最新必修二立体几何单元测试题(详细答案)

一、选择题1．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 3．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．86πC ．36πD ．323π 4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN //ABB ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC5．已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ︒∠=，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π6．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．457．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A ′，使二面角A ′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A ′D ⊥BC ；②三棱锥A ′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A ′BD ；④平面A ′BC ⊥平面A ′D C ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 10．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）A ．23B ．73C ．63D ．53第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④13．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3CE =，53cos 9ACE ∠=，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（ ） A ．4B ．51C ．4或51D ．4或5 14．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能 二、解答题15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；（2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 18．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，2AD AF CD ===，4AB =.（1）求证：AC ⊥平面BCE ；（2）求三棱锥E BCF -的体积.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）若点E 为11B C 的中点，求证：平面1//A EB 平面1ADC .20．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.21．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且2PC PD ==，2CD =.（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求点D 到平面PAB 的距离．23．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB 2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；24．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝3π，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（I ）证明：直线MN //平面OCD ；（II ）求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值.25．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =.（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；26．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =，1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==， 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.2．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立， 故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为113226⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥， 又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.3．D解析：D【分析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.【详解】由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以22OD =，122BD BC == 连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得2223OB OD BD =+=，所以球的体积为34(23)3233V ππ==， 故选：D.【点睛】 本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题. 4．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ； 故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.5．C解析：C【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【详解】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V R R V R --⨯⨯⨯====，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=，故选：C ．【点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大是关键，属于中档题．6．D解析：D【分析】本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.【详解】解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则115A B C B k =，112AC k ，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵11//BC AD ，∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠，在11A BC 中，222222111111115524cos 25255A B BC AC k k k A BC A B BC k k+-+-∠===⋅⋅⨯⨯， 故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.7．C解析：C【分析】根据//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ︒∠=， 易得 CD BD ⊥，再根据，平面A BD '⊥平面BCD ，得CD ⊥平面A BD '，可判断③的正误；由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则可求出A BDC V '-，进而可判断②的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD AB '⊥，,A B A D ''⊥ 得A B '⊥平面CDA '，④利用面面垂直的判定定理判断④的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A D '⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，进而可判断①的正误.【详解】由题意，取BD 中点H ，连接A H '，则折叠后的图形如图所示：由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则A H CD '⊥， ∴A BDC V '-＝1221326⨯⨯=，②正确， ∵CD BD ⊥，A H CD '⊥，且A H BD H '=，∴CD ⊥平面A BD '，故③正确，∵1A B '=，由几何关系可得3A C '=，2BC =，∴2222132A B A C BC ''+=+==，∴A B A C ''⊥，由CD ⊥平面A BD '，得CD A B '⊥，又A CCD C '=∴A B '⊥平面A DC '，∵A B '⊂平面A BC '，∴ 平面A BC '⊥平面A DC '，④正确， CD ⊥平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，所以①错误.故选C .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，解题关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化关系，属于中档题.8．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题9．B解析：B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN=， 同理可证BD AD PN AN=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等， 则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.10．D解析：D【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，//m α，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件，故选：D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．11．B解析：B【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a，计算AO OC ==，13A O a =，1AC a =，1AC =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a .