第三节 三角形的边和角-学而思培优

学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。

以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。

2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。

3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。

4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。

5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。

6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。

二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。

2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。

3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。

4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。

5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。

三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。

3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。

4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。

5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。

四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。

2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。

3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。

五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。

2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。

3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。

4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。

通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。

第三节勾 股定理及逆定理的综合二、核心纲要1．勾股定理与逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法．综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题．2.直角三角形的性质(1)角的关系 ：两锐角互余．(2)边的关系：勾股定理．(3)边角关系：30角所对的直角边等于斜边的一半．这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用．3．勾股定理及逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．掌握一些常见的基本图形：4．折叠的常见基本图形本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用三、全能突破基 础 演 练1．下面的判断：①在△ABC 中，,222c b a =/+则△ABC 不是直角三角形；②△ABC 是直角三角形，,90 =∠C 则 ;222c b a =+③若△ABC 中，,222c b a =-则△ABC 是直角三角形；④若△ABC 是直角三角形，则 ;))((2b c a a c =+-以上判断正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．图17 -3—1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是( )．m A 2. m B 3. m c 6. m D 9.3．如图17-3-2所示，在△ABC 中，,30,90=∠=∠B C AB 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，BD= 4cm ．则CD 的长为4．如图17-3-3所示，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．5．.一张直角三角形的纸片，按图17-3-4所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若,3,30==∠AC B则DC 的长为6．如图17-3-5所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知,10,8cm BC cm AB == 求△EFC 的面积．7．如图17-3-6所示，在△ABC 中，,2,30,45==∠=∠AB C B 求ABC s ∆的面积．能 力 提 升8．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中20,150==∠AB A米，=AC 30米，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元.9．如图17-3-8所示，长方形ABCD 中，,4,8==BC AB 将长方形沿AC 折叠，点D 落在/D 处，则重叠部 分△AFC 的面积是10．如图17-3-9所示，把长方形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在/C 处，折痕EF 与BD 交于点0，已知AB=16，AD=12，则折痕EF 的长为11.如图17 -3 -10所示，在△ABC 中，P BC AC ACB ,,90==∠ 是△ABC 内的一点，且,2,1==PC PB ,3=PA 将△PBC 绕点C 旋转后，与C AP /∆重合，连接,/PP 则=/PP BPC ∠,的度数为12.等腰三角形的一边长是12，另一边长是10，则其面积为13．如图17 -3 -11所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且,30=∠QPN 点A 处有一所中学，AP= 160m.假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？14.如图17 -3 -12所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A 、B ，已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角,30=∠AOM 新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米．(1)求新开发区A 到公路MN 的距离；(2)现要在MN 上某点P 处向新开发区A 、B 修两条公路PA 、PB ，使点P 到新开发区A 、B 的距离和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出时PA+PB 的值.15．(1)如图17 -3 -13所示，已知，在等腰,90,4,=∠==Φ∆ACB BC AC ABC Rt 点P 在线段BC 上，且,2=PC①若点D 在线段AB 上运动，求PD 的最小值；②若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．(2)如图17 -3 -14所示，已知，在△ABC 中，,90,6,8=∠==ACB BC AC 点P 在线段BC 上，且PC=2，若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．16.在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长’分别为,13105、、求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图17-3-15(a)所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上思维拓展(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为a a a 17132、、（a>0），请利用图17-3-15(b)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上探索创新(3)若△ABC 中有两边的长分别为),0(102>a a a 、且△ABC 的面积为,22a 试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的△ABC （全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上(4)利用上述解题方法完成下题：如图17-3-15(d)所示，一个六边形绿化区ABCDEF 被分割成7个部分，其中正方形ABQP 、CDRQ 、EFPR 的面积分别为13、20、29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF 的面积相等， 求六边形绿化区ABCDEF 的面积．17.如图17 -3 -16所示，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点F 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ．(1)证明：.222EF CE BF =+(2)若BF=12，CE=5，求△DEF 的面积．18.如图17 -3 -17所示，在△ABC 中，AM 是BC 边的中线，AE 为BC 边上的高．试判断2222BM AM AC AB ++与的关系．并说明理由．19.如图17 -3 -18所示，已知：AB MP CM AM C ⋅⊥==∠,,90于点P.求证：.222BC AP BP +=20．如图17 -3 -19所示，在Rt△ABC 中，AB CD ACB ⊥=∠,90于点D ，BE 平分∠CBA 交CD 于点F ，交CA 于点E ，且FG//AB 交CA 于点G ，若,5,13==BD BC(1)判断△CEF 的形状．(2)求AG 的长．21.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知Rt△ABC 中，==∠CA ACB ,90,45, =∠MCN CB 如图17-3-20(a)所示，当点M 、N 在AB 上时，则,.,222BN AM MN +=小颖的解题思路：如图17-3-20(b)所示，将△ACM 沿直线CM 对折，得,/CM A ∆连,/N A 进而证明,/BCN CN A ∆≅∆结论得证．【解决问题】当M 在BA 的延长线上，点N 在线段AB 上，其他条件不变，如图17-3-20 (c)所示，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出证明． 中 考 连 接22.（2011．山东烟台）如图17 -3 - 21所示，在四边形ABCD 中，,90 =∠ABC =+⊥22,CD AD AD CD 22AB(1)求证：AB=BC ．(2)当AD BE ⊥于点E 时，试证明：.CD AE BE +=23.（2012．山东荷泽）如图17-3-22所示，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，0为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点0落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标，巅 峰 突 破24.如图17-3-23所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH.若.10,6,8cm EG cm PG cm PF ===则长方形纸片ABCD 的面积为6.105.A 4.110.B 2.115.C 8.124.D25.探究：如图17-3-24所示，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作,,BD ED BD AB ⊥⊥连接AC 、 EC.已知.,8,1,5x CD BD DE AB ====设(1)用含x 的代数式表示AC+CE 的值．(2)请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值．拓展：仿照上面的方法，请用构图法求出代数式49)4(22+-+-x x (x 是任意实数)的最大值．。

