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苏科版九年级数学上册《圆有关的最值问题》专题(解析版)

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圆有关的最值问题一、求解方法：1．根据“三角形三边关系”求解：-≤≤+a b c a b2．动中有静，抓住不变量求解．3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值．4．四点共圆（补充）．五个基本判断方法：(1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。

），则这个四边形的四个点共圆．(3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．(5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．三、中考展望与题型训练例一、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．例二、正弦定理2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接P A、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4B．C．D．26．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB 的最小值是．例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3D．2【题型训练】10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A．4B．C．D．12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75B．4.8C．5D．413．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）A．3B．C．D．416．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）A．B．2C．3D．417．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，P A长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为．18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y ＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是．19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接P A、PB，则P A2+PB2最大值是．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC =6，圆A和圆B相切于点D，且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值是____．21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）A．2﹣2B．C．D．22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则P A+PB的最小值等于．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是．24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为cm．25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（）A．B．C．3D．26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）A．2B．3C．4D．527．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是．30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是．32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。

点B(0，16)，点C是⊙A上任意一点，点M是线段BC的中点，求线段OM的取值范围．答案与解析1．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝5，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．2．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝，故答案为：．3．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM 即可；方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．【解答】解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM 最大．即PM max＝4，故答案为：4．4．【解答】解：过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED，又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2，又PC＝x，∴PE＝ED＝PC﹣CE＝x﹣2，∴PD＝2（x﹣2），∴CD＝PC﹣PD＝x﹣2（x﹣2）＝x﹣2x+4＝4﹣x，∴PD•CD＝2（x﹣2）•（4﹣x）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD•CD的值最大，最大值是2．5．【分析】分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE 垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，可求得OC＝．【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝2，∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝2×tan30°＝．故选：B．6．【分析】如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短；【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB＝2OC；当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4．故答案为：4．7．8．【分析】首先根据题意画出图形，然后解直角三角形求得AC的长，然后分两种情况讨论即可求得答案．【解答】解：当⊙O经过点C时，则AC是直径，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴AC＝cos30°•AB＝2，∴OA＝，当圆O经过B点时，如图，作OD⊥AB于点D，∴AD＝AB＝2，∵∠A＝30°，∴cos∠A＝＝，∴OA＝；∴⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是，故答案为．9．【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ 最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2﹣OQ2，而OQ＝2，∴PQ2＝OP2﹣4，即PQ＝，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为＝．故选：B．10．【分析】首先找到使点F的纵坐标最大时点F的位置（点F与点E′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点F的纵坐标的最大值．【解答】解：如图，∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，∵∠AGO＝∠BOF∴∠BF A＝∠BOA＝90°，∴点F、B、A、O四点共圆，∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠F AO的增大而增大，∵OC′＝2，∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠F AO）最大，此时∠AC′O＝90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，∴∠E′AO＝30°，AC′＝2．∴AF＝2+2．∵∠AHF＝90°，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝×（2+2）＝+1．∴点P的纵坐标的最大值为+1．11．【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵过P的直线是⊙D的切线，∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴OA＝，∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴＝，∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，∴DM＝，∴PM＝PD+DM＝1+＝，∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，故选：D．12．