20181125小学奥数练习卷(知识点：体积的等积变形)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：体积的等积变形）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为10cm，水深9cm．将一个底面半径为5cm，高为15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为（）厘米．A．10B．12C．14D．15第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共19小题）2．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内．已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为cm．3．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．4．在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头．当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降．说法正确的是．5．一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是立方厘米．6．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．7．有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是厘米．8．一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多．9．一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是厘米．10．把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加平方厘米．11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下．12．如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是cm3．13．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为厘米．14．如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降厘米．15．一位拉面师傅，拉出的面条很细很细．他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到l.6米，又再对折拉长到1.6米，…，如此继续进行下去．最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有米．（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费．）16．已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高米．17．把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.14升．如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是分米．18．圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深厘米．19．如图，有两个长方体水箱中装有水．甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，水面高10厘米．现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高厘米．（水箱厚度不计．20．往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒人的啤酒量，也会因倒人的方法不同而不同．如图，往深度为30厘米的圆柱形的容器里倒入500毫升的啤酒，从容器的底部到以上15厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）．然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上x高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）．x的值是．三．解答题（共30小题）21．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？22．一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米．在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？23．设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？24．一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？25．一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米．如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？26．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？27．在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中，放人一个棱长为10厘米的正方体石块．这时鱼缸内的水上升了厘米，鱼缸水的高度达到厘米．28．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？29．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？30．在一只底面半径为10cm的圆柱形玻璃瓶中，水深8cm，要在瓶中放入长和宽都是8cm，高15cm的一块铁块．（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？（得数保留一位小数）（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？31．有一空的长方体容器A和装有21厘米深水的圆柱体容器B，其中B的底面积是A的3倍，现在将B中的水倒一部分到A中，使B中水深是A中水深的2倍，那么A容器的水深将是多少？32．如图，瓶子高20cm，内装300mL油，油面高12cm；若将其倒立则油面高16cm．这个瓶子可装油多少毫升？33．图中，A，B是两个圆柱形水槽，内直径分别是60厘米和20厘米，底部用带阀门的管子相连，（解题中不考虑管子的容积）①关上阀门，分别向A，B 里注入50.24升水后，两个水槽的水面高度相差几厘米？②打开阀门，水面离槽底的高度有几厘米？34．如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据沙从上面的容器漏到下面的容器的数量计量时间的．（单位：cm）（1）这时沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？（2）这时沙漏下部沙子的体积是多少立方厘米？35．一个由三个长方形、两个相同的直角三角形拼合成的三棱柱形的封闭容器里存有一些水，当如图中方式放置时，水面高2厘米，如果改变方式放置时，水高最少为几厘米？最高为几厘米？（必须有一个面水平贴地）36．一个长方体容器，长90厘米，宽40厘米．容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？37．一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？38．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？39．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高1 1分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？40．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）41．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？42．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？43．如图所示是一个用牛皮纸紧绕成的纸筒，纸筒长40厘米，外直径是38厘米，中间有一直径是18厘米的轴洞，已知牛皮纸的厚度是0.5毫米，求这筒纸展开后大约有多少米．（π取3.14）44．甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4：5，甲容器水深8厘米，乙容器水深12厘米，再往两个容器注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？45．把一个底面积是12.56平方厘米的圆锥形钢件，放入长6.28cm，宽6cm的装有水的长方体容器内，水面升高1cm．这个钢件的高是多少厘米？46．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米？47．一个长方体的水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米，放进一块棱长是20厘米的正方体后，这时水面高多少厘米？48．将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．49．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米．把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2厘米，这块铁块的体积是多少？50．有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了厘米．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为10cm，水深9cm．将一个底面半径为5cm，高为15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为（）厘米．A．10B．12C．14D．15【分析】放入铁圆柱前后的水的体积不变，根据水深9厘米，可以先求得水的体积，那么放入铁圆柱后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度．【解答】解：3.14×102×9÷（3.14×102﹣3.14×52），=2826÷235.5=12（厘米）；答：此时水深为12厘米．故选：B．【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了铁棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题．二．填空题（共19小题）2．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内．已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为27cm．【分析】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8小正方体的体积，然后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm．根据原来水的体积+铁块的体积﹣露出水面的铁块的体积，列方程解答即可．【解答】解：30×30×30﹣10×10×10×8=27000﹣8000=19000（立方厘米）设放入铁块后水面高度变为xcm．2500x=2500×20+19000﹣10×10×（30﹣x）×52000x=54000x=27答：放入铁块后水面高度变为27cm．故答案为：27．【点评】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分．3．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高15厘米．【分析】根据题意知道圆柱形容器的水面下降的3.2cm的水的体积就是两个圆锥形铁块的体积，由此再根据圆锥的体积公式的变形，h=3V÷s，即可求出铁块的高．【解答】解：圆锥形铁块的体积是：3.14×（10÷2）2×3.2÷2=3.14×25×3.2÷2=251.2÷2=125.6（cm3）铁块的高是：125.6×3÷[3.14×（）2]=125.6×3÷50.24=7.5（cm）答：铁块的高是7.5cm．【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据下降的水的体积求得圆锥铁块的体积是本题的关键．4．在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头．当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降．说法正确的是小华．【分析】石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降．问题得以解决．【解答】解：石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降，正确的是小华．故答案为：小华．【点评】本题主要是考察了同等质量相同的水和石头的体积的大小关系．5．一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是5832立方厘米．【分析】根据题意，把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，首先求出水面上升的高度，16厘米﹣12厘米=4厘米，石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，但考虑到石块可能会露出水面，所以假设块棱长是16厘米，则体积为：16×16×16=4096（立方厘米）．比5184小，所以石块有部分露出水面，所以要先求出石块的底面积，进而求出体积，由此解答．【解答】解：54×24×（16﹣12）=1296×4，=5184（立方厘米）；若石块棱长是16厘米，则体积为：16×16×16=4096（立方厘米）．比5184小，所以石块有部分露出水面．石块的底面积是：5184÷16=324（平方厘米），324=18×18，所以石块的棱长是18厘米．石块的体积是：18×18×18=5832（立方厘米）．答：石块的体积是5832立方厘米．故答案为：5832．【点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解决这类物体，注意，要判断石块是否完全浸没在水中，再根据长方体的体积计算方法解答．6．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．【分析】圆柱与圆锥的底面半径和高都相等，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，又因20﹣5＞20÷3，所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱，则圆柱内沙子的高度应该是5+20÷3，据此即可得解．【解答】解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3=11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．【点评】解答此题的主要依据是：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍．7．有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是7厘米．【分析】按题意，放进铁块后，水面高度肯定小于铁块高度，而油面可能漫过铁块，故可以先求的水面的高，再利用体积变形求得油层的高．【解答】解：根据分析，水高=16×12×6÷（16×12﹣8×8）=9（厘米），设油层高为x厘米，故：油层的体积V=16×12×6=（12﹣9）×（16×12﹣8×8）+（x﹣3）×16×12，解得：x=7．即：油层的层高是7厘米．故答案是：7【点评】本题考查了体积的等积变形，本题突破点是：先求出水高，再求油层高．8．一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多48．【分析】首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：v=abh，用体积除以长除以宽求出高，由正方体的表面积公式：s=6a2，长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式求出它们的表面积差即可．【解答】解：长方体的高：12×12×12÷（18×8）=1728÷144=12，（18×8+18×12+8×12）×2﹣12×12×6=（144+216+96）×2﹣144×6=456×2﹣864=912﹣864=48．故答案为：48．【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用．9．一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是 5.4厘米．【分析】先根据圆柱的体积计算公式：V=πr2h，求出水的体积，然后设圆柱体容器的高是h厘米，根据圆柱的体积计算公式，求出圆柱体体积，有题意可知：长方体铁块的高即圆柱容器的高，则长方体铁块的高也是h厘米，进而根据长方体体积计算公式，求出长方体铁块的体积，进而根据：水体积+长方体体积=圆柱体体积，列出方程，解答即可．【解答】解：设圆柱体容器的高是h厘米，则：π×62×4.8+4×3×h=π×62×h3×36×4.8=（3×36﹣12）h96h=518.4h=5.4答：长方体的高是5.4厘米．故答案为：5.4．【点评】明确长方体铁块的高即圆柱容器的高，是解答此题的关键．10．把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加1666平方厘米．【分析】把正方体的橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，但体积不变，首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，改成棱长为整厘米数的一个长方体，要使表面积最大，则改成底面边长为1厘米，高为512厘米长方体．根据长方体的表面积公式求出这个长方体的表面积，然后与正方体的表面积进行比较即可．【解答】解：因为512=8×8×8，所以正方体的棱长是8厘米，正方体的表面积：8×8×6=384（平方厘米）；把这个正方体改捏成底面边长1厘米，高为512厘米长方体，长方体的表面积：1×1×2+1×512×4=2+2048=2050（平方厘米）；2050﹣384=1666（平方厘米）；答：表面积最多能增加1666平方厘米．故答案为：1666．【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用．11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下．【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300=200（立方厘米），一颗玻璃球的体积最少是：200÷5=40（立方厘米），因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下．故选：C．【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．12．如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3．【分析】通过画图分析，结合题意，得出立体图形有8个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积=棱长3，三棱锥的体积=sh，三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，代入数值，计算即可得出结论．【解答】解：×（6×6×6）﹣×（6×6÷2）×6，=108﹣36，=72（立方厘米）；答：正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3．故答案为：8，72．【点评】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可．13．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为6厘米．【分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为26﹣16=10（厘米）空气柱的体积，所以瓶的容积是：π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米）；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：π×（10÷2）2×26﹣550π=100π（立方厘米）；这部分多的体积相当于水瓶中圆锥部分的体积的2倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高．【解答】解：26﹣16=10（厘米），π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米），π×（10÷2）2×26﹣550π=100π（立方厘米），100π÷2÷÷[π×（10÷2）2]=6（厘米）；。

第五讲长方体、正方体的表面积和体积等积变形例一、一个装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。

