圆中有关最值问题一.doc

x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。

B yCxAO 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，则a b的最大值为___________.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA 长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C．332D．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 第1题 第2题 第3题2、如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点．若⊙O 的半径长为3，OP ＝ 3 ，则弦BC 的最大值为A ．2 3 ．B ．3．C ． 6 ．D ．3 2 ．3、如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ）A ．30<<rB ．3=rC ．233<<rD ．23=r三、中考展望与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；方法二、正弦定理1、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O 分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．方法三、基本不等式1、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是.AE F方法四、利用函数求最值1、如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .方法五、借助对称求最值1、如图，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为___________.【题型训练】1、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP 的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为.第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．423、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A 重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．O4、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为( ).A.4B.233C.322D. 2第4题第5题第6题5、如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C.222- D.22-6、如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．47、如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为.第7题第8题第9题第10题8、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，求∠OAP的最大值。

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案姓名1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C．33D．33BACMD 4.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ． （2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．（4）在点P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为 。

7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是．9．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x ＜4），则当x= 时，PDCD的值最大，且最大值是为.10．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，ODCEBE BODO BC⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). 23 32D. 211．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .14．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．215.（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．O ABDC P16.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174CQ PO AEFAQC PB18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．4219．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.22 C. 321．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是.参考答案引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC =2，OA =3，由勾股定理得：OC =，∵∠BOA =∠ACO =90°，∴∠BOC +∠AOC =90°，∠CAO +∠AOC =90°，∴∠BOC =∠OAC ，tan ∠BOC =tan ∠OAC ==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图引例2.2a b +≤；原题：（2013武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b ． （1）求证：AE =b +a ；（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax =b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB =60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE =b +a ；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=ACBC=ABCH，∴ACBC=ABCH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EPsin60°=EP=P A．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。

圆中的定值问题例1：已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.例2：已知：O 是如图同心圆的圆心,AB 是大圆的直径，点P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R 与r ，问:PA 2＋PB 2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.（1）点P 放在直径AB 上.（2）点P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上（3）点p 在任意位置例3. 如图，已知菱形ABCD 外切于⊙O ，MN 是与AD 、CD 分别交于M 、N 的任意一条切线。

求证：AM ·CN 为定值。

例4 如图，⊙O 的半径为R ，AB 、CD 是⊙O 的任意两条弦且AB ⊥CD 于M 。

求证：2AB +2)(DM CM -为定值。

例5.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R 。

求证： （1）2AK +2BK +2CK +2DK 是定值。

（2）2AB +2BC +2CD +2DA 是定值。

例6.如图，过⊙O 内定点P 作任意弦AB ，又过A 、B 作两切线，自点P 作两切线的垂线PQ 、PR ，垂足为Q 、R 。

求证：PQ 1+PR1为定值。

例7.如图，定长为1的弦ST 在一个以2为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。

AE FD C BA 例8如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于N 。

证明：线段AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关。

例9. 如图，A 为定圆O 上的一定点，在过A 的切线上任取一点B ，并过线段AB 的中点C 作任意割线CDE ，交⊙O 于D 、E ，又直线BD 、BE 与⊙O 相交于P 、Q ，求证：弦PQ 恒有定向。

