2020年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算-最新推荐

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）一．解答题（共50小题）1．（2020•铜仁市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝8，BE CE=12，求CD 的长．【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，根据余角的性质得到∠A ＝∠ECB ，求得∠A ＝∠BCD ，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠ACO ，等量代换得到∠ACO ＝∠BCD ，求得∠DCO ＝90°，于是得到结论；（2）设BC ＝k ，AC ＝2k ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°，∴∠ECB +∠ABC ＝∠ABC +∠CAB ＝90°， ∴∠A ＝∠ECB ， ∵∠BCE ＝∠BCD ， ∴∠A ＝∠BCD ， ∵OC ＝OA ， ∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠ACO ＝∠BCD ，∴∠ACO +∠BCO ＝∠BCO +∠BCD ＝90°， ∴∠DCO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠A ＝∠BCE ， ∴tan A =BC AC =tan ∠BCE =BE CE =12， 设BC ＝k ，AC ＝2k ， ∵∠D ＝∠D ，∠A ＝∠BCD ， ∴△ACD ∽△CBD ， ∴BC AC=CD AD=12，∵AD ＝8， ∴CD ＝4．2．（2020•温州）如图，C ，D 为⊙O 上两点，且在直径AB 两侧，连结CD 交AB 于点E ，G 是AC ̂上一点，∠ADC ＝∠G ． （1）求证：∠1＝∠2．（2）点C 关于DG 的对称点为F ，连结CF ．当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1=25，求⊙O 的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和AB 为⊙O 的直径，即可证明∠1＝∠2；（2）连接DF ，根据垂径定理可得FD ＝FC ＝10，再根据对称性可得DC ＝DF ，进而可得DE 的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O 的半径． 【解析】（1）∵∠ADC ＝∠G ， ∴AĈ=AD ̂， ∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ̂=BD ̂， ∴∠1＝∠2；（2）如图，连接DF ，∵AĈ=AD ̂，AB 是⊙O 的直径， ∴AB ⊥CD ，CE ＝DE ， ∴FD ＝FC ＝10，∵点C ，F 关于DG 对称， ∴DC ＝DF ＝10， ∴DE ＝5， ∵tan ∠1=25， ∴EB ＝DE •tan ∠1＝2， ∵∠1＝∠2， ∴tan ∠2=25， ∴AE =DE tan∠2=252， ∴AB ＝AE +EB =292， ∴⊙O 的半径为294．3．（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点． （1）求证：∠CAD ＝∠CBA ． （2）求OE 的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可． （2）证明△AEC ∽△BCA ，推出CE AC=AC AB，求出EC 即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE ＝DE ，OC 是半径， ∴AĈ=CD ̂， ∴∠CAD ＝∠CBA ．（2）解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AE ＝DE ， ∴OC ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEC ＝∠ACB ， ∴△AEC ∽△BCA ， ∴CE AC =AC AB ，∴CE 6=610，∴CE ＝3.6， ∵OC =12AB ＝5，∴OE ＝OC ﹣EC ＝5﹣3.6＝1.4．4．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB 中，OA ＝OB ，⊙O 与AB 相切于点C ．求证：AC ＝BC ．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC ， ∵OA ＝OB ， ∴∠A ＝∠B ， 又∵OC ＝OC ， ∴△OAC ≌△OBC ，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；̂的长．（2）若AD＝6，求CD【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；̂=AĈ，由弧长公式可求解．（2）由圆周角定理可得CD【解析】（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，̂=AĈ，∴CD∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴CD ̂的长=12×12×π×6=32π． 6．（2020•遵义）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线AD 交BC ̂于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接BD ．若OF ＝1，BF ＝2，求BD 的长度．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO ＝∠DAE ，从而OD ∥AE ，由DE ∥BC 得∠E ＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE ＝90°，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB ＝90°，再由OF ＝1，BF ＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF ∽△ABD ，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值． 【解析】（1）连接OD ，如图：∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ADO ， ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠DAE ＝∠OAD ， ∴∠ADO ＝∠DAE ， ∴OD ∥AE ， ∵DE ∥BC ， ∴∠E ＝90°，∴∠ODE ＝180°﹣∠E ＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵OF ＝1，BF ＝2， ∴OB ＝3， ∴AF ＝4，BA ＝6． ∵DF ⊥AB ， ∴∠DFB ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DFB ， 又∵∠DBF ＝∠ABD ， ∴△DBF ∽△ABD ， ∴BD BA=BF BD，∴BD 2＝BF •BA ＝2×6＝12． ∴BD ＝2√3．7．