现将一个底面积为16平方厘米的长方体铁块竖放入水底，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？分析：根据题意可知，水槽中的水的体积在放入铁块后没有变化，依然是80×8=640（立方厘米），这时底面积为80-16=64（平方厘米）。

根据体积=底面积×高，再求出现在的水深。

80×8÷（80-16）=640÷64=10（厘米）答：现在水深是10厘米。

巩固练习1（1）一个底面积为360平方厘米的水槽内，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放入水槽底部，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？（2）在一个长5分米、宽4分米、高6分米的水箱中，水深4分米，现将一个底面边长20厘米、高10分米的的长方体铁块，竖放入水底，现在水面距离水箱口多少分米？（3）一个底面积为1200平方厘米、深为30厘米的水槽内，水深10厘米，现将一个底面边长为20厘米的长方体铁块竖放入水底，这时铁块仍高于水面，现在水面高是多少厘米？例二、有一个长方体水槽，它的底面是边长是边长为20厘米的正方形，有一段横截面积是80平方厘米的长方形钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出以后，水槽的水面下降了3厘米，求这段钢材的长。

分析：根据题意可知，钢材的体积相当于水槽内下降部分的体积，即20×20×3=1200（立方厘米），再根据横截面面积×长=体积，求出这段钢材的长。

20×20×3÷8=1200÷80=15（厘米）答：这段钢材的长是15厘米。

巩固练习2（1）在一个棱长是24厘米的正方体容器中注入水。

有一根横截面积是192平方厘米的长方形铁棒浸没在水中，当把铁棒从容器中取出后，容器中的水面下降了5厘米，求这根铁棒的长度。

小升初数学精选真题汇编集训（全国通用）专题25《体积的等积变形》一、认真想一想，选出正确的答案1.（2020·綦江）把一个高为30cm的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底的圆柱形容器里，水面的高度是（）cm。

A. 10B. 30C. 60D. 902.（2020·惠阳）将一个圆柱体铝块熔铸成圆锥体，它的（）不变。

A. 体积B. 表面积C. 底面积D. 侧面积3.（2019·株洲）一个底面直径是6cm的圆柱形容器中盛有一些水，现将一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了x cm（水无溢出）。

这个圆锥形铁块的体积是（）cm3.A. 36πxB. 12πxC. 9πxD. 3πx4.（2019·商丘）把一块长方体钢坯铸造成一根直径为6dm的圆柱形钢筋，钢筋的长度是（）dm。

A. 7.5B. 10C. 155.（2018·开州）如图所示是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将4颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。

根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围为（）。

A. 20cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，40cm3以下C. 40cm3以上，50cm3以下D. 50cm3以上，60cm3以下二、认真思考，填写正确的答案6.（2020·兴化）一个无盖长方体玻璃金鱼缸长是8分米，宽4分米，高6分米；制作这个金鱼缸至少要玻璃________平方分米，这个金鱼缸（玻璃厚度忽略不计）装满水约是________升，将这些水全部倒入底面积24平方分米的圆柱形容器，水面高度是________分米。

