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第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有:n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 (分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）;二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ,且：3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且:组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关；组合与顺序无关。
()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示； （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示(φ读作“fai ”)； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率； 3、 概率（1） 一般地,当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：; （2） 概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率:设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为:（3） 事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作：AB ；（4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”)（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ；（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件(互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件)（8） 相互独立事件:在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立;（事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量; 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：()n x x x nx +++=2112、 样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。
第十单元概率与统计初步一教学要求1．掌握分类计数原理和分步计数原理．2．理解随机事件，频率和概率的概念．3．理解概率的简单性质．4．了解直方图与频率分布的概念．5．了解总体与样本的概念．6．了解样本的抽样方法．7．理解均值标准差的概念；会用样本均值、标准差估计总体均值、标准差．8．了解相关关系及一元线性回归分析．9．培养学生的计算工具使用技能，数据处理技能和分析与解决问题能力．二教材分析和教学建议（一）编写思路1．由浅入深，强调基础概率与统计这部分知识，对于中职的学生来讲，无论是在概念、公式的含义上，还是在解题的思路上，都有一定难度，由于他们的数学基础水平低，学习起来困难会多一些．但是概率统计作为应用知识的一部分，更是一种重要的思想方法，一种思维方式，是他们应该学习和了解的．因此，本单元概率与统计初步在编写中，遵照大纲精神，选择了概率统计中最基础最重要的知识，由浅入深，多讲实例，淡化理论，强调理解与应用．在概率部分，只介绍了随机事件和频率的概念；给出了概率的统计定义和概率的简单性质；在统计方面，则在复习初中学过的简单统计知识的基础上，只介绍了样本的概念与抽样方法，用样本估计总体的方法．2．多讲实例，淡化理论为了降低难度，便于学生理解与掌握，教材中的概念大多是通过实例引入的，对于一些公式，则略去了推导与证明，只是作了一些必要的说明，如互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的乘法公式等．在这里，教材都通过例题讲解了公式的使用方法，强调了对公式的直接应用．3．加强计算器及计算机相关软件的使用本单元中，样本的抽取，总体的频率分布，均值与标准差，用样本估计总体的均值与标准差，回归分析等部分由于涉及的一些计算比较复杂，都需要使用计算器或计算机相关软件，从而培养学生的计算工具的使用技能，数据表格处理技能及分析，解决问题能力．教材在各相应部分安排了应用计算器和计算机相关软件解题的内容．4．重点与难点本单元的重点概念是：随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等．重要方法是：简单随机抽样的方法，用样本估计总体的方法，回归分析的方法．重要思想是：随机思想、统计思想．本单元的难点是：概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．（二）课时分配本单元教学约需16课时，分配如下（仅供参考）：10．1计数原理约2课时10．2随机事件与概率约2课时10．3概率的简单性质约2课时10．4直方图与频率分布约2课时10．5总体与样本约1课时10．6抽样方法约1课时10．7均值与标准差约2课时10．8用样本估计总体约1课时10．9一元性回归约1课时归纳与总结约2课时（三）内容分析与教学建议10．1计数原理1．教材通过对两个具体实例进行分析，引进了分类计数的加法原理和分类计数的乘法原理．实际上这两个原理本身就是人们通过大量实践经验归纳抽象出来的，因此称为“基本原理”．在本单元中，它们是概率统计计算的依据．2．教学时，在给出原理之前，一定要使学生获得必要的感性认识，对引例要讲得清晰明确．（1）叙述和讲解例题时，要准确使用分类及分步等术语；（2）将分类及分步的具体内容列举出来；（3）讲过加法原理之后，在讲乘法原理的引例的时候，一定要和加法原理的引例加以比较，突出它们的区别；（4）让学生直接参与基本原理的引入，除了解答教材中提出的问题外，还可以让学生自己举出一些类似实例，以使学生由被动接受变为主动思考，然后由师生一起归纳出基本原理．3．两个原理都讨论“做一件事”，确定“完成这件事所有的不同方法的种数”但这里所指的“做一件事”是一个比较抽象的概念，它不同于学生在小学、初中解应用题时遇到的“做一件工作”、“完成一项工程”等，其含义比这要广泛得多，讲解例题时，要着重说明该题的“做一件事”究竟指的是什么．例如：（1）从甲地到乙地；（2）从甲地经乙地到丙地；（3）从三个班中任选一名三好学生；（4）从三个班中各选一名三好学生；（5）由5个数字组成没有重复数字的两位偶数．这些都是原理中所说的“做一件事”．明确了什么叫“做一件事”，才能去分析完成这件事可以采取什么方法，是分类还是分步，从而确定该题是使用分类计数的加法原理还是分类计数的乘法原理．4．教材明确指出了两个基本原理的区别，这在教学中要结合实例加以阐述和强调，同时要注意：（1）“做一件事，完成它可以有n类方式”，这里是对完成这件事的所有方式的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在这个确定的标准下进行分类．标准不同，分类的结果就不同．其次，分类应满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，才能正确使用分类计数的加法原理．（2）“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这里是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n步执行．和分类计数的加法原理一样，分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，然后在这个确定的标准下进行分步．标准不同，分成的步骤数也可以不同．一个合理的分步还必须满足两个要求：第一，完成这件事必须而且只需连续完成这n步．这就是说，分别选自这n个步骤的n个方法，对应了完成这件事的一种做法；第二，做每一个步骤时，选用的方法和做上一个步骤时选用的方法是无关的，并且每一个步骤的完成方法种数正好是完成这个步骤所有方法的种数．只有满足这些条件，才能正确使用分步计数的乘法原理．5．例题的教学，要紧密联系基本原理，有意识地培养学生从两个基本原理出发思考问题的习惯．简单的问题，可以单独使用分类计数的加法原理或分类计数的乘法原理，有些问题常常同时要用到两个基本原理或可以分别用两个原理去做．稍复杂一些的问题，在具体“分类”和“分步”时，学生常常感到困难，因此需要多多练习，不断积累经验，逐步做到恰当分类，合理分步．10．2随机事件与概率1．本节内容包括随机现象，随机试验，随机事件，频率等基本概念及概率的统计定义．2．通过观察几个例子，教材接连给出了随机现象，随机试验，随机事件这三个概念，它们之间虽然没有概念的种属关系，但彼此是有关联的，都是在前一个概念的基础上，定义后面的概念，接下来与事件有关的概念也是这样给的，这种给出的形式密度虽显稍大，但是学生并不难理解，反而会感到前后关联，容易接受．为了便于学生理清层次，可给出下面的链式：现象→随机现象→随机试验→随机事件（含必然事件和不可能事件）→基本事件→复合事件．为了使学生更好地理解这些概念，教师可根据实际，多举一些例子．其中搞清基本事件的个数是个难点，教学中应注意培养学生这方面的能力．3．研究随机现象的规律性是通过随机试验进行的．关于随机试验，有如下严格的定义：（1）试验在相同条件下，可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，而且所有可能结果事先都是明确的；（3）每次试验在其最终结果揭晓前，无法预言会发生哪一个结果．4．随机事件在一次试验中是否发生，不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生会呈现出一定的规律性，怎样观察和发现这种规律性呢？