20181125小学奥数练习卷(知识点：最短线路问题)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：染色问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．102．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，463．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．64．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．42245．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有个．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有个．9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有个．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有条黑边．14．将一个8×8×8的立方体的三个面染红色，三个面染蓝色（要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色），然后将其切割成512个1×1×1的小立方体．这512个小立方体中，有个小立方体上既有红色面又有蓝色面．15．如图，5×5的方格中有三个小方格已经染黑．现在要将一个1×3的白长方形（不能选已经染黑的方格）染黑，要求其不能与已经染黑的方格产生公共边或者公共点．有种选法．16．这是一个由72个相同小四边形组成的图形，有一些四边形被病毒感染变成黑色．当某个健康的小四边形（白色），其周围至少有两个相邻的小四边形被感染时，则该四边形也将被感染变黑，依次扩散开来．那么至少再增加个病毒源（即黑色小四边形），可以使整个大图形都被感染．（相邻是指两个小四边形有公共边）．17．将一个4×4×4的立方体切割成64个1×1×1的小立方体，然后将其中16个1×1×1的小立方体染成红色，要求与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小正方体被染成红色，不同的染色方法有种（旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法）．18．小明想要对图中的每个小三角形进行染色，要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色．图中给出了某些边的颜色，则AB边应该染色．19．如图是一个被挖空的长方体，每个洞都是贯穿的，如果把它丢进染缸里，4个面染色的小正方体比3个面染色的小正方体多个．20．如图，一个长方形的表格有8列，将数字1，2，…按一定顺序填入表格中（从左往右填，等一行填满后进入下一行，还是从左往右填），一个学生先将填有数字1的格子涂黑，接下来跳过1个格子，将填有数字3的格子涂黑；接下来跳过2个格子，将填有数字6的格子涂黑；接下来跳过3个格子，将填有数字10的格子涂黑．依此类推，直到所有列都含有至少一个黑格为止（不再继续涂黑了）．那么，他涂黑的最后一个格子里的数字为．21．将1，2，3，4，5填入如图表格中（表中的字母和数字用来标注行、列或者小方格，比如D3就表示D行3列那个白色小方格），要求每行每列上的五个数互不相同，接下来给出一些提示：（1）第4列的黑色小方格内的数之和为9；（2）第C行的黑色小方格内的数之和为7；（3）第2列的白色小方格内的数之和为8；（4）第B行的黑色小方格内的数之和小于第D行的黑色小方格内的数之和．则D4中填的数字为．22．图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有种不同的涂色方法．23．如图所示的多面体叫做正二十面体，是5个柏拉图立体（正多面体）中的一个，这个多面体由20个面（正三角形）围成，现将这20个面着色，要求有共同棱的两个面染有不同的颜色，则至少需要种颜色．24．由一些顶点和边构成的图形称为一个图，对一个图用不同颜色给顶点染色，要求具有相同边的两个顶点染不同的颜色．称为图的点染色，图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少的颜色数，这个数称为图的色数．如图的图称为皮特森图，皮特森图的色数为．25．一块长、宽、高分别为15cm、12cm、9cm的长方体木块表面涂上红色后，将它切成大小相等的正方体且没有废料，至少可以切块，其中六个面都没有涂上红色的正方体有块．26．把一个棱长为n的大正方体表面涂上红色，然后切成n3个棱长为1的小正方体，经统计，恰好有一面涂红色的小正方体数量刚好是有三面涂红色的小正方体的12倍，那么n=．27．七个正方形拼成如图，我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：（1）至少涂其中的两个正方形；（2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）．那么，有种不同的涂色方法．28．我们有27个1×1×1的小立方体，将其拼成一个3×3×3的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如图所示，那么，六个面都是白色的小立方体最多有个．29．图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有个．30．将图中的边染色，要求有共同顶点的两个相邻的边染不同的颜色，则至少需要中颜色．31．四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．32．一个大正方形表面涂上红色后，按如图方式切成27个小正方形，这些小正方形中，恰好有三个面涂有红色的有个．33．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则至少需要种颜色．34．有9个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是2，3，4，…，9，10．将这些正方体都锯成棱长是1 的小正方体，在得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有个．35．用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体．将这个长方体的六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有个．36．如图是64个小正方体组成的大正方体，把它的表面全部涂上绿色，请回答：三面涂上绿色的小正方体有个．没有涂上绿色的小正方体有个．两面涂上绿色的小正方体有个．37．将图中的圆圈染色．要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．38．36个相同的小正方体叠成如图所示的长方体，取走A、B、C三个小正方体后，在这个几何体的整个表面涂满红漆，其中有个正方体是三面有漆的．39．x是一个正整数，将x×4×5的长方体的表面涂满红色后，锯成棱长全部是1的小正方体．这些正方体中，至少有一面是红色的小正方体有110个．那么，x=．40．由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是个．41．把一个大长方体表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块，那么可以把这个大长方体分割成个小长方体．