求积分几种常规方法

合肥学院论文

求积分的若干方法

姓名：陈涛

学号： 1506011005

学院：合肥学院

专业：机械设计制造及其自动化老师：左功武

完成时间： 2015年12月29日

求积分的几种常规方法

陈涛

摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法

引言

数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重

点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

1 积分的概念

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做

被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，

C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这

个函数进行积分。

1.1 不定积分

积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

不定积分是为解决和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。

1.2 定积分

相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分.

用公式表示是：∫ [a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n

定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：

a=x0

1.3 定积分与不定积分的联系

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

若F'(x)=f(x)

那么∫[a:b]f(x)dx =F(a)-F(b)

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=∫[a:b]f(t)dt

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正这个理论揭示了与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作基本定理。

1.4相关公式

2求积分的常见方法

2.1求不定积分的方法

2.1.1直接积分法

直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

(1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；

例1：322345(2)(8126)x x dx x x x x dx -=-+-??

34568613356

x x x x c =-+-+ (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；

例2：

1252582333333363(2)258x x x dx x x x c -=++=+++?? (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式；

例3： 222222221(1)11(1)(1)1x x dx dx dx dx x x x x x x

+-==-+++???? 1arctgx c x

=--+ (4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。

由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。

2.1.2换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分()f x dx ?有困难时， ()(t=(x),t x )x t φθφθθ=≠存在反函数且（）及（）都是连续可微函数，′(t)c ，把原来的积分转化为对新变量t 的积分。那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。

2.1.3有理函数的不定积分及待定系数法

有理函数的不定积分的定义和分析

有理函数的不定积分不仅是微分学中的一个重要内容，也是不定积分学习中的一个重点和难点。有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下

形式的函数：R(x)=()()

m n P x Q x .

其中有理函数可以分解为多项式（即有理整式）与真分式之和，多项式易于求积分，而真分式可以化为部分分式的和求积分。在将真分式分解成部分分式的和时，对于简单的问题，可以用观察法进行拆分；复杂的则要另寻他法。

那么，有理函数的积分形如

?dx x R )(的积分，其中11011011(),()m m n n m m m n n n P x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----=+++=+++；m 和n 均为非负整数；0101,,,,m n a a a b b b 及都是实数，且000,0a b ≠≠.

当m

待定系数法在不定积分中的运用 那么，有理真分式()()

m n P x Q x 的积分该如何求解呢？[9] (1) 第一步：对分母Q （x ）在实数解内作标准分解：

11

22111()()()()()s t u u s t t Q x x a x a x p x q x p x q λλ=--++++，在多项式Q （x ）

中 0,1,(1,2,,;1,2,,)i j b u i s j t λ===均为自然数，而且i λ的前s 项的和与j u 的前t 项的和的二倍相加等于m ；j=1，2，，t.

第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k x a -的因式，它所对应的部分分式是 122;()()k k

A A A x a x a x a +++--- 对每个形如2()k x px q ++的因式，它所对应的部分分式是

11222222()()

k k k B x C B x C B x C x px q x px q x px q ++++++++++++. 把所有部分分式加起来，使之等于R （x ）。

第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程即为要确定的系数。

(2) 对于有理真分式，可以看成以下几种情况：

①当分母Q(x)含有单因式x-a 时，分解式中应有一项A x a

-，A 为待定系数； ②当分母Q(x)含有重因式()n x a -时，部分分式中相应有n 个项，分母按

()n x a -的次数依次降低为一次，分子为待定系数；

③当分母Q(x)中含有质因式2x px q ++时，部分分式中相应的有一项2Ax B x px q

+++. 例15：求积分43223518356

x x x x dx x x --+--+?. 解：该被积函数为假分式，利用多项式除法，得 43223518356x x x x dx x x --+--+?=223(21)56x x x dx dx x x ++++-+??

然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系数法，令

23356(2)(3)23

x x A B x x x x x x ++==+-+---- 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.

故

43223518356x x x x dx x x --+--+?=256(21)23x x dx dx dx x x -+-++--??? 32125ln |2|6ln |3|3

x x x x c =+---+-+ 用待定系数法将其复杂的有理函数变为有理真分式的代数和，然

后用前面的方法逐项积分。该方法的基本步骤：

① 先考察被积有理函数是真分式，还是假分式。如果是假分式，在通过带余

除法化为多项式和真分式之和；如果是真分式，则进行第（2）步;

② 在实数范围内把分母多项式分解成若干个一次因式和二次因式之积; ③ 设定真分式函数分解成若干部分分式之和的形式;

④ 利用待定系数法等方法求出各部分分式的分子所有系数；

⑤ 对多项式（如果有理函数是假分式）和各部分分式分别进行积分并求和。

2.2求定积分的常见方法

对于求定积分的常见方法可参考不定积分求原函数的方法在代入数值即可，但求定积分时

也可以利用相关性质，例如当积分上下限互为相反数，被积函数为奇函数是，值为零；也可利用几何图形求积分值，例如当被积函数为圆时。以及等等性质，这里不再做讨论。

参考文献

[1]尚馥娟.解析不定积分的计算[J].数学研究与教学.2007.

