七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题05三角形的再认识

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.4认识三角形专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•鼓楼区校级期中）下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC 的高，再结合图形进行判断即可．【解答】解：线段AD是△ABC中BC边上的高的图是选项C．故选：C．2．（2021秋•曾都区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【解答】解：△ABC的中线一定过该三角形的一顶点，观察图形，点E是AC的中点，边AC所对顶点为B，则BE是△ABC的中线．故选：B．3．（2022秋•路南区期中）如图，四根木条钉成一个四边形框架ABCD，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根【分析】根据三角形的稳定性，即可求解．【解答】解：根据三角形的稳定性可得：至少还需要添加木条1根时，框架稳固且不活动．故选：A．4．（2022秋•顺平县期中）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是（）A．两边之和大于第三边B．三角形稳定性C．两点之间线段最短D．两点确定一条直线【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：涉及的数学原理是三角形的稳定性，故选：B．5．（2022秋•西城区校级期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A．10 B．8 C．7 D．4【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得m的长大于0而小于8．故选：C．6．（2022秋•银海区期中）若2和8是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为（）A．20 B．18 C．17或19 D．18或20【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度，从而可以求出三角形的周长．【解答】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得8﹣2＜x＜8+2，即6＜x＜10，又∵第三边长是偶数，则x＝8．∴三角形的周长是2+8+8＝18；则该三角形的周长是18．故选：B．7．（2022秋•惠东县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，AE的中点，且S△ABC＝8m2，则阴影部分面积S＝（）cm2A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝2，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝1，则S△BEC＝2，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝1．【解答】解：∵点D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝4，∵点E为AD的中点，∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝2，∴S△EBC＝S△EBD+S△EDC＝4，∵点F为EC的中点，∴S△BEF＝S△BEC＝2，即阴影部分的面积为2cm2．故选：B．8．（2022秋•延平区校级月考）如图，AD、BE、CF是△ABC三边的中线，若S△ABC＝12，则图中的阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴AE＝CE，AG：GD＝2：1，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2021秋•乾安县期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．10．（2022春•姜堰区月考）已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，则AC的长度的取值范围是2＜AC＜4．【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC中，AB＝3，BC＝1，∴AC的长度的取值范围是：3﹣1＜AC＜3+1，即2＜AC＜4．故答案为：2＜AC＜4．11．（2021秋•岚山区期末）有四根长度分别是2，3，5，7的线段，从中选出三条线段首尾顺次相接围成三角形，则三角形的周长是15．【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：由题意知，3，5，7都能组成三角形，∴组成的三角形的周长为：3+5+7＝15．故答案为：15．12．（2021秋•盘山县期末）如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为4．【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【解答】解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，∴S△ABE＝S△ABC，∵△ABC的面积是24，∴S△ABE＝×24＝6．∵AE＝3，∴点B到AD的距离＝4，故答案为：4．13．（2022秋•浠水县期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是 4.8．【分析】根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴，∴AC•BC＝AB•CD，∴，即点C到AB的距离是4.8，故答案为：4.8．14．（2022春•沙坪坝区校级月考）若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝2c﹣2b．【分析】直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，∴a+b＞c，a+c＞b，a+b＞c，∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+2（c﹣a﹣b）＝a+b﹣c﹣b+c+a+2c﹣2a﹣2b＝2c﹣2b．故答案为：2c﹣2b．15．（2021秋•大荔县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝24cm2，则阴影部分△AEF的面积为3cm2．【分析】根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△AEC的面积，即可求得△AEF的面积．【解答】解：∵S△ABC＝24cm2，D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（cm2），。

11.1三角形的再认识
教学任务分析
教学流程安排
课前准备
教学过程设计
的内角（简称角）．三
角形的一条边与另一
边的反向延长线组成
的角，叫做三角形的
外角．
教师讲述．学习三角
形的表示
方法．学生解答，教师点评．及时巩固
三角形的
概念．
学生操作，教师巡视指导．动手感知三角形的三边关系．
学生回答，教师点评． 任意两边之和大于第三边．
我们还可以得出： 任意两边之差小于第三边．
总结三角形的三边
关系．
教师讲述．
学习特殊的三角形——等腰三角形． 并体会三角形的从属关系．
学生解答，教师点评． 及时巩固三角形的三边关系．
学生解答，教师点评． 深化对三边关系的认识．
三角。