这种规律性是通过什么体现出来呢？通过观察事件在大量重复试验中所发生的频率，可以发现这种规律．频率是这样一个量，即该事件发生的次数与试验总次数的比值，频率随试验次数的不同而不同．这一点通过教材中的例子可以清楚地反映出来．5．频率具有稳定性．这种稳定性把随机事件发生的可能性大小客观地反映出来，利用这种稳定性，教材给出了概率的统计定义．可以认为概率是频率在理论上的期望值．例如，对一批零件进行抽查计算，得出这批零件合格品的概率是98%，那么，如果将这批零件全部装箱，其中每箱装1000个，那么可以估计平均每箱含有合格品980个，这是箱中含有合格品数的理论上的期望值．但在实际情况中，每箱的合格品数可能略多于980个也可能略少于980个．6．对于必然事件，因为每次试验中它一定发生，试验重复进行n次，它也发生n次，因此它的频率总是1；对于不可能事件，因为每次试验中它一定不发生，试验重复进行n次，它发生的次数应是0，因此它的频率总是0.7．概率的统计定义实质是给出了概率的近似值，用抛掷硬币这个传统，经典的试验，说明一个事件的频率稳定在它的概率左右，是多数教科书的编者所采取的方法，这个试验简单，做起来方便，不需要什么成本，任何人随时随地都可以做，所以教学中教师也不妨让学生做一做，亲自试验体验一下．8．事件的频率和事件的概率是两个不同的概念，随机事件的频率与试验次数有关的一个相对数量，是随着试验的不同而不同．而事件的概率反映的是随机事件的某种本质属性，是与试验次数无关而客观存在的一个确定的数．频率是概率的表现形式，概率决定着频率的变化趋势，概率才是随机现象的本质属性．9．本节教学内容的重点是随机事件等有关概念和概率的统计定义，频率的计算，概率的确定．难点是搞清基本事件的个数，确定某事件的概率及分析概率问题的思想方法，解题思路．概率问题的思考方法，学生接受起来比较困难，为此，应加强概念教学，加强对容易混淆的概念的区别与比较，来加深学生对有关概念的理解．10．3概率的简单性质1．本节内容包括概率的四个简单性质：（1）必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0；（2）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（3）如果A，B是互斥事件，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；（4）如果A，B是相互独立事件，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．2．由于必然事件的频率总是1，所以它的概率等于1，由于不可能事件的频率总是0，所以它的概率等于0；根据，0≤W（A）≤1，不难得到0≤P（A）≤1，这里的事件A显然是随机事件、必然事件、不可能事件三者的统称．3．性质（3）是互斥事件的概率加法公式．互斥事件是指在一次随机试验中，不可能同时发生的两个事件，在众多事件中，辨认、识别互斥事件，举出互斥事件和非互斥事件的例子，是使学生理解并掌握这一概念的方法．教师可以学生熟悉的实例，让学生多做一些这样的练习．所谓“A＋B”事件，是指在同一试验中，A或B中有一个发生它就发生的事件．教材中提到的“A或B中至少有一个发生”的事件就是指“A＋B”事件．实际上，对于“A＋B”事件，不论A与B是不是互斥事件，总是存在的．互斥事件的概率加法公式，教材是直接给出的，没有加以证明，教材主要是要求学生能理解其含义，掌握其使用条件，会用来计算即可．例1是互斥事件的概率加法公式的直接应用．4．对立事件是互斥事件的一部分，即其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件．这就告诉我们，对立事件首先是互斥事件，但互斥事件不都是对立事件，只有那些必有一个发生的两个互斥事件才叫做对立事件．教材给出了对立事件计算公式的一个简单证明，只需学生了解即可，例2是对立事件计算公式的直接应用．5．教材借助于实例给出了相互独立事件的描述性定义，要确切地表示它，需要涉及条件概率的概念，但是本教材没有出现条件概率的概念，因此，为了让学生能正确理解两个事件的相互独立关系，可以让学生自己举一些相互独立事件的例子，共同分析相互独立的两个事件中“一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响”这一特征．同时要将“相互独立”与“互斥”两个概念加以区别，让他们在对比中理解和掌握相互独立这一概念．6．如果事件A与B是相互独立的，那么事件A与B，A与B，A与B也相互独立．这一性质很重要，例4，例5就应用了这个性质，从而使计算得到了简化．讲解时应加以强调，以引起学生重视．7．本节教材重点是互斥、对立及相互独立事件的概念及有关计算，难点是三种事件关系的区别．10．4直方图与频率分布1．本节的内容是直方图与频率分布及学习用样本频率分布来估计总体频率分布的方法、步骤．2．在获取了样本资料以后，要对样本数据进行整理．先根据样本资料列频率分布表，再画频率分布直方图，这是由样本估计总体分布的基本方法．这从理论上讲并不难，只是具体操作起来比较麻烦，教学中应结合例题把列频率分布表和画频率分布直方图的步骤、要领讲清，要让学生自己动手，通过实际操作掌握方法，要让学生知道，对样本数据的整理是统计工作的基本功，尽管麻烦但很重要，因此要多加练习，培养自己认真细致的实战作风，从而提高计算能力，提高工作能力．3．频率分布表可以清楚地反映样本数据的分布规律，列这个表需要四个步骤，即：（1）计算极差；（2）决定组距与组数；（3）确定各组分点；（4）列频率分布表．前三步是对数据的整理，决定组距与组数需要根据具体情况灵活处理，第四步列频率分布表时，需要依次计算各个频率，计算量大些，要仔细耐心，算完之后可以将所有的频率相加看是否得1，以进行检验．完成这四步之后，可以利用其结果，画频率分布直方图．4．频率分布直方图可以将频率分布表中反映出来的规律直观形象地表示出来．画频率分布直方图之前需要建立一个坐标系，横轴表示数据，将各组数据的分点标在横轴上；纵轴表示频率与组距的比值．各个小长方形的面积等于相应各组的频率，这样频率分布直方图就以图形的面积形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．在频率分布直方图中，由于各小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1，因此各小长方形的面积的和等于1.5．利用Excel表格做直方图，培养学生数据处理能力是大纲明确提出的要求，为了便于学生掌握，教材给出了具体步骤，可让学生按照步骤来操作．6．本节教学的重点是频率分布表，频率分布直方图的绘制；难点是样本数据的整理．10．5总体与样本1．本节的内容是复习总体与样本的概念．2．关于总体与个体，不是笼统地指总体与个体本身，而是指总体与个体的某一数量指标，例如：灯泡的使用寿命，玉米的产量，学生的身高等．因此总体可以看做是某些数据的集合．3．样本是总体这个集合的一个子集．它由总体中的一部分个体组成，这部分个体的数量叫做样本的容量．4．本节教学的重点是掌握总体与样本的概念，理解二者之间的关系．10．6抽样方法1．本节的内容是样本抽取的三种方法：简单随机抽样法，系统抽样法，分层抽样法．2．在讲解每一种抽样方法时，应结合具体问题进行演示与讲解，首先要讲清简单随机抽样，系统抽样，分层抽样三种抽样方法的原理与步骤，并通过对具体问题的解决让学生进3. 统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局部推断整体，这就要求样本应具有良好的代表性，而这完全取决于抽样方法的客观合理性．可见，抽样是选取样本的基础，样本的选取是否恰当，对于研究总体是十分关键的．因此在教学中，要提高对抽样方法重要性的认识．4．本节只讲了具体的抽取方法，关于如何确定样本容量的内容，由于大纲没有涉及，所以本教材也没有做定量的介绍，样本容量的大小，一般取决于下面几个因素：（1）总体中每个个体的差异较大，样本容量就要大些；（2）抽样调查的力量大（人员多，财力强，时间长等），则应要求较小的误差，反之则可允许较大的误差，而误差的大小决定或影响着样本容量的大小；（3）对抽样调查结果愿意承担较小的风险，则应加大样本容量，反之则可适当减少样本容量；（4）在其他条件相似的条件下，不同的抽样方法也可影响到样本容量的大小．5．还应该提出的是，完全随机的样本，在现实中是很少的，因为每一次抽取总是要直接或间接地通过人的判断来执行．也就是说，随机抽样只是一种理想的情况，况且在实际问题中，有时考虑到一些具体因素（例如抽样的代价），也可能有意识的不采用随机抽样的方法．由样本推断总体必然会有误差，但是这种误差是我们可以掌握的，我们可以通过概率论和数理统计的理论和方法，对这些误差进行估计和适当的控制．6．本节教学的重点和难点是对三种抽样方法的掌握．10．7 均值与标准差1．本节的内容是均值与标准差的意义及计算方法．2．上一节给出了用样本频率分布来估计总体频率分布的方法，可以使我们对总体的统计规律有一个直观，完整的了解，但在很多情况下，我们并不需要知道总体的分布状况，而只需要知道它的某些特征就够了，例如，在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，零件长度的测量值每次测量不尽相同，是一个随机变量，一般我们只关心这一零件的平均测量长度及测量结果的精确度，即要求知道测量长度的平均值与离散程度．又如，对一个射手的射击技术的评定，除了根据他多次射击的平均命中环数之外，还要看他各次射击命中的环数与平均命中环数的偏差（也就是射击的散布程度）大不大，偏差越大，表明射击命中点越分散，射击的技术越不稳定．由这些例子可以看出，我们引进一些用来表示平均值和衡量离散程度的量，这些量能够刻画随机变量的主要性质，我们称之为随机变量的数字特征，其中最重要的是均值与标准差．数字特征及其运算在概率统计中起着重要作用，利用它们可以使许多问题的解决大大简化．3．对于均值的计算，教材给出了两种情况及两个计算公式，它们是：x ＝1n （x 1＋x 2＋…＋x n ）＝1n ∑i ＝1n x i ； x ＝x 1·f 1n ＋x 2·f 2n ＋…＋x k ·f k n ＝∑i ＝1k x i ·f i n. 教学中，要让学生能根据不同情况选择不同的公式．4．对于标准差的概念，本节只是明确了它的意义，即“它可以用来衡量一组数据的波动大小，标准差越大，说明这组数据波动越大”．