[2]同济大学数学系.高等数学.2007.

[3]合肥学院.陈秀.张霞.高等数学.北京：高等教育出版社.2010.

定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020

定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )(

2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分

浅谈几种综合国力测算方法

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研究生课程（论文类）试卷
2 0 1 6 /2 0 1 7 学年第一学期
课程名称：
国民经济统计学
课程代码：
论文题目： 浅谈几种综合国力测算方法
学生姓名：
专业﹑学号：
统计学
学院：
理学院
课程（论文）成绩： 课程（论文）评分依据（必填）：
任课教师签字： 日期： 年 月 日
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浅谈几种综合国力测算方法
摘要：综合国力，是国家实力和权力的综合体现。国家实力是指一国自己做事的 能力，是一个绝对概念。有学者把实力定义为“逾越障碍和影响结果的能力”[1] 。 权力则指一国促使别国做事的能力，是一个相对概念。有学者将权力定义为“促 使其他行为体做其原本不会去做的事情”[2] 。在国际竞争中，国家实力与权力这 两个概念的最根本区别在于：实力不以国家关系为前提，或无须以他国为参照系， 而权力则是以国家关系为前提。
一、中西方对综合国力观点的差异
对于综合国力的定义，中西方学者的观点存在若干差异，西方学者侧重于强 调国家权力的比较，其代表思想是以强权治为中心。20 世纪 80 年代美国中央情 报局前副局长克莱因说：“国家在国际舞台的实力是该国政府影响他国政府主动 或者被动去做某件事的能力，不论是通过说服、威胁甚至是通过武力。”而在今 天变化多端的国际环境下，西方学者认为，国家实力并不只是国家之间相互影响 的能力。而是利用经济、军事、外交或其他软实力相结合的方法来影响他国的能 力。
但中国学者则更偏向于国家实力的比较，认为综合国力更多的是强调国家的 和平与发展，即再保护本国国家利益的基础上，与他国互惠互利、和平共处。学 者黄硕风在其 2001 年出版的《综合国力新论》中说道：“综合国力是国家生存 与发展所拥有的全部实力，包括物质力、精神力及国际影响力”，学者王诵芬在 其 1996 年出版的《世界主要国家综合国力研究》中写道：“综合国力是国家拥 有的各种力量的有机总和，是国家赖以生存和发展的基础，也是强国确立国际地 位、发挥国际影响作用的基础。”
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微商增加客源的9种有效方法

大家好，我是乔帮主，3年微商经验，团队过千人。今天给大家谈谈微商，希望对大家有所帮助。目前很多人对于微商的定义是刷屏、上级坑下级、存货！说实话，这类型的微商只能算是最低级的微商。 做微商，粉丝数量很重要，没有粉丝，你朋友圈发给谁看？没有粉丝，你怎么成交？所以今天总结了增粉的9个引流技巧，希望对大家能够有所帮助。 1、微信系：微信群 现在每个人手上都得有几个微信群，微信群里的人都有一个共同的目标或者说兴趣爱好，比如微商群，各种产品的代理群，各种明星的粉丝群，各种群都可以去加，当然都要针对自己所卖的东西去加，每个微信加几百上千个群，只要群的数量达到了，不用任何东西，只要群发，就能引来很多的人加你。 如何去加很多群呢？我们可以利用百度搜索，微信群二维码，查找最近的各种微信群二维码，扫描进群。也可以通过搜索QQ群：微信互换群，跟其他的网友进行微信群的互换。 2、腾讯QQ系：QQ群和手机QQ的兴趣部落

