与圆有关的最值问题K

高中数学：与圆有关的最值问题角度1 借助几何性质求最值的问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则①y x 的最大值为3 ；②y －x③x 2＋y 2的最大值和最小值分别为解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．①y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x 的最大值为 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6， 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③方法一：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.方法二：由x 2＋y 2－4x ＋1＝0，得(x －2)2＋y 2＝3.设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)， 则x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ.所以当cos θ＝－1时，(x 2＋y 2)min ＝7－43，当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝7＋4 3.角度2 建立函数关系求最值的问题(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB→的最大值为12__. 解析：由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB→＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.求解与圆有关的最值问题的方法(1)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．①形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．(1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为C 1(2,3)，半径r 1＝1；圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝3.设圆心C 1关于x 轴的对称点为A (2，－3)，连接AC 2与x 轴交于点P ，则|PC 1|＋|PC 2|＝|P A |＋|PC 2|＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，此时x 轴上的动点P 到两圆心的距离之和最小，∴|PM |＋|PN |的最小值为|P A |＋|PC 2|－r 1－r 2＝52－4.(2)设点P (x ，y )是圆：(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)，则|P A →＋PB→|的最大值为10__. 解析：由题意，知P A →＝(－x,2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A→＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4， 故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|P A →＋P B →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5. 易知1≤x ≤5，所以，当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.。