（2019•陕西）如图，⊙O 的半径OA ＝6，过点A 作⊙O 的切线AP ，且AP ＝8，连接PO 并延长，与⊙O 交于点B 、D ，过点B 作BC ∥OA ，并与⊙O 交于点C ，连接AC 、CD ． （1）求证：DC ∥AP ； （2）求AC 的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP ＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD ＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠OAP ＝90°， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BCD ＝90°， ∵OA ∥CB ，∴∠AOP ＝∠DBC ， ∴∠BDC ＝∠APO ， ∴DC ∥AP ；（2）解：∵AO ∥BC ，OD ＝OB ， ∴延长AO 交DC 于点E ，则AE ⊥DC ，OE =12BC ，CE =12CD ， 在Rt △AOP 中，OP =√62+82=10， 由（1）知，△AOP ∽△CBD ， ∴DB OP =BC OA =DC AP ，即1210=BC 6=DC 8，∴BC =365，DC =485， ∴OE =185，CE =245，在Rt △AEC 中，AC =√AE 2+CE 2=√(6+185)2+(245)2=24√55．8．（2020•聊城）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ． （1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝6√10，求此时DE 的长．【分析】（1）连接OD 、BD ，求出BD ⊥AC ，瑞成AD ＝DC ，根据三角形的中位线得出OD ∥BC ，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．【解析】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD=12AC=3√10，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD=2−AD2=√102−(3√10)2=√10，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴CDAB =DEBD，即3√1010=√10，∴DE＝3．9．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD ＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，∴AB̂=AĈ，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH=AE BH=43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2， ∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2， ∴a 2=2556， ∴BH =5√24， ∴BC ＝2BH =5√22．10．（2020•金华）如图，AB ̂的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°． （1）求弦AB 的长． （2）求AB̂的长．【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC 的长，然后即可得到AB 的长； （2）根据∠AOC ＝60°，可以得到∠AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可． 【解析】（1）∵AB ̂的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA •sin60°＝2×√32=√3， ∴AB ＝2AC ＝2√3；（2）∵OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵OA ＝2， ∴AB̂的长是：120π×2180=4π3．11．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AĈ=CD̂=DB̂，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，∵AĈ=CD̂=DB̂，∴∠BOD=13×180°＝60°，∵CD̂=DB̂，∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=√62−32=3√3．12．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠AGD ＝∠ABD ， ∴∠AGD ＝∠C ；（2）解：∵∠BDC ＝∠ABC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴BC AC =CD BC ，∴6AC=46，∴AC ＝9，∴AB =√AC 2−BC 2=3√5， ∵CE ＝2AE ， ∴AE ＝3，CE ＝6， ∵FH ⊥AB ， ∴FH ∥BC ， ∴△AHE ∽△ABC ， ∴AH AB =EH BC =AE AC ，∴3√5=EH 6=39，∴AH =√5，EH ＝2， 连接AF ，BF ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°，∴∠AEH +∠BFH ＝∠AFH +∠F AH ＝90°， ∴∠F AH ＝∠BFH ， ∴△AFH ∽△FBH ， ∴FH AH =BH FH， ∴√5=2√5FH，∴FH =√10， ∴EF =√10−2．13．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．【解析】已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O 于F．求证：EB ，EO 就把∠MEN 三等分， 证明：∵EB ⊥AC ， ∴∠ABE ＝∠OBE ＝90°， ∵AB ＝OB ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△OBE （SAS ）， ∴∠1＝∠2， ∵BE ⊥OB ， ∴BE 是⊙E 的切线， ∵EN 切半圆O 于F ， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB ，EO 就把∠MEN 三等分．故答案为：AB ＝OB ，EN 切半圆O 于F ；EB ，EO 就把∠MEN 三等分．14．（2020•安徽）如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD ＝BC ，AC 与BD 相交于点F ．BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ． （1）求证：△CBA ≌△DAB ；（2）若BE ＝BF ，求证：AC 平分∠DAB ．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB ＝∠ADB ＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠E ＝∠BFE ，根据切线的性质得到∠ABE ＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △CBA 与Rt △DAB 中，{BC =AD BA =AB ，∴Rt △CBA ≌Rt △DAB （HL ）；（2）解：∵BE ＝BF ，由（1）知BC ⊥EF ， ∴∠E ＝∠BFE ，∵BE 是半圆O 所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．15．