因此本节主要强调标准差的计算及两组标准差大小的比较．5．本节教学的重点和难点是均值与标准差的计算．10．8 用样本估计总体1．本节内容是对总体均值与标准差的估计．2．用样本的均值x 估计总体均值和用样本的标准差估计总体标准差都属于无偏估计． 所谓“无偏估计”就是使估计量符合下面三个标准：（1）无偏性．设θ^（x 1，x 2，…，x n ）是总体中某参数θ的估计量，若E （θ^）＝θ，则称θ^是θ的无偏估计量．我们用x ＝1n ∑i ＝1n x i 去估计总体均值E （x ）＝m ，因为 E （x ）＝E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ∑i ＝1n x i ＝1n ∑i ＝1n E （x i ）＝1n ·n ·m ＝m . 所以估计量x 是满足无偏性的．同样用样本标准差S 去估计总体标准差也具有无偏性．（2）有效性．设θ^1与θ^2都是θ的无偏估计量，若D （θ^1）＜D （θ^2），则称θ1比θ2更有效．用x 和S 来估计总体的均值和标准差比其他估计量更有效．（3）一致性．我们希望，当n 越来越大，n →∞时，估计量θ^对θ的估计越精确，越一致．如果P （||θ^ (n)－θ＜ε＝1，则称θ^（n ）是θ的一致估计量，可以证明，样本均值x 是总体均值的一致估计量，S 也是总体标准差的一致估计量．关于无偏估计的概念不必告诉学生．3．计算均值与标准差可以利用计算器和计算软件，这样可以使繁杂的计算变得简单．4．本节教学内容的重点和难点是对总体均值与标准差的无偏估计． 10．9 一元线性回归1．本节内容是一元线性回归方程的建立．2．变量之间的关系，有一种是确定性关系，如正方形的面积S 与边长x 之间的关系S ＝x 2就是确定性关系； 圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系C ＝2πr 也是确定性关系．变量之间除了具有确定性关系之外，还存在一种非确定性关系——相关关系．例如施肥量与亩产量之间虽然不能确定出准确的函数关系式，但它们之间却具有相关性；又如，高中毕业生毕业考试成绩与高考成绩，虽然不具有确定性关系，即二者之间不可能建立精确的函数表达式，但它们的关系也非常密切，一般来说，毕业成绩好的学生高考成绩也比较好．具有相关关系的变量之间，存在着一定的统计规律性，线性回归就是研究这种规律的手段之一．3．观察散点图是求回归直线方程前非常重要的步骤．如果所有的散点大体上散布在某一条直线附近，就可以认为y 对x 的回归函数类型为直线型．通过观察散点图，可以画出不止一条直线，那么，其中哪一条直线最能代表变量y 与x 的关系呢？为了不涉及更多的线性相关的知识，可以认为在整体上与这几个点最接近的一条直线，就是所求的直线，并设为y ^＝a ＋bx ，此处应提醒学生这个解析式不同于一次函数解析式的表示方法．4．再由y ^＝a ＋bx 得到y ^＝a ^＋b ^x 时，教材没有给出a ^，b ^的求解过程，只是说“利用微积分的知识可以算得，当a ^，b ^为下列值时，所得回归直线最好” ，然后就是结论：a ^＝y －b ^x ，b ^＝S xy S xx， 其中，x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1n y i ， S xy ＝∑i ＝1nx i y i －n xy ，S xy ＝∑i ＝1n x 2i －n x 2.这里，只要求学生会用这些公式计算，求出a ^，b ^即可．对于这些较复杂的计算，还是训练学生使用计算器和计算软件计算为好．5．教学中应告诉学生，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 与具有函数关系的直线方程y ＝a ＋bx 不同．满足函数关系y ＝a ＋bx 的任意一点（x i ，y i ）一定落在直线y ＝a ＋bx 上，而有相关关系的两个变量的任一观测点（x i ，y i ）都不能保证严格地落在直线y ^＝a ^＋b ^x 上．6. 本节教学内容的重点是一元线性回归方程的建立，难点是方程系数a ^，b ^的计算．（四）复习建议1．学完全单元之后，学生需要对全章知识要点有一个清楚的了解，教材以填空题的形式对全单元内容作了归纳与总结，目的是让学生参加归纳与总结的过程，以达到复习的效果．2．本单元从知识结构上分为三部分：计数原理、概率与统计．计数原理部分分别介绍了分类计数的加法原理和分步计数的乘法原理；概率部分在介绍了随机事件，随机试验，基本事件，频率等基本概念之后给出了概率的统计定义，并安排了概率的简单性质等内容；统计部分在复习了总体，个体，样本等概念之后，介绍了抽取样本的三种方法，在用样本推断总体方面，给出了用样本频率分布推断总体频率分布的频率分布直方图，用样本均值推断总体均值，用样本标准差推断总体标准差的估计，最后简单介绍了相关关系及回归分析．3．在本单元的复习中，应结合专业，加强实践，做到理论能联系实际．例如：关于抽取样本的内容比较繁琐，实际操作上有许多程序，写下来颇费纸张，这部分复习时，就应以实践为主，可以找一个学生熟悉的例子，用适当的方法搞一次抽样调查，在实践中，教师和学生共同总结这部分内容．4．在本单元的复习中，应加强计算器和计算软件的使用教学，在“归纳与总结”中，特意安排了一个计算器和计算软件使用的例题，目的是希望教师能在复习中集中指导 一下计算器和计算软件的使用，提高学生使用计算工具和数据处理的能力．。
概率与统计初步概率与统计初步教案一、引言概率与统计是一门应用广泛的数学学科，它研究的是随机事件的发生概率以及通过收集和分析数据来推断总体特征的方法。
本课程将以初步的形式介绍概率与统计的基本概念、方法和应用。
二、概率的基本概念1.概率的定义概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。
介绍概率的定义，包括频率概率和几何概率的概念。
2.概率的性质介绍概率的几个基本性质，如概率的非负性、概率的规范性、概率的可列可加性等。
3.事件的关系与运算介绍事件的包含、交、并的关系，以及事件的补运算等。
三、概率的计算方法1.古典概型的概率计算介绍古典概型的概率计算方法，包括等可能原理的应用。
2.频率概率的概率计算介绍频率概率的计算方法，包括相对频率和极大似然估计等。
3.几何概率的计算介绍几何概率的计算方法，包括正方形和圆上的点的计数等。
四、条件概率与独立性1.条件概率的概念与性质介绍条件概率的定义和性质，以及条件概率的计算方法。
2.乘法定理与贝叶斯公式介绍乘法定理和贝叶斯公式的概念和应用。
3.独立事件的概念与性质介绍独立事件的定义和性质，以及独立事件的计算方法。
五、随机变量与概率分布1.随机变量的概念与分类介绍随机变量的定义和分类，包括离散随机变量和连续随机变量。
2.概率分布函数与密度函数介绍概率分布函数和概率密度函数的概念和性质。
3.常见概率分布介绍常见的离散型概率分布和连续型概率分布，包括二项分布、正态分布等。
六、统计的基本概念和方法1.总体与样本介绍总体和样本的概念，以及总体参数和样本统计量的区别。
2.抽样与抽样分布介绍随机抽样和抽样分布的概念，包括正态总体和大样本抽样和小样本抽样。
3.参数估计介绍参数估计的概念和方法，包括点估计和区间估计。
4.假设检验介绍假设检验的概念和步骤，包括零假设和备择假设的提出和检验。
七、概率与统计的应用1.生活中的概率与统计介绍概率与统计在日常生活中的应用，如赌博、保险、抽奖等。
2.工程中的概率与统计介绍概率与统计在工程领域中的应用，如可靠性分析、质量控制等。
第七章 概率与统计初步概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律的一门科学，它在自然科学，工程技术和经济管理等方面都有广泛应用。
本章我们主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的数字特征和参数估计。
§7.1 随机事件与概率一. 随机现象与随机事件在自然界与人类社会生活中常常会遇到两类现象，一类是确定性现象，另一类是随机现象。
例如，抛掷一枚硬币，必然会下落；在标准大气压下，C100的水必然沸腾等等是在一定的条件下必然会发生的现象，这些现象称为确定性现象。
而抛掷一枚硬币，下落后可能出现正面也可能出现反面；产品进行质量检查，任意抽取到的产品可能是正品也可能是次品；某人进行一次射击可能命中也可能不命中等等．在一定的条件下可能发生也可能不会发生的现象，这些现象称为随机现象或者不确定性现象。
表面上看随机现象具有偶然性和不确定性，但在相同条件下进行大量的重复试验就会发现其结果会呈现出某种规律性．对随机现象进行一次观察或试验称为一次随机试验（简称试验）。
这种试验有以下特点：可以在相同的条件下重复进行，每次试验的所有可能结果事先是已知的，但试验前不能确定哪一个结果出现。
如抛硬币或从一批产品任意抽取产品观察其结果都是随机试验．随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件（简称事件），常用大写字母⋅⋅⋅C B A ,,表示。
例 1 抛掷一枚均匀的骰子，“出现k 点”)6,5,4,3,2,1(=k 是随机事件，分别记为)6,,2,1(⋅⋅⋅=k A k ；“出现大于3的点数”，“出现偶数点”，“出现不大于6的点数”也都是随机事件，分别记为.,,C B A在例1 中，事件61,,A A ⋅⋅⋅是试验中不可能再分解的事件，称之为基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间（记为)Ω，每个基本事件称为样本点，如例1中},,,,,{654321A A A A A A =Ω，其中)6,5,4,3,2,1(=k A k 都是样本点。
高中一年级数学概率与统计初步概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是不确定性事件以及对这些事件的描述、分析和预测。
在高中一年级的数学课程中，学生初步接触到了概率与统计的基本概念和方法，为进一步深入学习打下了坚实的基础。
本文将针对高中一年级学生所学的数学概率与统计进行简要介绍。
一、概率的基本概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，在数学中用于表示事件发生的可能性。