初三寒假·第1讲·尖子班·学生版考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（sin cos tan A A A ，，）；知道304560︒︒︒，，角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构中考大纲剖析1中考第一轮复习三角形初三寒假·第1讲·尖子班·学生版一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．知识导航初三寒假·第1讲·尖子班·学生版45°60°2．特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含30︒和60︒的直角三角形”边的比：112∶∶边的比：132∶∶3．直角三角形中的特殊线．d cba“直角三角形斜边中线2c d =” acbh “直角三角形斜边高abh c=”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标 “万能法”其他方法 等腰三角形 lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为等腰三角形lP 4P 5P 3P 2P 1BA“两圆一垂”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为直角三角形BA P 1P 2P 3P 4l“两垂一圆”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①222AB BP AP =+ ②222BP AB AP =+ ③222AP AB BP =+ 列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.初三寒假·第1讲·尖子班·学生版五.相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .模块一 特殊三角形夯实基础初三寒假·第1讲·尖子班·学生版（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πC.πD.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 12BAC ∠=，BC =6，点D在边AC 上，且23AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.能力提升ACFEDB BC 第8题图QFMABC y xO CBA C BAO y x初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.夯实基础模块二 全等三角形PDCBACDABE初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =︒∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．QA图1ACP QQP A图2夯实基础模块三 相似三角形能力提升初三寒假·第1讲·尖子班·学生版图3图2图12n-1B 2C 2A B CB 1C 1C 1B1C B A【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，① 若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是________；② 若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是_________.（用含n 的式子表示，n 是正整数）．（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A能力提升【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．初三寒假·第1讲·尖子班·学生版初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°实战演练图1EDBA11初三寒假·第1讲·尖子班·学生版⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ．【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABCDABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．GFED CBAP F EA12初三寒假·第1讲·尖子班·学生版E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．图2图1EHABCD FGN NMGF ED CBA模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。