7.（2020·兴化）如图，把一个底面周长是25.12分米、高10分米的圆柱体切拼成一个近似的长方体。

这个长方体的表面积是________平方分米，体积是________立方分米。

小学奥数练习卷（知识点：圆）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）A．路线A长B．路线B长C．同样长D．无法比较2．如图，长方形的ABCD，长4，宽2，分别以A、C为圆心，以4、2为半径，画圆弧和圆弧，则阴影部分面积是（）（π=3.14）A．8.265B．7.5C．6.7D．5.73．如图所示，有两个大小相等的正方形，它们的边平行，并且覆盖在一个半径为3厘米的圆上．阴影的总面积是（）平方厘米．（π取3）A．9B．10C．15D．184．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A．淘气的剪法利用率高B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样D．无法判断第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共41小题）5．如图，直角三角ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=40厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积小92平方厘米，则BC=．6．正方形ABCD的边长为4，DCEF为梯形，圆周率π取3.14，那么，阴影部分的面积是．7．八段圆弧围成如图阴影部分，其中四段圆弧的圆心在一个正方形的四个顶点处，另外四段圆弧的圆心在这个正方形四条边的中点处．这八段圆弧的半径相同，正方形的对角线长度为1，那么阴影部分的面积之和为（答案保留π）8．如图中长方形的长是5厘米，宽是4厘米．阴影部分的周长是厘米．（π取3.14）9．如图，阴影部分的面积是平方厘米．（单位：厘米）10．如图，正方形ABCD的边长为10，以A为圆心10为半径作弧交AC于E，以B为圆心10为半径作弧交BD于F，以C为圆心10为半径作弧交AC于G，以D为圆心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是．（π取3.14）11．如图，正方形ABCD边长为40厘米，其中M、N、P、Q为所在的中点：分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是平方厘米．（π 取3.14）12．如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3，则阴影部分图形的周长为，面积为（圆周率用π表示）13．如图是一个对称的四角星形，其中四个顶点构成一个正方形，另外四个顶点在一个圆周上，正方形的边长为10厘米，阴影部分面积是正方形面积的，那么圆的半径为厘米．14．如图，一个半径为10的圆内接两个正方形，这两个正方形重叠的部分刚好构成一个正八边形，那么这个正八边形的面积与图中阴影部分的面积差为．（π取3.14）15．如图，正方形边长为80厘米，O为正方形中心，A为OB中点，在正方形内以A点为圆心，OA为半径的圆，以B点为圆心，OB为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形．将这个图形绕O点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状．那么这个风车（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3.14）16．如图所示，已知最大的圆的直径是100cm，则最小的圆的直径是cm．17．在如图所示的10×12的网格图中，猴子KING的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，图中阴影部分的面积是．（圆周率π取3）18．如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，那么，图中阴影部分的面积是．19．如图所示的网格图中，猴子KING的图片是由若干个圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，则阴影部分的面积是．【圆周率取3】20．如图，圆0的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径画弧AB，则阴影部分面积是平方厘米．21．如图，有四种大小不同的圆，直径从小到大依次为5、10、15、20厘米．那么，图中阴影部分面积之和是平方厘米．（π取3.14）22．如图，半径为4厘米的两个圆如图放置，长方形中两块阴影部分面积相等，A、B两点为两圆圆心，那么AB的长度为厘米．（π取3）23．埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了个计算圆的面积的公式：S=（）2．其中，d是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率π取值为（保留两位小数）．24．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，那么分别以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和为平方厘米．（π取3.14）25．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成，如取π=3，则图中黑色阴影部分的面积是平方厘米．26．如图中阴影部分的面积与空白部分的面积比是．（取π=3）27．如图，以点O为圆心，r和R（r＜R）为半径，分别作两个圆，介于这两圆之间的部分称为圆环．已知，阴影部分的面积为60平方厘米，则圆环的面积是平方厘米（π取值3.14）．28．如图，若大圆的半径为6，则阴影部分的面积为（答案保留π）．29．如图所示，圆的半径是10厘米，圆内部的弧都过此圆的圆心，且此圆的圆周恰好被弧六等分，那么，阴影部分的周长是厘米．（圆周率取3）30．如图，在面积为10000平方厘米的长方形中剪去一个大半圆和两个相等的小半圆，那么余下部分（图中阴影）面积是平方厘米．（π取3.14）31．在荷兰的小镇卡茨林赫弗尔2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为24.2m，19.3m，4.9m．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即图中的阴影部分所示的图形．那么该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为（圆周率用π表示）．32．如图，已知圆的半径是10厘米，六条直径将圆十二等分，那么，阴影面积之和是平方厘米．（π取3.14）33．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）34．如图所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，7，则图中阴影部分的面积是平方米．（π取3）35．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成．如果π=3，则图中黑色阴影部分的面积是平方厘米．36．如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长和宽的比值是．37．如图，圆的半径是6分米，正六边形的六个顶点均在圆上，则阴影部分面积为．（其中π取3.14）38．三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米．AB长40厘米，BC长为厘米（π取3.14）．39．如图，取π=3，则阴影部分的面积是．40．如图所示，一个圆AOB，半径是10厘米，绕A点顺时针旋转90度，扫过的面积（即整个图形的面积）是平方厘米．（π=3 ）41．一个圆A的周长与面积的数值相等，另一个圆B的半径是圆A半径的4倍，则圆B的面积为平方厘米（本题中所有的单位都是厘米，答案保留π）．42．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分Ⅱ的面积为（用圆周率π表示）．43．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分I与II的面积之和为（圆周率用π表示）．44．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长为2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置．在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3）45．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA=10，则阴影部分的面积是．（π取3）三．解答题（共5小题）46．图中扇形半径都是4厘米，求阴影部分的面积．47．三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影1的面积比阴影2的面积大19平方厘米，那么BC的长度是多少厘米？48．求阴影部分面积（单位：厘米）．圆内接正方形（如图）的面积是10平方厘米，求阴影部分面积．49．如图，三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米，AB和CD垂直且过这三个圆的共有圆心O，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．50．有一根6厘米长的绳子，它的一端固定在长是2厘米、宽是1厘米的长方形的一个顶点A处（如图），让绳子另一端C与边AB在一条线上，然后把它按顺时针方向绕长方形一周，绳子扫过的面积是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）A．路线A长B．路线B长C．同样长D．无法比较【分析】由图知道小圆的直径是大圆的半径，利用圆的周长公式C=2πr或πd分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：设小圆的直径为d，则大圆的半径为d，A路线的长度为：2πd÷2=πd，B路线的长度为：πd÷2+πd÷2=πd；所以A、B两条路的长度一样长．故选：C．【点评】本题主要是灵活利用圆的周长公式解决问题．2．如图，长方形的ABCD，长4，宽2，分别以A、C为圆心，以4、2为半径，画圆弧和圆弧，则阴影部分面积是（）（π=3.14）A．8.265B．7.5C．6.7D．5.7【分析】根据图形，可知阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积），代入数据，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积）=﹣﹣（4×2﹣）=5.7，故选：D．【点评】本题考查阴影面积的计算，考查扇形的面积公式，确定阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积）是关键．3．如图所示，有两个大小相等的正方形，它们的边平行，并且覆盖在一个半径为3厘米的圆上．阴影的总面积是（）平方厘米．（π取3）A．9B．10C．15D．18【分析】如图连接BD、AC．根据S阴=S圆﹣S正方形ABCD计算即可．【解答】解：如图连接BD、AC．∵四边形ABCD是正方形，AC=BD=6，∴S阴=S圆﹣S正方形ABCD=π•32﹣×6×6=27﹣18=9，故选：A．【点评】本题考查圆的面积公式、正方形的面积公式等知识，记住正方形的面积等于边长的平方，也可以等于对角线乘积的一半．4．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A．淘气的剪法利用率高B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样D．无法判断【分析】要求两个人的利用率情况，因为淘气是用正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），假设正方形的边长是9厘米，则能求出圆的面积，进而再比较即可．【解答】解：设正方形的边长是9厘米，则正方形的面积是：9×9=81（平方厘米）淘气：圆的半径是9÷2=4.5（厘米）用的材料的面积是3.14×4.52=3.14×20.25=63.585（平方厘米）；63.585÷81=0.785=78.5%；笑笑：大圆的直径是9厘米，小圆的半径是9÷3÷2=1.5（厘米），3.14×1.52×7=3.14×2.25×7=49.455（平方厘米）；49.455÷63.585≈0.778=77.8%；78.5%＞77.8%．答：淘气的利用率高．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握百分率的意义及应用以及圆的面积公式的运用，利用赋值法，通过计算后进行比较即可．二．填空题（共41小题）5．如图，直角三角ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=40厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积小92平方厘米，则BC=36厘米．【分析】由图可知：阴影（I）+空白=半圆，阴影（II）+空白=直角三角形ABC，由此可知半圆的面积比直角三角形ABC的面积少92平方厘米，据此分析解答即可．【解答】解：3.14×（40÷2）2÷2=628（平方厘米）628+92=720（平方厘米）720×2÷40=36（厘米）故填：36厘米【点评】本题考查的是圆和三角形面积公式的灵活运用，关键是要理解半圆的面积比直角三角形ABC的面积少92平方厘米，据此分析解答即可．6．正方形ABCD的边长为4，DCEF为梯形，圆周率π取3.14，那么，阴影部分的面积是4．【分析】由题意，阴影部分由两部分组成，左半部分面积为﹣=2π﹣4，右半部分面积为﹣=8﹣2π，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意，阴影部分由两部分组成，左半部分面积为﹣=2π﹣4，右半部分面积为﹣=8﹣2π，所以阴影部分的面积是2π﹣4+8﹣2π=4，故答案为4．【点评】本题考查阴影面积的计算，考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．7．八段圆弧围成如图阴影部分，其中四段圆弧的圆心在一个正方形的四个顶点处，另外四段圆弧的圆心在这个正方形四条边的中点处．这八段圆弧的半径相同，正方形的对角线长度为1，那么阴影部分的面积之和为π﹣（答案保留π）【分析】设正中间的阴影部分的面积为a，旁边小是阴影部分的面积为b．