概率的值域在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.1 样本空间与事件概率实质上是建立在样本空间和事件的基础上的。
样本空间是指所有可能结果的集合，而事件则是样本空间中的某个子集。
例如，投掷一枚硬币的样本空间为{"正面", "反面"}，而事件可以是"出现正面"或者"出现反面"。
1.2 古典概型与频率概型古典概型是指每个结果出现的可能性相等的情况，例如投掷一枚均匀硬币的正面和反面的可能性相等。
频率概型则是指根据大量实验得到的结果所形成的模型，例如通过大量投掷硬币实验得到的正面和反面出现的频率。
1.3 概率的四则运算法则概率的四则运算法则包括加法法则、乘法法则以及减法法则。
当事件之间互斥时，可以使用加法法则计算它们的概率；当事件之间独立时，可以使用乘法法则计算它们的概率；而减法法则则用于计算与某个事件互补的事件的概率。
二、统计的基本概念与常用方法统计学是研究多个随机事件的规律和特征的科学，它包括描述统计和推断统计两个方面。
在高中一年级数学课程中，学生主要学习了描述统计中的频数、频率和简单的图表绘制。
2.1 频数与频率频数是指一组数据中某个数据值出现的次数，而频率则是指某个数据值出现的次数与总次数的比值。
频数和频率可以用来描述一组数据的分布情况，例如柱状图和折线图。
2.2 数据的图表绘制柱状图、折线图、饼图和频数分布表等是常用的数据图表形式。
高中二年级数学概率与统计初步概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了概率和统计两个方面。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据进行收集、分析和解释，来给出结论。
本文将从概率和统计两个角度来介绍高中二年级数学中的初步内容。
一、概率1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在实际生活中，我们经常会遇到概率的问题，比如投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，抽一张扑克牌时抽到黑桃的概率是多少等等。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指某个具体结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，事件可以是正面朝上，样本空间可以是{正面，反面}。
1.3 概率的计算方法在概率的计算中，有两种主要的方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过做大量的实验来计算概率，古典概型法是通过确定每个结果出现的可能性来计算概率。
二、统计2.1 数据的收集与整理统计的第一步是收集数据，并对数据进行整理和分类。
我们可以使用表格、图表等形式来展示数据，以便更好地进行分析。
2.2 数据的描述性统计描述性统计是用来对收集到的数据进行概括和描述的方法。
常用的描述性统计方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2.3 样本与总体在统计学中，我们通常会采集一部分数据作为样本，用来对整个总体进行推断。
样本的选择要具有代表性，以确保结果的可靠性。
2.4 统计推断统计推断是通过对样本数据进行分析，来推断总体的特征和性质。
常用的统计推断方法包括假设检验、置信区间等。
结论概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
通过学习概率与统计，学生可以培养逻辑思维能力，提高数据分析和决策能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对读者对高中二年级数学概率与统计初步有所帮助。
2023成考数学考试范围以及考点
2023年成人高考数学考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。
具体考点可能包括但不限于以下几个方面：
代数部分：
1.函数与方程：包括函数的定义、性质以及常见的函数类型，如线性函数、二
次函数等。
同时，方程也是考试中的热点内容，特别是一元二次方程和一元一次方程的解法和应用。
2.函数与极限：函数的定义、性质、图像和变换，极限的概念和计算
三角部分：
1.微分方程：一阶和二阶微分方程的基本概念和解法。
三角函数及其性质：包
括正弦、余弦、正切函数的定义、性质和图像。
2.三角函数的变换：包括三角函数的和差化积、积化和差等变换。
平面解析几何部分：
1.线性代数：向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量等。
2.直线与方程：包括直线的点斜式、斜截式等方程形式。
3.圆与方程：包括圆的标准方程、一般方程等。
概率与统计初步部分：
1.概率初步：包括概率的基本概念、事件的概率计算等。
2.统计初步：包括数据的收集、整理和描述，以及简单的统计推断。
3.概率论与数理统计：随机事件、概率计算、随机变量、分布函数、期望和方
差、抽样分布和参数估计等。
请注意，以上只是可能的考点，具体考试内容和考点可能会根据当年的考试大纲有所调整。
因此，建议考生在备考时，除了掌握基础知识外，还要关注当年的考试大纲和考情分析，以便更准确地把握考试方向和重点。
概率与统计初步§ 9.1计数原理(1)某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下 9间单人房、2间双人房，则现在住宿有种不同的选择；解：共有4 • 6 • 9 • 2 = 21不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)(2)一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有___________________________________ 种不同的选择；解：共有：12 8 =96种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步, 先订一间单人房，有 12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有 8种不同选择；用乘法计数原理，共有12 8 =96种不同选择；)(3)4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，共有_______________ 种不同的投递的方法；分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三圭寸信、第四步考虑第四圭寸信，同样都有3种不同的投递方法所以完成这件事情共有： 3 3 3 3 = 34 =81种不同的投递方法；(4)4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有 _____________ 种；2分析：(捆绑法)分两步：第一步在四封信中抽出两封，有 C 4种不同的方法；第二步把这两圭寸信捆绑，看成一圭寸信，和剩下的另外两圭寸信构成三圭寸信，按排列的方法放入三3个邮箱(即：三个位置)，有A3种不同的方法；所以完成这件事情共有：c4 A3二 g 3 2 1 = 36种不同的投递方法;2沢1(5)3封不同的信，要投到 4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；分析：从信件入手考虑问题；共 3封信，每封信都可以投入 4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题 3 ,,所以共有34 4 4 =4 =64种不同的投递方法;⑹ 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _______________________________________________________ 种;解：共有：7 8 6 21种不同的选法；(只选一本书，“一步可完成”，用加法原理)⑺ 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有__________________________________ 种; 解：共有：8 7 =56种不同的选法；(分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，用乘法原理：第一步，从 8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有 7种不同的选法)(8) ____________________________________________________________________ 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有_____________________________________________ 个;一 3解：共有5 5 5 =5 =125个三位数；(分析组成三位数的各个位数上的数字可以重复，分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有 5种选法;第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从5个数字中任取一个，同样有5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有5种选法；所以完成这件事情，共有5 5 5 =53 =125个三位数，如图：方法数： 5 5 5 )百位十位个位(9) ____________________________________________________________________ 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有_________________________________ 个; 解：共有5 4 3 =60个三位数；(组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有 