第三节 多边形的边和角一、课标导航。

二、核心纲要1.多边形的有关概念 (1)多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． (2)多边形的内角和外角：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的 延长线组成的角叫做多边形的外角．(3)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． (4)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．(5)凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫做凸多边形，否则称为凹多边形．注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形．2．多边形的内角和n 边形的内角和公式：.180)2(⋅-n 3．多边形的外角和 n 边形的外角和等于.360注：多边形的外角和与边数无关． 4．多边形的对角线的条数 多边形的对角线的条数为：).3(2)3(≥-n n n 5．镶嵌(1)定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起， 这类问题叫做平面镶嵌．(2)镶嵌的条件：拼在同一顶点的几个多边形的内角和恰好为.360注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形．（其中三角形和四边形是任意的）②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形， 本节重点讲解：一个条件（镶嵌的条件），两个概念（多边形的有关概念和镶嵌），两个定理（多边形的内角和及外角和定理）.三、全能突破基 础 演 练1．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( )． A.四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形2．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加 180”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加 180”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是 360”．你认为正确的是( ) A.甲和丁 B ．乙和丙 C ．丙和丁 D ．以上都不对3．小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正六边形 B ．正三角形、正五边形、正八边形 C ．正六边形、正五边形 D ．正八边形、正三角形4．如图11-3—1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，且BD ，CE 交于点F ，若=∠A,52 则BFC ∠的度数是( )．108.A 128.B 138.C 158.D5．如图11-3-2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )．2.πA 3.πB 4.πC π2.D6．如图11-3 -3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则=α7．如图11-3 -4所示，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．8．(1)已知，P AOB ,65=∠是平面上的任意一点，过点P 作,,OB PF OA PE ⊥⊥垂足分别为点E 、F 求∠EPF 的度数．(2)探究AOB EPF ∠∠与有什么关系？（直接写出结论）(3)通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？9．在四边形ABCD 中，,90=∠=∠D B(1)如图ll-3-5(a)所示，AE 、CF 分别是DCB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明． (2)如图ll-3-5(b)所示，AE 、CF 分别是HCB GAD ∠∠和的角平分线，直接写出AE 与CF 的位置关系； (3)如图ll-3-5(c)所示，AE 、CF 分别是ECB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明．能 力 提 升10.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )． A ．O B ．1 C ．3 D ．511.小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图ll-3-6(a)所示）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图ll-3-6(b)所示），他在△ABC 内先画了一个等边△DEF，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN)，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，么MDN 的度数应为( )．o A 100. 110.B 120.C 130.D12．已知：如图11-3 -7所示，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠I H G F E D C B A13.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，K 边形共有K 条对角线，则nK m )(-=14．(1) 一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为,2750这个多边形的边数为 ，除去的这个内角的度数为(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是则原来多边形的边数是 (3)一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为,500那么这个多边形的边数是15.遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针方向旋转角)1800(<<αα被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则α为16.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC 中，AB 、BC 是两腰，所以.BCA BAC ∠=∠利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点0，它们所夹的锐角为⋅321,,ααα如图11-3 -8所示：=1α =2α =3α当正多边形的边数是他（n>3）时，则=α17.已知：如图11-3 -9所示，在六边形ABCDEF 中，+∠=∠+∠+∠D C B A ,F E ∠+∠猜想可得六边形ABCDEF 中必有两条边是平行的． (1)根据图形写出你的猜想：(2)请证明你在(1)中写出的猜想．18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角)360(时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格，(2)如图11-3 -10所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形． (3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？(4)正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．19.阅读理解：如图11-3 -11所示，在正△ABC 中，M 、N 分别在BC 、AC 边上，若,60=∠AMN 则.21∠=∠小强是 这样论证的：‘．‘△ABC 是正三角形，.6011.603180+∠=∠+∠=∠∴==∠∴B AMC B又.21.602,60,2∠=∠∴+∠=∠∴=∠∠+∠=∠AMC AMN AMN AMC(1)类比应用：如图11-3 -12所示，将阅读理解中的正三角形换成正四边形ABCD ，M 、N 分别为BC 、CD 上的点，类似地：若=∠AMN ，则.21∠=∠请你用小强的证明方法论证． (2)拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图11-3 -13所示，ABCDEF--是正n 边形． 写出命题：20.如图11-3 -14所示，在四边形ABCD 中，ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，若;,βα=∠=∠D A(1)如图(a)所示，,180>+βα试用βα,表示 ,F ∠直接写出结论； (2)如图(b)所示，,180 <+βα请在图(b)中画出,F ∠并试用βα,表示 ;F ∠(3)一定存在F ∠吗？如有，写出F ∠的值，如不一定，直接写出βα,满足什么条件时，不存在.F ∠中 考 链 接21．（2012．北京）正十边形的每个外角等于( )．18.A 36.B 45.C 60.D22.（2012．四川德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的,23则这个多边形是23.（2012．河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图ll-3-15(a)所示，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图ll-3-15(b)所示，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．巅 峰 突 破24.凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( )． 4.A 5.B 6.C 7.D25．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为,2002则这个多边形的边数是26.如图11-3 -16所示，六边形ABCDEF 中，=∠=∠=∠=∠=∠E D C B A ,F ∠且,3,11=-=+CD FA BC AB 求DE BC +的值.。

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．OF E DCBAFEDCBADCB A F E O DC B A OD C BA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEFF DC BA【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB A【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEAM EDC B A【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBA MFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.家庭作业B AAMNB CD【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.月测备选ABCDEOC D B AFE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．BB C F ED C B A【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．BCF ED CB ABFGE DC B AFE A B D C【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)GEDCBAF EDCBAN MD C B A【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =． 求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．家庭作业图 6G E F D B C A F ED CB AD FE C B AA【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．ADOCBA B CD E OPDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥CB于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．家庭作业DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．（2）求证：CD=CEA CACB(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．G FEDCBAACBA CB【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAC HFE D B A【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ; FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC与EB 的位置关系，并写出推理过程．【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选A B C D E【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．APMCQB【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=o ，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=o ，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．E D C B A E D C B AO DC B AA BCD E【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M ND 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBAE D C BAA BCDMNPl【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．PBANMCBAMBOAlBA【例11】如图，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．【补充】例题中的条件不变，求DN MN-的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且2DM=，N是AC上的一个动点，则DN MN+的最小值是MDCBA【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．【习题4】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼家庭作业NMDCBA【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DOECB A NE BMADFEDCBA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDENMDCBA板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【习题1】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．21EABCDMNNM DCBA家庭作业CEDB AD CB A DECBA【备选1】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NC D E B M A。