想办法求出a、b的值即可解决问题．【解答】解：设正中间的阴影部分的面积为a，旁边小是阴影部分的面积为b．由题意圆的半径为，b=正方形EFGH的面积﹣圆面积=﹣π，4a+b=π，∴4a=π﹣，∴阴影部分的面积=8a+b=π﹣+﹣π=π﹣，故答案为π﹣．【点评】本题考查圆、正方形的面积等知识，学会利用未知数，构建方程解决问题是解题的关键．8．如图中长方形的长是5厘米，宽是4厘米．阴影部分的周长是20.28厘米．（π取3.14）【分析】根据题意可得，阴影部分的周长=圆周长的一半+长方形的两条长+长方形的宽；据此解答即可．【解答】解：3.14×4÷2+5×2+4=6.28+10+4=20.28（厘米）答：阴影部分的周长是20.28厘米．故答案为：20.28．【点评】本题属于求组合图形周长的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的周长和，然后根据周长公式解答即可．9．如图，阴影部分的面积是19.26平方厘米．（单位：厘米）【分析】如图：把①部分补到②部分，则阴影部分的面积=扇形的面积﹣直角边是6厘米的三角形面积的一半，运用圆的面积公式和三角形的面积公式解答即可．【解答】解：3.14×62÷4﹣6×6÷2÷2=28.26﹣9=19.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是19.26平方厘米．故答案为：19.26．【点评】这类问题，要根据图形特点进行割补，寻求问题突破点．10．如图，正方形ABCD的边长为10，以A为圆心10为半径作弧交AC于E，以B为圆心10为半径作弧交BD于F，以C为圆心10为半径作弧交AC于G，以D为圆心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是57．（π取3.14）=S扇形AOB﹣S△AOB即可求解．【分析】弄清楚S阴影部分BOE【解答】解：如图所示，设AC、BD的交点为O在图中，∠BAO=45°、OA 2=OB 2=；=S扇形AOB﹣S△AOB=×πr2﹣×OA×OB=（×π×102﹣）则：S阴影部分BOE=；=57．整个阴影部分面积=4S阴影部分BOE故：应该填57．【点评】此类题主要弄清部分或全部阴影部分面积的组成即可．11．如图，正方形ABCD边长为40厘米，其中M、N、P、Q为所在的中点：分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是344平方厘米．（π 取3.14）【分析】从图中可以求出看出：阴影部分面积=正方形ABCD的面积﹣四个四分之一圆的面积=正方形ABCD的面积﹣1个圆的面积【解答】解：小圆的半径=20厘米；一个小圆的面积=πγ2=1256平方厘米；阴影部分面积=正方形ABCD的面积﹣1个圆的面积=40×40﹣1256=344平方厘米．故：应该填344．【点评】找出阴影部分面积的等量关系即可．12．如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3，则阴影部分图形的周长为21π，面积为（圆周率用π表示）【分析】由题意，阴影部分图形的周长由两部分组成，外周是以3为半径的大圆，内周是5个以为半径的圆的一半与10个以为半径的圆；面积为大圆面积减去5个半圆的面积．【解答】解：由题意，阴影部分图形的周长由两部分组成，外周是以3为半径的大圆，周长为2π×3=6π，内周是5个以为半径的圆的一半，周长为2π××=π，10个以为半径的圆，周长为2π××=π，所以阴影部分图形的周长为6π+π+π=21π；面积为大圆面积减去5个半圆的面积，即=，故答案为：21π；．【点评】本题考查不规则图形的周长与面积的计算，考查分割法的运用，正确分割是关键．13．如图是一个对称的四角星形，其中四个顶点构成一个正方形，另外四个顶点在一个圆周上，正方形的边长为10厘米，阴影部分面积是正方形面积的，那么圆的半径为厘米．【分析】如图所示，△AOB面积是阴影部分面积的，是正方形面积的，即=厘米2，求出三角形的高，即可求出圆的半径．【解答】解：如图所示，△AOB面积是阴影部分面积的，是正方形面积的，即=厘米2，由于OA=，所以△AOB的高为h==，因为∠AOB=45°，所以OB=h=，即圆的半径为厘米，故答案为．【点评】本题考查圆的半径，考查图形面积的计算，正确求出三角形的高是关键．14．如图，一个半径为10的圆内接两个正方形，这两个正方形重叠的部分刚好构成一个正八边形，那么这个正八边形的面积与图中阴影部分的面积差为86．（π取3.14）【分析】只要证明S八边形﹣S阴=S正方形﹣S圆+S正方形即可解决问题．【解答】解：由图象可知，S圆﹣S正方形=S阴+4•S小三角形，∴S阴=S圆﹣S正方形﹣4•S小三角形，∵S八边形=S正方形﹣4•S小三角形，∴S八边形﹣S阴=（S正方形﹣4•S小三角形）﹣（S圆﹣S正方形﹣4•S小三角形）=S正方形﹣S圆+S正方形=2××202﹣π•102=86．故答案为86．【点评】本题考查圆、正方形的性质、正八边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用分割法，得出S八边形﹣S阴=S正方形﹣S圆+S正方形．15．如图，正方形边长为80厘米，O为正方形中心，A为OB中点，在正方形内以A点为圆心，OA为半径的圆，以B点为圆心，OB为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形．将这个图形绕O点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状．那么这个风车（阴影部分）的面积是912平方厘米．（π取3.14）【分析】首先分析其中一部分的阴影面积等于扇形面积减去小圆的面积再减去小三角形的面积即可．图中三角形OBC的面积为80×80÷4=1600（平方厘米）．可得出OB2=1600．OB2=3200．继续计算即可．【解答】解：依题意可知：图中三角形OBC的面积为80×80÷4=1600（平方厘米）．可得出OB2=1600．OB2=3200．∵∠OBC=45°．八分之一的圆的面积为πOB2=400×3.14=1256（平方厘米）．OA2==800．四分之一的圆的面积为：πOA2=628（平方厘米）．小三角形的面积是整个三角形OBC的四分之一．1600÷4=400（平方厘米）．一个小阴影的面积为：1256﹣628﹣400=228（平方厘米）．整个阴影面积为：228×4=912（平方厘米）．故答案为：912【点评】本题考查对圆的理解和运用，关键是找到阴影面积转换成标准图形的面积差，问题解决．16．如图所示，已知最大的圆的直径是100cm，则最小的圆的直径是50cm．【分析】可以利用勾股定理先求得最大正方形的边长，再求得第二大圆的半径，然后再求得第二大的正方形的边长，从而最后求得最小圆的半径．【解答】解：根据分析，如图，先求最大的正方形的边长，由勾股定理，得：AC2+OC2=OA2⇒=OC2；=×⇒OD=故最小圆的直径==50（cm）故答案是：50．【点评】本题考查了圆的直径，突破点是：利用圆的半径和正方形的边长以及勾股定理求得圆的半径．17．在如图所示的10×12的网格图中，猴子KING的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，图中阴影部分的面积是21.5．（圆周率π取3）【分析】按题意，可以将猴子KING的图中空白部分分割，而阴影部分的面积可以用圆的面积减去中间空白部分的面积，中间空白部分由一个长方形和两个半圆，以及两个圆组成．【解答】解：由图可知，圆的直径有8个方格，故可得：每个小方格的边长=8÷8=1，a和b部分的面积=2××π×12===4.5；c和d部分的面积==4π=4×3=12；矩形的面积=2×5=10；最大的圆的面积=π×42=16×3=48，故阴影部分的面积=最大的圆的面积﹣a和b部分的面积﹣c和d部分的面积﹣c 和d之间的矩形的面积=48﹣4.5﹣12﹣10=21.5．故答案是：21.5．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：利用大圆的面积减去中间空白部分的面积即可求得阴影部分的面积．18．如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，那么，图中阴影部分的面积是40．【分析】按题意，设小圆半径为a，可以利用勾股定理得到小圆面积和半圆面积的关系：a2+（2a）2=r2，解得：，进而求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，πr2=100，可得πr2=200，设小圆的半径为a，则根据勾股定理可得：a2+（2a）2=r2，解得：，故阴影部分的面积=πa2===40．故答案是：40．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：利用勾股定理求得圆的半径，再求得圆的面积．19．如图所示的网格图中，猴子KING的图片是由若干个圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，则阴影部分的面积是21.5．【圆周率取3】【分析】首先计算最大圆的面积然后与空白部分的面积做差即可．【解答】解：依题意可知：小方格的长度是8个小格代表8，那么每一个就是1．大圆的面积为：4×4×3=48．空格部分的面积分为半径为2的圆，和半径为1的圆的1.5倍和2×5的长方形．空格的面积为3×2×2+3×1×1.5+2×5=26.5那么阴影的面积为：48﹣26.5=21.5【点评】本题考查圆的面积的理解和运用，关键问题是求出圆中空白的部分面积做差即可，问题解决．20．如图，圆0的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径画弧AB，则阴影部分面积是100平方厘米．【分析】按题意，利用已知，阴影部分的面积等于半圆的面积减去弓形的面积．【解答】解：根据分析，连接AC，BC，因为AB为直径，且AB与CD互相垂直，则有：AC2+BC2=AB2=（2OA）2∴AC=BC=OA=（厘米）；易知，阴影部分的面积=半圆ADB的面积﹣AEB的面积，S AEBO=S AEBC﹣S△ACB=×π×（10）2﹣=﹣100=50π﹣100；阴影部分的面积=﹣（50π﹣100）=100，故答案是：100．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：阴影部分的面积可以用半圆的面积减去弓形的面积．21．如图，有四种大小不同的圆，直径从小到大依次为5、10、15、20厘米．那么，图中阴影部分面积之和是314平方厘米．（π取3.14）【分析】首先分析阴影的面积和空白部分的面积部分有对称性，结合起来正好是最大圆的面积即可求解．【解答】解：依题意可知：阴影部分的面积和为最大的圆的面积．最大的圆的半径为20÷2=10（厘米）；面积为：πr2=100π=314（平方厘米）故答案为：314【点评】本题是考察对圆面积的理解和认识，关键的是找到对称图案，面积和正好是一个大圆的面积．问题解决．22．如图，半径为4厘米的两个圆如图放置，长方形中两块阴影部分面积相等，A、B两点为两圆圆心，那么AB的长度为6厘米．（π取3）【分析】首先将阴影部分平分变成2个长方形，然后发现圆的四分之一的面积和一个小长方形的面积是相等的，即可列出等式．【解答】解：依题意可知：圆的面积为=12．圆的面积和一个小长方形的面积是相等的，两个长方形的面积是24平方厘米．24÷4=6．故答案为：6【点评】本题考查对圆的理解与认识，关键的问题是找到题中的相等的量．问题解决．23．埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了个计算圆的面积的公式：S=（）2．其中，d是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率π取值为 3.16（保留两位小数）．【分析】因为d=2r，代入S=（）2可得圆周率π的取值．【解答】解：因为d=2r，所以S=（）2==所以，π=≈3.16．故答案为：3.16．【点评】本题考查了求圆周率的值，关键是利用代入法解答．24．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，那么分别以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和为14.13平方厘米．（π取3.14）【分析】根据题意分析，半圆的周长计算公式为：πr+2r；以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，可得AB=6；然后根据题意中：△ABC为等腰直角三角形，可知：AC=BC=3；以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和就是一个圆的面积．利用圆的面积公式，即可解答．【解答】解：根据题意分析：半圆的周长计算公式为：πr+2r；以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米；（π+2）×r=15.42；解得：r=3；AB=2r=6；已知：“△ABC为等腰直角三角形”，根据勾股定理，AC=BC=3；以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和就是一个圆的面积；根据圆的面积公式，以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和=π×（）2=14.13平方厘米；故答案为：14.13平方厘米．【点评】解题关键利用半圆的周长计算公式解得AB的长度，再根据等腰直角三角形，解得AC与BC的长度，以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和即可解答．本题主要考查半圆的周长公式，等腰直角三角形的勾股定理，圆的面积公式等．25．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成，如取π=3，则图中黑色阴影部分的面积是21.25平方厘米．【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积为三个圆再加上一个边长为1的正方形，最后减去一个空白的三角形即可解答．【解答】解：根据题意可知：图中阴影部分的面积为三个圆再加上一个边长为1的正方形，最后减去一个空白的三角形．可列式为：π×（2×2+3×3+4×4）+1﹣×3×1=21.25（平方厘米）．故答案为：图中黑色阴影部分的面积是21.25平方厘米．【点评】解题关键将图中阴影部分拆分清楚，利用圆面积公式，正方形面积公式，三角形面积公式等即可解答．26．如图中阴影部分的面积与空白部分的面积比是1：3．（取π=3）【分析】根据图形分析，空白部分面积为两个圆的面积，阴影部分的面积为长方形面积减去两个圆的面积即可．求出两者的面积，比值即可解答．。

