510402⨯⨯=人，在[30,40）的广场舞者有0.0110404⨯⨯=人，所以x 的所有可能取值是0，1，2．………………8分2024261(0)15C C P x C ===， 1124268(1)15C C P x C ===，0224266(2)15C C P x C ===…………10分 x 的分布列如下：18640121515153Ex =⨯+⨯+⨯=．……………………12分。

第十一章概率与统计专题1 概率（文科）【三年高考】1. 【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π42. 【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）45（B）35（C）25（D）153. 【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.254. 【2017课标3，文18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．5．【2017山东，文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.6．【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）567. 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）（A ）710（B ）58（C ）38（D ）3108．【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65（B ）52（C ）61（D ）31 9．【2016高考新课标1文数】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？10. 【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）12011.【2015高考山东，文7】在区间[]0,2上随机地取一个数x,则事件“121-1log2x≤+≤（）1”发生的概率为( )（A）34（B）23（C）13（D）1412.【2015高考山东，文16】某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团8 5 未参加演讲社团 2 30（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.【2017考试大纲】1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 概率问题是每年高考必考内容.主要考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,以及几何概型，条件概率等基本公式的应用.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 只要我们理解和掌握各种概率公式及其应用,夯实基础,利用化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主， 解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势.预测2018年的高考在概率依然会有一道小题，一道大题，难度中等，但应充分注意以统计为载体问题实质涉及概率与统计的综合解答题有可能连续出现，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，概率统计将是重点考查内容.概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.【2018年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式等基本公式的应用, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下.【考点1】随机事件的概率【备考知识梳理】事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）.由定义可知0≤P （A ）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m .使用公式P （A ）=nm 计算时,确定m 、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.【规律方法技巧】求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=nm计算.【考点针对训练】1．【2017届山西省高三3月一模】甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A. 34B. 13C. 310D. 252.【天津市河东区2017届高三二模】为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )A. B. C. D.【考点2 】互斥事件有一个发生的概率【备考知识梳理】事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）.对于n个互斥事件A1，A2，…，A n，其加法公式为P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）. 概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用. 【规律方法技巧】如果某事件A 发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A 不发生）所包含的情形较少，利用公式P （A ）=1－P （A ）计算A 的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的. 求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.【考点针对训练】1．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是25，则取得白球的概率等于 （ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 452.【2017届宁夏六盘山高三第三次模拟】从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A =“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是（ ）A ．1个白球2个红球B ．2个白球1个红球C ．3个都是红球D ．至少有一个红球【考点3】相互独立事件同时发生的概率【备考知识梳理】1.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生.当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.2.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =. 在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =.(2)条件概率具有的性质：①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p BC A p B A p C A =+． 【规律方法技巧】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求()P A 和()p AB ，再由()()()/p AB p B A P A =，求()/p B A ； (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再求事件AB 所包含的基本事件数()n AB ，得()()()/n AB p B A n A =. 2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.A 、B 中至少有一个发生：A +B .（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立.（2）若A 、B 相互独立（不互斥）.法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）；法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）；法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.【考点针对训练】1.【重庆市第一中学2017届高三第二次月考】春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（）A. B. C. D.2.【山西省孝义市2017届高三质量检测三】现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）．A. 512B. 12C. 712D. 23【考点4】几何概型【备考知识梳理】1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.（2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数.2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．（3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式() p A=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.3．几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积【规律方法技巧】1.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．2.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【考点针对训练】1．【河北省衡水中学2017届高三第二次摸】《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A. 310πB. 320πC. 3110π-D. 3120π- 2. 【安徽省巢湖市2017届高三最后一次模拟】某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）A. 15B. 310C. 25D. 45【应试技巧点拨】1. 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：2. 第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.2.事件A 的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．4.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．牢记公式()()1n k k k n n P k C p p -=-，0,1,2,,k n =，并深刻理解其含义．5．解答条件概率问题时应注意的问题(1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关键．(2)在求()p AB 时，要判断事件A 与事件B 之间的关系，以便采用不同的方法求()p AB ．其中，若B A ⊆，则()()p AB p B =)，从而()()()P B p B A P A =. 6.几何概型求解时应注意：(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．7.如果题设条件比较复杂，且备选答案数字较小，靠考虑穷举法求解，如果试题难度较大并和其他知识联系到一起，感觉不易求解，一般不要花费过多的时间，可通过排除法模糊确定，一般可考虑去掉数字最大与最小的答案8. 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．9．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．10．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．1.【成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身】有一个正方体的玩具，六个面分别标注了数字1,2,3,4,5,6，甲乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若1a b-≤就称甲、乙两人“默切配合”，则甲、乙两人“默切配合”的概率（）A. 19B. 29C. 718D. 492. 【重庆第二外国语学校2017届高三3月月考】道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48 秒，红灯47 秒，黄灯5 秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ）A. 0.95B. 0.05C. 0.47D. 0.483. 【河南省南阳市2017届高三四模】抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a （若两数相等，则取该数），平均数为b ，则事件“1a b -=”发生的概率为（ ）A. 13B. 14C. 16D. 384. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明． 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2． 设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 134B. 866C. 300D. 5005. 【河北省武邑中学2017届高三第五次模拟】已知函数f （x ）=2sin （2x-3π）-1，在[0, 2π]随机取一个实数a ，则f （a ）＞0的概率为A. 56B. 23C. 12D. 136. 【江苏省盐城市2017届高三第三次模拟】甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为： 甲组：88、89、90；乙组：87、88、92. 如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成。

考点11 回归分析与独立性检验概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。

例如：2021年全国高考乙卷（文）、（理）[17]，2022年全国新高考卷Ⅱ[19]，2022年全国乙卷（文）、（理）[19]，2022年全国甲卷（文）[17]，2022年北京高考[18]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。

〔1〕回归分析的实际应用1.求回归直线方程(线性回归方程)的一般步骤 (1)画散点图； (2)求回归直线方程； (3)用回归直线方程进行预报。

2.利用回归方程进行预测，把回归直线方程看作一次函数，求函数值。

3.利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数bˆ。

4.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当||r 越趋近于1时，两变量的线性相关性越强。

〔2〕独立性检验的实际应用 1.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值0k ；(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()02k K P ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y有关系”。

2.独立性检验的应用可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。

具体做法是： (1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值0k ； (2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ；(3)如果0k k ≥，就说有()()%100102⨯≥-k K P 的把握认为“X 与Y 有关系”(或说在犯错误的概率不超过()2k K P ≥的前提下认为“X 与Y 有关系”)，否则就说样本观测数据没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据(或说在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能认为“X 与Y 有关系”)。