连接1,,,OA OB OC AC，则AO OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得13A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =， 则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=.在菱形11ACC A中，得111120,AAC AC ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC的距离13A O a = 所以1AC 与底面ABC3=. 即1AC 与底面ABC所成角的余弦值为3.故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12．A解析：A【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确； BN 与DE 是异面直线，故④错误.故选：A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.13．C解析：C【分析】设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得222539392393x x x =++-⨯+，求出x ，即可求出球O 的直径.【详解】根据题意，长方体内接于球O 内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体1111ABCD A B C D -：设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得：222539392393x x x =++-⨯+，∴1x =6， ∴2AB =，22BC =O 4484++=； 或26AB =3BC =，球O 2424351++=故选：C ．【点睛】本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题. 14．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥， 又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）27.【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果.【详解】 （1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒，∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ，∴//AE 平面PBC . （2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB ==由已知得：113323P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即11331323PA ⨯⨯=， 可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =，22334AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=，∴11742722PCD S PQ CD =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键. 16．（1）证明见解析；（2）338. 【分析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，易得四边形AEFG 是平行四边形，从而//EF AG ，然后利用线面平行的判定定理证明.（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得1BC 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n a b c =，再由111sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>=⋅求解.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点，所以1//FG C C ，112FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以//FG EA ，FG EA =.所以四边形AEFG 是平行四边形.所以//EF AG .因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）以D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为33AB =，所以1BD =, 所以()0,0,0D ，()0,1,0B ，13C ⎫⎪⎝⎭，3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以131,23BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,0DB =，3DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DB n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030b c =⎧⎪⎨+=⎪⎩, 取3a =，则1c =，所以(3,0,1)n =， 所以1113312cos ,||||1643n BC n BC n BC ⋅+<>===⋅， 直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余， 所以11133sin cos ,8n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．17．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】 （1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB =， 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-， 13(0,2,)2B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=． 由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，进而 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题18．（1）证明见解析；（2）83. 【分析】（1）先证明AC ⊥BE ,再取AB 的中点M ，连接CM ，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC ⊥BC ,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理证得CM ⊥平面BEF ,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABEF 为矩形∴//AF BE∵AF ⊥平面ABCD ∴BE ⊥平面ABCD∵AC ⊂平面ABCD ∴AC BE ⊥.如图，取AB 的中点M ，连接CM ，∴122AM AB DC === ∵//AM DC ，90MAD ∠=︒，2AM DC AD === ∴四边形ADCM 是正方形.∴90ADC ∠=︒∴222448C AD DC =+=+=，222448BC CM BM =+=+= ∵4AB =∴222AC BC AB +=∴ABC 是直角三角形∴AC BC ⊥. ∵BCBE B =，BC 、BE ⊂平面BCE ∴AC ⊥平面BCE（2）由（1）知：CM AB ⊥∵AF ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ∴AF CM ⊥∵AF AB A ⋂=，AF 、AB 平面ABEF∴CM ⊥平面ABEF ，∴CM ⊥平面BEF即：CM 是三棱锥C BEF -的高∴11182243323E BCF C BEF BEF V V CM S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由正三棱柱，CC 1⊥平面ABC ，得AD ⊥CC 1又已知AD ⊥C 1D ，利用线面垂直的判定定理得到结论．（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，推导出OD //A 1B ，由点E 是B 1C 1的中点，可得BD //EC 1，且BD =EC 1，即BE //DC 1，由BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，即可证明平面A 1EB //平面ADC 1．【详解】（1）在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊆平面ABC ，∴AD ⊥CC 1．又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1． （2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ，且AD ⊂平面C 1AD ，∴平面C 1AD ⊥平面B 1BCC 1，∴D 是BC 中点，O 是A 1C 中点，∴OD //A 1B ，∵点E 是B 1C 1的中点，D 是BC 中点，∴BD //EC 1，且BD =EC 1，∴四边形BDEC 1 为平行四边形，BE //DC 1，∵BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，且A 1B ，BE ⊂平面A 1EB ，DC 1，OD ⊂平面ADC 1，∴平面A 1EB //平面ADC 1．【点睛】方法点睛：（1）证线面垂直的常用方法：判定定理，向量法，面面垂直的性质定理；（2）证面面平行的常用方法：判定定理，向量法，面面平行的性质定理.20．（1）证明见解析；（221. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明. （2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，∵11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =， ∴117AA B S = ∴1112237323d ⨯⨯⨯=， 解得217d =， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为：1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.21．