QQ群和微信群类似，都是由共同兴趣的一群人在一个群里，但是QQ群比微信加起来要简单，只要搜索就可以去加。不过很多小白又是被没有实操过的上家给忽悠了，零售去加群引流还好，招代理去别人群发广告被T不说，而且效果不好。招代理或者卖货的话自己建个群，弄成排名第一不就好了?每天自己有流量来，多简单?而且你是群主，可信度高，还容易成交。 你做你自己的产品是什么人群，就去弄个什么人群的Q群。不过小微商不建议做，学会成交再去引流。 手机QQ上的兴趣部落，现在使用的人也非常多，一听名字就知道，在一个部落里的，一般都是同类人，我们可以再这些部落里发帖来吸引流量，并放上我们的二维码。 3、百度系 百度是最大的流量集聚地了。百度系包括百度贴吧、百度知道、百度新闻等。另外是通过站外高权重的网页获得百度的搜索排名，有条件的也可以做付费的百度推广。 百度贴吧里首先就聚集了很多人，使用的人也非常非常的多，火热的人同一时间在线的人都能达到几千上万人，在百度贴吧里推广，我们可以发布产品的软文，通过软文来吸引流量。

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法

水上救援及救生常用方法

水上救援及救生方法 水上救生:是指人们在水上活动时发生意外事故所采取的救助措施。它是保障游泳者安全的一项重要措施 水上救生工作是一项“拯溺救难”的高尚工作。贯彻:“以防为主,以救为辅,防救结合,有备无患”的精神.健全组织,重视安全教育以防止游泳事故发生,不仅对保证游泳者安全有重大意义,而且对开展“全民健身”有重要意义。 游泳救生法的应用与操作 (一)溺水事故的原因与自我保护 1、溺水事故的原因 (1)技术因素 (2)生理病理因素 (3)环境因素 (4)伤害因素 (5)缺乏知识因素 (6)心理因素 (7)组织管理因素 (1)技术因素 指不会游泳或刚学会游泳但技术掌握尚不熟练,以至体力不支,或受人冲撞,跳水失败等情况下导致溺水. (2)生理、病理因素 指体力不支，饱食、饥饿，酒后以及心脏病、高血压、低血糖、中暑、抽筋、精神病（含癫痫病者）等导致溺水； (3)环境因素 对游泳环境不熟悉导致溺水 (4)伤害因素 违反游泳池规定（潜水、浅水区跳水等）导致溺水。 (5)缺乏知识因素

比如：处理抽筋、呛水、救护等知识 6)心理原因 指怕水，心情紧张，一旦遇到意外时，就惊慌失措，动作慌乱，四肢僵硬等导致溺水； (7)组织管理因素 游泳池组织管理不当，（救生员配备不够，场地不符合要求等因素 （二）救生员对水面现场的观察方法 “观察”俗称“看水”，即观察水面情况、分析事故性质、判断急救措施，是救生工作“以防为主”的具体体现，是整个救生技术中最为重要的一环。其方法如下： 1.救生人员必须思想高度集中，认真负责地、不间断地扫视（或环视）水域。必须定人、定点划分观察区域，做到“突出重点（主责区）、照顾全面（交叉观察，互相补漏）”。 2.观察方法上（在扫视水域时）必须掌握“池面与池底、池面与岸边、点与面”三个结合。 3.观察时，既要看清池面上有可能溺水的游泳者，又必须看清水面下和池底有无溺水者。 4.在扫视池边水域时，既要看清池边水域有无溺水苗子，又要观察池岸上有无无人看管的幼儿和脸色苍白、呆坐及坐岸边的游泳者。 5.发现技术勉强的溺水苗子时，需重点跟踪观察，但又不能呆视一点，在视野上兼顾，以防顾此失彼。 6.观察区划分（责任区）一般有“直线切割法”，即将游泳池用直线大致平均地划割成几个长方形水域（如图6-14）。“弧形切割法” 7.救生员对事故现场的判断方法（以游泳池为例） （1）开场时的意外事故：由于游泳者怀着急于下水为快的心情，开场铃一响就争先恐后，一拥而进，多数人进后乱蹦乱跳，容易造成互相挤倒、压倒，最容易出现意外事故。 （2）深浅交界处的意外事故：深浅交界处，一些似会不会者一般集中在这里，是救生中的“危险段”。（3）深水区游泳池拐角处的意外事故：这一地区汇集的多数是能游一点的游泳者，他们经常在游泳池对角线中尝试自己的游泳能力，由于基本上属于不会游的，一遇他人干扰，容易发生意外事故。（4）跳水中的意外事故：在不具备跳水功能的游泳池中，游泳者用跑跳、反跳及翻腾动作自身触池壁撞伤、昏迷等意外事故。 （5）游泳违纪中的意外事故：如池内打闹、潜水、泼水、不按规定方向游、酗酒等意外事故。

游泳池常用消毒方法.