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长如图，点D是BC线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组（1）根据点D在BC对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．̂=CD̂可求BD＝CD＝a＝5cm；【分析】（1）①由BD②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解．̂的中点，【解析】（1）∵点D为BĈ=CD̂，∴BD∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．16．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=12∠AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB ＝10，解直角三角形得到AC=√102−62=8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=12∠AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴AD̂=DB̂，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×√22=5√2，∵AB＝10，BC＝6，∴AC=√102−62=8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴ACBD =ADBH，∴85√2=5√2BH，解得：BH=25 4．17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC=√3，可得DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．【解析】（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC=√3，∴tan∠DAC=DCAD=√33，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2√3，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC=12AC=√3，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA=AEcos30°=2，∴⊙O的半径为2．18．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EĈ=BĈ，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据EĈ=BĈ，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB ＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD=√3，根据勾股定理得到AE=2−BE2=√42−(2√3)2=2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵EĈ=BĈ，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵EĈ=BĈ，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD=√3，∴BE＝2√3，∴AE=√AB2−BE2=√42−(2√3)2=2，∴AE=12AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵EĈ=BĈ，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE=√33CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×√3×3−60⋅π×22360=3√32−2π3．19．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=√AD2−AC2=√82+(325)2=8√415，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥BC ， ∵OD 为半径， ∴BC 是⊙O 切线； （2）连接DE ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝∠C ， ∵∠EAD ＝∠DAC ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC =325，∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ， ∴△OBD ∽△ABC ， ∴OD AC =BDBC ，∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．20．（2020•淮安）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC ⊥OA ，CO 交AB 于点P ，交⊙O 于点D ，且CP ＝CB ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠A ＝30°，OP ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB 与⊙O相切；（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB=√OC2−BC2=√3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）CB与⊙O相切，理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBD是等边三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√3，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×1×√3−30⋅π×(√3)2360=√32−π4．21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF ＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．【解析】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AE＝EF．22．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（AAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC=12AB•AC=12×4×4√3=8√3，∴S△ACE=12S△ABC=12×8√3=4√3，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4√3−4π3．23．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD ＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．【解析】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD=√AC2−CD2=√102−82=6，∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC•DE，∴DE=AD⋅DCAC=6×810=245．24．