不定积分求解方法及技巧

不定积分基本公式 页脚内容1 不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一． 不定积分的概念与性质 定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有 F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）

简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx. 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx. 不定积分基本公式 页脚内容2 二． 换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)] ’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f[(x)] ’(x)dx=f(u)du.

如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式 f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C. 第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x) ’(x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=1(X)带回去，这就是第二类换元法。即

f(x)dx={f[(t)] ’(t)dt})(1Xt. 为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=1（x）存在的条件，给出下面的定理。

定理2 设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)] ’(t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)] ’(t)dt=F(t)+C=F[1(x)]+C

其中1

（x）是x=（t）的反函数。 不定积分基本公式 页脚内容3 三． 常用积分公式 1 基本积分公式

（1）kdx=kx+C(k是常数)； （2）xudx=1ux1u+C(u-1); （3）xdx=lnx+C； （4）2x1dx

=arctanx+C;

(5) 2x1dx=arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C; (7) sinxdx=-cosx+C ; (8) x2cosdx=sec2xdx=tanx+C; (9) xdx2sin=csc2xdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) exdx= ex+C; (13) axdx= ex+C; (14) shxdx=chx+C; (15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-lncosx+C; (17) cotxdx=lnsinx+C; (18) secxdx=lntanxsecx+C; (19)cscxdx=lnxcotcscx+C; (20) 22xadx=axxlna1a+C; (21) 22xadx=arcsinax+C; (22) 22xadx=ln(x+22

ax+C; 不定积分基本公式 页脚内容4 (23) 22axdx=ln22

axx+C.

2.凑微分基本类型 不定积分基本公式

页脚内容5 四． 解不定积分的基本方法 四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)(')]([ 其中)(x可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做不定积分基本公式 页脚内容6 准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：dxxxxx)1(ln)1ln(

【解】)1(1111)'ln)1(ln(xxxxxx Cxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例2：dxxxx2)ln(

ln1

【解】xxxln1)'ln( Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(

ln1

22

3.第二类换元法： 设)(tx是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('ttft又设具有原函数，则有换元公式 dtttfdxf)(')]([x)(

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；；：；；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222 不定积分基本公式

页脚内容7 也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2





4.分部积分法. 公式：dd 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！

例3：dxxxx231arccos 【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则 tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sin

cos1arccos 不定积分基本公式

页脚内容8 CxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(31329

1

cos91cos32sinsin3

1

cos)1sin31(sinsin3

1

)sinsin31(sinsin3

1

)sinsin31(sin)1(sin

22333233332

例4：xdx2arcsin 【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsin

Cxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin

1arcsin2arcsin

22222

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在dd中，、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，，，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm

将以上规律化成一个图就是： 不定积分基本公式

页脚内容9 但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221

5.几种特殊类型函数的积分。 （1）有理函数的积分 有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：

121222)1(232))(1(2nnnInanaxnaxI）

例5：dxxxxxx223246)1(24

μν （arcsiP（s