A.20个B.27个C.32个D.42个．42．如图是一个变形的红十字一共分为六块区域．现在要用n种颜色对其染色，要求相邻的两块区域（有公共边的两块区域称为相邻）染成不同的颜色．如果颜色能反复使用，那么一共有种不同的染色方法（用n表示）．三．解答题（共8小题）43．将图中的O分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻O涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？44．7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．45．如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？46．三阶魔方的国际标准配色：白顶黄底，绿前蓝后，橙左红右．现在规定：白色═1，黄色═2，绿色═3，蓝色═4，橙色═5，红色═6．一个复原状态三阶魔方放在桌面上（如图1所示），今天这个魔方按照动态图片的方式打乱，最终变成图2的形态．此时图片中可以看到7个角块，那么看不到的那一个角块儿中与桌面完全接触的颜色代码是．47．用红、绿、蓝三种颜色涂正八面体（如图）的八个面，要求相邻面涂不同的颜色（有一条公共棱的面称为相邻面），一共有多少种不同的涂色方法？（旋转后相同的视为同一种涂色方法）48．下面是一张把4×6的方格纸去掉两个角所得的图形．（1）请把其中的一些格子涂上阴影，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个阴影方格和1个空白方格；（2）能否用11个1×2小长方形恰好拼满这张方格纸？如果能，请给出一种方法；如果不能，请说明理由．49．将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？50．在给你的卡纸上画有分别由1、2、3、4、5、6、7、8个小正三角形组成的8块拼板，并涂上黑、白两种颜色．（1）请你把这8块拼板剪下并拼成图1所示大的正三角形，且小三角形间的黑、白两种颜色必须相间．请在图1中用粗线条直接画出拼法，并标上每块拼板的标号．（2）图1的三角形金字塔我们称其为边长为6的金字塔（计每个小正三角形的边长为1）．图1金字塔中有个如图2所示的菱形．（注意，只要和图2中的形状一样即可，可旋转．）（3）是否存在整数n，使得边长为n的金字塔中菱形的个数为2012202201220132如果存在，请求出n；如果不存在，请证明．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．10【分析】本题考察染色问题．【解答】解：全部为红色或全部为黄色，2种；三红一黄或者三黄一红，4×2=8种，所以有同色三角形的染色方法有2+8=10（种），故选：D．【点评】本题只需简单分类进行枚举即可．2．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，46【分析】根据立体图形切拼可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：一面涂红的小正方体在每个面的中间，有：5﹣2=3（块），6﹣2=4（块），7﹣2=5（块）（3×4+3×5+4×5）×2=47×2=94（块）两面涂红的小正方体在12条棱的中间部分（除去顶点），有：（3+4+5）×4=12×4=48（块）答：其中一面涂红的小正方体有94块，两面涂红的小正方体有48块．故选：B．【点评】关键是理解正方体表面涂色的特点，知道切割后的小正方体涂色面的排列特点．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．3．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．【解答】解：①假设n=5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．②假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n=4的一种构造．故选：B．【点评】对于选择题（特别是类似本题的），我们可以用题目选项所给答案进行推理，而选项正确的答案．4．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．4224【分析】由题意，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，相邻的耕地种植的植物不能相同，如图所示，发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，求出中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，即可得出结论．【解答】解：如图所示发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，周围一圈3种植物，3×25﹣（A、F同色，相当于5个围一圈），5个围一圈=3×24﹣（4个围一圈），4个围一圈=3×23﹣（3个围一圈），3个围一圈=3×2×1=6，中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，所以总共有4×66×24=4224（种）故选：D．【点评】本题考查染色问题．分情况讨论，发现阴影六边形一圈是关键．5．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7【分析】按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．【解答】解：根据分析，按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法，如图：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．故选：C．【点评】本题考查染色问题，突破点是：逆向思维，推出按题意要求来染色只有一种符合条件，从而得出红色比蓝色的个数．二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有12个．【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部．【解答】解：两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有：（3﹣2）×12=12（个）故答案为：12．【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要4种颜色．【分析】要保证使用的颜色最少，则两个相邻的圆圈的颜色要尽可能多的相同，尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，据此解答即可．【解答】解：尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，如下图：【点评】本题考查染色问题．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有32个．【分析】设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，分有四种情形求解即可．