20181125小学奥数练习卷(知识点：最短线路问题)含答案解析

小学数学《最短路线》练习题（含答案）【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。

所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。

解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。

【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。

答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。

为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短。

小学奥数练习卷（知识点：数阵图中找规律）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是．4．观察下面数表中的规律，可知x=．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了次．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=．10．所有自然数如图排列，数300位于字母的下面．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．12．图中三角形数表中第4行第5列是．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在层．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是．21．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个格子不填），那么，第四行的5个数字从左至右组成的五位数是（没有数字的格子看作0）22．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个空不填），那么，第三行的5个位置从左到右组成的五位数是．（如果是没有数字的位置则写0）23．我们可以将全体正整数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来；是第一层；第二层是，，第三层是，，，，…按照这个规律，在第层．24．在空格内填入数字1﹣6，使得每行每列数字不重复，黑点两边的数是两倍的关系，白点两边的数差为1．那么第四行所填数字从左往右前5位组成的五位数是．25．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．26．若如图中方框里填上不同的正偶数后，每个正方形顶点方框内的四个数之和都相等，这个和的最小值是．27．请在下面的“木”字形数阵图中填入0～9各1个，满足4条直线的和都等于15，那么“☆”位置上的数是．28．古希腊的数学家们将自然数按以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三边形数：1，3，6，10，15，…四边形数：1，4，9，16，25，…五边形数：1，5，12，22，35，…六边形数：1，6，15，28，45，……则按照上面的顺序，第6个七边形数为．29．在下面的数表中，上、下两行都是等差数列，上、下对应的两数中，大数减去小数的差，最小是．5 10 15 20…1430 1435 14402013 2006 1999 1992…18 11 4．30．如图数阵的数字是按一定的规律排列的，其中第201行左起第3个数字是31．观察上边数阵中各行数字的和的规律，根据这个规律，则第10行中各数的和等于．32．将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上3个数的和相等．那么，共有种不同的填法．33．对自然数按如下操作：是3的倍数则除以3，不是3 的倍数则加1，直至出现1才停止．如果这样的操作进行了5次恰停止．开始的数有个．34．将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有种不同的填法．35．有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有名同学会认为自己是“幸福的”．36．将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有种不同的填法．37．图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数=．38．分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式依次报数：报“l998”的是姓的同学．39．有一串数如图排列，第50行的最后一个数是．40．如图，圆点组成了一系列图形，每个图形的圆点个数依次为：1，3，6，10，15…．按这样排列，圆点个数为105的是第个图形．41．如图是一个由数字组成的三角形，它的组成有着一定的规律，第九行从左往右第7个数是．42．观察下列九个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列方式．第一行：1 2 3 4 5 6 7 8 9第二行：2 3 4 1 6 7 5 9 8第三行：3 4 1 2 7 5 6 8 9…按以上规律排列，第一行的排列方式，从第一行起到100行，一共能出现次．43．观察下图，？代表的数是．三．解答题（共7小题）44．自然数如图的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？45．如图，把从1开始的自然数按照一定的顺序排列成数表，如果这个数表有31行31列，那么这个数表中的第1行第1列的数是．46．古希腊数学家们将一些自然数按照以下方式与正方形联系起来：并将这些数称为正方形数．1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和．比如2=1+1，7=1+1+1+4等．请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形．