精选问题一与圆有关的最值问题经过对近几年的高考试题的剖析比较发现, 高考对直线与圆的考察, 体现逐年加重的趋向, 与圆有关的最值问题 , 更是高考的热门问题. 因为圆既能与平面几何相联系, 又能与圆锥曲线相联合, 命题方式比较灵巧, 故与圆有关的最值问题备授命题者的喜爱. 本文就此问题从内容和办理方法长进行概括, 以帮助同学们攻陷这个难点 .一、与圆有关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式 k ＝ tan ( ≠90°) 将直线的斜率与倾斜角密切联系到一同, 经过正切函数的图象能够解决已知斜率的范围探究倾斜角的最值, 或许已经倾斜角的范围探究斜率的最值.办理方法：直线倾斜角的范围是[0, π), 而这个区间不是正切函数的单一区间, 所以依据斜率求倾斜角的范π与π, 当α∈ 0，π＋围时,要分 0，，π 两种状况议论．由正切函数图象能够看出时 , 斜率k∈[0,2 2 2ππ，π时 , 斜率k∈( －∞ ,0)∞) ；当α＝2时 , 斜率不存在；当α∈2 ．【例 1】坐标平面内有相异两点A(cos ,sin 2 ), B(0,1) ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A．, B．0, 3 , C．0, 3 , D ．, 34 4 4 4 4 4 4 4【答案】 C【评论】由斜率取值范围确立直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要擅长利用数形联合的思想, 要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时 , 需依照正切函数y＝ tan x的单一性求k的范围．【小试牛刀】【2017 届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点P 23， 2 的直线与圆 x2 y2 4 有公共点 , 则该直线的倾斜角的取值范围是（）A． 0， B ． 0 ，6 3C. 0， D ． 0 ，6 3【答案】 B【分析】当过点P(23, 2) 的直线与圆 x2 y2 4 相切时,设斜率为k,则此直线方程为y+2=k( x 2 3) ,即 kx y 2 3k 2 0 . 由圆心到直线的距离等于半径可得| 2 3k 2 |, 求得k 221k 0或k 3 ,故直线的倾斜角的取值范围是[0, ] ,所以B选项是正确的.3与距离有关的最值问题在运动变化中 , 动点到直线、圆的距离会发生变化, 在变化过程中 , 就会出现一些最值问题, 如距离最小 , 最大等 . 这些问题经常联系到平面几何知识, 利用数形联合思想可直接获得有关结论, 解题时即可利用这些结论直接确立最值问题. 常有的结论有：（ 1）圆外一点A到圆上距离近来为AO r ,最远为 AO r ；（ 2）过圆内一点的弦最长为圆的直径, 最短为该点为中点的弦；（ 3）直线与圆相离 , 则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 d r ,近来为 d r ；（ 4）过两定点的全部圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.（ 5）直线外一点与直线上的点的距离中, 最短的是点到直线的距离；（ 6）两个动点分别在两条平行线上运动, 这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例 2】过点M2y225 交于A,B两点, C为圆心,当ACB 最小时 , 1,2 的直线l与圆C：x 3 4直线 l 的方程是．答案 : x y 3 0分析：要使ACB 最小 , 由余弦定理可知 , 需弦长AB 最短 . 要使得弦长最短 , 借助结论可知当M 1,2 为弦的中点时最短 . 因圆心和M 1,24 21,则所求的直线斜率为1,由点斜式可得所在直线的 k13y 1 (x 2) x y 3 0 .【评论】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般依据长度或距离的几何意义, 利用圆的几何性质数形联合求解．本题经过两次转变, 最后转变为求过定点的弦长最短的问题.【例 3】【 2016-2017 学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆 C ： x2 y 2 2x 4 y 3 0 对于直线 2ax by 6 0 对称,则由点 ( a,b) 向圆C所作的切线长的最小值是（）A．2 B ． 3 C．4 D．6【答案】 C【评论】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题, 解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直, 从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【 2016 届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y 中,圆C1 : x 1 2 225 ,圆 C 2 : x2y 302上存在一点 P ,使得过点 P 可作一y 6 17 r 2．若圆 C2条射线与圆C1挨次交于点, , 知足 2 , 则半径r的取值范围是（）A．5,55 B ． 5,50 C ． 10,50 D ． 10,55【答案】 A【分析】由题 , 知圆C 的圆心为 ( 1,6) ,半径为5,圆 C 的圆心为(17,30) , 半径为r , 两圆圆心距为1 2(17 1)2 (30 6)2 30 ,如图,可知当 AB 为圆 C1的直径时获得最大值, 所以当点P位于点P1所在地点时 r 获得最小值,当点 P 位于点 P2所在地点时 r 获得最大值．因为| AB |max 10 ,|PA| 2|AB|, 所以r min 5 , r max55 ,应选A．[根源: ZXXK]与面积有关的最值问题与圆的面积的最值问题 , 一般转变为追求圆的半径有关的函数关系或许几何图形的关系, 借助函数求最值的方法 , 如配方法 , 基本不等式法等求解, 有时能够经过转变思想 , 利用数形联合思想求解 .【例 4】在平面直角坐标系中, A, B分别是x轴和y轴上的动点 , 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0 相切,则圆C面积的最小值为（）A. 4B. 3C. (6 2 5)D. 55 4 4【答案】 A【分析】设直线l ：2 x y 4 0.因为|OC| 1| AB | d C l , 所以圆心 C 的轨迹为以 O为焦点 , l为准线的2抛物线 . 