常用泳池消毒方法 应用于泳池的消毒方法是多种多样的,可根据泳池的规格、使用人数的多少、对消毒效果要求高低及经济水平等因素,针对性地选择相应的消毒技术,目前国际泳协公认泳池水处理设备标准如下: 第一级别:金属离子处理器 第二级别:臭氧处理器+化学消毒剂 第三级别:紫外线处理器+化学消毒剂 第四级别:纯化学药剂消毒 下面对上述几种常用的方法进行归纳介绍: 一、纯化学药剂消毒法投加化学消毒药剂法,通常是氯系消毒剂,常用氯系消毒剂有:(1液氯(2次氯酸钙(漂白粉(3次氯酸钠(高效漂白粉、漂水(4二氯异氰尿酸钠(优氯净(5三氯异氰尿酸(强氯精(6溴氯海因(溴片(7二氧化氯(1液氯优点:含有100%的有效氯,杀菌力强,并有较强的持续杀菌能力和除藻除臭除味的能力。应用广泛,技术工艺比较成熟,消毒系统投资和运行费用价廉,常用于自来水厂消毒。不足:一般剂量对病毒、病原虫等无效,不能氧化一般的杀虫剂等复杂化合物,受PH 影响大与某些有机物反应生成难闻的氯臭味。液氯作为消毒剂,对人体和环境造成的二次污染也很明显,氯系消毒剂本身与副产物对人体健康有损害。其使用危险,需要特别的安全装备,液氯在储存和运输过程中都应有专业的安全措施。加入游泳池后,其酸性特别强。需要加大量的碱调节pH 值,所以,液氯在现在的游泳池中已很少使用。 (2漂白粉优点:应用最广,其主要成分为次氯酸钙[Ca(OCl2],含有效氯25%一30%,次氯酸钙是一种普遍使用的游泳池消毒剂,有效成分次氯酸可渗入细胞内,氧化细胞酶的硫氢基因,破坏细胞代谢。可以应用在不同水质条件的水中,杀菌效果良好。酸性环境中其杀菌力强而迅速,高浓度能杀死芽胞。不足:性质不稳定,可被光、热、潮湿及CO2 所分解,故应密闭保存于阴暗干燥处,时间不超过 1 年。因其有腐蚀

几种常用数值积分方法的比较汇总

学科分类号110.3420 州 GUIZHOU NORMAL COLLEGE 本科毕业论文 题目—几种常用数值积分方法的比较_____________ 姓名潘晓祥学号1006020540200 院（系）数学与计算机科学学院 __________________ 专业数学与应用数学年级_____________2010级 指导教师雍进军职称______________________讲师 二O—四年五月

贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月曰

贵州师范学院本科毕业论文（设计）任务书

研究方法: 本论文主要通过对相关文献和书籍的参考，合自己的见解，复化求积公式，Newton —Cotes求积公式,Romberg求积公式，高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度，求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施： 本论文计划用6个月的时间完成，阶段的任务如下： (1) 7月份查阅相关书籍和文献； (2) 8月份完成开题报告并交老师批阅； (3) 9月份完成论文初稿并交老师批阅； (4) 10月份完成论文二搞并交老师批阅； (5) 11月份完成论文三搞； (6) 12月份定稿. 主要措施：考相关书籍和文献，合自己的见解，老师的指导下和同学的帮助下完成 主要参考文献及资料名称： [1] 关治?陆金甫?数学分析基础(第二版) [M].北京：等教育出版社.2010.7 [2] 胡祖炽.林源渠.数值分析[M]北京：等教育出版社.1986.3 [3] 薛毅.数学分析与实验[M] 北京：业大学出版社2005.3 [4] 徐士良.数值分析与算法[M].北京：械工业出版社2007.1 [5] 王开荣.杨大地.应用数值分析[M]北京:等教育出版社2010.7 [6] 杨一都.数值计算方法[M].北京:等教育出版社.2008.4 [7] 韩明.王家宝.李林.数学实验(MATLAB版[M].上海：济大学出版社2012.1 [8] 圣宝建.关于数值积分若干问题的研究[J].南京信息工程大学.2009.05.01. : 42 [9] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南京职业技术学院.2009. [10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M].北京理工大学出版社.2010.4. 指导教师意见: 签名： 年月日