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B ＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；（2）连接OD，如图②所示：∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．25．（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sin A＝sin E=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，于是得到结论；（2）由（1）得：ABsinC =BCsinA，得到AB=√3×√22√32=4√2，2R=4√3√32=8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（√2+√6），根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sin A＝sin E=BCBE=a2R，∴asinA=2R，同理：bsin∠B =2R，csin∠C=2R，∴asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）解：由（1）得：ABsinC =BCsinA，即ABsin45°=4√3sin60°=2R，∴AB=4√3×√22√32=4√2，2R=√3√32=8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4√2×12=2√2，CH=√22BC＝2√6，∴AC＝AH+CH＝2（√2+√6），∴sin∠B=AC2R=2(√2+√6)8=√2+√64．26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC =√102−62=8， ∵AB ＝AE ＝10，AC ⊥BE ， ∴CE ＝BC ＝6， ∵12CD •AE =12AC •CE ，∴CD =6×810=245．27．（2020•陕西）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝75°，∠ABC ＝45°．连接AO 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ．过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ． （1）求证：AD ∥EC ；（2）若AB ＝12，求线段EC 的长．【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得∠OCE ＝90°，由圆周角定理可得∠AOC ＝90°，可得结论； （2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于F ，由锐角三角函数可求AD ＝8√3，可证四边形OAFC 是正方形，可得CF ＝AF ＝4√3，由锐角三角函数可求EF ＝12，即可求解． 【解析】证明：（1）连接OC ，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=ABAD=√32，∴AD=12×2√3=8√3，∴OA＝OC＝4√3，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝4√3，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EFAF=√3，∴EF=√3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+4√3．28．（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O 为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．【解析】（1）证明：连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（2√3）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，∴OD=√OB2−BD2=√42−(2√3)2=2，∴OD=12OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=12×2 √3×2−60π×22360=2√3−2π3．29．（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O 的半径为x ，则OD ＝x ﹣2，OB ＝x ，由勾股定理得出（x ﹣2）2+（2√3）2＝x 2，解得x ＝4，求出OE 的长，则可求出EF 的长； （3）由扇形的面积公式可得出答案． 【解析】（1）证明：连接OC ，如图，∵CE 为切线， ∴OC ⊥CE ， ∴∠OCE ＝90°， ∵OD ⊥BC ， ∴CD ＝BD ， 即OD 垂直平分BC ， ∴EC ＝EB ， 在△OCE 和△OBE 中 {OC =OB OE =OE EC =EB， ∴△OCE ≌△OBE （SSS ）， ∴∠OBE ＝∠OCE ＝90°， ∴OB ⊥BE ， ∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为x ，则OD ＝OF ﹣DF ＝x ﹣2，OB ＝x ， 在Rt △OBD 中，BD =12BC ＝2√3， ∵OD 2+BD 2＝OB 2，∴（x ﹣2）2+（2√3）2＝x 2，解得x ＝4， ∴OD ＝2，OB ＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE=√3OB＝4√3，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2×12×4×4√3−120⋅π×42360，＝16√3−16π3．30．（2020•武威）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解析】（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB=12∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．31．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD̂上不与B，D重合的点，sin A=1 2．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3√3，求证：DF与⊙O相切．【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．【解析】（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A=1 2，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60°；（2）连接OF ，OB ，如图2， ∵AB 是切线， ∴∠OBF ＝90°， ∵BF ＝3√3，OB ＝3， ∴tan ∠BOF =BFOB =√3， ∴∠BOF ＝60°， ∵∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝∠DOF ＝60°， 在△BOF 和△DOF 中， {OB =OD∠BOF =∠DOF OF =OF， ∴△BOF ≌△DOF （SAS ）， ∴∠OBF ＝∠ODF ＝90°， ∴DF 与⊙O 相切．32．