圆 C 半径最小值为1d O l 1 4 2 , 圆C面积的最小值为( 2 ) 2 4 .选 A.2 2 5 5 5 5【例 5】动圆 C经过点F (1,0) , 而且与直线x 1 相切 , 若动圆 C 与直线y x 2 2 1总有公共点,则圆C 的面积（）A．有最大值8 B ．有最小值 2 C ．有最小值3 D ．有最小值 4【答案】 D【分析】设圆心为(a,b) ,半径为 r , r |CF | | a 1| ,即 (a 1)2 b2 ( a 1)2,即 a 1b2,∴圆心为4(1b2 , b) , r 1 b2 1,圆心到直线 y x 2 2 1的距离为4 4b2| 4 b 2 2 1| b21,∴ b 2(2 2 3) 或b 2 ,当 b 2d 2 4时 , r min 1 4 1 2 ,∴ S min r 2 4 .4【小试牛刀】【 2016-2017 学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A( 2,0) ,B (0, 2), 点 P是圆(x 1)2 y2 1 上随意一点 , 则PAB 面积的最大值是（）B. 3 2C.3 2【答案】 B二、与圆有关的最值问题的常用的办理方法数形联合法办理与圆有关的最值问题, 应充足考虑圆的几何性质, 并依据代数式的几何意义, 借助数形联合思想求解.2 2【例 6】已知实数x, y 知足方程 x ＋ y －4x＋1＝0,求：y(1)x的最大值和最小值；(2)y－ x 的最大值和最小值；(3)x2＋ y2的最大值和最小值．【剖析】 (1) 利用斜率模型； (2) 利用截距模型； (3) 利用距离模型【分析】原方程变形为( x－ 2) 2＋y2＝ 3, 表示以 (2,0) 为圆心 , 半径r＝3的圆．y(1) 设x＝ k,即 y＝kx,由题知,直线 y＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.|2 k－ 0| 2 y∴k2＋1 ≤ 3. ∴k ≤3, 即－3≤k≤ 3, ∴x的最大值为3, 最小值为－ 3.(2) 设 y－x＝ b,则当直线 y－ x＝ b 与圆相切时, b 取最值,由|2 － 0＋b|＝3, 得b＝－ 2±6, 2∴y－ x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6.(3) 令d＝x2＋y2表示原点与点 ( x, y) 的距离 ,∵原点与圆心(2,0) 的距离为2, ∴d max＝ 2＋3, d min＝ 2－ 3.∴ x2＋ y2的最大值为(2＋3) 2＝ 7＋ 4 3, 最小值为 (2 －3) 2＝ 7－ 4 3.【评论】研究与圆有关的最值问题时, 可借助图形的性质, 利用数形联合求解．常有的最值问题有以下几种y－ b种类：①形如μ＝x－a形式的最值问题, 可转变为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；③形如 ( x－a) 2＋( y－b) 2形式的最值问题 , 可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【 2017 届河北武邑中学高三周考】已知直线l : x y 6 0 和曲线M : x2 y 2 2x 2 y 2 0 ,点 A 在直线l上,若直线AC与曲线 M 起码有一个公共点 C ,且MAC 300,则点 A 的横坐标的取值范围是（）A．0,5 B ．1,5C．1,3 D ．0,3【答案】 B【分析】设 A x0 ,6 x0 d AM sin30 2 2, 依题意有圆心到直线的距离 2 ,即x0 1 5 x016 ,解得 x0 1,5 .成立函数关系求最值依据题目条件列出对于所求目标函数的关系式, 而后依据关系的特色采用参数法、配方法、鉴别式法等进行求解 .【例 7】设P,Q分别为x2 y 6 2 2 和椭圆x2y2 1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是（）10A.52B.462C. 7 2D.6 2【答案】 D[ 根源:]【分析】依题意P, Q 两点间的最大距离能够转变为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上; 圆的半径 2 .设Q( x, y) . 圆心到椭圆的最大距离dx 2( y 6)29 y 2 12 y 469( x 2 )2 50 5 2.所3以 P,Q 两点间的最大距离是 6 2.应选 D.2.3 利用基本不等式求解最值假如所求的表达式是知足基本不等式的构造特色 , 如 a b 或许 a b 的表达式求最值 , 经常利用题设条件建立两个变量的等量关系 , 从而求解最值 . 同时需要注意 , “一正二定三相等”的考证.【例 8】 设 mR , 过定点 A 的动直线 x my0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0交于点 P( x,y) ,则 |PA | |PB |的最大值是.【剖析】依据 | PA |2 | PB |2 | AB |2 10 , 可用均值不等式求最值【分析】易得 A(0,0), B(1,3) . 设 P( x, y) , 则消去 m 得： x 2y 2x 3 y 0 , 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PAPB , 所以 | PA|2|PB|2| AB|210, |PA| |PB ||AB |25 .2【小试牛刀】 【 2017 届河北武邑中学高三周考】设 m, nR ,若直线 m 1 xn 1 y2 0 与圆221相切 , 则 m n 的取值范围是（x 1y 1）A ． 1 3,13B． ,1 31 3,C ． 22 2,2 2 2D．,22 22 2 2,【答案】 D【分析】直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径 , 即m n1, 化简得 mn m n 2 ,m 1 2n 21m n2由基本不等式得m n2 mn, 令 tm n , 则 t 24t 8 0,解得2t ,2 2 2 2 2 2,.【迁徙运用】1．【 2017 河北优秀结盟上学期月考】由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 (x －3) 2＋ y 2＝ 1 引切线 , 则切线长的最小值为（）B. 2 2C.7【答案】 C3,0 ，r=1 ,圆心到直线x y 1 0 3 1【分析】圆的圆心为的距离为 d 2 2 ,所以由勾股定理可22 212 7知切线长的最小值为 22【． 