专题8.1 与圆有关的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义 2020.8.9

与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。

圆中的最值问题，数学老师呕心总结，替孩子收藏起来周末学
习
最近初三的小朋友在学圆。

圆中的常规知识点是垂径定理、直线与圆的位置关系、扇形的计算等等。

中考解答题中常考的就是切线的证明、圆与相似三角形相结合的证明题，选择填空常考的是圆周角圆心角的计算、扇形圆锥的计算等。

除了上述所说的题型，还有一类题经常出现在选择或者填空的压轴部分，难度大，这就是圆中的最值问题。

下面是数学老师呕心沥血、熬夜总结出来的圆中的最值问题，比较全面，强烈建议收藏起来周末慢慢做，绝对受益匪浅。

通过上面的学习你会发现，其实最值问题关键有几点：
1.两点之间线段最短；
2.垂线段最短；
3.完全平方的非负性
4.动点的轨迹
稍微带点难度的就是隐形圆问题：
其实隐形圆主要是根据直径所对圆周角为九十度；到定点等于定长所有点的集合为圆。

目前初中阶段能用到的主要是这两个。

阿波罗尼斯园在平时的模拟卷中也会出现，初中阶段主要是构造相似三角形，然后再去用圆的定义去做，这里一定要注意线段前面的系数，同时也要与“胡不归问题”加以区别。

侵联删！。

与圆有关的定点、定值、最值与范围问题分层训练A级基础达标演练（时间：30分钟满分：60分）一、填空题(每小题5分,共30分）1．已知实数x，y满足错误!则点(x，y)到圆(x＋2）2＋（y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案4错误!－12．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0,则x2＋y2最小值为________．解析法一点(x，y）在圆（x－2)2＋(y－3）2＝1上,故点（x，y）到原点距离的平方即x2＋y2最小值为（错误!－1)2＝14－2错误!。

法二设圆的参数方程为错误!则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最小值为14－42＋62＝14－2错误!.答案14－2错误!3．圆C的方程为(x－2）2＋y2＝4,圆M的方程为(x－2－5cos θ）2＋（y－5sin θ）2＝1（θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF，切点分别为E,F，则错误!·错误!的最小值是________．解析如图所示，连接CE,CF。

由题意，可知圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，设错误!则可得圆心M的轨迹方程为(x－2）2＋y2＝25,由图，可知只有当M，P,C三点共线时,才能够满足错误!·错误!最小,此时|PC|＝4，｜EC|＝2，故|PE｜＝|PF｜＝2错误!，∠EPF＝60°，则错误!·错误!＝(2错误!）2×cos 60°＝6。

答案64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A,B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P(a，b)与点（0，1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0）到直线错误!ax＋by＝1的距离等于错误!，由点到直线的距离公式,得错误!＝错误!，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－错误!且b∈［－错误!，错误!］．点P(a,b）与点（0,1)之间的距离为d＝错误!＝错误!，因此当b＝－错误!时，d取最大值，此时d max＝错误!＝错误!＋1。

B yC x A OD B O C A B O y A x P B O y AxP BOy A xP 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b +的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A ．3B ．6C 332D ．33此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；AM D D O CB A【拓展延伸】：①2b a +的范围；②2b a -的范围； 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .O A BC OP QAE B A C O DOD C EA B2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). 2332D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，射线PQ ∥射线MN ，PM ⊥MN ，A 为PM 的中点，O 为射线PQ 上的一个动点，AC ⊥AB 交MN 于点C ，当以O 为圆心，以OB 为半径的圆与线段PM 有公共点时（包括P 、M 两点），则线段OP 长度的最小值为 .l QP N M A B C F E C B A OGD O B D CP例五、其他几何知识的运用 如图所示，AC ⊥AB ，AB=6，AC=4，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE ⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）．若要使点E 在线段OA 上（包括O 、A 两点），则tan α的取值范围为 .【题型训练】1．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 3的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是 ；（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是 .3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为( ). 6433344．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP、OP，则A QCP BOA DBC E F C AD BQP O A xy P △AOP 面积的最大值为( ). (A)4 (B)215 (C)358 (D)1745．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ).A ．194 B ．245C ．5D ．426．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( ). A ．2 B ．1 C.222-D.228．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是( ).A ．3B ．113 C ．103D ．4 9．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为( ).7 B.2210．如图∠BAC ＝60°，半径长1的⊙O 与∠BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的范围为 .O A BxyP11．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P （m n ，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n -的范围为 .12．在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 是y 轴右侧一点，且AB=2，点C 上直线y=x+1上一动点，且CB ⊥AB 于点B ，则tan ACB m ∠=，则m 的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，20）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是 .综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C 33D．33BACMD 4.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ． （1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ． （2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．（4）在点P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为 。