几种做单方法

几种做单方法 1震荡做单法：行情大部分时间是处于震荡格局，在行情震荡时的箱体间高抛低吸，是稳定获利的最基本方法。运用的指标为BOLL，箱体理论。成功的前提是根据各种技术指标及图形，找准阻力支撑。震荡做单法运用的原则是，短线买卖，不可贪婪！ 2变盘突破做单法：当行情经过长时间的盘整后，最终会选择方向，在行情选择方向变盘以后追入，是稳定获利最快速的方法。要求必须具备良好的变盘判断能力，要求心态稳健，忌贪忌恐惧。 3单边趋势做单法：在行情突破盘局以后，市场都会选择一个方向，在单边行情形成以后，顺势做单是千古不变的真理。在每一次的回调或反弹中，都是进单的机会，是稳定获利的最佳保障！运用的技术指标为：K线，均线，BOLL,趋势线！要求能熟练了掌握以上指标。 4,阻力支撑做单法：当行情遇到很重要的阻力支撑时候，往往会受阻或受支撑，在受阻或受到支撑时进单，是我们常用的方法，是稳定获利的最普遍方法。运用的指标为趋势线，均线，布林带，抛物指标，要求对阻力支撑有非常准确的判断。(更多可见蒙洛财富网) 5回调反弹做单法：当行情经过一波大幅上涨或下跌以后，会出现短暂回调或反弹的走势，抓住这样的机会，是我们稳定获利最轻松，最简单的方法。主要的运用指标为K线形态，要求必须要有非常好的盘感，能准确判断阶段高点或低点。 6时间段做单法：一般的情况早盘及下午盘波动较小，行情容易把握，适合性格温和的投资者操作，缺点是下单获利的时间延长，必须要具备足够的耐心。晚盘及凌晨盘波动剧烈，能迅速获利并有多次操作空间。适合性格激进的投资者

操作，缺点是行情难把握，容易出错，对技术水平及判断能力要求比较高！ 特别加注：行情在不同的时期有不同的特征，有时波动幅度非常大，有时候波动幅度不大振幅大，有时候是单边性质，有时候是震荡性质，有时候也是复合性质……但有一点可以肯定：某种性质的行情一旦出现以后，都会有个惯性——延续一段时间、甚至很长时间；因此，要根据实际情况选择适合的方法，而不是一成不变的。

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

十二种有效工作方法

12种有效工作方法 工作方法千条万条，但有12条方法是身为一个职业人所必备的。前8条主要针对下级的工作；后4条主要针对上级的工作。 职场快速进步有方法 接受工作问职责准备工作学经验 请示工作说方案实施工作求效果 汇报工作说结果总结工作改流程 交接工作讲道德回忆工作谈感受 布置工作定标准关心下级问过程 批评帮助摆事实表扬鼓励夸人品 1、接受工作问职责 接受工作职责是指在你接触一项任务的时候要主动问清自己的工作要做到哪种程度，工作干好的标准是什么？， 某办公室文员接到一个工作，校对经理所写的一篇文章。她改得很努力，连续三天早来晚走。结果将这篇文章交给经理的时候，却受到批评因为她没有经过经理同意，根据个人判断；就将文章中的一些内容删减掉了。 她的动机是希望将文章修改得更好，-但是否删减文章里的内容却不波该由她决定i原因在乎这篇文章的作者是经理而非这名文员，经理请她校对，她可以提修改建议，但最后改不改内容应该由写文章的人决定，这叫职责界限。 当你接受一个工作时，你要问清楚：对自己工作的具体要求是什么？当要求明确时，如果没有做到，是没有完成任务；而一旦做的工作超过了界线，就属于越权。 2、准备工作学经验 准备工作学经验是指当我们准备着手一个工作的时候，最好向已经做过这些工作的或者是上级询问他们的经验教训，或者找—些参考资料。这样比自己重新摸索会节省时间、资源、财力和物力，可以少走弯路。也就是说，在前人成功或者失败的基础之上，吸取经验教训能把工作做得更好。 3、请示工作说方案 “老总，这事还做吗？要做我等您的指令，不做我就先回家了。”工作的时候是不是常常听到这样的问话？但是作为一个合格的职业人，这种请示工作的方法却是不够积极的。 那么，在请示工作的时候应该说什么呢？应该说方案。下级可以说：“关于这个工作我有三个建议，您看行不行？建议一是…。，建议二是……，建议三是……。” 工作中下级向上级提出方案，有时会遇到一种情况，即下级辛辛苦苦花了几天几夜的时间制定出来的方案，向上级提出时期待能得到上级的赞扬和支持，但上级很可能只说了叫句话：“这个方案不成熟，不能接受。”这时候，作为下级心里会感到有一些委屈，有一些气馁。有的人会因此而生气地说：“你爱接受不接受，下次我不提了！”这样做就会失去机会。因为上级看问题的高度、广度、深度和自己是有区别的，因此上级不同意会有他不同意的理由。， 这时候下级应该改变思考方式，因为当上级没有接受方案的时候正是下级向上级学习的好机会。这时候下级应该主动询问上级：“老总，你看我提出的方案哪方面还比较欠缺，不够成熟，需要我再修改？”这样一次次修改，直到上级接受自己的方案为止，这才是正确的做法。