47．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2016排在哪一行的从左向右数的第多少个？48．把从1开始的自然数按照如图方式排列（如图只给出了这个数表的一部分）．如果我们认为1在第0行第0列，6在第上2行第0列，12在第0行第左2列，19在第下2行第右1列．请问：（1）在第上2行第右3列的数是多少？（2）自然数2014在第几行第几列？（要求写出方向）（3）从1开始向上数100个数（1算作第1个，向后依次是2，6，14…），那么，这100个数的和是多少？49．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？50．观察下列图形的规律，然后填空：参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101【分析】从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2，3，4，5…，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可．据此解答．【解答】解：根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+ (14)=（14+1）+（13+2）+…+（8+7），=15×7，=105，105﹣4=101．故选：D．【点评】本题的关键是求出第10行第5列的数，在斜行的第几行上，然后再进行计算．二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是57．【分析】根据图形知第n行的最后一个数为n×n，可得第8行第1个数为7×7+1，第8行最后一个数为8×8，从而得出第8行中间数为．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行最后一个数为2×2=4，第3行最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，第8行第1个数为49+1=50，第8行最后一个数为8×8=64，则第8行中间数是=57，故答案为：57．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据图形得出第n行的最后一个数为n ×n是解题的关键．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是54．【分析】观察数阵图中对角线上的数字2、6、12、20…，其特点是每个数字恰好是两个相邻自然数的乘积，并且，从对角线上的这个数往左边数，依次增加1，往上边数，依次减少1．另外，最顶层一排数字：1、4、9、16…全是完全平方数．因此，只要确定2016这个数对应的对角线上的数字就可以解决问题了．【解答】解：注意到对角线上的数字：2=1×2、6=2×3、12=3×4、20=4×5…，这些数字的最上方的数字1、4、9、16…为完全平方数，比2016小的完全平方数为1936=44×44，因此，从1936这个数字竖着往下数到底得到对角线上的数字为44×45=1980，1980在第45行第45列，从1980往左数36次得到2016，45﹣36=9，因此2016在第45行第9列．所以45+9=54．故答案为54．【点评】本题为数阵图中找规律的题目，主要考查同学们对数阵图中数字排列规律的观察能力以及对特殊位置上的数字结构的识别能力．解答本题的关键是观察并识别出对角线上的数字和最顶部数字的特征．4．观察下面数表中的规律，可知x=45．【分析】每一行最后一个数为完全平方数，当完全平方数为a2时，前面的数字分别为a，3a，5a，7a，据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，81=92，所以，x=9×5=45；故答案为：45．【点评】一般地说，数表中的规律，应抓住以下几点来考虑问题：（1）数表中前后数的变化和特征；（3）数表中上下数的变化和特征；然后再利用这个规律，解决问题．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为4251257．【分析】由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…），因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全，从最大的数字7开始入手．【解答】解：由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…）因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全．先从最大的数字7开始入手．考虑右下角填数字5，结合任意两个相邻“中环块”的面积均不同，填右边数字4，填下方数字3，填数字5，左上角填入4，中间填2，接着填入3，填入3，2剩下的部分填1，2，所以这个七位数为4251257，故答案为4251257．【点评】本题考查数阵图中找规律，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填7．【分析】因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7；【解答】解：因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7，故答案为7．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，根据每条直线上的数字之和都相等，即可解决问题．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了三次．【分析】2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，由此即可解决问题．【解答】解：2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，…再往后最多往后移动四列，所以第三列不会出现12了，一共出现三次．故答案为三．