三角形培优讲义
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题型一、三角形的三边关系 【例】下列不能构成三角形三边长的数组是( )． A．2、3、4 B．12、13、14 C．21a、221a、231a D．25、312、313
【例】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( ) A．7 B．9 C．12 D．9或12 【例】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例． 已知ABC的三边分别为x，y，z．
（1）以2x，2y，2z为三边的三角形一定存在．
（2）以1()2xy，1()2yz，1()2zx为三边的三角形一定存在．
【例】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例． 已知ABC的三边分别为x，y，z．
⑴ 以1x、1y、1z为三边的三角形一定存在． ⑵ 以1xy、1yz、1zx为三边的三角形一定存在．
第三章 三角形 【例】一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( ) A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
【例】不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是 ． 【例】已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )． A．8 B．7 C．6 D．4 【例】已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且abc，如果7b，求满足题意的三角形的个数．
【例】周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x，且x满足不等式12327xx，这样的三角形有 个． 【例】设m、n、p均为自然数，足mnp，15mnp，试问以m、n、p为边长的三角形有多少个?
【例】若三角形的周长为60，求最大边的范围． 【例】用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 ． 【例】在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：
222221111等边三角形等腰三角形等边三角形653形状
示意图火柴数
① 4根火柴能搭成三角形吗？ ② 8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？
【例】如图，P是ABC内任意一点，求证： （1）PBPCABAC； （2）PA
PCB
A 【例】如图，在ABC中取一点P，使CPCB，求证：ABAP． PC
B
A
题型二、三角形的角及内角和 【例】如图，求ABCDE ．
EC
D
BA 【例】如图，127.5，295，338.5，求4的大小． 4321ABDEC
【例】如图所示，求ABCDEFGH的值． ABCDE
E
F
GH
O
【例】已知三角形的三个内角分别为、、，且≥≥，2，则的取值范围是 ． 【例】已知ABC的三个内角为A，B，C，令BC，CA，AB，则，，中锐角的个数至多为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【例】已知ABC的三个内角的比是:(1):(2)mmm，其中m是大于1的正整数，那么ABC是( ) A．锐角三角形． B．直角三角形． C．钝角三角形． D．等腰三角形． 【例】在ABC中，若2ABBC，2BA，判断ABC的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由．
【例】如下图所示，在ABC中，90ACB，D、E为AB上两点，若AEAC，45DCE，求证：BCBD． 5432
1
EDC
B
A
【例】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【例】若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边形的边数一定不小于 ． 【例】如右图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20，再向前走2米，再左拐20，如此下去，小明能否回到出发点A？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？
A2222
202020
【例】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．
第3个第2个第1个 【例】如右图所示，BD是ABC的角平分线，CD是ACB的角平分线，BD、CD交于D，试探索A与D之间的关系： ． A
BCD
【例】如右图所示，BD是ABC的外角平分线，CD也是ABC的外角平分线，BD、CD
交于点D，试探索A与D之间的关系： ．
A
BC
DEF
【例】如右图所示，BD是ABC的角平分线，CD是ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索A与D之间的关系： ．
A
BCDE 【例】如图所示，点E和D分别在ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分ACB和AED，试探索F与B，D的关系： ．
AB
C
DEFGH
【例】如图所示，DC平分ADB，EC平分AEB，试探索DCE与DBE和DAE的关系： ． ABCDE 【例】如图，在三角形ABC中，42A，ABC和ACB的三等分线分别交于D、E，求BDC的度数．
ABCDE
【例】如图，60A，线段BP、BE把ABC三等分，线段CP、CE把ACB三等分，则BPE的大小是 ．
EPCB
A
【例】如图，延长四边形ABCD对边AD，交BC于F，DC，AB交于E．若AED，AFB
的平分线交于O，求证：1()2EOFEAFBCD． ABCDE
F
O 【例】如图，BF是ABD的角平分线，CE是ACD角的平分线，BE与CF交于G，若140BDC，110BGC，求A的度数．
A
BCDEFG
题型三、全等的性质与判定 【例】两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A．两边和其中一边的对角对应相等 B．三个角对应相等 C．两角和一组对应边相等 D． 两边及第三边上的高对应相等 【例】考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个． 【例】已知ABC中，ABBCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个． 【例】如左下图所示，ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件： ①EBODCO；②BEOCDO；③BECD；④OBOC 上述四个条件中，哪两个条件可判定， ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；
A
BCDEO
【例】如右上图所示，ABCD∥，ACDB∥，ABCD，AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．
AFEODCB
【例】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
21EODC
BA
【例】如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．
FAEP
D
C
B 【例】我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等， 可证明如下：已知：ABC、111ABC均为锐角三角形，11ABAB，11BCBC，
1CC． 求证：111ABCABC≌． (请你将下列证明过程补充完整．) 证明：分别过点B，1B作BDAC于D，1111BDAC于1D．则
11190BDCBDC， ∵11BCBC，1CC， ∴111BCDBCD≌ ∴11BDBD
DCBAD
1
C
1
B1
A1
（2）归纳与叙述： 由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