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ，∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，AD CA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ，∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ， ∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ，∵平面ABC ⊥平面ADB ，∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC 平面ADB AB =，∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥.又∵BC OE ⊥，OE DE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥，∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角.又1AC =，12AD =，BD AD =，∴24OD =，36OE =，3012DE =，所以cos OEOED DE ∠==10所以二面角A BC D --的余弦值为105. 【点睛】 方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．22．（1）证明见解析；（2）255. 【分析】（1）由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PCD ，进而可得AD PC ⊥，结合平面几何的知识可得PC PD ⊥，由线面垂直的判定即可得证；（2）取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.【详解】（1）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =， AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥，在PCD 中，2PC PD ==，2CD =，222PC PD CD +=，∴PC PD ⊥， ∵PD AD D ⋂=，PD ,AD ⊂平面PAD ，∴PC ⊥平面PAD ；（2）设点D 到平面PAB 的距离为h ，取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，如图，则PO CD ⊥．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵112PO CD ==，5OA =∴在POA 中，6PA =，同理，6PB =， ∴PAB △是等腰三角形，5PH =，由D PAB P ABD V V --=1133PAB ABD S h S PO =⋅⋅=⋅⋅，∴AB PH h AB AD PO ⋅⋅=⋅⋅，即254h ⋅=，解得255h =， ∴点D 到平面PAB 的距离为255． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离. 23．（1）证明见解析；（2）62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC， ∴C 1B ⊥平面ABC .（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =22×3=62. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x -+++-=， 解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.24．(I) 证明见解析；(II) 24. 【分析】（I ）取OD 的中点E ，通过证明四边形MNCE 是平行四边形可得MN //EC ，即可证明； （II ）可得MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,求出三角形各边长，即可根据余弦定理求出.【详解】 （Ⅰ）证明：取OD 的中点E ，∵M 为OA 的中点 12MEAD ∴， ∵N 为BC 的中点，12NC AD ∴， 12ME NC ∴， ∴四边形MNCE 是平行四边形，∴MN //EC ，∵MN ⊄平面OCD ，EC ⊂平面OCD ，∴MN //平面OC D.（Ⅱ）解：//CD ABMDC ∴∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,1,3AD AB BC ABC π===∠=,1AC ∴=,M 是OA 的中点，1AM ∴=,OA ⊥平面ABCD ，∴OA ⊥AD ，2MD MC ∴==,1222cos 4212MDC +-∴∠==⨯⨯. 【点睛】 方法点睛：证明线面平行的方法是在平面内找一条直线与已知直线平行，常用的证明线线平行的方法是构造平行四边形或者利用三角形的中位线定理.25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33 . 【分析】（Ⅰ）通过证明平面//OFG 平面PAB ，进一步得出结论；（Ⅱ）利用等体积法即1124A PFB A PDB P ABCD V V V ---==，进一步求出答案. 【详解】（Ⅰ）如图，连接OF ，OG ∵O 是BD 中点，F 是PD 中点，∴//OF PB ，而OF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴//OF 平面PAB ，又∵O 是AC 中点，G 是BC 中点，∴//OG AB ，而OG ⊂/平面PAB ，AB 平面PAB ，∴//OG 平面PAB ，又OG OF O =∴平面//OFG 平面PAB ，即//FG 平面PAB .（Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AO ⊥，又四边形ABCD 为菱形，∴BD AO ⊥，又ADDB D =，∴AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点，∴111122sin 60224433A PFB A PDB P ABCD V V V ︒---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查立体几何的知识点，属于中档题. 立体几何常用的三种解题方法为： （1）分割法;（2）补形法;（3）等体积法.26．()232cm，()248cm 【分析】根据直角三角形边角关系得出PE ，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.【详解】如图，2,30OE cm OPE ︒=∠=，∴在Rt POE 中，4sin 30OE PE ︒==． PB PC =，E 为BC 的中点，()21,8cm 2PBC PE BC S BC PE ∴⊥=⋅⋅= 侧棱长都相等，()2432cm PBC S S∴==侧，()2321648cm S =+=全 【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．。

一、选择题1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 2．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π3．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶3 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n5．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22 ）A ．323π B ．6π C ．36π D ．3π 6．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβC ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ7．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面1A DM的距离为（ ）A ．6aB ．6aC ．2aD ．12a 8．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于() A ．43π B ．323π C ．12π D ．643π 9．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（ ） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥. 10．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A 34B 234C 517D 317 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）A ．23B 7C 6D 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A ．13cmB ．261cmC ．61cmD ．234cm 13．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（ ）A ．①④B ．②④C ．①D ．④14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（ ）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．16．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且AC BC VC ==.（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）若22AC =，且棱AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为1515，试确定点E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 17．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ，2AB AP ==，E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）求证CD AE ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.21．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.22．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 24．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．【详解】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误， 对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥.因为1SA AC AB ===，所以2SC =，SB =1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点， 则外接球半径112R SC ==， 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.3．