【解答】解：设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，有四种情形：①1×1×12时，一面有色的正方体有2（1×1+1×12+1×12）=50个，②1×2×6时，一面有色的正方体有2（1×2+1×6+2×6）=40个，③1×3×4时，一面有色的正方体有2（1×3+1×4+3×4）=38个，④2×2×3时，一面有色的正方体有2×（2×2+2×3+2×3）=32个，综上所述，一面有色的正方体最少有32个．故答案为32．【点评】本题考查染色问题，记住长方体（a×b×c）的染色规律：①3面染色的有8个（与长方体的顶点有关）；②2面染色的有4[（a﹣2）+（b﹣2）+（c ﹣2）]个（与长方体的棱长有关）；③1面染色的有2[（a﹣2）（b﹣2）+（a ﹣2）（c﹣2）+（b﹣2）（c﹣2）]个（与长方体的表面积有关）；④0面染色的有（a﹣2）（b﹣2）（c﹣2）个（与长方体的体积有关）；9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要2种颜色．【分析】可以用不同的字母或数字表示不同的颜色，在图中进行标示，本题要求是有线段相连的两个圆圈颜色不同．【解答】解：用字母A、B、C…表示不同的颜色，先在左上角的圆圈填入A，为了使用的颜色种类尽量少，下一步在与它相连的三个圆圈都填入B，最后得到下面的涂色方法：共使用了2种颜色．故本题答案为：2．【点评】简单涂色类题目可以用标字母的方法，方便分析和解答．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是39．【分析】本题首先能想到根据染色问题进行分析，可将房间黑白相间染色，根据进口和出口所染颜色不同可知大盗应该经过了偶数个房间，因此最多经过8个房间，据此解答．【解答】解：借助染色解题，给3×3的方格黑白相同染色（如图），进口为黑格，若全部走完9个方格，出口应为黑格，而图中出口为白格，故至少有一个黑格不能走到，标数最小的（进口除外）应为6，即标6的房间无法进入，所以大盗能带走的宝物最多是45﹣6=39．故答案为：39．【点评】本题的突破口在于能用染色的方法进行解题，难度较大．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有14块．【分析】首先分析染色的方法，3个面的红色的上层的角块和下层的边块是符合条件的．【解答】解：依题意可知：第一层的共有4个角满足条件．第二层的4个角是4面红色，去掉所有的角块其余的符合条件．分别是3+2+3+2=10（个）；共10+4=14（个）；故答案为：14【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键是底面边长不同计算时要分开计算．同时注意底面是涂色的，问题解决．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有28个．【分析】首先分析棱上的小块，面上的除了空心通道以外其他是没有的，空心通道的数字计算出来相加即可．【解答】解：依题意可知：在大正方体的棱上的，上下各有6个，侧面棱上8个，棱上共20个．空心通道产生的上下各有2个，通道内有4个共8个．共20+8=28（个）．故答案为：28．【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键问题是从棱上分析再分析空心通道即可，问题解决．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有5条黑边．【分析】由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．再判断内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条．【解答】解：由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．每个小方格有3条黑边，5×5=25个小方格一共有3×25=75条黑边，而在5×5方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，故内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条，如图所示为5×5方格的四条长边上有5条黑边的例子，综上所述，5×5方格的四条长边（如图b所示）上最少有5条黑边．故答案为5．。

小学数学《最短路线》练习题【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。

【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A 点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？【例6】下图是一个城市道路图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F 的最短路程。

【例7】仍取上面拓展训练的图中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统．全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问沿什么路线修道最合理？【例8】有八栋居民楼A1、A2、…、A8分布在公路的两侧，如下图，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？【例9】有两条通讯路线A和B，如下图，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？【例10】要在两条街道（如下图）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？【作1】如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点．假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？【作2】一个小虫从圆柱体（如下图）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线。

小学奥数练习卷（知识点：体积的等积变形）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为10cm，水深9cm．将一个底面半径为5cm，高为15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为（）厘米．A．10B．12C．14D．15第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共19小题）2．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内．已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为cm．3．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．4．在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头．当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降．说法正确的是．5．一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是立方厘米．6．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．