求定积分的四种方法

定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求 2 30 x dx ? 的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝ 2 n ． （2）近似代替：△3 2()i i i S f x x n ξ?? =?=? ??? （3）求和：3 3 111222n n n i i i i i i S x n n n ===?????? ?≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=333 2242lim n n n n n n →∞?? ?????? +++?? ? ? ? ???? ?????? L ＝4433322 44221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+??L ＝22 4(21) lim n n n n →∞++=＝4． ∴ 2 30 x dx ? =4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法

例2 求定积分 2 21 (21)x x dx ++? 的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23 x x x ++． 所以.2 2 1 (21)x x dx ++? ＝322 1()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ????? ＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分 1 1 dx -? 的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2 S π =半圆，又在x 轴上方． 所 以 1 1 dx -? ＝ 2 π ． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴ 44 tan xdx π π-?；⑵22 sin 1 x x dx x π π - +?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很 难

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1）()1 3 031x x dx -+? （2）() 94 1x x dx +? （3）? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()?? -=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。

四种游泳姿势的动作图解 让你轻松学会游泳

蛙泳 蛙泳配合有一个顺口溜，在讲解蛙泳动作要领之前先介绍给大家：“划手腿不动，收手再收腿，先伸胳膊后蹬腿，并拢伸直漂一会儿。”从顺口溜中可以看到，手的动作是先于腿的动作。一定要在收手后再收腿，伸手后再蹬腿。 臂部动作： 1、外划。双手前伸，手掌倾斜大约45度(小拇指朝上)。双手同时向外、后方划，继而屈臂向后、向下方划。 2、内划。掌心由外转向内，手带动小臂加速内划，手由下向上并在胸前并拢(手高肘低、肘在肩下)，前伸。 3、前伸。双手向前伸(肘关节伸直)。 要提醒大家注意的是：外划是放松的，内划是用力的、加速完成的、前伸是积极的。 1、蛙泳的完整配合动作：双手外划时抬头换气，双手内划时收腿低头稍憋气，双手前伸过头时蹬腿吐气。

腿部动作： 1.收腿：屈膝收腿，脚跟向臀部靠拢，小腿要躲在大腿后面慢收腿，这样可以减少阻力。收腿结束时，两膝与肩同宽，小腿与水面垂直，脚牚在水面附近。 2,翻脚：两脚距离大于两膝距离，两脚外翻，脚尖朝外，脚牚朝天，小腿和脚内侧对准水，像英文字母“W”。 3.夹蹬水：实际上是腿伸直的过程(屈髋、伸膝)，由腰腹和大腿同时发力，以小腿和脚内侧同时蹬夹水，先是向外、向后、向下，然后是向内、向上方蹬水，就像划半个圆圈。向外蹬水和向内夹水是连续完成的，也就是连蹬带夹。蹬夹水完成时双腿并拢伸直，双脚内转，脚尖相对。蹬水的速度不要过猛，要由慢到快地加速蹬水，两条腿将近伸直并拢的时候蹬水速度最快。 4.停：双腿并拢伸直后在一个短暂的滑行(1-2秒)。 自由泳 游泳是全身运动，任何一个部位的活动都离不开全身的协调配合。从表面上看，自由泳依靠划水和打腿产生推进力，实际上，躯乾的作用也不能忽视。首先，躯乾应保持一定的紧张度，腰部如果松软，整个人就像一摊泥一样。其次，身体的转动能够有效地发挥躯乾部大肌肉群的力量，减少阻力，提高工作效果。 自由泳的完整配合有多种形式。一般常见的是每划水2次，打水6次，呼吸1次。