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，2cos42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=, 在Rt AA B ''∆中，2212A B AB AA AB ''''=-=, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 4．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5．D解析：D【分析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.【详解】由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以22OD =，122BD BC == 连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得2223OB OD BD =+=，所以球的体积为34(23)3233V ππ==， 故选：D.【点睛】 本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题. 6．D解析：D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 相交，故A 错误；对于B ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ，若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β错误，m 有可能在α或β内； 对于D ，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ， 在△1A DM 中115,2,2A M DM a A D a === 1A ∴到DM 的距离为3a则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即1111323232a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得6h a =， 故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.8．B解析：B 【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积． 【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB ==设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．9．D解析：D 【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解. 【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误； 对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误； 对于D .由面面垂直的性质定理可得正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.10．D解析：D 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅3172317==⨯⨯. 故选：D 【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.11．B解析：B 【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算33AO a OC ==，16A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a . 连接1,,,OA OB OC AC ，则3AO OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得16A O =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =，则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=. 在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离163A O a =所以1AC 与底面ABC 62333aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为73.故选：B 【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12．A解析：A 【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案. 【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ， 则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =. 故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.13．A解析：A 【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论． 【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确． 故选：A 【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．14．A解析：A 【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =. 设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、解答题15．（1）证明见解析（2 【分析】（1）利用22211EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.【详解】（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ， 所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以12EP A F AF ===，又12EB EB ==，1111222PB A B EF CD ====， 所以22211EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥，因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EFEB E =，所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥， 因为1CEEB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ， 因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PE EG E =，所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥， 所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+= 所以11255CE EB EG CB ⋅===，所以22423045PG PE EG =+=+=， 所以sin EP PGE PG ∠==230=306=. 【点睛】关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE ⊥平面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角.16．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点；223. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD 中，由15sin DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解.【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点， 所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB 平面ABC ， 所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=， 所以AB ⊥平面VCD . 又AB 平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ， 则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点， 三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 17．体积3V π＝；表面积(213π+．【分析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式，即可得到答案. 【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为'h ，圆锥的高h ='3h ＝，1'2h h ∴＝，则122r =，1r ∴＝． ∴圆柱的体积2V r h π'=＝；表面积(22221S r rh πππ=+='．【点睛】本题考查的知识点求圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.18．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先利用勾股定理得出AE BE ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面ADE ，进而得到AD BE ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取AE 的中点O ，连接DO ，用面面垂直的性质定理得到DO ⊥平面ABCE ，利用体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒，∴AE BE ==，4AB =，∴222AE BE AB +=， ∴AE BE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE 平面ABCE AE =，∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ， 所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=， 所以AD ⊥平面BDE.