7．有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是厘米．8．一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多．9．一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是厘米．10．把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加平方厘米．11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下．12．如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是cm3．13．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为厘米．14．如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降厘米．15．一位拉面师傅，拉出的面条很细很细．他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到l.6米，又再对折拉长到1.6米，…，如此继续进行下去．最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有米．（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费．）16．已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高米．17．把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.14升．如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是分米．18．圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深厘米．19．如图，有两个长方体水箱中装有水．甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，水面高10厘米．现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高厘米．（水箱厚度不计．20．往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒人的啤酒量，也会因倒人的方法不同而不同．如图，往深度为30厘米的圆柱形的容器里倒入500毫升的啤酒，从容器的底部到以上15厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）．然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上x高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）．x的值是．三．解答题（共30小题）21．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？22．一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米．在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？23．设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？24．一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？25．一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米．如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？26．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？27．在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中，放人一个棱长为10厘米的正方体石块．这时鱼缸内的水上升了厘米，鱼缸水的高度达到厘米．28．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？29．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？30．在一只底面半径为10cm的圆柱形玻璃瓶中，水深8cm，要在瓶中放入长和宽都是8cm，高15cm的一块铁块．（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？（得数保留一位小数）（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？31．有一空的长方体容器A和装有21厘米深水的圆柱体容器B，其中B的底面积是A的3倍，现在将B中的水倒一部分到A中，使B中水深是A中水深的2倍，那么A容器的水深将是多少？32．如图，瓶子高20cm，内装300mL油，油面高12cm；若将其倒立则油面高16cm．这个瓶子可装油多少毫升？33．图中，A，B是两个圆柱形水槽，内直径分别是60厘米和20厘米，底部用带阀门的管子相连，（解题中不考虑管子的容积）①关上阀门，分别向A，B 里注入50.24升水后，两个水槽的水面高度相差几厘米？②打开阀门，水面离槽底的高度有几厘米？34．如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据沙从上面的容器漏到下面的容器的数量计量时间的．（单位：cm）（1）这时沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？（2）这时沙漏下部沙子的体积是多少立方厘米？35．一个由三个长方形、两个相同的直角三角形拼合成的三棱柱形的封闭容器里存有一些水，当如图中方式放置时，水面高2厘米，如果改变方式放置时，水高最少为几厘米？最高为几厘米？（必须有一个面水平贴地）36．一个长方体容器，长90厘米，宽40厘米．容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？37．一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？38．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？39．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高1 1分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？40．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）41．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？42．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？43．如图所示是一个用牛皮纸紧绕成的纸筒，纸筒长40厘米，外直径是38厘米，中间有一直径是18厘米的轴洞，已知牛皮纸的厚度是0.5毫米，求这筒纸展开后大约有多少米．