7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是．9．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .ODCEABE BODO BC10．如图，线段AB =4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4 23 C.322D. 211．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .14．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．215.（2015•）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．O ABDC P16.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174CQ PO AEFAQC PB18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．4219．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.22 C. 3 D.421．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .参考答案引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC =2，OA =3，由勾股定理得：OC =，∵∠BOA =∠ACO =90°，∴∠BOC +∠AOC =90°，∠CAO +∠AOC =90°，∴∠BOC =∠OAC ，tan ∠BOC =tan ∠OAC ==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图引例2.2a b +≤；原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b ．（1）求证：AE =b +a ；（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax =b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=P A．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。

在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。

希望对读者有些启发。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。

1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。

所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。

涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。

1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。

中学课程资源第17卷圆是高中数学中研究较多的一种曲线，学生在做与圆有关的数学题时，与圆有关的最值问题是常见的考点，而学生往往不善于对已知条件进行转化或利用所给式子的几何意义进行解题。

在研究圆的问题时，教师可以将与圆有关的最值问题分为七类：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题，斜率型最值问题，截距型最值问题，距离型最值问题，弦长的最值问题及其他类最值问题。

教师要对与圆有关的七类最值问题进行总结，加强学生对圆的图象特征、基本知识、基本技能的应用，培养学生的数学核心素养。

一、圆上一点到定点距离的最值问题在与圆有关的最值问题中，与距离有关的有三类，分别为：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题及距离型最值问题。

其中，圆上一点到定点距离的最值问题是最简单也是最常考的一类题。

教师可以以一道小题为例来讲解圆上一点到定点的最值问题。

例1：已知点P（x，y）是圆C（x-1）2+（y-2）2=1上的一点，求P到原点的最大、最小距离。

分析：对于圆上一点到定点的最值问题，只需将定点与圆心连接，所连直线与圆有两个交点，离定点近的交点为最小距离的点，反之为最大距离的点。

解：连接OC与圆交于A，延长OC与圆交于B，则dmax=OC+r=5+1，d min=OC-r=5-1.小结：圆上一点到定点的最值问题，其本质是两点间的距离，与圆相关的两点间的距离，可以转化为圆心与定点的距离问题。

二、圆上一点到直线距离的最值问题例2：圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2，直线l的方程为x-y+4=0，求圆C上的点到直线l的最小距离为？分析：圆上一点到直线距离的最值问题，可转化为圆心到直线的距离加上半径为最大距离，减去半径为最小距离。

解：圆心C到直线l的距离为d=|1-1-4|12+(-1)2=22，则圆上的点到直线l的最小距离为d-r=22-2=2。

小结：圆上一点到直线的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题。

圆中最值问题例析
圆中最值问题是数学中一类非常重要且有趣的问题，其中学习者可以从中学到许多关于数学知识的内容，运用在现实生活中也会有很多有用的用处。

圆中最值问题包括初中（和高中）数学中的圆锥曲线最值问题，和大学数学中的复数函数圆中最值问题。

下面就以这两种问题为例进行简单的讨论。

一、圆锥曲线最值问题
圆锥曲线最值问题是初中（和高中）数学中的一个基本概念，例如我们在讨论椭圆、双曲线之类的时候，就经常会考虑到最值问题，比如求椭圆长短轴长度，求双曲线离心率等等。

要求解这类最值问题，需要我们对曲线的几何特点有足够的了解，可以由此推导出一些方程，然后利用数学方法来解出最值。

同时，也要注意，有些最值问题是无解的，如果曲线的几何特点存在矛盾，或者不符合某些关系的话，这类最值就是无法求解的。

因此，在求解这类最值问题的时候，除了需要对曲线的几何特点有足够的了解之外，也要注意检查曲线是否符合相关的关系，以免出现无解的情况。

二、复数函数圆中最值问题
大学数学中的复数函数圆中最值问题是一类有趣而又独特的最
值问题。

由于复数函数在数学上是非常有用的，所以在研究复数函数圆中最值问题时，我们也可以获得一些关于复数函数的重要结论。

要求解复数函数圆中最值问题，需要利用复数函数中的一些重要
概念，如级数收敛、极限求值、复数等。

与求解其他类型的最值问题一样，求解复数函数圆中最值问题也需要利用数学的知识，从数学的角度来分析问题，寻找出最值的解决方案。

三、结语
以上就是以《圆中最值问题例析》为标题所讨论的内容，圆中最值问题是一类实用而又有趣的问题，通过这类问题的求解，我们可以更好地理解数学中的知识，并运用到实际生活中去。