第二节与三角形有关的角-学而思培优第二节与三角形有关的角本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。

同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。

1.三角形内角和定理及其应用三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。

这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。

2.三角形的外角三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。

它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

此外，三角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。

这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。

3.几何模型在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。

例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。

4.思想方法在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。

基础演练1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。

2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。

3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角形的顶角为100度。

4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。

2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。

3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角分是锐角三角形。

5.已知如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30度，则∠C的度数为150度。

6.已知如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于XXX60度，在B处测得灯塔C位于XXX25度，则∠ACB=95度。

7.已知如图11-2-5所示，∠XXX∠E+∠F，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为360度。

内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题模块一、与三角形有关的边１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段知识点睛中考要求与三角形有关的线段和角①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．模块二、与三角形有关的角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180︒．三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)． 三角形的外角和等于360︒． 三角形内角和定理的三个推论：推论1： 直角三角形的两个锐角互余．推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形内角和180︒的几种证明方法： ①添加平行线法：22112211②帕斯卡(法国数学家)折纸法：332211③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．三角形外角和360︒的证明法：CBA三角形按最大角的大小来分类：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形三角形的角与不等式：⒈若ABC ∆为锐角三角形，则090A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒； ⒉若ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，90A B C ∠=∠+∠=︒，B A C ∠=∠-∠，C A B ∠=∠-∠．⒊若ABC ∆为钝角三角形，且90A ∠>︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，090B C ︒<∠+∠<︒．模块三、多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质 ⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．例题精讲板块一、与三角形有关的线段【例1】若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A、2cmB、3cmC、7cmD、16cm【解析】已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．【答案】设第三边长为xcm．由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．【例2】如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【解析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．【答案】（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，三角形ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么三角形ADC和三角形ABE 的面积就相等．（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，图2GFEDCBA∴△AEC ≌△FBD ， ∴AC=FD ，AE=FB ， 在△AGD 中，AG+DG ＞AD ， 在△BFG 中，BG+FG ＞FB ，∴AG+DG ﹣AD ＞0，BG+FG ﹣FB ＞0， ∴AG+DG+BG+FG ﹣AD ﹣FB ＞0， 即AB+FD ＞AD+FB ∴AB+AC ＞AD+AE ．图1DCBA【例3】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是 ． 【解析】不妨设三角形三边长分别为a ，b ，c 且a b c <<，故2b a c =+，设三角形的面积为S ，则S S a k c a c ==:，则1k <，由a b c +>，2a c a c ++>，则13k >．故113k <<．【答案】113k <<【例10】 在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【解析】题目可以转化为，已知02a b c a c b a b c>>>⎧⎪+⎪=⎨⎪-<⎪⎩，求c a 的范围．由已知条件易得3c a c <<，即113ca<<，选B ．【答案】B【例11】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+ 【解析】∵a b c a b -<<+，∴22()a a b c a b <++<+，故选择B ．【答案】B【例12】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4 【解析】设5a b -=，由已知可得a b c ++为奇数，所以c 为偶数，且c a b >-，所以c 的最小值为6． 【答案】6【例13】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【解析】设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．【答案】12板块二、三角形内角和【例14】 如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，求4∠的大小．4321ABDEC【解析】Q 23ADC ∠=∠+∠， 14180ADC ∠+∠+∠=︒，∴2314180∠+∠+∠+∠=︒， ∴9538.527.54180︒+︒+︒+∠=︒， ∴419∠=︒．【答案】19︒【例15】 如图，求A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值．(2)A BC D EFGIH【解析】连接BE 、FI ，AE 、AF ，那么D C BED EBC ∠+∠=∠+∠，G H HIF IFG ∠+∠=∠+∠ A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()BAI ABC BED EBC =∠+∠+∠+∠+()DEF GFE HIF IFG AIH ∠+∠+∠+∠+∠BAI ABE BEF IFE AIF =∠+∠+∠+∠+∠3180540=⨯︒=︒ 【答案】540︒【例16】 如图，P 是ABC △内一点，试比较BPC ∠与A ∠的大小．PCBA【解析】略【答案】图中没有三角形的外角，可适当引辅助线构造外角，再比较．延长BP 交AC 于D ．则有BPC PDC ∠>∠，且PDC A ∠>∠，所以BPC A ∠>∠．A PCBD【例17】 已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．【解析】由题意可得2(180)3αβ=︒-，1803βγ︒-=，解不等式组2180(180)33βββ︒-︒-≥≥，得：4572β︒︒≤≤．【答案】4572β︒︒≤≤【例18】 已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围． 