中考培优课程5圆中最值知识导航1、圆中最值基本模型（1）点与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，P为平面内任意一点，现在来探究PQ的最值.①当P为圆外一点时，连接PO交⊙O于Q2，PO延长线交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.②当P为圆内一点时，连接OP并延长交⊙O于Q2，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.③当P为圆上一点时，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2＝0，PQ max＝PQ1＝直径.（2）直线与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，l为平面内任意一条直线，现在探究Q到直线l的距离d的最值.①若l与⊙O相离，过点O作OP1⊥l于P1，交⊙O于Q2，延长P1O交⊙O于Q1.则d min＝P1Q2，d max＝P1Q1.②若l与⊙O相交，过点O作OP⊥l于P，分别交⊙O于Q1、Q2两点.则d min＝0，优弧中的最大值为d max＝PQ1，劣弧中的最大值为d max＝PQ2.③若l与⊙O相切，则d min＝0，d max＝直径.2、题目一般会把“已知点Q为⊙O上一动点”这一条件进行隐藏，也就是说动点的运动轨迹需要我们去证明是一个圆，这就是接下来要给大家介绍的隐圆问题.模块一线段条件产生的隐圆例1在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC＝2，则∠BOC度数取值范围为.练习在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC＝2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是．例2（2016年江汉区九上期中第10题）如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF的长为半径作圆，D是⊙C上一动点，E为BD的中点．当AE最大时，BD的长为（）A．23B．25C．23＋1 D．6练习（2016年洪山区九上期中第10题）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是（）A．22πB．2πC．2πD．22模块二线段与角度条件产生隐圆题型一定边对定角（90度）例31、（2013年武汉中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.2、（2015年洪山区九上期中）如图，线段AB上有一动点M，分别以AM、BM为边作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O' 交于M、N两点，则直线MN的情况是（）A．定直线B．经过定点C．一定不过定点D．以上都有可能练习在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB＝90°，则点P的横坐标α的取值范围是．题型二定边对定角（非90度）例41、（2016年新洲区九上期中）正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是.2、如图，已知在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝8，点D、E分别是边AC、AB上两点，且AE＝CD，BD 交CE于F，连接AF，则AF的最小值为.3、如图，等边△ABC中，BC＝2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为.4、（2015年武昌区九上期中）如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为.例51、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是.2、如图，在弓形BAC中，∠BAC＝60°，BC＝23，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记△ABC 的内心为I，则△ABC内切圆半径的最大值为.3、如图，在扇形AOB中，OA⊥OB，D是AB上一动点，DE⊥OA于E，若OA＝42，记△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为.题型三定边对动角例6如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米．当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为米.练习1、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为．2、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝3，则弦BC的最大值为．第5讲本讲课后作业A 基础巩固1、如图，已知矩形ABCG（AB＜BC）和矩形CDEF全等，点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点P2、如图，正方形ABCD的边长为4，∠AED＝45°，P为AB的中点．当点E运动时，求PE的最大值和最小值．3、如图，P为正方形ABCD的边CD上任意一点，E为AP上一点，BE＝AB，∠CBE的平分线交AP延长线于点Q．若正方形的边长为a，当点P在CD边上由C移动到D时，则点Q到CD的最大距离为．B 综合训练4、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为．数学故事贝多芬的成就贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想，他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。

(完整版)球体中的最值问题球体中的最值问题是数学中经常遇到的一种问题，它要求在给定球体内寻找某个函数的最大值或最小值。

这个问题在不同领域中都有广泛的应用，比如物理、经济学和工程学等。

问题描述给定一个球体，球心位于原点，半径为r。

我们需要寻找一个函数f(x,y,z)在球体内的最大值或最小值。

函数f的定义域是球体内的点，即(x,y,z)满足x^2+y^2+z^2<=r^2。

求解过程对于求解球体中的最值问题，我们可以运用数学分析中的优化理论。

首先，我们需要找到函数f在球体边界上的极值点。

这些极值点通常是函数在球体内的最大值或最小值。

为了找到极值点，我们可以使用拉格朗日乘数法。

该方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件考虑进优化问题中，从而得到更为准确的极值点。

具体求解过程如下：1. 定义目标函数f和约束条件g，其中g表示球体的约束条件（即x^2+y^2+z^2-r^2=0）。

2. 使用拉格朗日乘数法，构建拉格朗日函数L=f+λg，其中λ为拉格朗日乘子。

3. 对拉格朗日函数L求偏导数，并令其等于0，得到一系列方程。

4. 解方程组，求得相应的变量值，包括函数的最值和约束条件的满足情况。

应用举例球体中的最值问题在实际应用中有很多例子。

以下是一些常见的例子：1. 最小化材料成本：假设有一个球形，我们需要将其体积最大化，同时使用最少的材料。

根据题设，我们可以设定目标函数为体积，约束条件为容积为固定值的球体。

通过求解该最值问题，我们可以找到最有效的设计方案。

2. 最大化电磁波接收：在无线通信中，天线的放置位置对信号接收质量起着至关重要的作用。

假设我们需要在球体内部放置一个天线，要求天线能够接收最强的信号。

通过将信号接收强度作为目标函数，约束条件为天线位置在球体内，我们可以求解出最佳的天线放置位置。

结论通过数学分析中的优化理论，我们可以解决球体中的最值问题。

这种问题的求解过程需要使用拉格朗日乘数法，并找到函数在球体边界上的极值点。

圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。

圆中最值问题例析圆中最值问题（CentroidProblems）是一类具有重要理论意义且广泛应用于多种场景中的优化问题。

它是一种改进版的经典二次规划问题，通过把原先对称的对称约束条件变化为一般约束条件，以求解出一个具有位置最优特性的非对称的二次规划。

圆中最值问题的基本形式：$begin{align}min &f(x)=frac{1}{2}x^TAx+b^Txtext{s.t.}&g(x)=frac{1}{2}(x+alpha)^TC(x+alpha)-alpha^TCalphaleq 0&h(x)=frac{1}{2}(x-alpha)^TC(x-alpha)-alpha^TCalphaleq 0end{align}$其中，x∈Rn 为优化变量，A, C∈Rn×n 为对称矩阵，α∈Rn 为指定的圆中点。