5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有 3种选法；完成这件事情，共有5 4 3 = 60个三位数，如图：方法数： 5 4 3百位十位个位§ 9.2排列组合(10)7人站成一排，一共有_____________ 种不同的排法；解：共有Aj =765432 1 =5040种；(分析：与顺序有关，是排列问题)(11)7人中选出3人排成一排，一共有_________________ 种不同的排法；3解：共有A；7 6 5 = 210种不同的排法；(分析：与顺序有关，是排列问题)(12)7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有_________ 种不同的选法；37汇6汇5解：共有C7 35种不同的选法；(分析：与顺序无关，是组合问题)3汉2汉1(13)5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有________________ 种不同的排法；解：共有1 A：=24种不同的排法；(分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有A： =4 3 2 1 =24种4不同的排法；所以共有：1 A4 =24种不同的排法；）小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；（14）___________________________________________________________ 8人排成一排，其中 A、B 两人必须排在一起，一共有________________________________________ 种不同的排法；7 2解：共有A7 A2 =5040 2 =10080种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，将A、B两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是 7个人排成一排，共有A；=765432 1 =5040种不同的排法；第二步，将A、B两人在队伍中进2行排列，不同的排法有 A 2 =2 1=2种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：A7 A2 = 5040 2 = 10080种不同的排法）小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法称为"捆绑法”；（15）_________________________________________________________________________ 8人排成一排，其中 A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有________________________________________________________________________________________ 种不同的排法；5 3解：共有：A A =120 60 =7200种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先不排A、B、C三人，把剩下的5个人进行排列，共有A5 ^5 4 3 2 1=120种不同的排法；第二步，将 A、B、C三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于 A、B、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有A =5 4 3 =60种不同的5 = 7200种不同排法）排法；共有：A5 AA B C小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素，再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。
概率与统计初步概率与统计是一门研究随机事件发生规律以及数据分析的学科。
它在现代科学中具有重要的地位和作用。
通过概率与统计的方法，我们能够更好地理解和解释自然界中的现象，并能够进行科学推断和决策。
一、概率的基本概念概率是指某一事件发生的可能性大小。
在概率的计算中，我们通常使用百分数或分数来表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
在计算概率时，我们可以使用公式P(A) = 事件A发生的次数 / 总次数。
二、概率的计算方法1.古典概率古典概率是基于“等可能性原则”的概率计算方法。
当事件发生的可能性是等概率时，我们可以使用古典概率来计算。
例如，抛硬币的结果是正面或反面，两种结果的概率都是1/2。
2.几何概率几何概率是根据事件的几何性质来计算概率。
例如，求解一个圆内接一个正方形的概率，可以通过计算两个图形的面积比来得到。
3.条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算方法是使用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
三、统计的基本概念统计是指根据数据来推断总体特征或者评价总体状况的方法或者学科。
通过统计分析，我们可以对数据进行整理和归纳，并运用相应的统计方法进行推断和决策。
1.总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取出来的一部分。
通常，通过对样本进行统计分析，可以推断出总体的特征。
2.频数与频率频数是指某一数值在样本或总体中出现的次数，频率是指某一数值出现的次数与总体样本量之比。
3.平均数、中位数与众数平均数是指一组数据的算术平均值，中位数是指一组数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
四、概率与统计的应用概率与统计在现代社会中有着广泛的应用。
在科学研究中，概率与统计方法能够帮助科学家进行数据分析，得出科学结论。
第十五章概率与统计初步第57讲概率初步（一）一、填空题1.[2021年普陀二模]某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为________（结果用最简分数表示）.2.在平面直角坐标系中，从6个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2），F（3，3）中任取3个，这3点能构成三角形的概率是________（结果用分数表示）.3.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为________.4.甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________.5.[2021年金山二模]一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为________（用分数作答）.6.从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率是25，则k=________.7.已知7个实数1，-2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为________.二、选择题8.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数()()i im n n m+-为实数的概率为（）A.13B.14C.16D.1129.在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则mn=（）A.415B.13C.25D.23三、解答题10.同时掷两颗骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？11.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜.你认为此游戏是否公平，说明你的理由.12.甲、乙两人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率.走近高考[2021年上海高考]已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为________.第58讲概率初步（二）一、填空题1.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________.2.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________.3.袋中有5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，那么至少摸出1个黑球的概率是________.4.[2021年青浦二模]若从一副52张的扑克牌（去掉大王、小王）中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K的概率为________（结果用最简分数表示）.5.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则乙不输的概率为________，乙输的概率为________，甲获胜的概率为________.6.[2021年黄浦二模]已知随机事件A和B相互独立，若()0.36P AB=，()0.6P A=（A表示事件A的对立事件），则()P B=________.7.现有10个不同的产品，其中4个次品、6个正品.现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是________.二、选择题8.设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（）A.M N不一定是必然事件B.M N一定是必然事件C.M与N一定为互斥事件D.M与N一定不为互斥事件9.