【解析】①若(180)x -度为最大角，则最小角为(156)x -度，那么，156180(180)(156)180x x x x ------≤≤，解得104112x ≤≤；②设(180)x -度是中间角，则121801222x xx --+≤≤，112128x ≤≤； ③设(180)x -度为最小角，则180180(180)(204)204x x x x ------≤≤，解得128136x ≤≤，综合⑴、⑵、⑶得x 的范围是104136x ≤≤．【答案】104136x ≤≤．【例19】 在锐角三角形ABC ∆中，AB BC AC >>，且最大内角比最小内角大24︒，则A ∠的取值范围是 ． 【解析】∵AB BC AC >>，∴C A B ∠>∠>∠．设B x ∠=︒，则24C x ∠=︒+︒， 180(24)1562A x x x ∠=︒-︒-︒+︒=︒-︒． ∴24156215622490x x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，解得4452x <<， 因此52156268x ︒<︒-︒<︒．故5268A ︒<∠<︒．【答案】5268A ︒<∠<︒【例20】 如右图所示，在ABC ∆中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．ABCDEFGO【解析】在BEO ∆和DCO ∆中，∵11118090222EBO ABF ABC ∠=∠+∠=⨯︒=︒同理90DCO ∠=︒∴EBO DCO ∠=∠∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠【答案】D E ∠=∠【例21】 如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．ABCDE FGH【解析】EGD ∆与CGF ∆中，EGD CGF ∠=∠∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠同理BHC ∆与FHE ∆中，BHC FHE ∠=∠ ∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠ ∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠∴2F D B ∠=∠+∠即1()2F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．【答案】1()2F D B ∠=∠+∠【例22】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关系： ．ABC DE【解析】连接DE ，∵在BDE ∆中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=︒ ∴180BDE BED DBE ∠+∠=︒-∠∵在ADE ∆中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=︒ 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=︒-∠+∠180(180)DBE DBE =︒-︒-∠=∠∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠在DCE ∆中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=︒∵1()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=︒-∠-∠-∠+∠11()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，即：1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠ABC DE【答案】1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠【例23】 如图，60A ∠=︒，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则BPE ∠的大小是 ．EPCBA【解析】思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=︒，故可以先考虑求出ABP ACP∠+∠的度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，12BPE BPC ∠=∠，这样只要求出ABC ACB ∠+∠的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出． 解法1 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线．即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒，又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分．所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，所以12()3BPE A ABC ACB ∠=∠+∠+∠，所以11601205026BPE ∠=⨯︒+⨯︒=︒．思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ∆中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23BCP ACB ∠=∠，23CBP ABC ∠=∠．解法2 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，所以PE 是BPC ∠的平分线，即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒．2()803BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，所以100BPC ∠=︒，所以1100502BPE ∠=⨯︒=︒．【点评】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．P 1C B AP 2P 1CB A易得结论：图1中有0011809022A AP +∠∠∠==+， 图2中有001180226033A AP +∠∠∠==+， 00001218029*********P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+． 【答案】50︒【习题1】如图，△ABC 中，已知AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的取值范围是（ ）课后作业A 、0＜x ＜3B 、x ＞3C 、3＜x ＜6D 、x ＞6【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x 的取值范围． 【答案】若△ABC 是等腰三角形，需满足的条件是：6﹣x ＜x ＜6+x ，解得x ＞3； 故选B ．【习题2】已知在ABC ∆中，8AB =，14BC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 【解析】8787AD -<<+，即115AD <<；【答案】115AD <<【习题3】设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【解析】由13a b c ++=，可知13a b c +=-，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，从而c 可取5、6又由a b c ≤≤，可知a 、b 、c 可取：3、5、5；4、4、5；1、6、6；2、5、6；3、4、6，共可组成5个三角形． 【答案】5个【习题4】如图所示，已知EGF BEG CFG ∠=∠+∠，试探索A B C D ∠+∠+∠+∠的度数．ABC D EFGMN【解析】略【答案】延长FG 交EB 于点O∵EGF BEG EOG ∠=∠+∠又∵EGF BEG CFG ∠=∠+∠ ∴EOG CFG ∠=∠，∴EB ∥FC∴180EMN FNM ∠+∠=o∵180()EMN A B ∠=-∠+∠o ，180()FNM C D ∠=-∠+∠o ∴180A B C D ∠+∠+∠+∠=o【习题5】如下图，ABC ∆中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．21ED B CA【解析】略【答案】260︒．【习题6】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【解析】25A B ∠=∠，依题意得2718055B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．【答案】175【习题7】如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．AB C DE【解析】∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵12DCE ACE ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠∴12DCE A DBC ∠=∠+∠∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即12D A ∠=∠【答案】12D A ∠=∠【习题8】如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．A BCDEFG【解析】延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠G F EDCBA H∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒【答案】80︒。