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，熟悉年历的变化规律．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是12346．【分析】由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，由此作出假设，即可解决问题．【解答】解：由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，再根据每行、每列和每宫数字都不重复，可知A为1，B为2，F为4，G为1，由此可以得出如图的结论，所以五位数是12346，故答案为12346．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=156．【分析】由表得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列，由46÷4=11 (2)知46位于第12行第2个数，即第13列，据此可得答案．【解答】解：由表可知，每行4个数，且第n行的第1个数位于第n列，46÷4=11…2，则46位于第12行，第2个数，即第13列，a×b=12×13=156，故答案为：156．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据表格得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列是解题的关键．10．所有自然数如图排列，数300位于字母D的下面．【分析】观察数阵可知每7个数一个循环周期，用300除以7求出商和余数，然后根据余数即可确定数300位于哪个字母的下面．【解答】解：每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．因为300÷7=42…6，所以300与6位于同一列，所以，数300应在D字母下面．故答案为：D．【点评】本题考查了数阵图中找规律的问题，关键是明确每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123．【分析】首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．根据题意即可求解．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，突破口就是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．问题解决．12．图中三角形数表中第4行第5列是63．【分析】首先分析衡行是二次等差数列．数列也是二次等差数列．继续分析求解即可．【解答】解：依题意可知：第四行的首个数字是19，这是一个二次等差的等差数列．19+8=27．27+10=37．37+12=49．49+14=63．故答案为：63【点评】本题考查对数阵图规律的理解和运用，关键是找到二次等差数列的关系．问题解决．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填7．【分析】根据每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15，求出E，C，B，即可求出标有“☆”的圆圈内应填的数字．【解答】解：图中共有7 个三角形，每个三角形的 3 个顶点数的和都是15．E=15﹣9﹣4=2，C=15﹣1﹣9=5，B=15﹣4﹣C=6，★=15﹣B﹣E=7．故答案为7．【点评】本题考查数阵图，考查学生的计算能力，正确运用每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15是关键．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是256．【分析】观察规律，推出第十行的数字为10个13，9个14，由此即可解决问题．【解答】解：因为第10行的前面有1+3+5+…+17=81个数，又因为1+2+…+12=78，所以第十行的19个数为，10个13，9个14，所以第10行的所有数字之和是130+9×14=256．故答案为256．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．【分析】首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可解决问题．【解答】解：首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可得出图中的结论．所以第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．故答案为35126．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=3521．【分析】由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，由此即可解决问题．【解答】解：由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，可得如图所示的答案．∴四位数=3521，故答案为3521．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是18．【分析】观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），由此即可解决问题．【解答】解：观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），再结合题意，认真思考，即可得出图中结论．因为5+5+5+1+2=18，故答案为18．【点评】本题考查数阵图中找规律，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在8层．【分析】找到数阵图规律数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：根据数阵图规律可知；；；；数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．那么对应相乘的数字就是，他们之前的是数字积是．