七年级数学培优之三角形第七讲三角形典型例题：例1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<6例2．用12根等长火柴棒拼成一个三角形，不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数有 .例3．下列结论不正确的是( )A、三角形的三条高都在三角形的内部。

B、三角形的三条角平分线一定都在三角形的内部。

C、三角形的三条中线一定都在三角形的内部。

D、直角三角形的一条高在三角形的内部，另两条高是直角三角形的两直角边。

例4．直角三角形的两个锐角平分线所夹的角是 .例5．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于 .例6．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条 .例7．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 .例8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有个 .（8）（9）（10）（11）例9．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．例10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

例11．如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正确结论的个数有例12．已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例13．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。

七年级数学尖子生培优训练第五讲 线段和角典型例题：例1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）例2、由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）A 、AP=21AB B 、AB ＝2PB C 、AP ＝PB D 、AP ＝PB=21AB 例3、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围____ __ 。

例4、已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．例5、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度 ．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度 ．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少？例6、α为锐角，β为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算()βα+61时结果依次为10°，23°，46°，51°，其中只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？A B CD例7、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．例8、如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果（1）中∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；（3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？巩固提高：1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．baa+B．bab+C．ha b+D．ha h+2、已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=____________度3、若点B在直线AC上，下列表达式：①ACAB21=；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）A 2（a-b）B 2a-bC a+bD a-b5、已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）A DBM C N不考虑瓶子的厚度.A.12（∠1＋∠2）B.12∠1 C.12（∠1－∠2）D.12∠26、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7、已知∠1=71°28′36″，∠1的两边和∠2的两边互相垂直，那么∠2= 。

01三角形定义02三角形分类由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三角形定义及分类三角形内角和定理三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。

推论直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形外角性质三角形外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角。

应用利用外角性质求角度；利用外角性质证明两直线平行。

等腰、等边三角形特性等腰三角形特性两腰相等，两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等边三角形特性三边相等，三个内角都相等且均为60°；任意两边之和大于第三边；任意一边都大于另外两边之差。

SAS全等条件及应用举例SAS全等条件两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

应用举例在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS条件进行证明。

03两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

ASA 全等条件两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

AAS 全等条件在证明两个三角形全等时，如果已知两角及夹边或两角及一边相等，可以分别应用ASA 或AAS 条件进行证明。

应用举例ASA 与AAS 全等条件SSS全等条件及证明过程SSS全等条件三边对应相等的两个三角形全等。

证明过程通过构造辅助线或利用已知条件，证明两个三角形的三边分别对应相等，从而得出两个三角形全等的结论。

HL直角三角形全等条件HL全等条件一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

应用举例在证明两个直角三角形全等时，如果已知斜边和一条直角边相等，可以直接应用HL条件进行证明。

判定方法两角对应相等，则两三角形相似。

【引言概述】
【正文内容】
一、三角形的中位线和重心
1.1中位线的概念和性质
1.2重心的定义和性质
1.3重心和中位线的关系
1.4应用实例：利用中位线和重心进行三角形证明
二、三角形的高线和垂心
2.1高线的概念和性质
2.2垂心的定义和性质
2.3垂心和高线的关系
2.4应用实例：解决三角形的垂线问题
三、三角形的内切圆和外接圆
3.1内切圆的概念和性质
3.2外接圆的概念和性质
3.3内切圆和外接圆的关系
3.4应用实例：利用内切圆和外接圆解决面积问题
四、三角形的相似与全等
4.1相似三角形的概念和判定条件
4.2相似三角形的性质和应用
4.3全等三角形的概念和判定条件
4.4全等三角形的性质和应用
4.5应用实例：应用相似三角形和全等三角形解决实际问题
五、三角形的角平分线和垂直平分线
5.1角平分线的概念和性质
5.2垂直平分线的概念和性质
5.3角平分线和垂直平分线的关系
5.4应用实例：解决角平分线和垂直平分线问题
【总结】
通过上述的讨论，我们对三角形的一些高级概念和定理有了更加深入的理解。