（2020•扬州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，点E 在直径CD 的延长线上，且AE ＝AC ． （1）试判断AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AC ＝6，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA 、AD ，可求得∠ACE ＝∠AEC ＝30°，可证明△AOD 为等边三角形，可求得∠EAO ＝90°，可证明AE 为⊙O 的切线；（2）作OF ⊥AC 于F ，结合（1）可得到OA ＝2√3，AE ＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．【解析】（1）证明：连接OA 、AD ，如图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠DAC ＝90°， 又∵∠ADC ＝∠B ＝60°， ∴∠ACD ＝30°， 又∵AE ＝AC ，OA ＝OD ， ∴△ADO 为等边三角形，∴∠E ＝30°，∠ADO ＝∠DAO ＝60°， ∴∠P AD ＝30°， ∴∠EAD +∠DAO ＝90°， ∴OA ⊥E ，∴AE 为⊙O 的切线； （2）解：作OF ⊥AC 于F ，由（1）可知△AEO 为直角三角形，且∠E ＝30°， ∴OA ＝2√3，AE ＝6，∴阴影部分的面积为12×6×2√3−60π×(2√3)2360=6√3−2π．故阴影部分的面积为6√3−2π．33．（2020•临沂）已知⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2．以O 1为圆心，以r 1+r 2的长为半径画弧，再以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接O 1A ，O 2A ，O 1A 交⊙O 1于点B ，过点B 作O 2A 的平行线BC 交O 1O 2于点C ． （1）求证：BC 是⊙O 2的切线；（2）若r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，求阴影部分的面积．【分析】（1）由题意得出O 1P ＝AP ＝O 2P =12O 1O 2，则可得出∠O 1AO 2＝90°，由平行线的性质可得出∠O 1BC ＝90°，则可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠BO 1P ＝60°，由勾股定理求出BC 长，则可根据S 阴影=S △O 1BC −S 扇形BO 1D 求出答案．【解析】（1）证明：连接AP ，∵以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，∴O 1P ＝AP ＝O 2P =12O 1O 2， ∴∠O 1AO 2＝90°， ∵BC ∥O 2A ，∴∠O 1BC ＝∠O 1AO 2＝90°，∴O1B⊥BC，∴BC是⊙O2的切线；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A=12O1O2，∴∠BO1P＝60°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC=√O1C2−O1B2=√42−22=2√3，∴S阴影=S△O1BC −S扇形BO1D=12O1B⋅BC−60π×r22360=12×2×2√3−60×π×22360=2√3−23π．34．（2020•山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．【分析】连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用平行四边形的性质得AB∥OC，OA∥BC，则∠BOC＝90°，接着计算出∠C＝∠OBC＝45°，然后利用平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，从而根据圆周角定理得到∠E的度数．【解析】连接OB，如图，∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB，∵四边形ABCO为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E =12∠AOB ＝22.5°．35．（2020•广元）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，OA 平分∠BAC 交BC 于点O ，以O 为圆心，OC 长为半径作圆交BC 于点D ．（1）如图1，求证：AB 为⊙O 的切线；（2）如图2，AB 与⊙O 相切于点E ，连接CE 交OA 于点F ． ①试判断线段OA 与CE 的关系，并说明理由． ②若OF ：FC ＝1：2，OC ＝3，求tan B 的值．【分析】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，利用角平分线的性质定理可得OG ＝OC ，即可证明； （2）①利用切线长定理，证明OE ＝OC ，结合OE ＝OC ，再利用垂直平分线的判定定理可得结论； ②根据OF ：FC ＝1：2，OC ＝3求出OF 和CF ，再证明△OCF ∽△OAC ，求出AC ，再证明△BEO ∽△BCA ，得到BE BC=OE AC=BO AB，设BO ＝x ，BE ＝y ，可得关于x 和y 的二元一次方程组，求解可得BO 和BE ，从而可得结果．【解析】（1）如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ， ∵OA 平分∠BAC 交BC 于点O ， ∴OG ＝OC ， ∴点G 在⊙O 上， 即AB 与⊙O 相切；（2）①OA 垂直平分CE ，理由是： 连接OE ，∵AB 与⊙O 相切于点E ，AC 与⊙O 相切于点C ， ∴AE ＝AC ， ∵OE ＝OC ， ∴OA 垂直平分CE ；②∵OF ：FC ＝1：2，OC ＝3，则FC ＝2OF ，在△OCF 中，OF 2+（2OF ）2＝32， 解得：OF =3√55，则CF =6√55， 由①得：OA ⊥CE ，则∠OCF +∠COF ＝90°，又∠OCF +∠ACF ＝90°， ∴∠COF ＝∠ACF ，而∠CFO ＝∠ACO ＝90°， ∴△OCF ∽△OAC ，∴OC OA=OF OC=CF AC，即3OA=3√553=6√55AC，解得：AC ＝6， ∵AB 与圆O 切于点E ，∴∠BEO ＝90°，AC ＝AE ＝6，而∠B ＝∠B ， ∴△BEO ∽△BCA ， ∴BE BC =OE AC =BO AB ，设BO ＝x ，BE ＝y ， 则y 3+x=36=xy+6，可得：{6y =9+3x6x =3y +18，解得：{x =5y =4，即BO ＝5，BE ＝4，∴tan B =OEBE =34．36．（2020•湘潭）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：△ABD ≌△ACD ；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．【分析】（1）AB 为⊙O 的直径得AD ⊥BC ，结合AB ＝AC ，用HL 证明全等三角形；（2）由△ABD ≌△ACD 得BD ＝BC ，结合AO ＝BO 得OD 为△ABC 的中位线，由DE ⊥AC 得OD ⊥DE ，可得直线DE 为⊙O 切线．【解析】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =AD AB =AC ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）； （2）直线DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接OD ，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．37．（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D 的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，。