（π取3.14）44．甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4：5，甲容器水深8厘米，乙容器水深12厘米，再往两个容器注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？45．把一个底面积是12.56平方厘米的圆锥形钢件，放入长6.28cm，宽6cm的装有水的长方体容器内，水面升高1cm．这个钢件的高是多少厘米？46．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米？47．一个长方体的水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米，放进一块棱长是20厘米的正方体后，这时水面高多少厘米？48．将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．49．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米．把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2厘米，这块铁块的体积是多少？50．有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了厘米．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为10cm，水深9cm．将一个底面半径为5cm，高为15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为（）厘米．A．10B．12C．14D．15【分析】放入铁圆柱前后的水的体积不变，根据水深9厘米，可以先求得水的体积，那么放入铁圆柱后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度．【解答】解：3.14×102×9÷（3.14×102﹣3.14×52），=2826÷235.5=12（厘米）；答：此时水深为12厘米．故选：B．【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了铁棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题．二．填空题（共19小题）2．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内．已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为27cm．【分析】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8小正方体的体积，然后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm．根据原来水的体积+铁块的体积﹣露出水面的铁块的体积，列方程解答即可．【解答】解：30×30×30﹣10×10×10×8=27000﹣8000=19000（立方厘米）设放入铁块后水面高度变为xcm．2500x=2500×20+19000﹣10×10×（30﹣x）×52000x=54000x=27答：放入铁块后水面高度变为27cm．故答案为：27．【点评】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分．3．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高15厘米．【分析】根据题意知道圆柱形容器的水面下降的3.2cm的水的体积就是两个圆锥形铁块的体积，由此再根据圆锥的体积公式的变形，h=3V÷s，即可求出铁块的高．【解答】解：圆锥形铁块的体积是：3.14×（10÷2）2×3.2÷2=3.14×25×3.2÷2=251.2÷2=125.6（cm3）铁块的高是：125.6×3÷[3.14×（）2]=125.6×3÷50.24=7.5（cm）答：铁块的高是7.5cm．【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据下降的水的体积求得圆锥铁块的体积是本题的关键．4．在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头．当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降．说法正确的是小华．【分析】石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降．问题得以解决．【解答】解：石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降，正确的是小华．故答案为：小华．【点评】本题主要是考察了同等质量相同的水和石头的体积的大小关系．5．一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是5832立方厘米．【分析】根据题意，把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，首先求出水面上升的高度，16厘米﹣12厘米=4厘米，石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，但考虑到石块可能会露出水面，所以假设块棱长是16厘米，则体积为：16×16×16=4096（立方厘米）．比5184小，所以石块有部分露出水面，所以要先求出石块的底面积，进而求出体积，由此解答．【解答】解：54×24×（16﹣12）=1296×4，=5184（立方厘米）；若石块棱长是16厘米，则体积为：16×16×16=4096（立方厘米）．比5184小，所以石块有部分露出水面．石块的底面积是：5184÷16=324（平方厘米），324=18×18，所以石块的棱长是18厘米．石块的体积是：18×18×18=5832（立方厘米）．答：石块的体积是5832立方厘米．故答案为：5832．【点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解决这类物体，注意，要判断石块是否完全浸没在水中，再根据长方体的体积计算方法解答．6．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．【分析】圆柱与圆锥的底面半径和高都相等，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，又因20﹣5＞20÷3，所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱，则圆柱内沙子的高度应该是5+20÷3，据此即可得解．【解答】解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3=11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．【点评】解答此题的主要依据是：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍．7．有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是7厘米．【分析】按题意，放进铁块后，水面高度肯定小于铁块高度，而油面可能漫过铁块，故可以先求的水面的高，再利用体积变形求得油层的高．