小学奥数练习卷（知识点：等积变形）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共6小题）1．如图，在由1×1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接1×1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1 的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（）A．47B．C．48D．2．如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240B．270C．300D．3603．如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS．那么正八边形中阴影部分的面积（）A．B．C．D．4．如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25B．40C．49D．505．大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（）平方厘米．A．25B．36C．49D．646．如图所示，在5×8的方格中，阴影部分的面积为37cm2．则非阴影部分的面积为（）cm2．A．43B．74C．80D．111第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共35小题）7．如图，形ABCDEF．如果正六边形ABCDEF的面积为80平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是平方厘米．8．如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是．9．正方形A、B、C、D的边长依次是15，b，10，d（b，d都是自然数），若它们的面积满足S A=S B+S C+S D，则b+d=．10．两个正六边形的面积都是2016，中间连接一个正方形，那么图中阴影三角形的面积是．11．如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．12．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=14，四边形BCDE和四边形ABFG 都是正方形，连结AD与BC相交于点H，如果GH与AC平行，那么阴影四边形BEDH的面积是．13．一个容积是100立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是100立方厘米），内有一部分水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了20立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小正方体，水又溢出了30立方厘米（如图），那么，原来水杯中装有立方厘米的水．14．如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是．（π=3）15．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分的面积为（圆周率用π表示）．16．如图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3，那么图中阴影部分的面积是．17．长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是5、16、20平方厘米，那么四边形ADOE的面积是平方厘米．18．如图所示，长方形ABCD中，AD﹣AB=9厘米，梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，三角形ADE的周长比梯形ABCE 的周长短68厘米．长方形ABCD的面积是平方厘米．19．如图，正六边形ABCDEF面积是2014平方厘米，在AB、BC、DE、EF上分别取中点G、H、I、J，四边形GHIJ的面积是平方厘米．20．如图，ABCD和ABEF都是长方形，如果长方形ABEF的面积是30平方厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米．21．如图所示，四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，四边形FGHI 是长方形，E、F、G分别是边CD、AD、BC的中点．如果平行四边形ABED的面积是48平方厘米，那么，长方形FGHI的面积是平方厘米．22．如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是平方厘米．23．直角三角形的两条直角边分别是3与9，以三角形的每条边长作为正方形的边长，分别可以画出三个正方形（如图），这个多边形的面积是．24．右图是由甲乙丙丁拼成的正方形，其中甲与丁都是边长为整数厘米数的正方形，乙与丙都是长方形，且甲与丁的面积之和为100平方厘米，那么长方形乙与丙的面积之和为平方厘米．25．在平行四边形ABCD中，EF∥AH、HG∥AD．如果平行四边形AHPE的面积是5平方厘米．平行四边形PFCG的面积是16平方厘米．那么三角形PBD的面积是平方厘米．26．勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠4000多年历史的重要几何定理．它揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积．关于勾股定理，人们发现了400多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明一者的队伍中．在众多证明方法中，我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如图所示）这个证明实际上给出了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法．设两个小正方形的边长分别为3和4，按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成5部分，请分别计算出这5部分的面积，并按从小到大的顺序写在下面：．27．四个正方形A、B、C、D如图放置，其中正方形A的周长是12厘米，正方形D的周长是60厘米，则阴影部分的面积会为平方厘米．28．如图，在一块长为10米，宽为5米的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，小路任何地方的水平宽度都是1米．则空白部分的草地的面积是平方米．29．在一个长为100米，宽为88米的长方形湖中，有一座宽为2米的九曲回廊，如图，九曲回廊拐弯处均为直角，请问，没有被九曲回廊覆盖的湖水面积为平方米．30．如图，已知一个四边形的两条边的长度和它的三个角的度数．那么这个四边形的面积是平方厘米．31．如图，直角梯形A BCD的上底与高相等，正方形DEFH的边长等于6厘米，阴影部分的面积是平方厘米．32．三个正方形ABCD、BEFG、CHIJ如下图所示摆放，已知ABCD的边长为10，BEFG的边长为6，阴影部分的面积是．33．如图，正方形ABCD中，等腰直角三角形AEF的面积是1，长方形EFGH的面积是10，那么，正方形ABCD的面积是．34．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．35．图形的面积是cm2．36．如图，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰直角三角形的斜边长是4厘米，其余等腰三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．37．如图，校园中有两个大小相同的正方形花坛（图中阴影部分），花坛的四周是1米宽的水泥路．如果水泥路的总面积是41平方米，那么一个花坛的面积是平方米．38．如图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影部分的总面积为124平方厘米，E、H在边AD上，O为线段CF的中点．则四边形BOGF的面积为平方厘米．39．如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是．40．如图所示，在大长方形中放入六个形状大小相同的小长方形，图中阴影部分的面积是．41．在一个边长50米的正方形菜园里修二纵二横四条宽2米的小路（如图），则剩下可以种菜的面积是平方米．三．解答题（共9小题）42．四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM面积是多少？43．熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴影部分的面积是多少？44．5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为24厘米，求：单个长方形的面积．45．如图，ABCD是个梯形，其对角线的交点为O，延长AC至点E，满足CE=AO，延长DB至点F，满足BF=DO．若△BFG的面积为2015平方厘米．求：△CGE 的面积．46．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，F为线段DE上一点，FA=50，S△FCE=75，S△FBC=175，交BC于点G、ED交BC于点H，已知S△FBE（1）直接写出BH：HC；（2）求S；△ABF（3）求正方形ABCD的面积；（4）求梯形AGHD的面积．47．如图，正方形ABCD的面积为1，E、F分别为BC、CD的中点，AE和BF相交于点O．求：（1）△ABE的面积；（2）AO：OE；（3）△AOB的面积；（4）△COD的面积．48．如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）49．如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？50．某校科技小组有一块长方形试验田，已知这块试验田的面积是7.79平方米，并且长比宽多2.2米，这个长方形的周长是米．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，在由1×1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接1×1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1 的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（）A．47B．C．48D．【分析】将每个数字中的阴影小三角形进行位置的移动，组合成小正方形，然后数出一共有多少个小正方形，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：据分析可知：将小三角形移到空白处补全完整正方形，共47.5个，所以阴影部分的面积是47；故选：B．【点评】解答此类题目，一般都是将阴影部分转化成规则的图形，再根据规则图形的面积公式进行解答．2．如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240B．270C．300D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6=30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9=270（平方厘米），故选：B．【点评】本题考查了等积变形，突破点是：利用等积变形，求得每个个正六边形的面积，最后不难求得大正六边形的面积．3．如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS．那么正八边形中阴影部分的面积（）A．B．C．D．【分析】可以将图中阴影部分进行等积变形，将一部分进行平移，等积变形后不难发现阴影部分和空白部分的面积刚好相等．【解答】解：根据分析，将图中阴影部分进行等积变形，由图不难发现，阴影部分和空白部分的面积刚好相等，正八边形中阴影部分的面积占：故选：A．【点评】考查了等积变形，突破点是：利用等积变形，不难求得结果．4．如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25B．40C．49D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S=142÷4=49故选：C．【点评】本题考查了等积变形，突破点是：将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形．5．大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（）平方厘米．A．25B．36C．49D．64【分析】一条阴影部分的面积为10÷2=5平方厘米．因为边长都是整数，所以只能为1×5．故可以求得大正方形的边长为1+5，大正方形面积不难求得．【解答】解：根据分析，一条阴影部分的面积为10÷2=5平方厘米．因为都是整数，所以只能为1×5．故，大正方形面积=（1+5）×（1+5）=6×6=36平方厘米．故选：B．【点评】本题考查了等积变形，突破点是：利用边长都是整数，而乘积为5的特点求出正方形的边长，从而求得面积．6．如图所示，在5×8的方格中，阴影部分的面积为37cm2．则非阴影部分的面积为（）cm2．A．43B．74C．80D．111【分析】如图所示，在5×8的方格中，阴影部分占了18.5个格，非阴影就分占21.5格；阴影面积为37cm2，据此可求出每格的面积，进而求出则非阴影部分的面积．【解答】解：如图，阴影部分占了18.5个格，面积为37cm2，每格的面积是：37÷18.5=2（cm2）；非阴影就分占21.5格，其面积是：21.5×2=43（cm2）；答：则非阴影部分的面积为43cm2；故选：A．【点评】解答此题的关键是看阴影部分占多少格，由阴影部分所占的面积及格数即可求出每格的面积，进而求出非阴影部分的面积．二．填空题（共35小题）7．如图，形ABCDEF．如果正六边形ABCDEF的面积为80平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是45平方厘米．【分析】按题意，可以将图形等积变形，再图中用虚线标出所有的小棱形，再数一下有多少个小棱形，即可求得棱形的面积．【解答】解：根据分析，如图，将正六边形ABCDEF分割成若干个面积相等的小棱形，共有48个小棱形，每个小棱形的面积为：80÷48=平方厘米，则画实线的棱形面积为：=45平方厘米．即：那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是45平方厘米．故答案是：45．【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：将图形等积变形，只要数出小棱形的个数，即可算出所有棱形的面积．8．如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是20．【分析】如下图：连接AC，△AEC和△BEC如果都以EC为底，那么它们属于同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；这样整个阴影部分的面积就等于△ADC的面积．【解答】解：如上图所示：连接AC，△AEC和△BEC如果都以EC为底，那么它们属于同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；这样整个阴影部分的面积就等于△ADC的面积，而△ADC的高等于梯形的高；即：阴影部分面积=△ADC的面积=DC×高÷2=10×4÷2=20．故：应该填20．【点评】等积变换重点找和部分阴影面积相等的图形．9．正方形A、B、C、D的边长依次是15，b，10，d（b，d都是自然数），若它们的面积满足S A=S B+S C+S D，则b+d=13或15．【分析】按题意，则有：S A=S B+S C+S D⇒152=b2+102+d2，故可以求得b和d的平方和，根据b和d是自然数，可以得到b和d的值，从而求得b+d的值．【解答】解：根据分析，S A=S B+S C+S D⇒152=b2+102+d2，⇒b2+d2=125，∵b和d是自然数，∴①b=2，d=11，b+d=13；②b=10，d=5，b+d=15，故答案是：13或15．【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：可以求得b和d的平方和，根据b和d是自然数，可以得到b和d的值，从而求得b+d的值．10．两个正六边形的面积都是2016，中间连接一个正方形，那么图中阴影三角形的面积是672．【分析】如下图，进行登积变形，将正六边形六等分，一份的面积为2016÷6=336，由此即可解决问题．【解答】解：如下图，进行登积变形，将正六边形六等分，一份的面积为2016÷6=336，所以阴影部分的面积=336×2=672．故答案为672．【点评】本题考查三角形的面积、正六边形的性质、等积变形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．11．如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是672平方厘米．【分析】据观察，可以将阴影部分的面积等积变形，画在图中，标上字母，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，首先将阴影部分等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a，四边形面积为b，整个正十二边形是由12个a这样的正三角形和6个b这样的四边形组成，而阴影部分是由4个a这样的正三角形和2个b这样的四边形组成，恰好是整个正十二边形的，故阴影部分面积=2016×=672平方厘米．故答案是：672．【点评】本题考查了等积变形，本题突破点是：将阴影部分面积等积变形，不难求得阴影部分的面积．12．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=14，四边形BCDE和四边形ABFG 都是正方形，连结AD与BC相交于点H，如果GH与AC平行，那么阴影四边形BEDH的面积是98．