游泳中自救的方法都有哪些

游泳中自救的方法都有哪些 但是不少人在还没有掌握游泳要领的情况下就下水，导致每年我国的溺水案件层出不穷。 游泳者要学会游泳运动中如何自救，才能保证自己的人身安全。 以下是为你整理的游泳中自救的方法推荐，希望能帮到你。 游泳中自救的方法一、肌肉抽筋如何自救水中抽筋，是由于身体在水中电解质释放过多、水比较寒冷、体能消耗过大、陆上的准备活动做得不够充分等原因造成。 一般为腿部和脚趾抽筋最为常见。 如果您遇到这种情况，首先应保持身体在水中的平衡，腿部尽量伸直，然后用手抓住脚踝，脚尖向身体方向钩起，把脚尖尽量向自身方向扳拉，直到抽筋消失。 如果抽筋过重，腿部已抽缩麻木，可一边扳拉，一边向岸边游进，也可大声呼救。 二、游进中突然下沉怎么办此危险常见于初学游泳者或泳技不高者。 在游进当中会感觉身体突然没劲了，然后身体下沉。 这种情况主要是对自身的体力估计不足，体力分配不均匀，体力消耗过大，自身没有觉察，遇到这种情况，一定要保持冷静，可在身体下沉时闭住呼吸，使体内肺部充满气体，片刻，身体会自然上浮，然后，划小蛙泳手(手部向下按压划水)，蹬小蛙泳腿(主要以小腿，脚

踝由内向外划圆)，逐渐过渡到蛙泳。 如果身边有水线等辅助设施，可借助休息一会儿再游。 三、游泳被水草缠绕怎么办在野外自然水域中游泳，一定要先观察水下环境。 如果不幸遇到水草或渔网缠绕，一定要保持冷静，千万不要挣扎。 在这种情况下只有保持冷静，才有机会解脱。 缠绕发现得越早越容易解脱。 被缠绕后，首先应放松身体，观察缠绕情况，寻找解脱的方法，如果解脱不了，可大声呼救。 水草和缠绕的绳尖会随着身体的放松而向外向上扩散，只要仔细寻找根源就会解脱。 四、游泳痉挛后如何自解1、手指肌肉痉挛自解技术手指肌肉痉挛时，先用力握拳，然后迅速用力张开伸直，并向后压，如此反复动作至消除痉挛为止。 2、脚指肌肉痉挛自解技术脚指肌肉痉挛时，先放松下肢同时用双臂用力压水稳住身体，然后深吸一口气低头憋气团身用手握住痉挛脚指向痉挛的反方向拉长，如此反复动作至消除痉挛为止。 3、前臂及上臂肌肉痉挛自解技术前臂及上臂肌肉痉挛时，先踩水稳住身体，双手握拳屈肘使前臂尽量贴紧上臂，然后用力伸直，如此反复动作至消除痉挛为止(单手肌肉痉挛时还可以配合局部按摩)。 4、手掌肌肉痉挛自解技术手掌肌肉痉挛时，先踩水稳住身体，然

c语言用六种方法求定积分

C语言实验报告 求定积分 班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟 学号 21

1. 描述问题 利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。 2. 分析问题 定积分 定积分的定义 定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图： （图1） 设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。设1i i i x x x -?=-，取区间i x ?中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式： ()1lim n n i f i xi ξ→+∞=??? ??? ∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。 记作：()b a f x dx ? 其中称a 为积分下限， b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的几何意义[1] 它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。如图 言实现定积分计算的算法 利用复合梯形公式实现定积分的计算

接私单的四种办法

接私单的四种办法 我一直在网络公司做技术工作，公司的业务范围比较狭小，就是做企业网站，然后代理了优化的软件。每个月死守着那么一点工资加上很低的提成，可能很多同行朋友都想自己接私单了，不过这也是技术人员的一个优势。下面列集中接私单的方式，欢迎大家补充。 1.优化本地网站建设的关键字 做网站建设多多少少和网站优化有一些接触，然后到A5论坛、seowhy看了很多，因为不是专业优化的，所以总结的是别人的经验，无外乎就是强大的外联和坚持原创内容。本地应该也会有很多网络公司或者个人的网站或者博客优化在前面，分析他们的排名因素，多看看他们的了解下本地的市 场。然后可以看看其他地方的网站，例如：德阳网站建设、北京网站建设……多学学别人的经验，总结自己的方法。每天定时的更新你的原创，加上不停地做外链，坚持一段时间，排名会上来的，不是每一个人都勤奋，所以你必须得做到。 2.混本地论坛、百度贴吧、QQ群 加本地比较出名的门户的QQ群，和企业一样，为了曝光率，不一定加群就打广告，这是所有人都很反感的，可以先和大家慢慢聊，然后说你是做网站建设工作的，混熟后大家一有这方面的需求，立马就会想到你。还有就是本地的商家群，因为很多商家喜欢加到一个群里面打广告，所以你也可以参与，不过这种群你就得换种方式了。因为这类群的网友不怎么聊天，一聊天就是广告，所以你应该单独和它们聊，先看看他有没有网站，或者达到改版的需求没有，然后聊它们的产品，套近乎，慢慢深入到你的主题，这样的方法他们会很容易接受的。 再说说论坛，首先就是论坛签名了，写上你的广告链接，如果用图片，最好不要选择花哨到一看就是广告的图片了，令人反感，然后交流方法同门户QQ群，慢慢多聊，顺便也增加了网站外链，听老牛说过，论坛的签名也算的。 贴吧的审核应该比较严格，但是也看你和管理员的关系了。还是签名广告图片不要太花哨，头像可以用你的关键字或者网址，多回复多发帖，尽量避免直接打广告的方法，和管理员混熟了什么都好办了。 3.老客户也是一笔丰厚的资源 维护好老客户，因为做生意的朋友比较多，总有些公司没有被网络公司的业务员找到，所以他们可能会找朋友介绍。这个方法很有效果的，只要你价格合理，制作比较好，至少是客户满意。