（2）∵M 是线段DA 的中点， ∴1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===， 取AE 的中点O ，连接DO ， ∵DA DE =∴DO AE ⊥， 又平面DAE ⊥平面ABCE ， ∴DO ⊥平面ABCE ， 又2DO =，1sin13522AECSAE EC =⨯⨯⨯︒=， ∴122233D AEC V -=⨯=， ∴23D MEC V -=. 【点睛】 方法点睛：证明线面垂直的常用方法： 利用线面垂直的判定定理； 利用面面垂直的性质定理； 利用面面平行的性质； 利用垂直于平面的传递性. 19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ6；（Ⅲ23 【分析】（Ⅰ）根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理证得CD PAD ⊥面即可.（Ⅱ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，求得向量AE 的坐标，和平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =， 由cos ,AE n AE n AE n⋅=⋅求解.（Ⅲ）利用空间向量法，由AEn d n⋅=求解.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂= 所以CD PAD ⊥面. 因为AE PAD ⊂面， 所以CD AE ⊥.（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P ， 由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =， 向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-. 设平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令y=1，可得n =（1，1，1）， 所以 6cos ,3AE n AE n AE n⋅==⋅. 所以直线AE 与平面PBD 6.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：(0,1,1)AE =，平面PBD 的一个法向量n =（1，1，1）， 所以点A 到平面PBD 的距离3AE n d n⋅===. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 20．（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点， 1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ， 1A D ⊂平面1A DE ， ∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S A D --∴==⋅△1132231322=⨯⨯⨯⨯=， 在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++=22212102310cos 2210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin ABC ∴∠=1390392102202ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得239h =， 即点C 到平面1ABC 239【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.21．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ， ∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C . （2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， ∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，∵11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =，∴11AA B S =∴11122323d ⨯⨯⨯=，解得7d =， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B所成角的正弦值为：11sin d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理. （3）利用面面平行的性质. 22．（1）见详解；（2）2 【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明BD ⊥平面1AMC ，进而可得面面垂直；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=，连接1C H ，根据题中条件，得出1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，结合条件，即可计算出结果.【详解】（1）由题意知AM BD ⊥，又因为1AC BD ⊥，1AC AM A ⋂=，1AC ⊂平面1AMC ，AM ⊂平面1AMC ， 所以BD ⊥平面1AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ， 所以平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ， 由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥； 过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=， 连接1C H ， 由1C F AD ⊥，FHAD ⊥，1FH C F F ⋂=，FH ⊂平面1C FH ，1C F ⊂平面1C FH ，所以AD ⊥平面1C FH ，则1AD C H ⊥，所以1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，则2AB AC ==，3BC =，23MD =－，1332DC DC ==-，26AD =-，在Rt AMD 中，1122AMDSAM MD AD MG =⋅=⋅，则624MG -=， 在1Rt C MD 中，()()222221133223943MC C D MD =-=---=－．设AF x =，在1Rt C FA 中，222211AC AF MC MF -=-，即()()2249431x x -=---，解得，232x =-，即232AF -＝所以12233C F =-，()62232226AF FH MG AM -=⋅=⋅=-－， 因此()2221183122262C H C F FH =+=-+-=，所以11226cos 232FH FHC C H -∠===-. 即二面角1C AD B --的平面角的余弦值是23-.【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 23．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明； （2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小. 【详解】 （1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=，∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离， 由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则111111332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=，解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan B C C A B A B ∠===11130A C B ∴∠=， 即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 24．（1）证明见解析，（2）24【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,PO BO ，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，从而可证得AC PB ⊥；（2）求解三角形证明PO OB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接,PO BO ， 因为1PA PC ==，AB BC =， 所以,PO AC BO AC ⊥⊥，因为PO OB O =，所以AC ⊥平面POB ， 因为PB 在平面POB 内，所以AC PB ⊥，（2）解：在PAC △中，因为1PA PC ==，60APC ∠=︒， 所以3PO =，1AC =， 在ABC 中，因为AB BC =，90ABC ∠=︒，所以12BO =， 在PBO 中，由于32PO =，12BO =，1AC PB ==，所以222PO BO PB +=，所以PO OB ⊥， 因为 ,PO AC BO AC O ⊥=，所以PO ⊥平面ABC ，所以111331322224A PBC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A PBC -的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A PBC -的体积，此题考查数学转化思想 25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥． 又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3na a ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，13,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,32PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD nPA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111130222302x y z z ⎧-+-=⎪⎪-=，令12z =，所以()3n =． 233cos ,4n n ==，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可. 【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形． ∴BEAD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ， 又EFPD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF BE E =，∴平面BEF 平面PAD ．∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥． 