与圆有关的最值问题专题一.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1. 圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；例1．抛物线216x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为（ ） A ．6B ．2C ．5D ．8 答案：A.结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦； 例2．在圆22:230M x y x +--=中，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．42C ．62D ．82答案：B 结论 3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -；例3．已知P 是半圆C 22y y x -=-上的点，Q 是直线10x y --=上的一点，则PQ 的最小值为（ ）A 32B 21C 21-D 2答案：D二.与切线长有关的最值结论：从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB PA ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则有：结论 4.切线长的计算：22r PC PB PA -==,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.结论5. 过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为B A ,，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.例4. 若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．5B ．25C ．7D ．27 解析：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-， 所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-=，所以四边形PACB 面积的最小值225S PA ==，故选：B三.圆中与角度有关的最值问题.结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.例5．已知圆C ：()2224x y -+=，线段EF 在直线l ：1y x =+上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得0PA PB ⋅≤，则线段EF 长度的最大值是______. 解：由题意知，圆心()2,0C ，半径2r =所以，圆心到直线的距离2013222d r -+==>，即直线和圆相离.从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时APB ∠最大，不妨设切线为,PM PN ，由0PA PB ⋅≤知90APB ∠≥︒，即90APB ∠≥︒.所以22sin sin 452MPC PC ∠=≥︒=，解得22PC ≤.所以在直线上，当EF 最大时，点,E F 到圆心的距离为22.所以，此时EF 长度最大值为()2232222142⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故答案为: 14.结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.例6.（2021新高考1卷）．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB = 解析：圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+， 所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示： 当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=，4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=，CD 选项正确. 故选：ACD.四．将军饮马型最值三角不等式（将军饮马）：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.结论9.如图动点P 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么PA PB -的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，PA PB -的最小值为0，即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”例7．已知圆221:430C x y y +++=，圆222:6260C x y x y +-++=，M N ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:1l y x =+上的动点，则||MP NP +的最小值为 A ．2103- B ．2103+C ．103-D ．103+ 解析：由圆()221:21C x y ++=，圆()()222314C x y -++=，可知圆1C 圆心为()0,2-，半径为1，如图，圆2C 圆心为()3,1-，半径为2，圆1C 关于直线:1l y x =+的对称圆为圆()()221':311C x y ++-=，连结12'C C ，交l 于P ，则P 为满足使PM PN +最小的点， 此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点，N 为2PC 与圆2C 的交点， 最小值为()12'21C C -+，而()()2212'3311210C C =+++=，PM PN ∴+的最小值为2103-，故选A.五．逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB PA 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ. 结论10：已知圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,，求形如)(PB PA PB PA λλ±±的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例8．已知圆C 是以点()2,23M 和点()6,23N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（ ）A ．26B ．42+C ．852+D ．2解析：由题设，知：(4,0)C 且22||(2323)(62)8MN =--+-=，即圆C 的半径为4， ∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）. ∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度. ∴2||(14)126BD =++故选：A六.圆有关的平行线束最值问题结论11．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.例9.对于圆()()()2220x a y b r r -+-=>上任意一点(),P x y ，()x y m x y n m n -++-+≠的值与x 和y 无关，则当42m n -=r 的最大值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4解析：因为222x y m x y n x y m x y n -+-+-++-+=，所以x y m x y n -++-+表示点(),P x y 到直线0x y m -+=和直线0x y n -+=2.所以要使x y m x y n -++-+的值与x 和y 无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，即圆心在两条平行直线之间，且两条平行线不与圆相交.又因为42m n -=0x y m -+=和0x y n -+=42m n-=，所以r 的最大值是2.故选：C.。

以圆为背景的最值问题以圆为背景的最值问题，在高考和竞赛中频频出现.本文从数学思想方法的高度予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法，从而使此类问题简单化.一、切线斜率法例1 如果实数x y ，满足22(2)3x y -+=，则y x 的最大值为（ ） Ａ．12 Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．3分析：等式22(2)3x y -+=有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(20)，，半径3r =（如图1），而00y y x x -=-，它表示圆上的点与坐标原点(00)，的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A 在以(20)，为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由图1可见，当A ∠在第一象限，且直线OA 与圆相切时，其斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 603=°，故选（Ｄ）．二、切线的纵截距法例2 若集合3cos ()(0π)3sin x M x y y θθθ⎧=⎫⎧⎪⎪=<<⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，|，集合{}()N x y y x b ==+，|且M N ≠∅I ，则b 的取值范围为 ．分析：{}22()903M x y x y y =+=<，|，≤，显然，M 表示以(00)，为圆心，以3为半径的圆在x 轴上方的部分（如图2），而N 则表示一条直线，其斜率1k =，纵截距为b ，由图表易知，欲使M N ≠∅I ，即使直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小值为3-，最大值为32，即33b -<2≤． 三、函数的解析式法例3 已知直线:(22)l y k x =+与圆22:4O x y +=相交于A B ，两点，O 是坐标原点，三角形AOB 的面积为S ．（1） 试将S 表示成k 的函数()S k ，并求出它的定义域；（2） 求三角形AOB 的面积最大时k 的值．解析：（1）直线l 的方程220(0)kx y k k -+=≠，原点O 到直线l 的距离为2221kOC k =+，弦长222282241k AB OA OC k =-=-+，ABO △的面积为12S AB OC ==· 0AB >∵，11(0)k k -<<≠∴．()110)S k k k =-<<≠∴且． （2）ABO △的面积为1sin 2sin 2S OA OB AOB AOB =∠=∠·， ∴当90AOB ∠=°时，S 可以取得最大值2，此时OC OA ===k =．。