中位线和重心、高线和垂心、内切圆和外接圆、相似与全等、角平分线和垂直平分线等概念和定理，对于解决三角形的证明、构造和计算问题具有重要的意义。

在实际应用中，这些概念和定理还可以用于解决各种几何问题、工程测量和建模分析等方面。

因此，深入认识三角形培优的学习对于数学爱好者和数学竞赛选手来说都具有重要的价值。

希望本文对读者能够提供一些思路和帮助，使其在学习和应用中能够更好地理解和运用三角形知识。

初一数学三角形辅导讲义年级：初一辅导科目：数学课时数：3课题三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质，探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念。

探索并掌握直角三角形的性质，探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件，体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

会算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行度、分、秒的简单换算，了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角等概念。

二、【三年中考】1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cmC．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()A．4 B．3 C．2 D．11．(2008·嘉兴)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．(2009·金华)如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是() A．32°B．58°C．68°D．60°9．(2008·温州)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是()A．32 B．64 C．128 D．25610．(2008·金华)把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C，B，E在同一条直线上，连结CD，若AC＝6 cm，则△BCD的面积是________ cm2.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1．由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．（二）三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。

初一数学第五章三角形第一节认识三角形北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第五章三角形第一节认识三角形【教学要求】1、本节主要研究三角形及有关概念，学习这些概念的文字表述、符号语言表达、图形表述，理解三角形的边、顶点、内角、角平分线、中线和高的概念，并能正确的画出一个三角形的角平分线、中线、高，从而逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力。

2、本节主要研究三角形三边的不等关系，并对已知三条线段能否组成三角形进行正确的判断，在研究过程中渗透了用代数方法解几何问题，逻辑推理等很重要的数学思想和方法。

3、（1）会按角的大小关系对三角形分类，并掌握锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰直角三角形的概念。

（2）掌握三角形内角和性质及直角三角形性质，并会运用它们说明有关角的问题。

（3）初步掌握添辅助线的方法。

（4）能应用三角形内角和性质解决有关问题。

【重点及难点】重点：三角形的有关概念、三边关系及内角和性质及推论等。

难点：对三角形三边关系的理解。

【课堂教学】［知识要点］一、三角形及其组成元素（1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（2）三角形的特征：A、不在同一条直线上。

B、三条线段C、首尾顺次连接（3）三角形的表示方法“三角形”用符号“△”表示，顶点是A、B、C、的三角形，记做“△ABC”，读做“三角形ABC”，三条边分别表示为AB、AC、BC，三个角分别表示为∠A、∠B、∠C。

二、三角形边、角相关性质及几种特殊三角形的有关概念1、三角形三边关系性质（1）三角形两边之和大于第三边（2）三角形两边之差小于第三边2、三角形三边关系性质的作用（1）判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形判断方法有三种：A、当a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b都成立时，能组成三角形。

认识三角形【知识点归纳】 三角形相关概念： 1. 三角形的有关线段：（1）三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形。

（2）三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差的绝对值小于第三边。

（3）三角形的高：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

（4）三角形的中线：联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。

（5）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②一个三角形中，三条中线交于三角形内一点；三条角平分线交于三角形内一点；三条高所在直线交于一点的位置情况有三种：锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在直线）的交点在三角形的外部。

如下图：E GBA2. 三角形的有关角：（1）三角形内角和性质：三角形的内角和等于︒180。

（2）三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

（3）三角形外角和性质：三角形的外角和等于︒360。

【例题精选】1. 如图所示，︒=∠28A ，︒=∠92BFC ，C B ∠=∠，求BDC ∠的度数。

AB2. 三角形的三边长分别为3、a 21-、8，求a 的取值范围。

3. 已知在△ABC 中，62=∠A ，BO 、CO 分别是ABC ∠、ACB ∠的平分线，且BO 、CO相交于O ，求BOC ∠的度数。

【基础练习】1. 下列说法正确的是（ ）A 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部B 直角三角形只有一条高C 三角形的三条至少有一条在三角形内D 钝角三角形的三条高均在三角形外2. 已知三条线段的长分别为cm 3,cm 5,xcm , x 为偶数，以3，5，x 为边能组成_____个不同三角形.3. 如图，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，40=∠XHF ，那么XYZ ∠= 度.4. ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且A B ∠=∠52，若B ∠的最大的值是m 最小值是n ,则n m += .5. 如图,在△ABC 中,C B ∠=∠,BC FD ⊥,AB DE ⊥,158=∠AFD , 则=∠EDF _______度.【巩固提高】1. 已知三条线段的比是: ①4:3:1; ②3:2:1; ③6:4:1; ④6:3:3; ⑤10:6:5; ⑥5:4:3. 其中可构成三角形的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2. （1）三条线段组成的图形叫三角形；（2）三角形的角平分线是射线；（3）三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；（4）任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角 平分线；（5）三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。