【分析】首先需要将阴影部分的不规则的图形变成规则图形，考虑连接BD，再根据蝴蝶定理有梯形两翼面积相等，最后跟正方形ABFG联系起来．恰好是两个正方形面积的一半．根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据梯形两翼面积相等（蝴蝶定理）．S△ADE=S△BCE．=S△ACH．本题中：连接BD，AB平行CD，S△BDHS△ACH=S△AGH，根据S△AGH是正方形ABFG面积的一半．S阴=S△BED+S△BDH，又S△BED是正方形BCDE面积的一半．S阴就是两个正方形面积和的一半．S阴=+===98．故答案为：98【点评】本题中只给出了数据有一个垂直，一个斜边，最后一定是用这个斜边即可求出本题问题．首先需要知道梯形两翼面积相等，再根据勾股定理求出了两个正方形的面积，一半就是本题答案问题解决．13．一个容积是100立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是100立方厘米），内有一部分水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了20立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小正方体，水又溢出了30立方厘米（如图），那么，原来水杯中装有90立方厘米的水．【分析】首先放入的木块水溢出20cm3，此时容器是满的，再加入相同的木块水溢出30cm3，说明木块的体积是30cm3，而不是20cm3．说明第一次加入时候容器是有空余的．做差即可．【解答】解：根据木块的体积相同，第二次加入时候水溢出30．第一次水溢出20．证明原路容器中有30﹣20=10cm3空余部分．这个容器共100cm3，原来的水共有100﹣10=90cm3．故答案为：90【点评】根据两次水溢出的水量不同判断第二次才是木块的体积，第一次容器中水没有装满，根据条件做差即可求解．问题解决．14．如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是 4.5．（π=3）【分析】将右边阴影部分补到左边对应位置上，可以补成大等腰三角形，面积为2×（2×2）÷2=4；还有两个弓形，刚好是半圆减去小等腰三角形的面积，半圆面积为3×（2÷2）2÷2=1.5，小等腰三角形面积为2×（2÷2）÷2=1，那么弓形面积为1.5﹣1=0.5；从而求出整体阴影面积为4+0.5=4.5，据此解答即可．【解答】解：见上图，根据分析可得，大等腰三角形面积为：2×（2×2）÷2=4，半圆面积为：3×（2÷2）2÷2=1.5，小等腰三角形面积为：2×（2÷2）÷2=1，弓形面积为：1.5﹣1=0.5，整体阴影面积为：4+0.5=4.5，答：图中的阴影部分面积是 4.5．故答案为：4.5．【点评】本题关键是在保证面积不变的情况下通过旋转平移使的问题简单化．解答这种类型的问题往往利用“割补结合”等积变形：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．15．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分的面积为4π﹣8（圆周率用π表示）．【分析】把中间四个“树叶”形的阴影部分，每个都平均分成两份，然后补到正方形的外面，那么阴影部分的总面积=圆的面积﹣正方形的面积，据此根据圆和正方形的面积公式（对角线的长度×对角线的长度÷2）解答即可．【解答】解：π×22﹣（2×2）×（2×2）÷2=4π﹣8答：阴影部分的面积为4π﹣8．故答案为：4π﹣8．【点评】解答这种类型的问题往往利用“割补结合”等积变形：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．16．如图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3，那么图中阴影部分的面积是13.5．【分析】连接AB、BD，则AB∥CD，所以图中阴影部分ACD的面积就等于三角形BCD的面积，三角形BCD的底是3×2+3，高是3，然后根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：根据分析可得，（3×2+3）×3÷2=9×3÷2=13.5答：图中阴影部分的面积是13.5．故答案为：13.5．【点评】本题考查了面积的等积变形，关键根据等底等高的三角形面积相等转化．17．长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是5、16、20平方厘米，那么四边形ADOE的面积是19平方厘米．=2S△EOF=10，∴S△EDF=S长【分析】连ED，则由题意，EF=DC，FO=DO，S△EDO=5+10=15，可得S长方形ABCD=60，即可求出四边形ADOE的面积．方形ABCD【解答】解：连ED，则由题意，EF=DC，FO=DO∴S=2S△EOF=10，∴S△EDF=S长方形ABCD=5+10=15，△EDO=60，∴S长方形ABCD∴四边形ADOE的面积是60﹣5﹣20﹣16=19，故答案为19．【点评】本题考查等积变形，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．如图所示，长方形ABCD中，AD﹣AB=9厘米，梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，三角形ADE的周长比梯形ABCE 的周长短68厘米．长方形ABCD的面积是3060平方厘米．【分析】如图，作EM⊥AB于M．首先证明△BCE的面积是△ADE面积的两倍，推出EC=2DE，设DE=x，则EC=2x，AB=CD=3x，因为三角形ADE的周长比梯形ABCE 的周长短68厘米，列出方程求出x即可解决问题．【解答】解：如图，作EM⊥AB于M．因为四边形ABCD是长方形，易知四边形ADEM，四边形BCEM都是长方形，所以△DEA与△AEM的面积相等，△BEC与△BEM的面积相等，因为梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，所以△BCE的面积是△ADE面积的两倍，所以EC=2DE，设DE=x，则EC=2x，AB=CD=3x，因为三角形ADE的周长比梯形ABCE 的周长短68厘米，所以3x+2x﹣x=68，所以x=17cm，AB=51因为AD﹣AB=9厘米，所以AD=51+9=60cm，所以矩形ABCD的面积为51×60=3060cm2．故答案为3060．【点评】本题考查长方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题．19．如图，正六边形ABCDEF面积是2014平方厘米，在AB、BC、DE、EF上分别取中点G、H、I、J，四边形GHIJ的面积是1007平方厘米．【分析】把正六边形按照如图分割，可见整体是24份，阴影部分占12份，由此即可解决问题．【解答】解：把正六边形按照如图分割，可见整体是24份，阴影部分占12份，∴S阴=S正六边形=×2014=1007，故答案为1007．【点评】本题考查等积变形，解题的关键是学会利用分割法解决问题．20．如图，ABCD和ABEF都是长方形，如果长方形ABEF的面积是30平方厘米，那么阴影部分的面积是15平方厘米．【分析】设内部交点为O，如下图，只要证明则阴影部分面积等于△ABF的面积即可；【解答】解：设内部交点为O，如下图，通过等积变形可知△FOD的面积和△FOC的面积相等，则阴影部分变成了△AFC 的面积，再通过等积变形可知△AFC的面积和△ABF的面积相等；△ABF的面积为长方形ABEF的一半，即30×=15平方厘米．故答案为15．【点评】本题考查长方形的性质、等积变形、等高模型等知识，解题的关键是灵活掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题．21．如图所示，四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，四边形FGHI 是长方形，E、F、G分别是边CD、AD、BC的中点．如果平行四边形ABED的面积是48平方厘米，那么，长方形FGHI的面积是36平方厘米．【分析】作AP⊥CD于P，设FG交BE于K．设AB=a，AP=b，想办法求出FI、FG 的长（用a、b表示）即可解决问题．【解答】解：作AP⊥CD于P，设FG交BE于K．设AB=a，AP=b，由题意ab=48，∵四边形ABED是平行四边形，∴AB∥CD，AB=DE=a，∵ED=EC=a，AF=DF，BG=GC，∴FG∥AB，∴BK=KE，FK=AB=a，∵BG=GC，∴KG=a，FG=a，∵FI∥AP，AF=DF，∴DI=IP，∴FI=AP=b，∴S=b•a=ab=36长方形FGHI故答案为36．【点评】本题考查平行四边形的性质、梯形的性质、长方形的性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是300平方厘米．【分析】如图所示，连接AC，与BD交于O，则图中的6个直角三角形的面积相等，即可得出结论．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，则图中的6个直角三角形的面积相等，所以五边形ABEFD的面积=6个△ABO的面积=6×=300平方厘米，故答案为300．【点评】本题考查五边形ABEFD的面积的计算，考查等积变形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．直角三角形的两条直角边分别是3与9，以三角形的每条边长作为正方形的边长，分别可以画出三个正方形（如图），这个多边形的面积是193.5．【分析】直角三角形的两条直角边分别是3与9，由勾股定理可得斜边的平方为9+81，求出两个小正方形的面积与直角三角形的面积，即可得出结论．【解答】解：直角三角形的两条直角边分别是3与9，由勾股定理可得斜边的平方为9+81，为大正方形的面积，所以总面积为9+81+（9+81）+3×9÷2=193.5，故答案为193.5．【点评】本题考查勾股定理，等积变形，考查学生的转化能力，求出是大正方形的面积关键．24．右图是由甲乙丙丁拼成的正方形，其中甲与丁都是边长为整数厘米数的正方形，乙与丙都是长方形，且甲与丁的面积之和为100平方厘米，那么长方形。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积三角形面积==底×高÷底×高÷2 2这个公式告诉我们：这个公式告诉我们：三角形面积的大小，三角形面积的大小，三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．取决于三角形底和高的乘积．取决于三角形底和高的乘积．如如果三角形的底不变，果三角形的底不变，高越大高越大高越大((小)，三角形面积也就越大三角形面积也就越大((小)．同样若三角形的高不变，底越大高不变，底越大((小)，三角形面积也就越大，三角形面积也就越大((小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，一个三角形在面积不改变的情况下，一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高③若两个三角形的高((或底或底))相等，其中一个三角形的底其中一个三角形的底((或高或高))是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A 点，(也就是它们的高相等也就是它们的高相等))那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△同时也可以知道△ABC ABC 的面积是△的面积是△ABD ABD 或△或△AEC AEC 面积的3倍．例如在图中，△例如在图中，△ABC ABC 与△与△DBC DBC 的底相同的底相同((它们的底都是BC)BC)，它所对的两个顶点，它所对的两个顶点A 、D 在与底BC 平行的直线上，平行的直线上，((也就是它们的高相等也就是它们的高相等))，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△例如图中，△ABC ABC 与△与△DBC DBC 的底相同的底相同((它们的底都是BC)BC)，△，△，△ABC ABC 的高是△的高是△DBC DBC 高的2倍(D 是AB 中点，AB=2BD AB=2BD，，有AH=2DE)AH=2DE)，，则△则△ABC ABC 的面积是△的面积是△DBC DBC 面积的2倍．倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC 二等分，分点D 、连结AD AD，得到两个等积三角，得到两个等积三角形，即△形，即△ABD ABD 与△与△ADC ADC 等积．然后取AC AC、、AB 中点E 、F ，并连结DE DE、、DF DF．以而．以而得到四个等积三角形，即△得到四个等积三角形，即△ADF ADF ADF、△、△、△BDF BDF BDF、△、△、△DCE DCE DCE、△、△、△ADE ADE 等积．等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法方法 1 1 1：如下左图，将：如下左图，将BC 边八等分，取1∶3∶4的分点D 、E ，连结AD AD、、AE AE，从而得到△，从而得到△，从而得到△ABD ABD ABD、△、△、△ADE ADE ADE、△、△、△AEC AEC 的面积比为1∶3∶4．DE DE，从而得到三个三角形：△，从而得到三个三角形：△，从而得到三个三角形：△ADE ADE ADE、△、△、△BDE BDE BDE、△、△、△ACD ACD ACD．其面积比为．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD 中，中，AC AC 与BD 是对角线，其交点O ，求证：△，求证：△AOB AOB 与△COD 面积相等．面积相等．证明：∵△证明：∵△ABC ABC 与△与△DBC DBC 等底等高，等底等高，∴S △ABC =S △DBC又∵又∵ S S △AOB =S △ABC —S △BOCS △DOC =S △DBC —S △BOC ∴S △AOB =S △COD ．例4、如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．改成一个等积的三角形．分析分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A 移到CB 的延长线上的A ′处，△′处，△A A ′BD 与△与△ABD ABD 面积相等，从而△A ′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△了三角形△A A ′DC DC．问题是．问题是A ′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点．′点．解：①连结BD BD；；②过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′．′． ③连结A ′D ，则△，则△A A ′CD 与四边形ABCD 等积．等积．例5、如图，已知在△、如图，已知在△ABC ABC 中，中，BE=3AE BE=3AE BE=3AE，，CD=2AD CD=2AD．若△．若△．若△ADE ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．的面积．解法1：连结BD BD，在△，在△，在△ABD ABD 中∵ BE=3AE BE=3AE，，∴ S △ABD =4S △ADE =4(=4(平方厘米平方厘米平方厘米))． 在△在△ABC ABC 中，∵中，∵CD=2AD CD=2AD CD=2AD，，∴ S △ABC =3S △ABD =3=3××4=12(4=12(平方厘米平方厘米平方厘米))．解法2：连结CE CE，如右图所示，在△，如右图所示，在△，如右图所示，在△ACE ACE 中，中，∵ CD=2AD CD=2AD，，∴ S △ACE =3S △ADE =3(=3(平方厘米平方厘米平方厘米))．在△在△ABC ABC 中，∵中，∵BE=3AE BE=3AE∴ S △ABC =4S △ACE=4=4××3=12(3=12(平方厘米平方厘米平方厘米))．例6、如下图，在△、如下图，在△ABC ABC 中，中，BD=2AD BD=2AD BD=2AD，，AG=2CG AG=2CG，，BE=EF=FC=解：连结BG BG，在△，在△，在△ABG ABG 中，中，∴ S △ADG +S △BDE +S △CFG例7、如右图，、如右图，ABCD ABCD 为平行四边形，为平行四边形，EF EF 平行AC AC，如果△，如果△，如果△ADE ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．的面积．解：连结AF AF、、CE CE，∴，∴，∴S S △ADE =S △ACE ；S △CDF =S △ACF ；又∵；又∵AC AC 与EF 平行，∴平行，∴S S △ACE =S △ACF ；∴ S △ADE =S △CDF =4(=4(平方厘米平方厘米平方厘米))．例8、如右图，四边形ABCD 面积为1，且AB=AE AB=AE，，BC=BF BC=BF，，DC=CG DC=CG，，AD=DH AD=DH．求．求四边形EFGH 的面积．的面积．解：连结BD BD，将四边形，将四边形ABCD 分成两个部分S 1与S 2．连结FD FD，有，有S △FBD =S △DBC =S 1 所以S △CGF =S △DFC =2S 1．同理同理 S S △AEH =2S 2，因此S △AEH +S △CGF =2S 1+2S 2=2(S 1+S 2)=2)=2××1=21=2．．同理，连结AC 之后，可求出S △HGD +S △EBF =2所以四边形EFGH 的面积为2+2+1=5(2+2+1=5(平方单位平方单位平方单位))．例9、如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE=1ADE=1，求△，求△，求△BEF BEF 的面积．的面积．解：连结AC AC，∵，∵，∵AB//CD AB//CD AB//CD，∴，∴，∴S S △ADE =S △ACE又∵又∵AD//BC AD//BC AD//BC，∴，∴，∴S S △ACF =S △ABF而 S △ACF =S △ACE +S △AEF ∶S △ABF =S △BEF +S △AEF ∴ S △ACE =S △BEF ∴S △BEF =S △ADE =1=1．．。