又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=， ∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n2．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．86π C ．36π D ．323π3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰15．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ）. A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm6．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）①//BM 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的体积最大值为223； ③5BM =④一定存在某个位置，使1DE A C ⊥； A ．①②B ．①②③C ．①③D ．①②③④7．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M与CN 所成角的大小为（ ） A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为21919，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（ ） A ．49B ．19C ．925D ．12510．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a b φ⋂=，直线b α⊂，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线 11．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π12．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A ．183B ．182C ．123D ．24313．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）A ．255B ．455C ．5D ．2514．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥； ②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β； ③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ； ④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥. 其中所有正确的命题是（ ） A ．①④B ．②④C ．①D ．④二、解答题15．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面梯形ABCD 中，//BC AD ，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB 是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===.（1）求证：平面SAB ⊥平面SAC ； （2）求直线AD 与平面SAC 所成角的余弦值.16．如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD 为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.17．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =，22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ； （2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .18．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ； （2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 20．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.21．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.22．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ； （2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 23．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ； （II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.24．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝3π，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（I ）证明：直线MN //平面OCD ； （II ）求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值.25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD （2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确. 【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D. 【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.2．D解析：D 【分析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可. 【详解】由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以22OD =，122BD BC == 连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得2223OB OD BD =+=， 所以球的体积为34(23)3233V ππ==， 故选：D.【点睛】本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题.3．B解析：B 【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可. 【详解】解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误；//αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确. //m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.故选：B . 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题.4．D解析：D 【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值. 【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则33MN a =，233MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D 【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.5．B解析：B 【分析】由题意知正三棱柱的高为233，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可． 【详解】∵3cm 的内切球，则正三棱柱的高为23，，设底面正三角形的边长为a cm,则123a ⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为1662⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M DEC -的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性. 【详解】①，设F 是AD 的中点，折叠过程中1F 是1A D 的中点，连接11,F M EF ， 由于M 是1A C 的中点，所以1F M 是三角形1A CD 的中位线， 所以111//,2F M CD F M CD =.由于E 是AB 的中点，所以1//,2BE CD BE CD =. 所以11//,F M BE F M BE =，所以四边形1BEF M 是平行四边形， 所以1//BM EF ，由于BM ⊄平面1A DE ，1EF ⊂平面1A DE ， 所以//BM 平面1A DE ，所以①正确. ②，由于M 是1A C 的中点，所以112M DEC A DEC V V --=. 在折叠过程中，三角形DEC 的面积为定值14242⨯⨯=， 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，1A 距离平面ABCD 的距离最大.过A 作AO DE ⊥，交DE 于O ，连接1A O ，则1AO DE ⊥. 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，由于平面1A DC 平面ABCD DE =，所以1A O ⊥平面ABCD .DE ==则1122AE AD AE AD DE AO AO DE ⋅⋅=⋅⇒===则1AO .所以三棱锥1A DEC -体积的最大值为143⨯=所以三棱锥M DEC -体积的最大值为1233⨯=.所以②正确.③，由①知221415BM EF EF AE AF ===+=+=，所以③正确.④，由于22222,4,DE CE CD DE CE CD ===+=，所以DE CE ⊥.若1DE A C ⊥，1CE AC C ⋂=， 则DE ⊥平面1A CE ，则1DE A E ⊥，根据折叠前后图象的对应关系可知14DEA DEA π∠=∠=，与1DE A E ⊥矛盾，所以④错误.综上所述，正确的为①②③.故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.7．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．8．B解析：B【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题. 9．C解析：C【分析】先证明PO ⊥平面ABC，接着求出cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35r R =，最后求出球2O 与球1O 的表面积之比即可. 【详解】如图，取ABC 的外心O ，连接PO ，AO ，则PO 必过1O ，2O ，且PO ⊥平面ABC ，可知PAO ∠为侧棱与底面所成的角，即cos PAO =∠. 