第三节 因式分解一、课标导航=、核心纲要1.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个 多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法互为逆变形式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．(3)注意事项①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．(4)在分解因式时，结果的形式要求①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．2．因式分解的常用方法及步骤(1)提取公因式法如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．(2)公式法①平方差公式：))((22b a b a b a -+=-(a)公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；(b)每一项都可以化成某个数或式的平方形式；(c)右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．②完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-(a)左边相当于一个二次三项式；(b)左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；(c)左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；(d)右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．③立方和差公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-欧拉公式：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= 特别地：①当0=++c b a 时，有;3333abc c b a =++②当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式．(3)十字相乘法一个二次三项式,2c bx ax ++若可以分解，则一定可以写成))((2211c x a c x a ++的形式，它的系数可以写成十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a 、b 、c ，使得：).)(()(,,,212212121b x a x ab x b a x b c a c a c c c a a a ++=+++=+==若ac b 42-不是一个平方数，那么二次三项式c bx ax ++2就不能在有理数范围内分解．(4)分组分解法将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．(5)分解因式的一般步骤一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．3．因式分解的高端方法(1)拆项、添项法将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解．注：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．(2)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法．属于拆项、补项法的一种特殊情况，也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形．(3)换元法对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.(4)主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项 式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解．(5)双十字相乘法双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式．条件：212121,,f f F c c C a a A ===① D f a f a E f c f c B c a c a =+=+=+122112211221,*,②即：D f a f aE f c f c B c a c a =+=+=+122112211221,,则))((22211122f y c x a f y c x a F Ey Dx Cy Bxy Ax ++++=+++++本节重点讲解：一个定义，九个方法，一个步骤 三、全能突破基 础 演 练1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )．bx ax b a x A -=-)(. 222)1)(1(1.y x x y x B ++-=+-)1)(1(1.2-+=-x x x C c b a x c bx ax D ++=++)(.2．(1)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是()．1.2+x A 12.2-+x x B 1.2++x x C 44.2++x x D(2)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )．22)(.b a A -+ mn m B 205.2- 22.y x C -- 9.2+-x D3．若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为( )． 6.A 6.±B 12.C 12.±D4．用适当的方法分解下列因式：2523468)1(y x z y x -2232231264)2(y x y x y x -+- n a b ab b a a n n ()(10)15)3(212---+（为正整数）m m 4)4(3-222216249)5(x y x y x ++5．用十字相乘法分解下列因式：67)1(2+-x x152)2(2--y y10113)3(2+-x x226)4(b ab a --22151112)5(y xy x --10)(3))(6(2-+-+y x y x能 力 提 升6．把b b a a 2222--+分解因式的结果是( )． )2)(2)(.(++-b a b a A )2)(.(++-b a b a B2))(.(++-b a b a c )2)(2.(22a b b a D --7．已知x 为有理数，则多项式1412-+-x x 的值( )． A ．-定是负数 B ．不可能为正数 C ．-定为正数 D ．可能为零、正、负数8．在实数范围内分解因式=-62a9．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果10.用简便方法计算： 2271.229.7)1(-545133.154547.23)2(⨯-⨯+⨯-11.请分解下列因式：bc ac ab a -+-2)1(3223)2(y xy y x x --+ca ab bc C b a 222)3(222⋅+--++1)4(2354-+-+-x x x x x3)23()5(2-+-+m x m mxk x x k +--2)2)(6(214)1()7(222+-+-n mn n m8292)8(234+--+x x x x12.已知a 、b 、c 满足,016,82=++=-c ab b a 求c b a ++2的值．13.设x 为正整数，试判断)2(510+++x x x 是质数还是合数，请说明理由．14．化简：,)1()1()1(120122x x x x x x x ++++++++ 且当2-=x 时，求原式的值．15.已知多项式m x x +-232有一个因式是,12+x 求m 的值．16.已知：,1,12222=+=+d c b a 且,0=+bd ac 求cd ab +的值．17.观察下列各式： 1)1)(1(2-=+-x x x123)1)(1(-=++-x x x x1)1)(1(423-=++⋅+-x x x x x……(1) 分解因式：=-15x(2)根据规律可得=+++--)1)(1(1x xx n （其中n 为正整数）． (3)计算：)133333)(13(2484950++++++-18．(1)若a ，b ，c 是三角形的三条边，求证：.02222<---bc c b a(2)在△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，且满足,23,2222=++=⇒++c b a c b a 试探究△ABC 的形状， (3)在△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，且满足,0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a 试探究△ABC 的形状．19．(1)分解因式：.)6)(3)(2)(1(2x x x x x +++++(2)求证：多项式100)2110)(4(22++--x x x 的值一定是非负数．20．分解因式：.4323+-x x 中 考 链 接21．（2012．潍坊）分解因式：=--x x x 1242322．（2011．天津）若实数x 、y 、z 满足,0))((4)(2=----z y y x z x 则下列式子一定成立的是( )． 0.=++z y x A 02.=-+z y x B 02=-+⋅x z y C 02.=-+y x z D23．(2012．宜宾)已知,22,183--=+-=xy x Q x xy P 当0=/x 时，723=-Q p 恒成立，则y 的值为 ．巅 峰 突 破24.已知等腰三角形ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，且满足,24=+++ca b bc a 则这样的三角形共 有 个．25．(1)分解因式：).(4)(22222y x xy y xy x +-++(2)分解因式：.)44()32)(13(42222-+--+--x x x x x x26.分解因式：.2910322-++--y x y xy x。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。