【解答】解：根据分析，水高=16×12×6÷（16×12﹣8×8）=9（厘米），设油层高为x厘米，故：油层的体积V=16×12×6=（12﹣9）×（16×12﹣8×8）+（x﹣3）×16×12，解得：x=7．即：油层的层高是7厘米．故答案是：7【点评】本题考查了体积的等积变形，本题突破点是：先求出水高，再求油层高．8．一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多48．【分析】首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：v=abh，用体积除以长除以宽求出高，由正方体的表面积公式：s=6a2，长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式求出它们的表面积差即可．【解答】解：长方体的高：12×12×12÷（18×8）=1728÷144=12，（18×8+18×12+8×12）×2﹣12×12×6=（144+216+96）×2﹣144×6=456×2﹣864=912﹣864=48．故答案为：48．【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用．9．一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是 5.4厘米．【分析】先根据圆柱的体积计算公式：V=πr2h，求出水的体积，然后设圆柱体容器的高是h厘米，根据圆柱的体积计算公式，求出圆柱体体积，有题意可知：长方体铁块的高即圆柱容器的高，则长方体铁块的高也是h厘米，进而根据长方体体积计算公式，求出长方体铁块的体积，进而根据：水体积+长方体体积=圆柱体体积，列出方程，解答即可．【解答】解：设圆柱体容器的高是h厘米，则：π×62×4.8+4×3×h=π×62×h3×36×4.8=（3×36﹣12）h96h=518.4h=5.4答：长方体的高是5.4厘米．故答案为：5.4．【点评】明确长方体铁块的高即圆柱容器的高，是解答此题的关键．10．把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加1666平方厘米．【分析】把正方体的橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，但体积不变，首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，改成棱长为整厘米数的一个长方体，要使表面积最大，则改成底面边长为1厘米，高为512厘米长方体．根据长方体的表面积公式求出这个长方体的表面积，然后与正方体的表面积进行比较即可．【解答】解：因为512=8×8×8，所以正方体的棱长是8厘米，正方体的表面积：8×8×6=384（平方厘米）；把这个正方体改捏成底面边长1厘米，高为512厘米长方体，长方体的表面积：1×1×2+1×512×4=2+2048=2050（平方厘米）；2050﹣384=1666（平方厘米）；答：表面积最多能增加1666平方厘米．故答案为：1666．【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用．11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下．【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300=200（立方厘米），一颗玻璃球的体积最少是：200÷5=40（立方厘米），因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下．故选：C．【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．12．如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3．【分析】通过画图分析，结合题意，得出立体图形有8个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积=棱长3，三棱锥的体积=sh，三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，代入数值，计算即可得出结论．【解答】解：×（6×6×6）﹣×（6×6÷2）×6，=108﹣36，=72（立方厘米）；答：正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3．故答案为：8，72．【点评】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可．13．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为6厘米．【分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为26﹣16=10（厘米）空气柱的体积，所以瓶的容积是：π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米）；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：π×（10÷2）2×26﹣550π=100π（立方厘米）；这部分多的体积相当于水瓶中圆锥部分的体积的2倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高．【解答】解：26﹣16=10（厘米），π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米），π×（10÷2）2×26﹣550π=100π（立方厘米），100π÷2÷÷[π×（10÷2）2]=6（厘米）；。

∴ ．
故选 ．
11.【答案】C
【解答】
解：∵ ，
∴此时 ，
∵点 与点 关于 对称， 平分 ，
∴ ，
在 中， ．
即 的最小值为 ．
故选 ．
12．解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，
∴AH＝ AC＝12，
∵BD平分∠ABC，
问题：某正方体盒子，如图左边下方 处有一只蚂蚁，从 处爬行到侧棱 上的中点 点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
34.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是度．
（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．
（1）如图 为 ，有点 , ， ，则线段 的“对称点”是________．（填“ ”" "或" "）
如图 为线段 的“完美对称点”， 为线段 的中点， 为线段 的一个“对称点”，则 的最小值为________．
14.如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， ，动点 在 边上，连接 ， ，则 的最小值是________．
A． B．
C． D．
3.如图，点 ， 在直线 的同侧，若要用尺规在直线 上确定一点 ，使得 最短，则下列作图正确的是（）
A. B. C. D .
4.如图，一圆柱高 ，底面半径为 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是( )
A. B. C. D.
5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）