7-7不变子空间

第7章 线性变换

§1 线性变换的定义

线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义

定义7.1 设V为线性空间，若对于V中的任一向量，按照一定的对应规则T，总有V中的一个确定的向量与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为

)(T 或 )(,VT，

称为的象，称为的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T（V），即

T（V）=VT|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V中的变换T，若满足条件

（1） 对任意V,有

（2） )()()(TTT；

（3） 对任意V及数域P中任意数k有)()(kTkT， 则称变换T为V中的线性变换。

例7.1 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即

E)()(V

以及零变换ℴ，即

ℴ)(0)(V

都是线性变换.

例7.2 设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：

Vk,.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当1k时，便得恒等变换，当0k时，便得零变换.

例7.3 在线性空间][xP或者nxP][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即

D（)(xf）=)(xf.

例7.4 定义在闭区间ba,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(baC代表.在这个空间中变换

ℐ（)(xf）=xadttf)(

是一线性变换. 例7.5 在3R中，定义下列变换：对任意的321xxx3R，

1321321xxxxxxx，3321101xxxx，2332213212xxxxxxxx

西北大学学报（自然科学版）　２０１１年２月，第４ｌ卷第１期，Ｆｅｂ．，２０１１，Ｖｏ１．４１，Ｎｏ．１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏａｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　

非线性扩散方程和不变子空间　

左苏丽　，黄　睛　，王丽真　，李吉娜　

（１．西北大学数学系；２．西北大学数学与科学史研究中心，陕西西安７１０１２７）　

摘要：目的研究一类在物理，化学反应，生物数学以及土壤学等领域具有广泛应用的非线性扩散　

方程。方法运用条件Ｌｉｅ—Ｂａｃｋｌｕｎｄ对称和不变子空间相结合的方法求非线性扩散方程的精确　

解。结果对于非线性扩散方程进行完全分类。结论得到了非线性扩散方程的更丰富的解。　

关键词：非线性扩散方程；不变子空间；条件Ｌｉｅ—Ｂａｃｋｌｕｎｄ对称；精确解　

中图分类号：０１７５．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－２７４Ｘ（２０１１）０１－０００５－０３　

Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　

ＺＵＯ　Ｓｕ—ｌｉ　，ＨＵＡＮＧ　Ｑｉｎｇ　，ＷＡＮＧ　Ｌｉ—ｚｈｅｎ　，　，ＬＩ　Ｊｉ—Ｈａ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；２．Ｃｅｎｔｅｒ　ｆｏｒ　Ｈｉｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ　ａｎ　７１０１２７，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ　Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｆｏｃｕｓｅｓ　ｏｎ　ｏｎｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ａ　ｗｉｄｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　

ｐｈｙｓｉｃａｌ，ｃｈｅｍｉｃａｌ　ｒｅａｃｔｉｏｎ，ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　ｍａｔｈｅ　ｍａｔｉｃｓ，ｓｏｉｌ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　

习题

习题设A是一个"阶下三角矩阵。证明：

（1） 如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；

（2） 如果A的对角线元素all=a22=-=all„f且A不是对角阵，则A不 可对角化。

证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为 I 2E - A

1= （2 - ! ）（2 - «22） ■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的 特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。

（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B

相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。又因为矩阵A的特征多项式 为 I

xtf —A1=（几 _°］］）“ ， 所 以 = ■ ■ ■ = Alt = , 从 |（［J

/ 、

如

B= 如 =如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有

、 % >

X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假 设矛盾，所以A不可对角化。

习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，

匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。证明：

（1） 叫+岭+…+匕是直和； （2） a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。 证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有

ax +a2 + -- + ax =0,其中 q e V； J = 1,2,…,s。现用 6b[…,b

分别作用分解式两边，可得

印+色+…+ % = 0

人 © + + ・・• + Asas = 0

常匕+石么+・・・+町匕=0

写成矩阵形式为

‘1人

( 、1

(4S，…心):

J人

f 1

由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1

零，即矩阵B是可逆的，进而有

(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a「勺，…)=(0,0,…,0)。

Dirichlet空间上的相关不变子空间的刻画

张学伟;赵连阔

【摘 要】本文通过使用再生核,对M是Dirichlet空间中单独生成的移位不变子空间,B是一个Blaschke积.我们可以给出M(O) BM一个刻画.

【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2015(029)001

【总页数】3页(P12-14)

【关键词】Dirichlet空间;不变子空间;再生核

【作 者】张学伟;赵连阔

【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004

【正文语种】中 文

【中图分类】O177.1

泛函分析是基础数学领域中一个较新的分支, 大约在上世纪30 年代才正式成为一门独立的学科,是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的.它概括了经典分析,函数论等学科中的一些重要概念, 问题和成果.受到现代物理和现代工程技术等方面所提出的有关问题, 使得一些分别属于各种学科领域中的问题得到统一的处理. 泛函分析是上世纪出现的第一个高度综合性的数学学科, 其中再生核理论在当前数学领域中的发展十分迅速, 它有着深刻的理论背景, 其数学思想非常精美和完善. 再生核空间是一类重要的函数空间, 其理论源于积分方程理论及调和函数的边值问题, 其中再生核Hilbert 空间是近年来研究的一个热点. 在Bergman空间中,

其不变子空间和再生核的研究有着紧密联系[1，2].文献[3]给出了Bergman空间中相关不变子空间的刻画.

在以上研究的基础上,由文献[4～8],我们考虑Dirichlet空间上的相关不变子空间的刻画.

设C为复平面.D ={z∈C:|z|<1}为单位开圆盘，dA表示D上的正规面积测度.Dirichlet 空间D={f∈H(D)，

∀f∈D,Dirichlet空间范数表达式:

∀f,g∈D,定义内积:

则在此内积下, Dirichlet空间是Hilbert空间.