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD ⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值，最小值为CD 的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，FC+FD＝PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故选：B．13．14．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O 相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；由勾股定理，得：AD＝2；∴S△ACD＝AD•CD＝；易证得△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，即S△AOE＝S△ADC＝；∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．15．【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．连接AC，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD＝AO＝2，连接CD，设EF＝x，∵CF＝1，∴DE＝＝，∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，∴△CDE∽△AOE，∴＝，即＝，解得x＝，S△ABE＝＝＝．故选：B．16．【分析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：当PC⊥AB时，PQ的长最短．在直角△ABC中，AB＝＝＝4，PC＝AB＝2．∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，即∠CQP＝90°，∴PQ＝＝＝．故选：A．17．【分析】先确定线段DE的长与半径AP的关系，通过圆心角等于圆周角的一半，再结合特殊角的三角函数得出DE＝AP，当AP最大时线段DE最长，由点P在⊙O上可找出AP的最大值，从而得出DE的最大值．【解答】解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC＝60°，∴∠DPE＝120°．∵PE＝PD，PM⊥DE，∴∠EPM＝60°，∴ED＝2EM＝2EP•sin60°＝EP＝P A．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC＝60°，∴∠OAF＝30°，OF＝1，∴AO＝＝2，AP＝2+1＝3，∴DE＝P A＝3．故答案为：3．18．【分析】分两种情况：①当B位于C处，∠ABP最小，为0°，此时，m＝0；②当B 距离A最近时，∠ABP最大为45°，此时m＝tan45°＝1，即可求得m的取值范围．【解答】解：①当B位于C处，则P位于P′或P″处时，∠ABP最小，为0°，此时，m＝0；②当B距离A最近时，∠P′BP最大，从而∠ABP最大，此时，AB⊥BC，则B（1，2），所以，四边形BP′AP是正方形，所以∠ABP最大为45°，此时m＝tan45°＝1，所以0＜m≤1，故答案为0＜m≤1．19．【分析】设点P（x，y），表示出P A2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．【解答】解：设P（x，y），∵P A2＝（x+2）2+y2，PB2＝（x﹣2）2+y2，∴P A2+PB2＝2x2+2y2+8＝2（x2+y2）+8，∵OP2＝x2+y2，∴P A2+PB2＝2OP2+8，当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的长度为：OM+PM＝10+2＝12，∴P A2+PB2＝296．故答案为：29620．21．【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝，从而得到CE的最小值为﹣1．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AB＝AC＝2，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为1，连接OE，OC，∴OE＝AB＝1在Rt△AOC中，∵OA＝1，AC＝2，∴OC＝＝，由于OC＝，OE＝1是定值，点E在线段OC上时，CE最小，如图2，∴CE＝OC﹣OE＝﹣1，即线段CE长度的最小值为﹣1．故选：C．22．【分析】作⊙M关于y轴的对称⊙M′，连接NM′分别交⊙M′和⊙N于A、B，交y 轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时P A+PB最小，再利用对称确定M′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出M′N的长，然后用M′N的长减去两个圆的半径即可得到AB的长，即得到P A+PB的最小值．【解答】解：作⊙M关于y轴的对称⊙M′，连接NM′分别交⊙M′和⊙N于A、B，交y轴于P，如图，则此时P A+PB最小，∵点M坐标（2，3），∴点M′坐标（﹣2，3），∵点N（3，﹣5），∴M′N＝，∴AB＝M′N﹣NB﹣M′A＝﹣2﹣1＝﹣3，∴P A+PB的最小值为﹣3．故答案为：﹣323．【分析】由题意P A＝AB＝AC＝m，求出P A的最大值和最小值即可解决问题；【解答】解：∵A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），∴AB＝AC＝m，∵∠BPC＝90°，∴P A＝AB＝AC，∵D（﹣4，﹣2），A（0，1），∴AD＝＝5，∵点P在⊙D上运动，∴P A的最小值为5﹣，P A的最大值为5+，∴满足条件的m的取值范围为：5﹣≤m≤5+故答案为5﹣≤m≤5+．24．【分析】由AE⊥BD，推出∠AEB＝90°，推出点E在以AB为直径的圆上运动，可得CE的最小值为CO′﹣O′E；【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的圆上运动，∴CE的最小值为CO′﹣O′E，∵⊙O的半径为2，△ABC是等边三角形，∴AB＝2，CO′＝×2＝3，∴CE的最小值＝（3﹣）（cm）．故答案为3﹣．25．【分析】连结AB、BC，如图，由A点坐标易得点A在直线y＝x上，作BH⊥直线y＝x 于H，则△BOH为等腰直角三角形，所以BH＝2，再根据切线的性质得∠ACB＝90°，则利用勾股定理得到AC＝，易得AB最小时，AC的值最小，利用垂线段最短得到AB的最小值为2，所以AC的最小值为＝．【解答】解：连结AB、BC，如图，∵点A在直线y＝x上，∵∠AOB＝45°，作BH⊥OA于H，∴△BOH为等腰直角三角形，∴BH＝＝2，∵直线AC与⊙B相切，切点为C，∴BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝，当AB最小时，AC的值最小，而点A在H点时，AB最小，此时AB＝BH＝2，∴AC的最小值为＝．故选：A．26．【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC于P，交⊙A、⊙D′于E、F′，连接PD，交⊙D于F，EF′就是PE+PF最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF最小值．【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，∴A′D′＝BC＝3，AA′＝2AB＝4，AE＝D′F′＝1，∴AD′＝5，EF′＝5﹣2＝3∴PE+PF＝PF′+PE＝EF′＝3，故选：B．27．【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【解答】解：设AC的中点是D，则OD＝AC＝1，根据勾股定理得BD＝，当B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大，最大距离是+1．28．【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△P AB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，∴∠P AB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠P AB＝∠DAP′，∴△P AB≌△P′AD，∴P′D＝PB＝1，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝3，由勾股定理得：BD＝＝3，∴BP′＝BD﹣P′D＝3﹣1，即BP′长度的最小值为（3﹣1）cm．故答案为：（3﹣1）．29．【分析】首先证明AB＝AC＝a，根据条件可知P A＝AB＝AC＝a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴P A＝AB＝AC＝a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值为6．故答案为6．30．31．【分析】当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME 中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．【解答】解：作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠EDM＝60°，在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM＝×1＝，ME＝MD•sin∠EDM＝，则EC＝CD+ED＝2+＝，在直角△CEM中，MC＝＝＝，当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：﹣1．故答案是：﹣1．32．。