取AB 的中点M ，连接PM ，MC .设圆1O ，2O 的半径分别为R ，r ，令2OA =，则PA =AB =AM =，1OM =， 所以214r OM PO PM ==，即24PO r =，从而145PO r r R r R =++=+， 所以1154R R PO r R ==+，则35r R =， 所以球2O 与球1O 的表面积之比为925.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题. 10．D解析：D【分析】根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.【详解】解：A 项，若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l 可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A 项错误；B 项，直线a 在平面α外，则直线a 与平面α可能平行，也可能相交，故B 错误；C 项，直线,a b b φα⋂=⊂，所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误；D 项，直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行；当a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行,因此直线a 平行于平面α内的无数条直线,故D 项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.11．B解析：B【分析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，则球O 是长方体1111ABEC A B E C -的外接球.所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R =++=，故球O 的表面积24169R ππ=.故选：B.【点睛】本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.12．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 13．C解析：C【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ， 所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.14．A解析：A【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）在ABC 中，利用勾股定理易证AB AC ⊥，再由平面SAB ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明.（2）由（1）以A 为原点，以AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，分别求得AD 的坐标和平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，再由||cos ,||||AD m AD m AD m ⋅〈〉=⋅求解. 【详解】（1）在ABC 中，由于2AB =，4CA =，BC =∴222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥,平面SAB ⊥平面ABCD ，AC ∴⊥平面SAB ,又因为AC ⊂平面SAC ,所以平面SAB ⊥平面SAC ；（2）如图建立A xyz -空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3)S ，(0,4,0)C ， 则(1,3)CS =-，(2,4,0)BC =-，(0,4,0)AC =，1(1,2,0)2AD BC ==-. 设平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m AC m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111140430y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ∴(3,0,1)m =-. ||15cos ,10||||AD m AD m AD m ⋅〈〉==⋅， 设直线AD 与平面SAC 所成夹角为θ， 则15sin |cos ,|10AD m θ=<>=， ∴直线AD 与平面SAC 85. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．16．（1）证明见解析 ；（23 【分析】（1）取AD 中点P ，连结MP ，CP ，推导出CP AD ⊥，MP AD ⊥，从而AD ⊥面CMP ，由此能证明CM AD ⊥．（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，则MH ⊥面ACD ，MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，由此能求出直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由ACD 为正三角形可得CP AD ⊥， 又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD MP CP P ⊥⋂=，， ∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，,AD MH CP AD P ⊥⋂=， ∴MH ⊥面ACD ，∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，不妨设1CD =，则332,,CM MP CP ===， ∴262cos 33MCP ∠== ∴3sin 3MCP ∠= 所以直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值为3.【点睛】求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =，22CD =.112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ，RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明.18．（1）详见解析；（2233【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =， 当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.19．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB =， 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-， 13(0,2,)2B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=||||n CA n CA n CA ⋅<=． 由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，进而 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题20．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）先利用勾股定理得出AE BE ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面ADE ，进而得到AD BE ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取AE 的中点O ，连接DO ，用面面垂直的性质定理得到DO ⊥平面ABCE ，利用体积公式求解即可.【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒，∴22AE BE ==，4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.（2）∵M 是线段DA 的中点， ∴1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===， 取AE 的中点O ，连接DO ， ∵DA DE =∴DO AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ， 又2DO =，1sin13522AEC S AE EC =⨯⨯⨯︒=， ∴122223D AEC V -=⨯= ∴23D MEC V -=. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法：利用线面垂直的判定定理；利用面面垂直的性质定理；利用面面平行的性质；利用垂直于平面的传递性.21．（1）证明见解析；（2）1111． 【分析】 （1）计算出AE BE =得证AE BE ⊥，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直AD BE ⊥，再由已知线线垂直AD AE ⊥可证得结论线面垂直；（2）取AE 的中点O ，连结DO ， 可证DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒ ∴22AE BE ==，4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥ 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥， 又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.（2）取AE 的中点O ，连结DO ，∵DA DE =，∴DO AE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：则(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),(2,0,2)E A B D ，(2,2,0)C -平面ADE 的法向量1//n EB ，∴1(0,1,0)n =又(2,2,0)CB =，(2,22,2)DB =-，设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =，2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，22022220x x y z +=∴-+=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩ ∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--()12122221211cos ,111113n n n n n n ⋅∴===⋅⨯+-+∴平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值为1111. 