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A.12B.35C.23D.34三、解答题10.加工某种零件需经过四道工序设第一、二、三、四道工序的合格率分别为1920，1819，1718，1617，且各道工序互不影响.（1）求该种零件的合格率；（2）从该种零件中任取3件，求至少取到一件合格品的概率.11.如图，沿途中路径由点B到点D，且只能向右或向上走，随机的选取一种走法.（1）求经过M点的概率；（2）求经过M点，也经过N点的概率；（3）求既不经过M点，也不经过N点的概率.12.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三个人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.走近高考甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.第59讲统计一、填空题1.在一次考试中，从高一某班50人中随机抽取10个同学的数学成绩如下：68，89，80，87，80，86，91，85，66，78，则全班同学的数学考试成绩平均分估计为________.2.设一组样本数据1x ，2x ，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为________.3.某高校一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n =________.5.[2021年静安二模]某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示.年薪（万元）135 95 80 70 60 52 40 31 人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为________万元.6.某电子商务公司对10000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图示.（1）直方图中的a =________.（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________. 二、选择题7.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石8.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，如图是某地连续11天复工复产的指数折线图，则下列说法正确的是（ ）A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量小于复工指数的增量 三、解答题9.某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下. 甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34； 乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48. （1）分别计算甲、乙两人每场得分的平均数； （2）分别计算甲、乙两人每场得分的中位数；（3）分别计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定.10.已知一组数据1x ，2x ，…，x 10的方差是2，并且()()()2221210333120x x x -+-++-=，求这组数据的平均数. 走近高考[2020年上海高考]已知1，2，a ，b 的中位数为3，平均数为4，则ab =________.第60讲 概率初步（续）一、填空题1.已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.2P BA =，则()|PB A =________，()|P A B =________.2.已知一种节能灯使用寿命超过10000h 的概率为0.95，而使用寿命超过12000h 的概率为0.9，则已经使用了10000h 的这种节能灯，使用寿命能超过12000h 的概率为________.3.已知随机变量X的分布列为12340.20.30.4a⎛⎫⎪⎝⎭，则a的值为________.4.投篮测试中，每人投10次，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，X表示投中的次数，则()E X=________.5.从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，则该球是黑色的概率为________.6.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每件产品为不合格品的概率都为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立.已知每件产品的成本为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.这一箱产品的成本与赔偿费用的和记为X，则()E X=________.二、选择题7.已知114p<<，随机变量X的分布列为220121p p p p⎛⎫⎪--⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()2P X=的值最大 B.()()01P X p X=>=C.E（X）随着p的增大而减小D.E（X）随着p的增大而增大8.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率50% 30% 20% 优质率80% 90% 70%在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示可买到的优质品，则下列不正确的是（）A.()10.50P A= B.()2|0.90P B A=C.()30.70P B A= D.()0.81P B=三、解答题9.分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.走近高考某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.第61讲 统计分析一、填空题1.若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为0.960 3.134y x =-+，则当50x =时，y 的估计值为________.2.某产品的广告费投入与销售额的统计数据如表所示 广告费x /万元 2 3 4 5 销售费y /万元26394954则y 关于x 的线性回归方程为________.3.经市场调查，某款热销品的销售量y （万件）与广告费用x （万元）之间满足回归直线方程ˆ 3.5y bx=+.若样本点中心为（45，35），则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为________万元.4.以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.34z x =+，则c =________.5.有人发现，多看手机容易使人近视，如表是调查机构对此现象的调查数据（单位：人）：看手机程度视力合计近视不近视 少看 20 38 58 多看 68 42 110 合计8880168 则________（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为近视与多看手机有关系，210.82()80.001P χ≥≈.6.给出下列四种说法：①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，1x ，2x ，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-;③回归直线ˆˆy bxa =+必经过点(),x y ； ④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病. 其中错误结论的编号是________. 二、选择题7.某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“☆”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点，从这次考试的成绩看，下列结论不正确的是（ ）A.该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B.在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C.数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D.在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲8.根据分类变量x 与y 的观察数据，计算得到2 2.974χ=，依据表中给出的2χ独立性检验中的小概率值和相应的临界值，做出下列判断，正确的是（ ） P （2k χ≥）0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为变量x 与y 独立B.有95%的把握认为变量x 与y 独立C.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 三、解答题9.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（1）根据散点图判断，y a bx=+y关于年宣传费x的=+与y c回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为之0.2=-.根据（2）的结果回答下列问题：z y x①年宣传费49x=时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？走近高考为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：PM2.5[0，50] （50，150] （150，475]SO2[0，35] 32 18 4（35，75] 6 8 12（75，115] 3 7 10（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：PM2.5[0，150] （150，475]SO2[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++()2P kχ≥0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828。