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33 111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ????? ??∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ???????????L ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ?L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++．

所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法 例3 求定积 分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的 面积，只要作出图形就可求出． 解 ：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所 以1 1dx -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零． 所以⑴ 4 4 tan xdx π π-?＝0；

常见的几种游泳方法

想学游泳的朋友要注意看，仔细看. 四种游泳姿势的动画图解,让你轻松学会游泳，不烦恼！！ 第一章：蛙泳 蛙泳配合有一个顺口溜，在讲解蛙泳动作要领之前先介绍给大家：“划手腿不动，收手再收腿，先伸胳膊后蹬腿，并拢伸直漂一会儿。”从顺口溜中可以看到，手的动作是先于腿的动作。一定要在收手后再收腿，伸手后再蹬腿。 臂部动作： 1、外划。双手前伸，手掌倾斜大约45度(小拇指朝上)。双手同时向外、后方划，继而屈臂向后、向下方划。 2、内划。掌心由外转向内，手带动小臂加速内划，手由下向上并在胸前并拢(手高肘低、肘在肩下)，前伸。 3、前伸。双手向前伸(肘关节伸直)。 要提醒大家注意的是：外划是放松的，内划是用力的、加速完成的、前伸是积极的。 蛙泳的完整配合动作：双手外划时抬头换气，双手内划时收腿低头稍憋气，双手前伸过头时蹬腿吐气。

腿部动作： 1.收腿：屈膝收腿，脚跟向臀部靠拢，小腿要躲在大腿后面慢收腿，这样可以减少阻力。收腿结束时，两膝与肩同宽，小腿与水面垂直，脚牚在水面附近。 2,翻脚：两脚距离大于两膝距离，两脚外翻，脚尖朝外，脚牚朝天，小腿和脚内侧对准水，像英文字母“W”。 3.夹蹬水：实际上是腿伸直的过程(屈髋、伸膝)，由腰腹和大腿同时发力，以小腿和脚内侧同时蹬夹水，先是向外、向后、向下，然后是向内、向上方蹬水，就像画半个圆圈。向外蹬水和向内夹水是连续完成的，也就是连蹬带夹。蹬夹水完成时双腿并拢伸直，双脚内转，脚尖相对。蹬水的速度不要过猛，要由慢到快地加速蹬水，两条腿将近伸直并拢的时候蹬水速度最快。 4.停：双腿并拢伸直后在一个短暂的滑行(1-2秒)。 第二章：自由泳 游泳是全身运动，任何一个部位的活动都离不开全身的协调配合。从表面上看，自由泳依靠划水和打腿产生推进力，实际上，躯干的作用也不能忽视。首先，躯干应保持一定的紧张度，腰部如果松软，整个人就像一摊泥一样。其次，身体的转动能够有效地发挥躯干部大肌肉群的力量，减少阻力，提高工作效果。 自由泳的完整配合有多种形式。一般常见的是每划水2次，打水6次，呼吸1次。 1、手的入水点在肩的延长线和身体中线之间，以大拇指领先，斜插入水。 2、入水后，手、肘、肩继续前伸，使手臂伸展。随着身体的转动，屈腕、屈肘，手臂向外、后方抓水;手下划到最低点后，旋转手臂向内、上、后方划水，保持高肘屈臂的划水姿势。 3、手臂与水平面垂直时，经手领先，加速推水，手臂转为向外、向上和身后划水直到大腿侧，提肘出水。 4、出水后，手臂自然、放松地经空中向前移臂，保持高肘姿势。然后手在肩前领先入水，开始下一个动作 1、手臂在水下成曲线划水路线，从侧面看，手相对于身体的划水轨迹为“S”形。 2、自由泳两臂配合有前交叉配合、中交叉配合、和后交叉配合3种基本形式。本图为前交