1893 年，在喀山大学建立起世界上第一个数学家的雕像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的首创人之一罗巴切夫斯基（17921856 ），他发现了一个逻辑完好性和严实性能够和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了30 多年，被誉为“几何学中的哥白尼”．24．认识三角形解读课标从房子的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中到处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不单是研究其余图形的基础，在解决实质问题中也有着宽泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的观点及基本因素——边与角，与边与角有关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有宽泛的应用．代数化及分类议论法是解与三角形基本因素有关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类议论即按边或角对三角形进行分类．问题解决例 1 在△ ABC 中，高BD和CE所在直线想交于O点，若△ ABC 不是直角三角形，且 A 60，则BOC _________度．试一试因三角形的高不必定在三角形内部，这样△ ABC 形状应分两种状况议论．例 2 如图，将纸片△ ABC 沿着DE折叠压平，则（）．A．A1212 C．1111 2B ． A A D． A2 3 4试一试在折叠动向变化中，不变关系是 B C AED ADE ，这是解本例的重点．DB1A 2EC例 3 （1）如图①，AD⊥BC于D，（ 2）如图②，若将点A在AE上挪动到否还有（ 1）中的关系？说明原因．（3）请你提出一个近似的问题．AE 均分BAC ，尝试寻DAE 与 C 、 B 的关系．F ，FD⊥BC于 D ，其余条件不变，那么EFD与 C 、 D 是A AFBEC BE DC D图①图②试一试关于（ 2），经过作协助线，将问题转变为（1）．例 4 如图①，已知 A 为x轴负半轴上一点， B 为x轴正半轴上一点， C 0 , 2 ， D 3, 2．1 的面积；（）求△BCD2AC⊥ BC ，作CBA的均分线交CO于P，交CA于Q，判断CPQ与CQP的大小（）如图②，若关系，并证明你的结论；（ 3）如图③，若ADC DAC ，点B在x轴正半轴上运动，ACB 的均分线 CE 交DA的延伸线于点E ，在 B 点的运动过程中，E的值能否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明原因．ABCyyyEABA BAOOxO xBxPQDC D C D C图①图②图③试一试关于（ 3）， ABC 可否用 E 的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的重点． 例 5 在三角形纸片内有 2008 个点，连同三角形纸片的 3 个极点，共有 2011 个点，在这些点中，没有三点在一条直线上． 问：以这 2011 个点为极点能把三角形纸片切割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不如先退一步，观察三角形内有一个点、两个点、三个点 的简单情况，有下表所示的关系：三角形的点数 可连线获得小三角形的个数1 3 2537 49不难发现，三角形内有一个点时，连线可获得 3 个小三角形，此后每增添一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个极点可获得三个小三角形，进而增添了两个小三角形，于是能够推出，当三角形内有 2008 个点时，连结可获得小三角形的个数为：3 2 20081 =4017 （个）．解法二整体核算法．设连线后把原三角形切割成 n 个小三角形，则它们的内角和为180 n ，又由于原三角形内每一个点为小三角形极点时，能为小三角形供给 360 的内角， 2008 个点共供给内角2008360 ，于是得方程 180 n 360 2008 180 ，解得 n 4017 ，即这 2008 个点能将原三角形纸片切割 成 4017 个小三角形．角均分线角均分线是联系角与角之间关系的纽带， 当角均分线与三角形相遇可生成内涵上有关系性、 解法上有共 通性的组图．例 6 1中的两内角均分线交于 P 点，两外角均分线交于 M 点，一内角均分线（ ）如图①，已知 △ ABC 与一外角均分线交于 N 点．试分别研究 BPC 、 M 、 N 与 A 关系；2ABCD 中，已知 ABD 与 ACD 的均分线交于点 E ，求证： E AD ．