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苏科版九年级数学上册《圆有关的最值问题》专题(解析版)

苏科版九年级数学上册《圆有关的最值问题》专题(解析版)

圆有关的最值问题一、求解方法：1．根据“三角形三边关系”求解：-≤≤+a b c a b2．动中有静，抓住不变量求解．3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值．4．四点共圆（补充）．五个基本判断方法：(1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。

），则这个四边形的四个点共圆．(3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．(5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．三、中考展望与题型训练例一、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．例二、正弦定理2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接P A、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4B．C．D．26．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB 的最小值是．例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3D．2【题型训练】10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A．4B．C．D．12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75B．4.8C．5D．413．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）A．3B．C．D．416．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）A．B．2C．3D．417．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，P A长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为．18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y ＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是．19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接P A、PB，则P A2+PB2最大值是．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC =6，圆A和圆B相切于点D，且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值是____．21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）A．2﹣2B．C．D．22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则P A+PB的最小值等于．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是．24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为cm．25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（）A．B．C．3D．26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）A．2B．3C．4D．527．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是．30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是．32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。

2020苏科版九上第二章《轴对称图形—圆》中的最值问题培优训练(3)(有答案)

2020苏科版九上第二章《轴对称图形—圆》中的最值问题培优训练(3)(有答案)

2020苏科版九上第二章《轴对称图形—圆》中的最值问题培优训练（3）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r．【操作感知】(1)根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；【初步探究】(2)求证：CD2+CE2=4r2；(3)当r=8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为______；【深入研究】(4)直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为______．2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−4,0)，B(4,0)，C(0,3)，点D是BC边的中点.点P以每秒1个单位长度的速度由A向C运动，点Q以每秒a个单位长度的速度沿A→B→A运动，P，Q同时出发，当点P到达C点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)当t=2时，求P的坐标；(2)点Q在A→B的运动过程中，是否存在a的值，使PQ+QD最小.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由；(3)若a=3，以PQ为直径作⊙M，当⊙M经过线段BC其中的一个端点时，求t值．3.如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP=______°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是______．(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．4.在平面直角坐标系xOy，对于点P(x p,y p)和图形G，设Q(x Q,y Q)是图形G上任意一点，|x p−x Q|的最小值叫点P和图形G的“水平距离”，|y p−y Q|的最小值叫点P 和图形G的“竖直距离”，点P和图形G的“水平距离”与“竖直距离”的最大值叫做点P和图形G的“绝对距离”例如：点P(−2,3)和半径为1的⊙O，因为⊙O上任一点Q(x Q,y Q)满足−1≤x Q≤1，−1≤y Q≤1，点P和⊙O的“水平距离”为|−2−x Q|的最小值，即|−2−(−1)|=1，点P和⊙O的“竖直距离”为|3−y Q|的最小值即|3−1|=2，因为2> 1，所以点P和⊙O的“绝对距离”为2．)，B(4,1)，C(4,3)已知⊙O半径为1，A(2,52(1)①直接写出点A和⊙O的“绝对距离”②已知D是△ABC边上一个动点，当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，写出一个满足条件的点D的坐标；(2)已知E是△ABC边一个动点，直接写出点E与⊙O的“绝对距离”的最小值及相应的点E的坐标(3)已知P是⊙O上一个动点，△ABC沿直线AB平移过程中，直接写出点P与△ABC的“绝对距离”的最小值及相应的点P和点C的坐标．5.如图，AB是⊙O的直径，AB=4√2，M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合)，与⊙O分别交于P、Q两点．(1)求证：△AMB为等腰直角三角形：(2)求证：OE=OF；(3)连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．6.(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°.(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的数．(3)【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．7.在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E在BC上且BE=1，以EF为直径的半圆O在矩形的左下方，点G是半圆弧的中点。