第3讲等积变形一、知识点等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.二、例题精讲例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是________平方厘米.三、水平测试1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。

几何-直线型几何-等积变形-1星题课程目标知识提要等积变形•概念等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等．•夹在一组平行线之间的等积变形S△ABC=S△BCD精选例题等积变形1. 图中由3个边长是6的正方形组成，那么图中阴影局部的面积是．【答案】36【分析】等积变形如下：阴影局部面积：(6×2)×6÷2=36.2. 如下列图所示，一大一小两个正方形拼在一起，假设阴影局部的面积是10平方米，小正方形的面积是平方米．【答案】20【分析】如下列图所示，连接BF,BF和AC平行，阴影局部面积等于三角形ABC的面积，而三角形ABC的面积是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是阴影局部面积的2倍，为20平方米．3. 如下列图所示，四边形ABCD是梯形，上底是8厘米，下底是16厘米，点E是BC边上任意一点，如果△AED的面积是30平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米．【答案】90【分析】方法一：三角形ADE的高为30×2÷8=7.5〔厘米〕，那么梯形面积为(8+16)×7.5÷2=90〔平方厘米〕．方法二：由于BC=2AD,△AEB与△ECD的面积和是△AED面积的2倍，所以梯形的面积是30×(1+2)=90〔平方厘米〕．4. 如下列图所示，点C 在线段AE 上，三角形ABC 和三角形CDE 都是正三角形，且F 是线段BC 的中点，G 是线段DE 的中点．假设三角形ABC 的面积为27，三角形AFG 〔阴影局部〕的面积是．【答案】13.5【分析】如下列图所示，连接CG ，那么AF ∥CG ，根据梯形蝴蝶模型，得到 S △AFG =S △AFC =12S △ABC =12×27=13.5. 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行于AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF ．那么与△BEC 等积的三角形有哪几个三角形？【答案】S △BEC =S △AEC =S △AFC =S △ABF【分析】因为AB ∥CD ，所以S △BEC =S △AEC ，因为AD\parallel BC ，所以S △AFB =S △AFC ，因为EF ∥AC ，所以S △AEC =S △AFC ．即S △BEC =S △AEC =S △AFC =S △ABF ．6. 如图，BC ＝CD ，AF ∥BE ，请比拟△ABC 、△BCE 、△BCF ，△CDF 的面积大小．【答案】一样大．【分析】平行线之间的等积变形，这四个三角形底和高都相等，所以面积是一样大．7. 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果△ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．【答案】4平方厘米【分析】连结AF 、CE ．因为S △ADE =S △ACE ；S △CDF =S △ACF ，又因为AC 与EF 平行，所以，S △ACE =S △ACF ；S △ADE =S △CDF =4(平方厘米)．8. 如图，梯形ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？【答案】共8个三角形；△ABC 与△DBC 、△ABD 与△ACD 、△ABO 与△CDO ．【分析】这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据AD 平行于BC ，可以知道△ABC 的面积等于△BCD 的面积；△ABD 的面积等于△ACD 的面积．△ABD 和△ACD 有一个共同的△AOD ，所以△ABO 和△OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等．9. 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影局部的面积．【答案】100平方厘米【分析】连结BD ，EG ，FK ．由BD ∥EG 知S △DGE =S △BGE ，由EG ∥FK 知S △GEK =S △GEF ，所以阴影局部的面积为△BGE 和△GEF 的面积之和，即为正方形GFEB 的面积，10×10=100(平方厘米)．10. 四边形ABCD 是一个直角梯形．以上底AD 为边向外作正方形ADEF ，面积为9平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．试求图中阴影局部的面积．【答案】4.5平方厘米【分析】连接BD ，因为AD ∥BC ，所以，S △PDC =S △PBD ，由于BF ∥DE ，所以S △BDE =S △ADE ，所以阴影局部的面积和三角形ADE 的面积相等，为9÷2=4.5(平方厘米)．11. 如下图，梯形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点．DE 和AB 平行，那么与△ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？【答案】△ABD 和△ABE ．【分析】观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△ADC的面积等于△ABD；根据AB平行于DE，可以知道△ABD的面积等于△ABE．所以与△ADC面积相等的三角形有△ABD和△ABE．12. 如下图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影局部的面积．【答案】〔1〕50平方厘米；〔2〕32平方厘米．【分析】〔1〕如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底〔共同的底为大正方形对角线〕等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．〔2〕如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底〔共同的底为小正方形对角线〕等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．13. 正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，那么图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】200平方厘米【分析】连接CF，那么CF∥BD，所以 $\text{阴影面积}=\text{三角形$ BCD $的面积}=20 \times 20 \div 2{\text{ = }}200\text{(平方厘米)}$．14. 如图，过平行四边形ABCD顶点D作直线交BC于点E，交AB的延长线于点F，△AEF的面积为10平方厘米，求△BFC的面积．【答案】10平方厘米【分析】连结BD，因为AF∥CD，S△BFC=S△BFD，又因为BC∥AD，S△ABE=S△BDE，所以S△BDF=S△AEF，S△BFC=S△AEF=10〔平方厘米〕．15. 如图，直角梯形ABCD中，S△ABE=75平方厘米，阴影局部的面积为15平方厘米．问长方形ABCF的面积是多少平方厘米？【答案】180平方厘米【分析】连BF．根据等积变形，S△BEF=S阴影=15(平方厘米)，因此长方形ABCD的面积是S=(15+ 75)×2=180(平方厘米)．16. 在长方形NOPQ中，NQ=15厘米，NO=8厘米，四边形STUR的面积是9平方厘米，求阴影的面积是多少？【答案】69平方厘米【分析】长方形NOPQ的面积是15×8=120(平方厘米)，空白的面积是S△NTP+S△OTQ−S=120÷2−9=51(平方厘米)，那么阴影的面积是120−51=69(四STUR平方厘米)．17. 如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？【答案】S△DBE、S△DCE、S△AEC【分析】等底等高的三角形面积相同，所以S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC．18. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么图中阴影局部的面积分别是多少平方厘米？【答案】18平方厘米【分析】利用等积变形，阴影局部面积为小正方形面积的一半，S=12×6×6=18(平方厘米)19. 如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，假设S△DAE=1，求△BEF的面积．【答案】1【分析】连接AC，在梯形CAFB中，S△BEF=S△CAE．又因为，CD∥AB，S△CAE=S△DAE=1．所以，S△BEF=1．20. 正方形ABCD和正方形CEFG，如果两个正方形的边长分别为6和4，那么△AEG的面积为多少？【答案】 8【分析】连接AC，那么AC∥GE，阴影局部的面积与三角形GCE的面积相等，为：4×4÷2=8．21. 如下图，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成．等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米．【分析】根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方厘米和50平方厘米．方法一：△BCE的面积是正方形面积的一半，所以△BCE的面积是25平方厘米；方法二：连结BD，△BCE和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，那么△BCE的面积也是25平方厘米．。