【点睛】 方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直．三个垂直相互转化可证结论； 求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，用计算代替证明．22．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ，∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，ADCA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ，∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ，∵平面ABC ⊥平面ADB ，∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC平面ADB AB =， ∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥.又∵BC OE ⊥，OE DE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥，∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角.又1AC =，12AD =，BD AD =， ∴24OD =，3OE =，30DE =，所以cos OE OED DE ∠==10 所以二面角A BC D --的余弦值为105. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．23．(I)证明见解析；(II)3 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EFAP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形，∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内 ，∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE .（Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， 6222EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，． 于是在Rt EPQ △中，3cos 3PQ EQP EQ ∠==． ∴二面角A CD E --的余弦值为3. 【点睛】 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．24．(I) 证明见解析；(II)24. 【分析】（I ）取OD 的中点E ，通过证明四边形MNCE 是平行四边形可得MN //EC ，即可证明； （II ）可得MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,求出三角形各边长，即可根据余弦定理求出.【详解】（Ⅰ）证明：取OD 的中点E ，∵M 为OA 的中点 12MEAD ∴， ∵N 为BC 的中点，12NC AD ∴， 12ME NC ∴， ∴四边形MNCE 是平行四边形，∴MN //EC ，∵MN ⊄平面OCD ，EC ⊂平面OCD ，∴MN //平面OC D.（Ⅱ）解：//CD ABMDC ∴∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）， 连接,AC MC ,1,3AD AB BC ABC π===∠=, 1AC ∴=,M 是OA 的中点，1AM ∴=,OA ⊥平面ABCD ，∴OA ⊥AD ，2MD MC ∴==2cos 4212MDC ∴∠==⨯⨯ 【点睛】 方法点睛：证明线面平行的方法是在平面内找一条直线与已知直线平行，常用的证明线线平行的方法是构造平行四边形或者利用三角形的中位线定理.25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果.【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠， 13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒， 所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3n aa ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，1322PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,32PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PDn PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111130222302x y z z ⎧-+-=⎪⎪-=，令12z =，所以()3n =． 233cos ,4n n ==， 所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n2．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥ 3．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰14．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD6．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V ，则求O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π7．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．24C ．33D ．238．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )A ．//m 平面11B D QB ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直C ．平面PBD 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）A ．23B ．73C ．63D ．53第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A ．13cmB ．261cmC ．61cmD ．234cm 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）A ．33B ．13C ．5829D ．3872914．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．154C ．265D ．15二、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．16．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．17．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．18．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．19．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .EF MN；（1）求证：//（2）求证：平面CDH⊥平面ABC.20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，，，.90//22∠====ADE AF DE DE DA AF（1）求证：AC⊥平面BDE；AC平面BEF；（2）求证：//（3）若AC与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积.21．已知三棱柱ABC-A1B1C1中BC=1，CC1=BB1=2，AB=2，∠BCC1=60°，AB⊥侧面BB1C1C（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积，（3）试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E，使得EA⊥EB1；22．如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD//BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .23．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B MNC -的高.24．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 2．B解析：B【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可.【详解】解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误；//αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确.//m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.故选：B .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题.3．D解析：D【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则MN =，MA =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =，233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.4．B解析：B【分析】 由题意知正三棱柱的高为233，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵3cm 的内切球，则正三棱柱的高为23，3，设底面正三角形的边长为a cm,3133⨯=6a =cm ， ∴正三棱柱的底面面积为1366932⨯⨯=2， 故此正三棱柱的体积V ＝932354=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.6．D解析：D【分析】根据正四棱锥P ABCD -的体积公式，列出方程，求得2R =，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球O 的半径为R ，则,2OP OA R AB R ===，则正四棱锥P ABCD -的体积为21116(2)333V Sh R R ==⨯⨯=，解得2R =， 所以球O 的表面积为2244216S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。