那么与相乘的就是前一个数字就是．所以×=，×=.×=；在第三层，后面的数字为，，，，．故答案为：8【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，关键问题是找到数阵图规律，问题解决．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是54．【分析】由图形中数字的排列得出第n行的最后一个数为n×n，从而知第7行最后一个数为7×7、第8行中，从左向右第5个数为7×7+5．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行的最后一个数为2×2=4，第3行的最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，则第8行第1个数为49+1=50，第5个数为50+4=54，故答案为：54．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据数字排列规律得出第n行的最后一个数为n×n是解题的关键．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是504．。

小学奥数练习卷（知识点：圆）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）A．路线A长B．路线B长C．同样长D．无法比较2．如图，长方形的ABCD，长4，宽2，分别以A、C为圆心，以4、2为半径，画圆弧和圆弧，则阴影部分面积是（）（π=3.14）A．8.265B．7.5C．6.7D．5.73．如图所示，有两个大小相等的正方形，它们的边平行，并且覆盖在一个半径为3厘米的圆上．阴影的总面积是（）平方厘米．（π取3）A．9B．10C．15D．184．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A．淘气的剪法利用率高B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样D．无法判断第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共41小题）5．如图，直角三角ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=40厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积小92平方厘米，则BC=．6．正方形ABCD的边长为4，DCEF为梯形，圆周率π取3.14，那么，阴影部分的面积是．7．八段圆弧围成如图阴影部分，其中四段圆弧的圆心在一个正方形的四个顶点处，另外四段圆弧的圆心在这个正方形四条边的中点处．这八段圆弧的半径相同，正方形的对角线长度为1，那么阴影部分的面积之和为（答案保留π）8．如图中长方形的长是5厘米，宽是4厘米．阴影部分的周长是厘米．（π取3.14）9．如图，阴影部分的面积是平方厘米．（单位：厘米）10．如图，正方形ABCD的边长为10，以A为圆心10为半径作弧交AC于E，以B为圆心10为半径作弧交BD于F，以C为圆心10为半径作弧交AC于G，以D为圆心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是．（π取3.14）11．如图，正方形ABCD边长为40厘米，其中M、N、P、Q为所在的中点：分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是平方厘米．（π 取3.14）12．如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3，则阴影部分图形的周长为，面积为（圆周率用π表示）13．如图是一个对称的四角星形，其中四个顶点构成一个正方形，另外四个顶点在一个圆周上，正方形的边长为10厘米，阴影部分面积是正方形面积的，那么圆的半径为厘米．14．如图，一个半径为10的圆内接两个正方形，这两个正方形重叠的部分刚好构成一个正八边形，那么这个正八边形的面积与图中阴影部分的面积差为．（π取3.14）15．如图，正方形边长为80厘米，O为正方形中心，A为OB中点，在正方形内以A点为圆心，OA为半径的圆，以B点为圆心，OB为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形．将这个图形绕O点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状．那么这个风车（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3.14）16．如图所示，已知最大的圆的直径是100cm，则最小的圆的直径是cm．17．在如图所示的10×12的网格图中，猴子KING的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，图中阴影部分的面积是．（圆周率π取3）18．如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，那么，图中阴影部分的面积是．19．如图所示的网格图中，猴子KING的图片是由若干个圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，则阴影部分的面积是．【圆周率取3】20．如图，圆0的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径画弧AB，则阴影部分面积是平方厘米．21．如图，有四种大小不同的圆，直径从小到大依次为5、10、15、20厘米．那么，图中阴影部分面积之和是平方厘米．（π取3.14）22．如图，半径为4厘米的两个圆如图放置，长方形中两块阴影部分面积相等，A、B两点为两圆圆心，那么AB的长度为厘米．（π取3）23．埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了个计算圆的面积的公式：S=（）2．其中，d是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率π取值为（保留两位小数）．24．