文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。

最后，文章提供了基础演练题目。

1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。

2.三角形的分类：按边分类。

3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。

4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。

2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。

3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。

2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。

3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。

6.三角形具有稳定性。

7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。

2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。

8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。

9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。

基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。

求估计池塘岸边A、B两点的距离。

已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。

3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。

4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。

第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要l.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：(1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系．(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律：12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)．n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)．n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)．1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)．1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)．)1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)．x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)．x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：⋅+2)1(,,21,15,10,6,3,1n n 2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算)．三、全能突破基 础 演 练1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：,,201,121,61,21161698442 y x y x y x y x --照此规律第6个整式是 ，第n 个（n≥1且为整数）整式是3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个．5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ．6．观察下列等式： ;531422⨯=-①;732522⨯=-②;933622⨯=-③;1134722⨯=-④…则第n （n 是正整数）个等式为 7．我们规定一种运算：,bc ad d c ba -=若,0124=-x x 则=x8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ，(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能 力 提 升9．已知：,,10244,2564,644,164,4454321 =====以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7 (a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )15.A 25.B 55.C 1225.D12．(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是 ． (2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为 ．13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥ 时，;1,=j i a 当j i <时，.0.i =j a 例如：当1,2==j i 时，.11,2,==a a j i 按此规定，=3,1a ．；表中的25个数中，共有 个1；计算.3,12,2,11,1,1a a a a a i i +⋅+⋅ 5,5,14,4,13,i i i a a a a a ⋅+⋅+的值为14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．15．已知,2,2≥≥n m 且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11．②在34的“分解”中最小的数是13．③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是16．有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则,2)1(,1)1(-=+Θ+=Θ+n b a n b a 若,211=Θ则=Θ2012201217.按图2-3-10所示的程序计算：若输入x = 100，输出结果是501，若输入x = 25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为 ． 18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 & # x -62 … …图2-3-11(1)可求得x= ．第2012个格子中的数为 ．(2)判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；19．阅读图2-3-12并回答下列问题：(1)若A 为785，则E= ；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中 考 链 接20．(2010．北京)图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即 →→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f"表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f ①,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f ② 利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f22．(1)（2009年·成宁）如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)（山东临沂中考）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：,1,123,5B D E F F A =+=+=+则=⨯C A巅 峰 突 破23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是24.对于两数a 和b ，给定一种运算,:ab b a b a -+=井“井”则在下列等式中： ;a b b a 井井①= ;0a a =井② ).()(c b a c b a 井井井井③=正确的是 (填序号）．25.正整数，n 小于100，并满足等式,]6[]3[]2[n n n n =++其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数 n 有多少个？。

