与圆有关的最值(范围)问题

巧解与圆有关的最值问题

与圆有关的最值一般与圆的切线或圆心和半径有关系.解决这类问题大致可以分两步:1.将题目所给的式子赋予几何意义;2.数形结合解题;常见的数形结合点是过两点的斜率,两点见的距离,圆方程,直线方程,直线在y轴上的截距等.

例:已知实数yx,满足03422xyx.

1>.axby型,表示过点yx,与点ba,的斜率;

如:求2xy的最大值;它表示点02,与点圆上任意点yx,连线的斜率最大值,先设过这两点的直线为2xky由图可知直线与圆在第一象限相切时,k取最大值.此时有41ACPCAPCP,,所以1515PACktan.所以2xy的最大值为1515.

图<1>OCPA 图<2>C

2>.byax型,令byaxt,则btxbay.bt是在y轴上的截距.

如:xy2的最小值;令xy2t,则txy2.t是直线txy2在y轴上的截距.由图可知当直线txy2与圆C在第四象限相切时,0tt取最小值.此时有134t,43t.所以xy2的最小值为43.

3>.22byax型,表示点yx,与点ba,之间距离的平方,也可以看成以ba,为圆心的圆的标准方程.

如:2243yx的最值.它表示圆上的点yx,与点43,的距离的平方的最值.如图所示:很显然两点之间距离的最大值是1AP1AC=117,最小值是2AP1AC117. 所以2243yx的最大值就是2117,最小值是2117.

图<3>OP2P1CA 图<4>OlCA

4>.求直线方程;

如：1.经过点2123,的且被圆截得的弦长最长的直线方程.弦长最长即就是该弦为直径时,圆心坐标02,已知,利用两点式可以写出直线方程;2. 经过点A2123,的且被圆截得的弦长最短的直线方程.如图所示:当弦长最短时,ACl,1LACKK,所以1Lk.则直线l的方程利用点斜式可以写为2321xy,即:1xy

第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与

范围问题

一、填空题

1．已知实数x，y满足 y≥0，x－y≥0，2x－y－2≥0，则点(x，y)到圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．

答案 42－1

2．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．

解析 法一 点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(13－1)2＝14－213.

法二 设圆的参数方程为 x＝2＋cos α，y＝3＋sin α则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最小值为14－42＋62＝14－213.

答案 14－213

3．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE→·PF→的最小值是________．

解析 如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，设 x＝2＋5cos θ，y＝5sin θ，则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足PE→·PF→最小，此时|PC|＝4，|EC|＝2，故|PE|＝|PF|＝23，∠EPF＝60°，则PE→·PF→＝(23)2×cos 60°＝6.

答案 6

4．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．

解析 △AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b22且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋b－12＝

高中数学与圆有关的最值问题

在解决与圆有关的最值问题时，我们可以使用以下方法：

1. 建立坐标系：将问题转化为在坐标系中求最值的问题。

2. 确定变量：确定影响最值的变量，并建立函数关系式。

3. 利用函数的性质：利用函数的单调性、对称性、最值等性质，求出最值。

4. 结合圆的性质：利用圆的性质，如半径、弦长、圆心等，求出最值。

下面是一个例子：

求圆 x^2 + y^2 = 4 上一点到原点的距离的最大值和最小值。

解：设圆上的点为(2cosθ, 2sinθ)，则该点到原点的距离为√(4cos^2θ + 4sin^2θ) = 2。

因此，最大值为2+2=4，最小值为2-2=0。

1

与圆有关的最值问题

圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．

【与圆有关的最值类型】

①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.

处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径.

①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值.

处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径.

①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值.

处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.

例1.(1)圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是( ).

A.6；3. B.6；4. C.5；3. D.5；4.

(2)已知点P(a，b)在圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上，则a2＋b2的最小值是_____．

解:(1)法1.圆心O到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，①

圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.

法2.设圆x2＋y2＝1上的点P(cosθ,sinθ)，点P到直线l：3x＋4y－25＝0距离d′，

则 d′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，

① 圆x2＋y2＝1上点到直线l：3x＋4y－25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.

故应选B.

(2)法1. ① 圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a2+b2≤5+√5,⇒30−10√5≤a2+b2≤30+10√5.