第十六讲 概率与统计初步1、 在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件。
在一定条件下必然不发生的事件叫做不可能事件。
2、 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
3、 表示随机事件发生的可能性大小的数，叫做该随机事件的概率，记作P （A ）。
如果某个试验共有N 种等可能出现的结果，每一个结果都是随机事件，那么每个结果出现的概率为1,(0()1).P A N≤≤ 4、如果一个试验共有N 种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则称这个试验为等可能试验。
5、如果某个试验共有N 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率.)(NkA P =6、在统计中，所要考察对象的全体叫做总体，而其中每一个考察对象称为个体，把从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中所包含的个体的个数叫做样本容量。
7、在统计中，用总体平均数)(121n x x x N+++=μ（其中N 是指总体是N 个个体，它们所取的值分别为),,21N x x x 来表示总体的平均状况；用总体中位数σ（其中σ指总体当N 为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数）表示总体的一般水平。
另外，用总体方差和总体标准差来反映总本中各个体的离散程度。
设总体有N 个个体，它们的值分别 N x x x ,,21，各个个体与总体平均数μ的差的平方分别是22221)(,,)(,)(μμμ---N x x x ，将它们的平均数叫做总体方差，记为2σ，即22222222121211()()()().N N x x x x x x NNσμμμμ⎡⎤=-+-++-=+++-⎣⎦（P ．S ：这里给大家解释一下：2222122222121222221212222221222221()()()1[22...2](...)1()21()21N N N N NN x x x N x x x x x x N N x x x N x x x N N Nx x x N σμμμμμμμμμμ⎡⎤=-+-++-⎣⎦=+++---+++=+++-+=+++-+） 而将总体方差的算术平方根σ称为总体标准差。
1．满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样称为随机抽样．共有三种经常采用的随机抽样方法：简单随机抽样；系统抽样（适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样）； 分层抽样（总体由有明显差别的几部分组成）． 2．一般地，设样本的元素为1x ，2x ，…，nx ，样本的平均数12nx x x x n++=，样本方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，方差正的平方根称为标准差s ． <教师备案>本讲分成两小节，第一节是统计，第二节是概率初步，各三道例题．例1涉及到随机抽样、频率分布直方图；例2是茎叶图的题，以及利用茎叶图求数据或比较数据的均值与方差，这是统计这一块的热点．例3是样本数据的数字特征．本节没有涉及到线性回归的内容，这部分内容考查非常少，可以结合知识点提及一下即可．知识网络知识结构图14.1统计第14讲概率与统计初步尖子班学案1【铺1】 ⑴（东城二模文11）将容量为n 的样本中的数据分成6组．若第一组至第六组数据的频率之比为234641∶∶∶∶∶，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于_____⑵（西城一模文10）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[]16,18的学生人数是_____．【解析】 ⑴ 60⑵ 54考点：随机抽样、频率分布直方图 【例1】 ⑴（四川文3）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A ．101B ．808C ．1212D ．2012⑵ 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号…，196~200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人．⑶ 某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96106]，，样本数据分组为[)9698，，[)98100，，[)100102，，[)102104，，[104106]，．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）A ．90B ．75C ．60D ．45经典精讲第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ 3720， ⑶ A目标班学案1【拓2】 ⑴（朝阳二模文5）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12⑵ 一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2,,99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3,,10．现用某种抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同．若6m =，则在第7组中抽取的号码是___________．【解析】 ⑴ C⑵ 63考点：茎叶图、样本数据的数字特征【例2】 ⑴（福建文9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和928997314026⑵（宣武二模文6）随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（ ）A ．甲班同学身高的方差较大B ．甲班同学身高的平均值较大C ．甲班同学身高的中位数较大D ．甲班同学身高在175以上的人数较多⑶ 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是 ．【解析】 ⑴ A⑵ A ⑶ 1考点：均值与方差【例3】 ⑴ 样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）AB ．65CD ．2⑵ 甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表：123,,x x x 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则123,,x x x 的大小关系为 ；123,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则123,,s s s 的大小关系为 ．⑶ 已知总体的各个体的值由小到大依次为23371213.718.320a b ，，，，，，，，，，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是．【解析】 ⑴ D⑵ 123x x x ==；213s s s >>平均值可以直接观察得到．得到平均值相等后，由数据的集中情况可以直接得到方差大小的关系，不必计算．显然数据丙最集中，数据乙最分散．乙班甲班9885288329863001991215161718作 品 Ax 4123299988⑶ 10.5；10.5【备选】 （西城一模文5）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示去掉一个最高分、一个最低分后甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】B右图是青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0~9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有（ ）A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．1a ，2a 的大小与m 的值有关【解析】B0795455184464793m 甲乙3275538712455698210乙甲1．随机事件A 的概率()P A 的取值范围为[0,1]，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0； 2．不可能同时发生的两个事件,A B 称为互斥事件，()()()P AB P A P B =+．若,A B 不能同时发生且必有一个发生，则,A B 称为对立事件，()P A 与()P B 满足()()1P A P B +=． 3．古典概型的概率公式：在基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为n1；如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，则()mP A n=，这一定义称为概率的古典定义． 4．几何概型：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．