与圆相关的计算题 1.如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，CO 的延长线交AB于点D(1)求证：AO 平分∠BAC；(2)若BC=6,sin∠BAC=53，求AC 和CD 的长。

2.如图,△ABC 中,BA=BC,以AB 为直径的O 分别交AC,BC 于D,E,BE=4CE,AD=10.(1)求证：AD=CD ；(2)求S △ABC .3.如图,AB 是⊙O 的直径,C,P 是AB ˆ上两点，AB=13，AC=5.(1)如图(1),若点P 是AB ˆ的中点，求PA 的长；(2)如图(2),若点P 是BC ˆ的中点，求PA 的长。

4.如图，AB 是⊙O 的直径，弧PB=弧PC ，AP 交BC 于点M ，且MP:MA=2:3.（1）求CM:BM 的值；（2）求tan ∠PMB 的值.5.如图,BC 为⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,D 为BC ˆ的中点,CE⊥AD 于E,AD 交BC 于点F,tan∠B=21 (1)求证：DE=2AE ；(2)求sin∠BFD 的值。

6.如图,⊙O 的直径AB 的长为10,弦AC 长为6,∠ACB 的平分线交O 于D,求CD 长。

7.已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交O 于点D(1)如图1，求证：BD=ED ；(2)如图2,AD 为⊙O 的直径。

若BC=6,sin∠BAC=53,求OE 的长。

8.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆的中点，点E 是弦CD 上一点，且AB=2CE,连接AD,BD.(1)求证：点E 是△ABD 的内心；(2)连接OE ，若cos ∠BAD=53,求sin ∠AOE 的值.9.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E.(1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)延长AB ，DC 交于点F ，点H 为AC 上一点，且∠F=2∠ABH ，若tanDAC=21，求sin ∠ABH 的值.10.如图CA ，CD 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，D ，AB 是⊙O 的直径.(1)求证：∠C=2∠BAD；(2)若AB=AC=2，求AD 的长.11.如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A. B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，OA.(1)求证：∠POA=2∠PCB；(2)若OA=3，PA=4，求tan∠PCB 的值。

2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)．(1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CPAC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM .(1)求证：AC ＝DC ；(2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∴∠AOD ＝2∠AOC ，∵∠AOD ＝2∠OBD ，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴BD ∥CM ；(3)解：∵BD ∥CM ，∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，∵OD ＝OB ＝OM ，∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，∵∠DOC ＝2∠DMO ，∴∠DOC ＝2∠BDM ，∴∠B ＝2∠BDM ，如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OEAE ＝EF ，∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ，∵sin B ＝45， ∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45， ∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ， ∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ， ∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x ＝255. 3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB，∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，∴∠BAC ＝∠EBC ，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)，∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数；(2)求证：AE 2＝EF ·ED ；(3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝36°，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ，∴AG 垂直平分BC ，∴AG 过圆心O ，∵AD ∥BC ，∴AD ⊥AG ，∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2.6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB， ∴PF ＝AP ·BE AB， 在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠PAD ＝∠BOE ， ∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB， ∴PD ＝AP ·BE OB， ∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC 的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，又∵∠COD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠BAC ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°，即OB ⊥BD ，又∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FCFG＝ABOB＝2，∴FGFC＝12.8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度． 第8题图 (1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34， 设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3. 类型三 与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC， ∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

圆的面积习题精选答案圆的面积是初中数学中的一个重要知识点，在中考、高考中都有所涉及。

下面我将结合几道圆的面积习题，提供一些精选的答案，帮助大家更好地掌握这个知识点。

一、已知圆的半径，求面积习题：一个圆的半径为5cm，求其面积。

解答：圆的面积公式为S=πr²（其中，S表示面积，r表示半径，π是一个无理数，近似取值为3.14）。

将半径r=5cm代入公式中，可得S=3.14×5²≈78.5（单位为平方厘米）。

二、已知圆的直径，求面积习题：一个圆的直径为8cm，求其面积。

解答：先根据直径和半径的关系r=d/2（其中，d表示直径），求出半径r=4cm。

再根据圆的面积公式，S=πr²，代入r=4cm，可得S=3.14×4²≈50.24（单位为平方厘米）。

三、已知圆的面积，求半径或直径习题1：一个圆的面积为12.56平方米，求其半径。

解答：圆的面积公式为S=πr²。

将面积S=12.56平方米代入公式中，得到12.56=πr²，解得r=√(12.56/π)≈2。

因此，该圆的半径约为2米。

习题2：一个圆的面积为28.26平方厘米，求其直径。

解答：先用圆的面积公式解出半径r：28.26=πr²，解得r=√(28.26/π)≈3。

因为直径d=2r，所以该圆的直径为6cm。

四、已知圆的面积比，求半径或直径比习题：两个圆的面积比为4：9，求它们的半径比。

解答：设两个圆的半径分别为r1、r2，则它们的面积比为S1:S2=πr1²:πr2²=4:9。

两边同除π，得到r1²:r2²=4:9，再开根号得到r1:r2=2:3。

因此，这两个圆的半径比为2:3。

以上就是几道圆的面积练习题的解答。

希望这些例子能够帮助大家掌握圆的面积的计算方法，提高数学水平。