2017 福建福州外国语上期末模】已知平面上两点 A a,0 , B a,0 a 0 ,若圆2 2x 3 y 44上存在点 P ,使得APB 90 , 则a的取值范围是（）A．3,6 B ．3,7C. 4,6 D ． 0,7【答案】 C3．【 2017 届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】假如直线ax by 7 a 0 ，b 0 和函数f x 1 log m x m 0 ，m 1 的图象恒过同一个定点 , 且该定点一直落在圆x b2y a 121 25 的内部或圆上 , 那么b的取值范围是（）aA．3，4B ． 0，34 ， C. 4 ， D ． 0，3 4 3 4 3 3 4【答案】 A【分析】依据指数函数的性质, 可知函数f x1 log m x ， m 0 ，m 1 恒过定点 1 ，1 , 将点1，1 代入a b 7ax by 7,可得 a b 7 ,因为1，1一直落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 b 2 25 ,由a2 b2 25,解a 3 a 4 b得b4 或 b3, 这说明点 a ，b 在以 3 ，4 和 4，3 为端点的线段上运动, 所以 a 的取值范围是3 ， 443.选A.4．【 2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线l ： 3x 4 y a 0 , 圆 C ： ( x 2)2y 22,若在圆C 上存在两点 P , Q , 在直线 l 上存在一点 M , 使得PMQ90 , 则 a 的取值范围是（）A ．C ．18,616,4B ． 6 5 2,6 5 2D．6 5 2, 6 5 2【答案】 C【分析】圆 C 半径为 2 , 从直线上的点向圆上的点连线成角 , 当且仅当两条线均为切线时 , 所成的角最大 ,此时四边形 MPOQ 为正方形 , 边长为2 , 所以对角线 OM2 , 故圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 , 所以有3 2 a6 a4,选 C.32422 , 求出 16 a55．【 2017 湖北宜昌葛洲坝中学上期中】 若圆 C ：x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0 上有四个不一样的点到直线 l ：x － y ＋ c ＝0 的距离为 2, 则 c 的取值范围是（）[ 根源: ]A ． [ － 2,2]B ．[ －2 2,2 2 ]C ． （－ 2,2 ） D．（－ 22,2 2）【答案】 D【分析】圆 C ： x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0, 配方为：22x2y216 , [根源:]∵圆上有四个不一样的点到直线l ： x-y+c=0 的距离为 2,∴圆心到直线 l 的距离 dc2 ,2解得2 2 c 2 26．【 2017 届重庆市一中高三上学期期中】设A, B在圆x 2y 21 上运动 , 且AB3, 点 P在直线3x 4 y12 0PA PB上运动,则的最小值为（ ）． 3B．4C． 17D． 19A55【答案】 D7．【 2017 届四川省高三高考适应性测试】 已知圆的方程为x 2 y 26x 0 , 过点 1 ，2 的该圆的全部弦中 , 最短的弦长为（ ）A.1B.12【答案】 C【分析】 x2y 2 6x 0 ( x 3) 2 y 29, 最短的弦长为29 (3 1)2222,选 C.8．【 2017 重庆万州二中上期中】已知圆C : x 2 y 2 8x 150, 直线 y kx 2 上起码存在一点P ,使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最小值是（ ）A.4B.534C.3D.553【答案】 A【分析】因为圆 C 的方程为 x 2 y 28x 15 0 , 整理得 ( x4) 2 y 2 1 , 所以圆心为 C (4,0) , 半 径为r 1, 又因为直线 y kx 2 上起码存在一点 P , 使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 所以点C 到直线 y kx 2 的距离小于或等于4k 0 22 , 化简 3k2 4k4 k0,所以2,所以 k 2 10,解得3k 的最小值是4,应选 A.39．【 2016 学年四川省雅安中学期中】已知点P （ t,t ）,t∈R,点 m 是圆 x 2 ( y1)21 上的动点 , 点 N 是圆14(x 2) 2 y 2上的动点 , 则 PNPM 的最大值是（）4B．2 C ．3 D ．【答案】 B【分析】如图：圆 x 2( y 1)21 的圆心 E （0,1 ） , 圆的圆心 F （ 2,0 ） , 这两个圆的半径都是 1 4 2要使 |PN||-|PM| 最大 , 需 |PN| 最大 , 且 |PM| 最小 , 由图可得 ,|PN| 最大值为 |PF|+ 1 ,12 PM|的最小值为 |PE|-2PN PM =|PF|-|PE|+1, 点 P （ t,t ）在直线 y=x 上 ,E （ 0,1 ）对于 y=x 的对称点 E ′（ 1,0 ） , 直线 FE ′与 y=x 的交点为原点 O,则|PF|-|PE|=|PF|- |PE ′| ≤|E ′F|=1, 故 |PF|-|PE|+1的最大值为 1+1=2, 故答案为B ．10．【 2016 届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知 P( x, y) 是直线 kx y 4 0(k 0) 上一动点 ,PA 、 PB 是圆 C ： x 2 y 22 y A B 是切点 , 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k的0 的两条切线 , 、 值为（）A．3B．21C．22D．2 2【答案】 D【分析】圆 C 的方程可化为x2 ( y 1)2 1 ,因为四边形PACB的最小面积是 2 ,且此时切线长为 2 ,故圆心0,1 到直线kx y 4 0 的距离为 5 ,即 5 5 ,解得k 2 ,又 k 0 ,所以 k 2 ．k 2111．【 2016 湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线3ax by 1(a, b R) 与圆O1: x2 y2 2 订交于A,B 两点 , 且△ AOB是直角三角形（ O是坐标原点） , 则点 P（a,b ）与点（ 0,1 ）之间距离的最大值是A．错误！未找到引用源。

