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专题08 平面向量(教学案) 2018年高考理数二轮复习精品资料 Word版 含解析

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高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．

预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．

1．向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量．

(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.

(3)长度等于1的向量叫单位向量．

(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

3．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

4．两向量的夹角

已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

5．向量的坐标表示及运算

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)．

6．平面向量共线的坐标表示

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线． 7．平面向量的数量积

设θ为a与b的夹角．

(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.

(2)投影：a·b|b|＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．

8．数量积的性质

(1)a⊥b⇔a·b＝0；

(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；

(3)|a·b|≤|a|·|b|；

(4)cosθ＝a·b|a|·|b|.

9．数量积的坐标表示、模、夹角

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

(1)a·b＝x1x2＋y1y2；

(2)|a|＝x21＋y21；

(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；

(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.

【误区警示】

1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．

2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．

3．a在b方向上的投影为a·b|b|，而不是a·b|a|.

4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.

考点一 平面向量的概念及运算

例1． 【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b

|= .

【答案】23

所以|2|1223ab.

【变式探究】(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb

即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)

∴ m＝3λ，4＝－2λ，故m＝－6.

速解法：根据向量平行的坐标运算求解：

∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b

∴m×(－2)－4×3＝0

∴－2m－12＝0，∴m＝－6.

答案：－6

【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( )

A．(－7，－4) B．(7,4)

C．(－1,4) D．(1,4)

答案：A

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．

(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( ) A.AD→ B.12AD→

C.BC→ D.12BC→

解析：基本法一：设AB→＝a，AC→＝b，则EB→＝－12b＋a，FC→＝－12a＋b，从而EB→＋FC→＝－12b＋a＋－12a＋b＝12(a＋b)＝AD→，故选A.

基本法二：如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)

＝12·2AD→＝AD→.

答案：A

考点二 平面向量数量积的计算与应用

例2．【2017天津，理13】在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.

【答案】 311

【变式探究】(2016·高考全国丙卷)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝( )

A．30° B．45°

C．60° D．120°

解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．

∵BA→＝12，32，BC→＝32，12，∴|BA→|＝1，|BC→|＝1，BA→·BC→＝12×32＋32×12＝32，

∴cos∠ABC＝cos〈BA→，BC→〉＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32.

∵0°≤〈BA→，BC→〉≤180°，∴∠ABC＝〈BA→，BC→〉＝30°.

速解法：如图，B为原点，则A12，32

∴∠ABx＝60°，C32，12∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.

答案：A

【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )

A．－1

B．0

C．1 D．2

答案：C

【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.

解析：基本法：以AB→、AD→为基底表示AE→和BD→后直接计算数量积．

AE→＝AD→＋12AB→，BD→＝AD→－AB→，

∴AE→·BD→＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)

＝|AD→|2－12|AB→|2＝22－12×22＝2.

速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．

如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

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高考数学南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量

高考数学南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量

高中数学知识点高考资料高考历年考试真题

专题4：平面向量

问题归类篇

类型一：向量的运算

一、前测回顾

1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.

答案：－3．

2． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．

(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是 ．

(3) 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．

答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．

3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．

(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝19，则向量a，b的夹角是 ．

(3) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．

(4)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于____ __．

答案：(1)－32； (2)2π3； (3) 32； (4)12．

4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则AD·BC＝ ．

(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点，

则AEBD＝ ．

(3)已知OA＝2，OB＝23, OA·OB＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则AB·OC＝________________．

(4)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且AE·BC＝0．则AD·BC＝ ；AD·AE＝ ．

2018届高考数学理二轮专题复习课时作业：专题三 平面

2018届高考数学理二轮专题复习课时作业：专题三 平面

课时作业(八) 三角变换与解三角形

1．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝( )

A.15 B．－15

C．5 D．－5

解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝32，故tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋32＝15，选A.

答案：A

2．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则cos2α＝( )

A．1 B．－1

C.12 D．0

解析：因为sinπ6－α＝cosπ6＋α，所以12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα，即12－32sinα＝－12－32cosα，所以tanα＝sinαcosα＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝0.

答案：D

3．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为( )

A．4π B．8π

C．9π D．36π

解析：c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝223得sinC＝13，再由正弦定理可得2R＝csinC＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.

答案：C

4．△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．0个

解析：∵asinB＝102，∴sinB

答案：B

5．已知cosθ－π6＋sinθ＝435，则sinθ＋7π6的值是( )

A.45 B.435

C．－45 D．－435

解析：因为cosθ－π6＋sinθ＝435，

2018届高考数学理二轮专题复习课时作业：专题三 平面 2

2018届高考数学理二轮专题复习课时作业：专题三 平面 2

课时作业(六) 平面向量

1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.

答案：A

2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD→＝mBA→＋nBC→(m，n∈R)，则mn＝( )

A．－3 B．－13

C.13 D．3

解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以mBA→＋nBC→＝CD→＝EA→＝EB→＋BA→＝－26BC→＋BA→＝－13BC→＋BA→，所以mn＝1－13＝－3.

答案：A

3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a＝(x，3)，b＝(x，－3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝( )

A．1 B.2

C.3 D．2

解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，3)·(x，－3)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，3)，|a|＝2＋32＝2，故选D.

答案：D

4．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( )

A．1 B.62

C.2 D．4

解析：∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝m2＋12＝2.故选C.

答案：C

5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(O为坐标原点)，则锐角θ＝( )

2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题4 平面向量 Word版含答案

2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题4 平面向量 Word版含答案

专题四 平面向量

———————命题观察·高考定位———————

(对应学生用书第12页)

1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1,1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tan α＝7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n＝________.

图4－1

3 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210.

过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则OC→＝OD→＋DC→，∠OCD＝45°.

又因为OC→＝mOA→＋nOB→，

所以OD→＝mOA→，DC→＝nOB→，

所以|OD→|＝m，|DC→|＝n.

在△COD中，由正弦定理得|DC→|sin α＝|OD→|sin∠OCD＝|OC→|sin∠ODC，

因为sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD)

＝sin (α＋∠OCD)＝45，

即n7210＝m22＝245， 所以n＝74，m＝54，所以m＋n＝3.

法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，

则152＝OA→·OC→|OA→||OC→|＝m＋nOA→·OB→2，

由cos∠BOC＝22可得22＝OB→·OC→|OB→||OC→|＝mOA→·OB→＋n2，

cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°

＝152×22－752×22＝－35，

则OA→·OB→＝－35，则m－35n＝15，－35m＋n＝1，

则25m＋25n＝65，则m＋n＝3.]

2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．

图4－2

78 [由题意，得BF→·CF→＝(BD→＋DF→)·(CD→＋DF→)