圆中最值问题解决的问题是，如何在原有二次优化问题中加入圆中点约束，使得得到的优化结果在最小值附近具有一定的稳定性，从而得到较为合理的结论。

圆中最值问题的特殊性在于：（1）相对于经典二次规划而言，增加了圆中点约束项，这种约束使得优化变量强制必须满足原问题最小值附近；（2）该约束项是一种非线性约束，使得原先线性可解的问题变成了一种非线性规划问题；（3）有时候可能会改变问题本身的结构，使得其存在不可避免的拟合能力有限的问题。

圆中最值问题的重要性可以从以下几方面来看：（1）它在很多实际问题中都有着重要的应用，如最小二乘拟合、模式识别等；（2）它可以帮助我们解决更多的二次优化结构问题；（3）它的解的稳定性强于经典二次优化问题；（4）它在充分理解优化问题内在机制等方面也有重要的意义。

目前圆中最值问题有多种解法，最常用的解法是基于拉格朗日原理的精确求解法及其简化法，同时还有基于数值优化方法的求解法等。

（1）拉格朗日原理法使用 Lagrange理，可以把圆中最值问题转化成以下的对偶问题： $begin{align}min&L(x,lambda,mu)=frac{1}{2}x^TAx+b^Tx+lambdaleft(frac{1}{2}(x+alpha)^TC(x+alpha)-alpha^TCalpharight)+muleft(frac{1}{2}(x-alpha)^TC(x-alpha)-alpha^TCalpharight)text{s.t.} &xin mathbb{R}^nend{align}$通过解决该问题，即可得到原始圆中最值问题的最优解。

圆中最值问题与圆相关的最值问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tan∠BOC=m，则m的取值范围是什么？引例2：在边长为1的等边三角形OAB中，以边AB为直径作圆D，以O为圆心OA长为半径作圆O。

C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交圆O 于点E，BC=a，AC=b。

求a+b的最大值。

引例3：在如图所示的情况中，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切。

P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE。

求线段DE长度的最大值。

本题考察了圆中的动点问题和最值问题，需要掌握圆的基本知识、基本技能和基本思维方法，同时注重了初、高中知识的衔接。

1.引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用。

2.引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用。

3.引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用。

解题策略：1.画出图形以获得直观感觉；2.比较特殊位置的结果；3.分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化。

1、在正方形ABCD的边AD上，有两个动点E、F，满足AE=DF。

连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。

与圆有关的最值问题最值问题是数学中经常遇到的一类问题，也是我们在生活和工作中经常需要解决的问题。

与圆有关的最值问题较为常见，下面我们就来详细讲解一下与圆有关的最值问题。

1、圆的面积最大值问题对于一个给定的周长，圆的面积大小是有限制的，那么圆的面积能达到最大值吗？答案是肯定的。

如何求得圆的面积最大值呢？可以利用圆形是周长相等的图形之中，面积最大的形状，这一性质来进行求解。

根据圆形的定义可知，圆形是以线段为半径作为圆心所在的圆周所包括的区域，而圆弧是圆周上的一段线段，用圆弧代替直线段，使得圆与圆弧缩短弧长，从而面积更大。

所以，圆的面积最大时，其圆弧的长度正好等于圆的周长的一半。

2、圆的周长最大值问题圆的周长与圆的半径成正比，所以圆的周长最大时，其半径也最大。

因此，圆的周长最大值问题可转化为半径最大值问题。

但是一般情况下，圆的半径是有限制条件的，比如半径必须小于一定数值，这时我们需要用到极值的判定方法来求解。

3、圆内切正方形的最大面积若题目给出一个圆，要在圆内切一个面积最大的正方形，该如何求解？首先可以画出该图形的示意图，现在有一个边长等于圆的直径的正方形，在其中画出一个圆，且与正方形的四个顶点相切，如图。

将图形旋转一定角度，使正方形的一条边与水平线重合，则圆的直径同样水平，则圆的直径就是正方形的边长，此时，圆内切正方形的面积为(半径的平方)÷2。

4、圆外接正方形的最小边长同样地，若题目给出一个圆，要在圆周上找到一个最小边长的正方形，该如何求解？先画出一个圆外接正方形的示意图，即在圆上取四个点，使得这四个点构成一个正方形(如图)。

要求这个正方形的最小边长，就是要求这个正方形的最小周长。

由于正方形的边长相等，所以可以将正方形的周长都化为边长l的形式来表示。

根据边长l和圆的半径r的关系，可以列出如下方程：2l + 2√2l = 2πr将方程进行化简，得：l = r(π - 2√2)所以，圆外接正方形的最小边长为r(π - 2√2)。

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.［分析］：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2。

二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为（－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为。

［分析]：连接AQ、PA,可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中,PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A（－3，－2) ，根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( ）A．B．2 C．3 D．3[分析]:因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题。

解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。