与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】

与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】

与圆有关的最值范围问题一．基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题二．题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( ) A ．3157- B ．3137- C ．524- D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3yx的最短距离为（ ）A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C ． 例2.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣，又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B例2.已知圆O ：223x y +=，l 为过2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -，即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+，251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．25D ．35 【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则52)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为52．故选：A例2．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4 B ．26C ．4- D ．26-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(2A ， 2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距．如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-． 故选：C ．8.代数式几何化最值—斜率型例1.（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +51 D ．x y ＋的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+，解得：0k =或43k =，40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即2221x y ==x y ＋取最大值，最大值为32，D 对， 故选：ABD ．9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1， 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．例2.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 312（|P A |2＋|PB |2）的最大值为（ ） A ．33B ．7＋3C ．8＋3D ．16＋3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++，其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，∴x2＋y2的最大值为（232＝7＋3∴x2＋y2＋1的最大值为8＋322||||2PA PB+的最大值为8＋3。

21 圆(2)(解析版)-2021-2022学年九年级上册数学卷(苏科版)

21 圆(2)(解析版)-2021-2022学年九年级上册数学卷(苏科版)

第2章 对称图形－圆（2.1圆（2）)一、 选择题（每题3分，共24分）1．P 为⊙O 内一点，3OP =，⊙O 半径为5，则经过P 点的最短弦长为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 【解析】解：在过点P 的所有⊙O 的弦中，如图，当弦与OP 垂直时，弦最短，此时4CP ==，得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C ．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，以点C 为圆心，BC 为半径的圆与AB 相交于点D ，则AD 的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解析】解：过C 点作CH ⊥AB 于H 点，如下图所示：∵∠ACB =90°，∠A =30°，∴△ABC 、△CBH 均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为2，Rt△ABC 中，132BC AB ==，Rt△BCH 中，1322BH BC ==， 由垂径定理可知：32DH BH ，∴2633AD AB BH ，故选：C ．3．如图，⊙O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交⊙O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是 （）A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==，3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．4．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19 【解析】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC∴ AE =EC ，CF =FD∵OE =3，OB =5∴OB =OC =OA =5∴在Rt △OAE 中4AE ===∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt △OFC 中， 4.8FC =∴29.6CD FC ==故选：A5．如图，矩形ABCD 中，60AB =，45AD =，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，52PQ =，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M ，N ．则MN 的最大值为 （ ）．A ．48B ．45C ．42D ．40【解析】 解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，在Rt △ABD 中，BD 75==， ∵12×AH ×BD =12×AD ×AB ， ∴AH =604575⨯=36， ∵⊙O 的半径为522=26， ∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM∴此时HM 有最大值，最大值为：HM ====24，∵OH ⊥MN ，∴MN =2MH ，∴MN 的最大值为2×24=48．故选：A ．6．如图，⊙O 的直径CD 为26，弦AB 的长为24，且AB CD ⊥，垂足为M ，则CM 的长为（）A ．25B ．8C ．5D ．13【解析】解：连接OA ．∵直径CD AB ⊥，24AB =，∴1122AM BM AB ===,在Rt AOM 中，13OA =,12AM =,根据勾股定理得：5OM ==．则1358CM OC OM =-=-=．故选：B ．7．如图，已知⊙O 的半径为5，弦8AB =，则⊙O 上到弦AB 所在直线．．．．的距离为2的点有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 解：作圆的直径CE ⊥AB 于点D ，连接OA ，∵AB =8，∴AD =4．∵OA =5，∴OD ，∴CD =OC -3=5-3=2，即C 到弦AB 所在的直线距离为2，∴在劣弧AB 上，到弦AB 所在的直线距离为2的点只有C 点；∵DE =5+3=8＞2，∴在优弧AEB 上到弦AB 所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB 所在的直线距离为2的点有3个．故选：B ．8．如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 相于点P ，且45,APC ∠=︒若PC PD ==OA 的长为 （ ）A ．3B ．C ．D 【解析】 过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，∵45APC ∠=︒，∴PE OE x ==，∵PC =∴CE x =-，∵CE DE =，∴x x -=+，∴x =∴====OA OC故选：D ．二、填空题（每题3分，共24分）9．若AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD AC ⊥于点D ，若3OD =，则BC =____．∵OD⊥AC于点D，∴AD=CD，即D为AC的中点，∵AB是⊙O的直径，∴点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=12BC，∴BC=2OD=2×3=6．故答案为：6．10．半径为5的⊙O内，弦AB长6，则圆心到弦AB距离为________．【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则OC为圆心到弦AB距离，连结OA，∵OC⊥AB，AB=6，∴AC=12AB=3，在Rt OAC△中，OA=5，AC=3，由勾股定理得：4OC==，即圆心到弦AB距离为4，故答案为：4．11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．12．一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是__________厘米。