与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。

利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，与圆有关的长度最值问题有以下题型：
思路分析：
已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问
的不等式，即可解出
=45，
2
45
=
2
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会
与圆有关的长度最值问题有以下题型：
到圆上距离最近为
③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转
+，最小值的距离为d，圆半径为r，则圆上的点到直线的距离的最大值为d r
时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解
圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题
例5 实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为 . 用消元法化为关于.
法二：令
2
y+
=k，
d－r.
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.。

与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。

与圆有关的最值问题的求解策略本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March与圆有关的最值范、围问题的求解策略知识梳理 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值．②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u ＝y －b x －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题 （2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径1 、已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .2、已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .3、由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为5、 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)6、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．7、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .8、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值9、若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值10、已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．11、P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题． 12、已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为类型五：向基本不等式问题转化13、已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．题型 有关定直线、定圆的最值问题 13、 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________． 题型三 综合性问题(1)圆中有关元素的最值问题(2)与其他知识相结合的范围问题14 、已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．15、（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 .16、已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围．。

模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.解：如图1，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．要使AP +BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +PD 最小，即：AP +BP 最小值为AD ，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC 的最小值等于5．解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是5．解：如图，作MB⊥ON于B，则BM＝3，OB＝6，取OA的中点I，连接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中点，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于点H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE•sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是2．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，∵∠EOB为公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三点共线时取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案为【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为3．解：如图，连接OC交⊙O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值为BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．故答案为：3．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中点I，连接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴当D、P、I在一条直线上时，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为2．解：如图，连接OP，取OC的中点E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为6．解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，∴PM＝2，如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值为6．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK•AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值为，故答案为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．解：在AB上取F，使AF＝，连接CF与⊙A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF•AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根据两点之间线段最短，此时PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值为CF＝＝＝，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是4．解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四点共圆，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC•OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案为：4．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝，连接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半径为1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即为AM+MC的最小值，∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值为．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（12，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为3．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为5．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3；（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5；（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值为．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如图1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处，PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处，故答案为：，；（2）如图2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE＝，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∴PC＝＝，即：AM+CM的最小值为．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．。

与圆有关的最值问题-高三数学备考练习近几年高考试题分析发现，与圆有关的最值问题是高考热点问题之一。

这类问题既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活。

解决这类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。

常见类型包括与圆有关的长度或距离的最值问题和与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题。

对于长度或距离的最值问题，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。

对于与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题，常见类型包括形如u＝x－a型、t＝ax＋by型和(x－a)2＋(y－b)2型。

这些问题可以转化为斜率的最值问题、动直线的截距的最值问题和动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题。

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面。

知识拓展包括圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC-r，圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径，以及圆C内一点M的弦长的最大值为直径，最小的弦长为圆心角对应的弧长。

解决与圆相关的最值问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。

例如，与直线的倾斜角或斜率的最值问题可以利用公式k＝tan(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值。

处理方法包括分别讨论斜率的范围和倾斜角的范围。

例6】已知实数x,y满足方程$x^2+y^2-4x+1=0$，求：1) $x$ 的最大值和最小值；2) $y-x$ 的最大值和最小值。

解析】1) 将方程化为标准形式：$(x-2)^2+y^2=3$，得到一个以点 $(2,0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。

由于 $x$ 的取值范围为 $[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$，所以$x$ 的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为 $2-\sqrt{3}$。

２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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与圆有关的3类最值问题1.斜率型最值问题【方法点拨】形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解． 【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝k x . 当直线y ＝k x 与圆相切时(如图)，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3.∴y x的最大值为3，最小值为－ 3.【练习】已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任意一点，则y －2x －1的最大值为________． 解析： 设y －2x －1＝k ，即k x －y －k ＋2＝0， 圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值，∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34. 答案：3＋34【方法点拨】形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.【练习】已知P (x ，y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|3x ＋4y －3|的最大值为________．解析：设t ＝3x ＋4y －3，即3x ＋4y －3－t ＝0.由圆心(2,0)到直线3x ＋4y －3－t ＝0的距离d ＝|6－3－t |32＋42≤1， 解得－2≤t ≤8.所以|3x ＋4y －3|max ＝8.答案：8【方法点拨】形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.【练习】设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A ―→·PB ―→的最大值为________．解析：由题意，知P A ―→＝(2－x ，－y )，PB ―→＝(－2－x ，－y )，所以P A ―→·PB ―→＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A ―→·PB ―→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A ―→·PB ―→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12。