用μΩ表示区域Ω的几何度量，用A μ表示区域A 的几何度量．事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=．尖子班学案2【铺1】 ⑴（辽宁文13）经典精讲知识梳理知识结构图14.2概率三张卡片上分别写上字母E E B ，，，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为_________．⑵（海淀二模文12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB △的面积大于等于14的概率是_________．【解析】 ⑴ 13⑵ 12考点：古典概型与几何概型【例4】 ⑴ 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6六个点的正方体形玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为奇数的概率为 ．⑵ 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，1k +，其中0,1,2,,19k =．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A =_______．⑶（辽宁文11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于220cm 的概率为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．45⑷ 在区间[ππ]-，内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．78B ．34C ．12D ．14【解析】 ⑴12 ⑵ 14⑶ C ⑷目标班学案2【拓2】 甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【解析】D【备选】 考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．0【解析】A【备选】 （崇文二模文17）在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(,)x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(,)M x y ．①若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；②已知直线:(0)l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=y x b -+≥的概率．【解析】 ①点M位于第四象限的概率为17． ②y x b -+≥．尖子班学案3【铺1】 （朝阳一模文16）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如右图所示．⑴ 下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；⑵ 现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ ⑶ 在⑵的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【解析】 ⑴200a =，50b =．⑵ 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ⑶ 至少有1人年龄在第3组的概率为1415．考点：概率与统计初步 【例5】 （宣武一模文17）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择只有“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．⑴ 请完成此统计表；⑵ 试估计高三年级学生“同意”的人数；⑶ 从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率．【解析】 ⑴⑵ 105．⑶ 恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率为815．目标班学案3【拓2】 （丰台一模文17）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：⑴ 求全班人数及分数在[)8090，之间的频数；⑵ 估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高；⑶ 若要从分数在[80100]，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90100]，之间的概率．【解析】 ⑴ 分数在[)8090，之间的频数为4； ⑵ 该班的平均分约为74（或73.8分）．频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高为4100.01625÷=． ⑶ 至少有一份分数在[]90,100之间的概率是90.615=．考点：随机事件的概率【例6】 （海淀一模文16）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．⑴ 若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率． ⑵ 若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率．【解析】 ⑴ 顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23．⑵ 乙获得优惠券金额不低于20元的概率为23．已知集合{()|22}A x y x y x y =∈Z ，≤，≤，，，集合22{()|(2)(2)4}B x y x y x y =-+-∈Z ，≤，，，在集合A 中任取一个元素p ，则p B ∈的概率是__________．【解析】 625；A 中元素有(22)(21)(22)-----，，，，，，，(12)--，，(11)--，，(12)-，，，……，(21)(22)，，，，共25个元素．这些元素中，包含在集合B 中的元素有：(02)，，(11)，，(12)，，(20)，，(21)，，(22)，共6个元素，如图．因为取到每一个元素的可能性相同，故p B ∈的概率为625． 本题容易忽视x y ∈Z ，的条件，从而得到错误结论．（北京文16）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．真题再现⑴ 如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；⑵ 如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）【解析】 ⑴ 平均数为354x =；方差为21116s =． ⑵ 所求概率为41()164P C ==．【演练1】（山东文4）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【解析】D【演练2】某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s _____2s ．（填“>”、“<”或“=”）【解析】 <98X 111099乙组甲组实战演练乙甲8765443221100【演练3】（江苏6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．【解析】 35【演练4】⑴（石景山一模文12）在区间[]0,9上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为 ．⑵（湖北文10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．112π- C ．2πD ．1π【解析】 ⑴29⑵ A【演练5】（丰台二模文17）设集合{}123P =，，和{}11234Q =-，，，，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 组成数对()a b ，，并构成函数2()41f x ax bx =-+，⑴ 写出所有可能的数对()a b ，，并计算2a ≥，且3b ≤的概率； ⑵ 求函数()f x 在区间[)1+∞，上是增函数的概率．【解析】 ⑴ 所有基本事件如下：(11)-，，(11)，，(12)，，(13)，，(14)， (21)-，，(21)，，(22)，，(23)，，(24)，(31)-，，(31)，，(32)，，(33)，，(34)，，共有15个．“2a ≥，且3b ≤”的概率为815． ⑵ ()f x 在[1)+∞，上是增函数的概率为13．【演练6】为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）⑴ 求x ，y ；⑵ 若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率．【解析】 ⑴ 1x =，3y =．⑵ 选中的2人都来自高校C 的概率为310．（清华大学自主招生保送生测试）随机挑选一个三位数I ，⑴求I 中含有因子5的概率；⑵求I 中恰有两个数码相等的概率．【解析】 ⑴15，⑵27100⑴所有的三位数有100到999，共900个；其中含有因子5的是以0或5结束的，每十个数中都有两个数满足要求，故所求概率为15；或考虑0999-中5的倍数有199个，减去099-中5的倍数有19个，故I 中含有因子5的数有180个，得概率为18019005=； ⑵满足百位与十位相等的数有：110112113119220221223229990991998，，，，，，，，，，，，，，，共9981⨯=个；满足百位与个数相等的数同理也有81个；满足十位与个数相等的数有100122133199，，，，，200211988，，，，共有9981⨯=个，故I 中恰有两个数码相等的概率为81327900100⨯=．大千世界。