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，那么分别以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和为平方厘米．（π取3.14）25．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成，如取π=3，则图中黑色阴影部分的面积是平方厘米．26．如图中阴影部分的面积与空白部分的面积比是．（取π=3）27．如图，以点O为圆心，r和R（r＜R）为半径，分别作两个圆，介于这两圆之间的部分称为圆环．已知，阴影部分的面积为60平方厘米，则圆环的面积是平方厘米（π取值3.14）．28．如图，若大圆的半径为6，则阴影部分的面积为（答案保留π）．29．如图所示，圆的半径是10厘米，圆内部的弧都过此圆的圆心，且此圆的圆周恰好被弧六等分，那么，阴影部分的周长是厘米．（圆周率取3）30．如图，在面积为10000平方厘米的长方形中剪去一个大半圆和两个相等的小半圆，那么余下部分（图中阴影）面积是平方厘米．（π取3.14）31．在荷兰的小镇卡茨林赫弗尔2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为24.2m，19.3m，4.9m．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即图中的阴影部分所示的图形．那么该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为（圆周率用π表示）．32．如图，已知圆的半径是10厘米，六条直径将圆十二等分，那么，阴影面积之和是平方厘米．（π取3.14）33．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）34．如图所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，7，则图中阴影部分的面积是平方米．（π取3）35．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成．如果π=3，则图中黑色阴影部分的面积是平方厘米．36．如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长和宽的比值是．37．如图，圆的半径是6分米，正六边形的六个顶点均在圆上，则阴影部分面积为．（其中π取3.14）38．三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米．AB长40厘米，BC长为厘米（π取3.14）．39．如图，取π=3，则阴影部分的面积是．40．如图所示，一个圆AOB，半径是10厘米，绕A点顺时针旋转90度，扫过的面积（即整个图形的面积）是平方厘米．（π=3 ）41．一个圆A的周长与面积的数值相等，另一个圆B的半径是圆A半径的4倍，则圆B的面积为平方厘米（本题中所有的单位都是厘米，答案保留π）．42．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分Ⅱ的面积为（用圆周率π表示）．43．如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分I与II的面积之和为（圆周率用π表示）．44．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长为2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置．在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3）45．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA=10，则阴影部分的面积是．（π取3）三．解答题（共5小题）46．图中扇形半径都是4厘米，求阴影部分的面积．47．三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影1的面积比阴影2的面积大19平方厘米，那么BC的长度是多少厘米？48．求阴影部分面积（单位：厘米）．圆内接正方形（如图）的面积是10平方厘米，求阴影部分面积．49．如图，三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米，AB和CD垂直且过这三个圆的共有圆心O，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．50．有一根6厘米长的绳子，它的一端固定在长是2厘米、宽是1厘米的长方形的一个顶点A处（如图），让绳子另一端C与边AB在一条线上，然后把它按顺时针方向绕长方形一周，绳子扫过的面积是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）A．路线A长B．路线B长C．同样长D．无法比较【分析】由图知道小圆的直径是大圆的半径，利用圆的周长公式C=2πr或πd分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：设小圆的直径为d，则大圆的半径为d，A路线的长度为：2πd÷2=πd，B路线的长度为：πd÷2+πd÷2=πd；所以A、B两条路的长度一样长．故选：C．【点评】本题主要是灵活利用圆的周长公式解决问题．2．如图，长方形的ABCD，长4，宽2，分别以A、C为圆心，以4、2为半径，画圆弧和圆弧，则阴影部分面积是（）（π=3.14）A．8.265B．7.5C．6.7D．5.7【分析】根据图形，可知阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积），代入数据，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积）=﹣﹣（4×2﹣）=5.7，故选：D．【点评】本题考查阴影面积的计算，考查扇形的面积公式，确定阴影部分面积=扇形ABE的面积﹣△DEF的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣扇形BCF的面积）是关键．3．如图所示，有两个大小相等的正方形，它们的边平行，并且覆盖在一个半径为3厘米的圆上．