第三节 角一、课标导航二、核心纲要1.角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关，这是因为角的边是射线而不是线段.定义2：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角． (2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角． 注：由角的定义可知：(1)角的组成部分为：两条边和一个顶点． (2)顶点是这两条边的交点．(3)角的两条边是射线，是无限延伸的．(4)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．(5)若没有特殊说明，本章指的角是180~0o之间． 2．角的表示方法(1)利用三个大写字母来表示，如图所示：注：顶点一定要写在中间，也可记为么BOA ，但不能写成么BAO 或么ABO 等．(2)利用一个大写字母来表示，如图所示：注：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．(3)用数字来表示角，如图所示：④用希腊字母来表示角，如图所示：3. 角的分类、度量及换算 (1)角的分类角按大小可分为三类：①锐角——小于直角的角)900( <<α②直角——等于 90的角)90( =α③钝角——大于直角而小于平角的角)18090( <<α(2)角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒，把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做.1 把一度的角60等份，每一份叫做1分的角，记做.1/把一分的角60等份，每一份叫做1秒的角，记做.1//1度=60分)601(/= 1分=60秒)601(///=(3)角的度量度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）4．角平分线定义：从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线． 用尺规做已知角的平分线方法作法：(1)以0点为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于A 、B 两点；(2)分别以A 、B 两点为圆心，以大于AB 21长为半径画弧，交于C 点； (3)过C 点作射线OC.射线OC 就是所求作的．5．余角和补角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”． 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”， 补角、余角的性质：同角或等角的补（余）角相等． 6.方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东××度”、“北偏西××度”、“南偏东××度”、“南偏西××度”，方位角a 的取值范围.900oo≤≤α“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”为西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向． 7.钟表问题钟表问题是指研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合等问题，注：分针每分钟走660360=度，时针每分钟走5.06030=度，分针每分钟比时针多走)5.06(-度. 本节重点讲解：一个方法（角的表示方法），一个性质（余角、补角的性质），四个概念（角、角平分线、余角和补角）．三、全能突破基 础 演 练1．在下列说法中，正确的是( )①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短； ④角的两边是两条射线．A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④2．如图4-3-1中角的表示方法正确的个数有( )个1.A2.B3.C4.D3．下列四个图形中，能用O AOB ∠∠∠,,1三种方法表示同一个角的是( )4．如图4-3-2所示，图中共有( )个角6.A7.B8.C9.D5．若,25.20,301520,1820////=∠=∠=∠C B A 则( )C B A A ∠>∠>∠. C A B B ∠>∠>∠. B C A C ∠>∠>∠. B A CD ∠>∠>∠.6．计算=o5.0)1( /= //=//3060)2( 0= /=0)601)(3( /= // = 81.32)4( 0 /= // =///0362451)5( 0=-⨯+0/0/0903********)6(=⨯+23645034)7(/0/0.7．(1)已知αα∠=∠求,1750/ 的余角和补角．(2)已知一个角的补角比它的余角的3倍多,10 求这个角的度数．8．时钟表面3点45分时，时针和分针所夹角的度数是多少？能 力 提 升9．上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( )A ．9时30分B ．10时5分C ．10时1155分D ．9时11832分10.张老师出门散步，出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针的夹角恰好为.110回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成110角．则张老师此次散步的时间是( ) A ．40分钟 B ．30分钟 C ．50分钟 D ．以上答案都不对11．如图4-3-3所示，0为直线AB 上一点，OC 平分,90,=∠∠DOE AOE 则以下结论正确的是( )AOD ∠①与BOE ∠互为余角； ;21COE AOD ∠=∠② ;2COD BOE ∠=∠③ ④若.561,5057/0/0=∠=∠COE BOE 则①④.A ①③④.B ③④.C ①②③④.D12.如图4-3-4所示，要将角钢(图4-3-4(a)弯成145(图4-3-4(b)的钢架，在角钢上截去的缺口（图4-3- 4(a)中的虚线）应为 度．13.如图4-3-5所示，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点0的位置）建立了位置指示图，直线CO 与DE 相交于点,90,0=∠COD O 请按要求完成下列问题：①若在图上测得,36,54,20 =∠=∠==AOE n mm OB mm OA 则可知场馆B 的位置是北偏西,36距中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36)．据此方法，场馆A 的位置可简记为( , )②可求得=∠BOA③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与 是互补的角．14.如图4-3-6所示，在锐角么AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……，照此规律，画10条不同射线，可得锐角多少个？画n 条射线，可得锐角多少个？15．画,60 =∠MAN 在边AM 上取,3cm AC =以点C 为顶点，CA 为一边，在AN 同侧作,90=∠ACP 在边AN 上截取,2cm AB =以点B 为顶点，BA 为一边，在AM 同侧作,900=∠ABQ BQ 与CP 交于点D ，请测量CD 、BD 的长及∠BAD 的度数．16.已知α的余角是β的补角的,31并且,23αβ=试求βα+的度数．17．如图4-3-7所示，若,61AOD COD AOB ∠=∠=∠已知,800=∠COB 求AOD AOB ∠∠、的度数．18．按如图4-3-8所示方法折纸，然后回答问题：(1) ∠2是多少度？为什么？ (2) ∠1与∠3有何关系？(3) ∠1与∠AEC ，∠3与∠BEF 分别有何关系？19．已知：如图4-3-9所示，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动射线(1)当OB 、OC 运动到如图的位置时，,50,110 =∠+∠=∠+∠COD AOB BOD AOC o 求∠AOD 的度数．(2)在(1)的条件下，射线OM 、ON 分别为COD AOB ∠∠、的平分线，当∠COB 绕着点0旋转时，下列结论：DON AOM ∠-∠①的值不变；MON ∠②的度数不变．可以证明，①②只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．20．现有一个c17的“模板”（如图4-3-10所示），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1的角来．中 考 链 接21．（2011．邵阳）如图4-3-11所示，已知0是直线AB 上一点，1∠,40=OD 平分∠BOC ，则∠2的度数是( )o A 20. o B 25. 30.C 70.D22. (2010．曲靖)从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )30.A 60.B 90.C 120.D巅 峰 突 破23.图4-3-12所示是一个3×3的正方形，则=∠++∠+∠+∠9.32124.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算)(151γβα++的值时，有三位同学分别算出了 252423、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则=++γβα25.已知∠AOB 是钝角，OC 、OD 、OE 是三条射线，如果OD OA OC ,(⊥平分OE AOB ,∠平分,BOC ∠那么DOE ∠的度数是。