（ ）如图②， 在凹四边形2 ANAPE BCx D yyxBCM 图②图①剖析与解1BPC1 A ， M 90 11 （ ）90 A ， NA ．22 2（ 2）凹四边形 ABCD 形似“规形” ，易证 BDC A BC ．图②可分解为两个“规形” ，∵ BE 、 CE分别均分 ABD 、 ACD ， ∴ 可设 ABEDBEx ， ACE DCE y ．由（ 1）得 E A x y ，①DE x y ，②②-①得 D E E A ，∴ E A D 2．数学冲浪知识技术广场1．一副三角板叠在一同如图搁置，最小锐角的极点 D 恰巧放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC与 DE交于点 M ．若ADF 100 ，则BMD _________度．FC EMA BD2．一副三角板，如下图叠放在一同，则图中1的度数为_______．13．如图，△ ABC 中， A 80 ，剪去 A 后，获得四边形BCED ，则12_______．AD EB C4．如图，在△ ABC 中， A ，ABC 的均分线与ACD 的均分线交于点A1，得A1；A1 BC 的平分线与ACD 的均分线订交于点A2 ，得A2；， A2008 BC 的均分线与A2008 CD 的均分线订交于点A2009，1得A2009 ，则A2009 ________．AA1A2BC D5．如图，△ ABC 中， A 、 B 、C的外角分别记为、、．若: : 3:4:5 ，则A: B: C（）．A．3:2:1 B．1: 2:3 C．3: 4:5 D．5: 4:3AαβCBγ6．如图，BP是△ ABC 中ABC 的均分线， CP 是ACB 的邻补角的均分线．若ABP 20，ACP50 ，则 A P （）．A．70 B．80 C．90D．100APB MC7．在等腰△ ABC 中，AB AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12 两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）．A ．7 B．11 C．7或11 D．7或108．如图，△ ABC 中，ABDDBE EBC ， ACD DCE ECB ，若 BEC 145 ，则BDC 等于（）．A ．100 B．105 C．110 D．115ADEB C9．如图，已知射线OM与射线ON相互垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，ABM 、BAN 的均分线交于 C ．问：B、A在 OM 、 ON 上运动过程中， C 的度数能否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明原因．NCAO B M10 ．如图①，已知△ ABC 中，ABC ACB，D 为BC边上一点， E 为直线AC上一点，且 ADE AED ．（1）求证：BAD 2 CDE，（2）如图②，若D在BC的反向延伸线上，其余条件不变，（ 1）中的结论能否仍建立？证明你的结论．A AEB C DB C ED图①图②思想方法天地11．在△ ABC 中， A 50 ，高BE、 CF 交于 O ，且 O 不与B、 C 重合，则 BOC 的度数为_______．12．如图，已知 C ，B45 2，BAC45 3 ，AE均分BAD，则 CAE _______．DAEBC13．如图，BP 均分 ABC 交CD 于F，均分 ADC 交AB 于 E ，AB 与 CD 订交于 G ，假如A 42，DPC38 ，那么 P 的度数为 ________．ADPEGFCB14．如图， 已知 △ ABC 中， A ACB ，CP 均分 ACB ， BD 、CD 分别为 △ ABC 的两外角的均分线，给出以下结论：① CP ⊥ CD ；②D 901）．A ；③ PD ∥ AC ．此中正确结论的个数是（A ．0B ．1D ． 32C ． 2PAB C EFD15．如图， ABC 31 ，又BAC 的均分线 AE 与 FCB 的均分线 CE 订交于 E 点，则AEC 为（）．A ． 14.5B ． 15.5C ． 16.5D ． 20ABCDFE16 ．如图， △ ABC 中， BAC 90 ，AD ⊥ BC ， ABC 的均分线 BE 交 AD 于点 F ，AG 均分 DAC ．给出以下结论：① BADC ；② AEFAFE ；③ EBC C ；④ AG ⊥ EF ．此中正确的结论是 （ ）． A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③AEFBGCD17．平面内的四条线段 AB 、 BC 、 CD 、 DA 首尾按序连结，已知ABC 24 ， ADC 42 ．。