专题10-体积的等积变形小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形：（1）当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；（2）当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题；（3）要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题。

350cm，【典例一】有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体．已知原木料的表面积是2 cm？那么原木料的体积是多少3【分析】根据题意，小正方体一个面的面积是350(634)25÷⨯-=（平方厘米），因为2555=⨯，所以小正方体的棱长是5厘米，那么长方体体积为：5553375⨯⨯⨯=（立方厘米），解决问题．【解答】解：小正方体一个面的面积是：÷⨯-，350(634)=÷，3501425=（平方厘米）；小正方体的棱长：因为2555=⨯，所以小正方体的棱长是5厘米；长方体体积为：⨯⨯⨯=（立方厘米）；5553375答：原木料的体积是375立方厘米．【点评】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题．【典例二】将底面积是3.14平方分米，高4分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥．已知圆锥铁块的底面半径是2分米，那么它的高是多少分米？【分析】由题意可知：圆锥铁块的体积应该和圆柱形铁块的体积相等，先据条件求出圆柱的体积，也就等于知道了圆锥的体积，由圆锥的体积公式可得“圆锥的高=圆锥的体积3⨯÷底面积”，圆锥的底面半径已知，从而可以求出底面积，进而求出圆锥的高．【解答】解：23.1443(3.142)⨯⨯÷⨯，12.563(3.144)=⨯÷⨯，12.56312.56=⨯÷，3=（分米）；答：圆锥的高是3分米．【点评】此题主要考查圆柱与圆锥的体积的计算方法，关键是利用体积不变．【典例三】有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？【分析】根据题干可得，这个棱长为4分米的正方体的体积为：44464⨯⨯=立方分米，就是熔铸后的长方体铁块的体积，根据长方体的体积公式可得：长方体的长=体积÷宽÷高，由此代入数据即可计算得出正确答案．【解答】解：44464⨯⨯=（立方分米），64 2.5 1.616÷÷=（分米）；答：长方体铁块的长是16分米．【点评】此类题目要抓住熔铸前后的体积大小没有变化这一关键，利用正方体和长方体的体积公式即可解决问题．一．选择题（共4小题）1．把一个高为24cm 的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是()A．72cm B．24cm C．16cm D．8cm 2．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是()A．甲高B．乙高C．一样高D．无法判断3．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是()立方厘米．A．240B．1000C．125D．4004．如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：)cm ．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积用π表示，应为()A．364cm πB．360cm πC．356cm πD．340cm π二．填空题（共8小题）5．用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，两个物体的一样大．6．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是3:2，高的比是2:3，现在水面的高度是分米．7．甲、乙两个容器内盛有相同体积的水；已知甲容器长是10厘米．宽是10厘米．高12厘米．容器内原来水面高是9厘米．放入一个圆锥体完全浸没后．水面高度与容器高度相等（且没有溢出）：乙容器的棱长是15厘米．放入一个同样大小的圆锥体和一个圆柱体完全浸没后．水面高度距离容器口8厘米．那么圆锥的体积与圆柱体积的比是．8．一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量，长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米．如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深厘米．9．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是立方厘米，圆锥的体积是立方厘米．10．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是．11．一个棱长是6dm 的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是218dm 的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是．12．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是立方厘米．三．解答题13．一个长方体容器，长5cm，宽4cm，高3cm，装满水后将水全部倒入一个高5cm的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？14．明明想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：①给容器中注入一定量的水，接着把一个棱长6厘米的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了9厘米。

一、选择题1. 一个圆锥和一个圆柱体积和底面积都相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（）A．3cm B．9cm C．18cm D．27cm2. 把一个长方体铁块熔铸成一个正方体后，体积（）。

A．变小B．变大C．不变3. 如图正方体和圆锥两个容器等底等高，用圆锥形容器装满水，倒进正方体容器中，正方体容器里的液面高度是（）厘米。

A．2 B．3 C．44. 将一个正方体坯铸造成一个长方体铁块（没有损耗），（）不变。

A．面积B．体积C．高度D．长度5. 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻成横截面是0.09平方米的长方体钢材，锻成的钢材长（）（用方程解）。

A．4米B．24米C．2.4米D．20米二、填空题6. 一个长方体的水槽，从里面量长24分米，宽5分米，深8分米。

如果将360升水倒入水槽，水槽中水深________分米。

7. 一块长方体橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。

把它捏成一个底面积是30平方厘米的圆锥，设圆锥的高是x厘米，根据( )不变，可以列出方程( )，解得圆锥的高是( )厘米。

8. 把60升水倒入一个长为5分米，宽为4分米的长方体容器里，水的高度是_____分米。

9. 一个圆锥形沙堆，底面周长是62.8米，高是6米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺10厘米厚的路面，能铺( )米长的路。

10. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积是_________立方分米．三、解答题11. 一个圆柱形水槽，底面半径是8厘米，水槽中完全浸没一个铁块，当铁块取出时，水面下降了6厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？12. 如图，有两个长方体水箱，在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱，水深多少厘米？13. 一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高是6分米，里面盛满水，倒进棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？14. 把一个底面半径为6厘米，高为1分米的圆柱形钢柱，熔铸成一个底面直径为20厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？。

课前热身：如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．立体图形的体积计算常用公式： 立体图形 示例 体积公式 相关要素长方体V abh =V Sh = 三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h 正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h知识精讲：【例 1】 将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a ），从左向右看到的视图是图（b ），从上向下看到的视图是图（c ），则这堆木块最多共有___________块。

【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】填空cb a H GFE D CBA【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，清华附中，入学测试【解析】图中A、C、D项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为B．【答案】B【例 16】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲乙丙【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】选择【解析】从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．【答案】①【例 17】如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米．在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装毫升水（π取3.14）．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛，第10题，10分【解析】 现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：221963009422πππ⨯⨯+⨯⨯⨯==55毫升水。

奥数等积变形题目一、一个长方体水箱，长、宽、高分别为3米、2米、1米。

若将其变形为正方体，且体积保持不变，则正方体的边长为多少米？A. 1米B. 2米C. 3米D. 根号6米（答案）B二、有一个圆柱体，底面半径为2厘米，高为5厘米。

若将其等体积变形为圆锥体，且底面半径保持不变，则圆锥体的高为多少厘米？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米（答案）C三、一个正方体纸盒，棱长为4厘米。

若将其等体积变形为长方体，且新长方体的长、宽、高均为整数，则新长方体的可能的长、宽、高组合为？A. 1厘米、2厘米、8厘米B. 2厘米、2厘米、4厘米C. 1厘米、4厘米、4厘米D. 3厘米、3厘米、3厘米（答案）A四、有一个圆锥体，底面半径为3厘米，高为4厘米。

若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的高为2厘米，则圆柱体的底面半径为多少厘米？A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米（答案）A五、一个长方体水槽，长、宽、高分别为6分米、4分米、2分米。

若将其等体积变形为正方体水槽，则新水槽的表面积比原水槽的表面积减少了多少平方分米？A. 16平方分米B. 32平方分米C. 48平方分米D. 64平方分米（答案）C六、一个圆柱体，底面半径为1厘米，高为10厘米。

若将其等体积变形为圆锥体，且圆锥体的高保持不变，则圆锥体的底面半径为多少厘米？A. 1厘米B. 根号3厘米C. 2厘米D. 3厘米（答案）B七、有一个正方体，棱长为5厘米。

若将其切割成若干个小正方体，且小正方体的棱长均为整数，这些小正方体的体积之和最大为多少立方厘米？（小正方体可以大小不同）A. 125立方厘米B. 100立方厘米C. 75立方厘米D. 50立方厘米（答案）A八、一个圆锥体，底面半径为4厘米，高为6厘米。

若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的底面半径为2厘米，则圆柱体的高为多少厘米？A. 6厘米B. 8厘米C. 12厘米D. 24厘米（答案）D。

六年级数学等积变形练习题15道（体积）六年级数学等积变形练习题15道（体积）1、一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？2、在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3、甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4、一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5、用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6、一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7、有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B 是空的。

现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。

设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8、将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。

现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9、圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10、棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11、一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12、一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13、一个底面周长15.7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14、把一个体积是18㎝3的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝3？15、正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?。

一、选择题1. 把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（）。

A．扩大到原来的3倍B．缩小到原来的三分之一C．不变2. 用一块长方体的橡皮泥捏一个“奥运会福娃”，橡皮泥的形状改变了，橡皮泥的( )没变。

A．表面积B．高C．体积3. 圆柱的底面半径扩大到3倍，要让体积体积不变，则高要缩小到原来的（）。

A．3倍B．27倍C．4. 将一个圆柱体铝块熔铸成圆锥体，它的（）不变。

A．体积B．表面积C．底面积D．侧面积5. 把一个底面半径是8分米、高是4分米的圆柱形钢材，锻压成底面半径是4分米的圆锥形钢材，它的高是（）分米。

A．48 B．4 C．12 D．8二、填空题6. 工人师傅用长6cm的圆柱形钢坯锻造成圆锥，已知圆锥的底面积是钢坯底面积的2倍，圆锥的高是________cm。

7. 用一块棱长为的正方体钢坯铸造成一个长是，宽是的长方体钢坯，铸造成的长方体钢坯的高是( )。

8. 一个圆柱和一个圆锥体积相等，高的比是2∶3，则底面积的比是( )。

9. 一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积( )cm3。

10. 图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。

三、解答题11. 一个底面积直径是6分米的圆柱形玻璃容器里面装了一些水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？12. 一个从里面量长和宽都是10厘米，高14厘米的长方体容器，装有8厘米深的水，现将一个铁球浸没在水中，这时量得水深是12厘米，铁球的体积是多少立方厘米?13. 把一块长是20厘米，宽是10厘米，高是9.42厘米的长方体铁块熔铸成一个底面半径是10厘米的圆柱形铁块。

这个圆柱形铁块的高是多少厘米？14. 一个密封的长方体玻璃缸，长30厘米，宽18厘米，高12厘米，平放时水深9厘米，如果以小面为底时，水深是多少厘米？。