阴影的总面积是（）平方厘米．（π取3）A．9B．10C．15D．18【分析】如图连接BD、AC．根据S阴=S圆﹣S正方形ABCD计算即可．【解答】解：如图连接BD、AC．∵四边形ABCD是正方形，AC=BD=6，∴S阴=S圆﹣S正方形ABCD=π•32﹣×6×6=27﹣18=9，故选：A．【点评】本题考查圆的面积公式、正方形的面积公式等知识，记住正方形的面积等于边长的平方，也可以等于对角线乘积的一半．4．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A．淘气的剪法利用率高B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样D．无法判断【分析】要求两个人的利用率情况，因为淘气是用正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），假设正方形的边长是9厘米，则能求出圆的面积，进而再比较即可．【解答】解：设正方形的边长是9厘米，则正方形的面积是：9×9=81（平方厘米）淘气：圆的半径是9÷2=4.5（厘米）用的材料的面积是3.14×4.52=3.14×20.25=63.585（平方厘米）；63.585÷81=0.785=78.5%；笑笑：大圆的直径是9厘米，小圆的半径是9÷3÷2=1.5（厘米），3.14×1.52×7=3.14×2.25×7=49.455（平方厘米）；49.455÷63.585≈0.778=77.8%；78.5%＞77.8%．答：淘气的利用率高．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握百分率的意义及应用以及圆的面积公式的运用，利用赋值法，通过计算后进行比较即可．二．填空题（共41小题）5．如图，直角三角ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=40厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积小92平方厘米，则BC=36厘米．【分析】由图可知：阴影（I）+空白=半圆，阴影（II）+空白=直角三角形ABC，由此可知半圆的面积比直角三角形ABC的面积少92平方厘米，据此分析解答即可．【解答】解：3.14×（40÷2）2÷2=628（平方厘米）628+92=720（平方厘米）720×2÷40=36（厘米）故填：36厘米【点评】本题考查的是圆和三角形面积公式的灵活运用，关键是要理解半圆的面积比直角三角形ABC的面积少92平方厘米，据此分析解答即可．6．正方形ABCD的边长为4，DCEF为梯形，圆周率π取3.14，那么，阴影部分的面积是4．【分析】由题意，阴影部分由两部分组成，左半部分面积为﹣=2π﹣4，右半部分面积为﹣=8﹣2π，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意，阴影部分由两部分组成，左半部分面积为﹣=2π﹣4，右半部分面积为﹣=8﹣2π，所以阴影部分的面积是2π﹣4+8﹣2π=4，故答案为4．【点评】本题考查阴影面积的计算，考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．7．八段圆弧围成如图阴影部分，其中四段圆弧的圆心在一个正方形的四个顶点处，另外四段圆弧的圆心在这个正方形四条边的中点处．这八段圆弧的半径相同，正方形的对角线长度为1，那么阴影部分的面积之和为π﹣（答案保留π）【分析】设正中间的阴影部分的面积为a，旁边小是阴影部分的面积为b．想办法求出a、b的值即可解决问题．【解答】解：设正中间的阴影部分的面积为a，旁边小是阴影部分的面积为b．由题意圆的半径为，b=正方形EFGH的面积﹣圆面积=﹣π，4a+b=π，∴4a=π﹣，∴阴影部分的面积=8a+b=π﹣+﹣π=π﹣，故答案为π﹣．【点评】本题考查圆、正方形的面积等知识，学会利用未知数，构建方程解决问题是解题的关键．8．如图中长方形的长是5厘米，宽是4厘米．阴影部分的周长是20.28厘米．（π取3.14）【分析】根据题意可得，阴影部分的周长=圆周长的一半+长方形的两条长+长方形的宽；据此解答即可．【解答】解：3.14×4÷2+5×2+4=6.28+10+4=20.28（厘米）答：阴影部分的周长是20.28厘米．故答案为：20.28．【点评】本题属于求组合图形周长的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的周长和，然后根据周长公式解答即可．9．如图，阴影部分的面积是19.26平方厘米．（单位：厘米）【分析】如图：把①部分补到②部分，则阴影部分的面积=扇形的面积﹣直角边是6厘米的三角形面积的一半，运用圆的面积公式和三角形的面积公式解答即可．【解答】解：3.14×62÷4﹣6×6÷2÷2=28.26﹣9=19.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是19.26平方厘米．故答案为：19.26．【点评】这类问题，要根据图形特点进行割补，寻求问题突破点．10．如图，正方形ABCD的边长为10，以A为圆心10为半径作弧交AC于E，以B为圆心10为半径作弧交BD于F，以C为圆心10为半径作弧交AC于G，以D为圆心10为半径作弧交BD于H，那么，图中阴影部分的面积是57．（π取3.14）=S扇形AOB﹣S△AOB即可求解．【分析】弄清楚S阴影部分BOE【解答】解：如图所示，设AC、BD的交点为O在图中，∠BAO=45°、OA 2=OB 2=；=S扇形AOB﹣S△AOB=×πr2﹣×OA×OB=（×π×102﹣）则：S阴影部分BOE=；=57．整个阴影部分面积=4S阴影部分BOE故：应该填57．【点评】此类题主要弄清部分或全部阴影部分面积的组成即可．11．如图，正方形ABCD边长为40厘米，其中M、N、P、Q为所在的中点：分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是344平方厘米．（π 取3.14）【分析】从图中可以求出看出：阴影部分面积=正方形ABCD的面积﹣四个四分之一圆的面积=正方形ABCD的面积﹣1个圆的面积【解答】解：小圆的半径=20厘米；一个小圆的面积=πγ2=1256平方厘米；阴影部分面积=正方形ABCD的面积﹣1个圆的面积=40×40﹣1256=344平方厘米．故：应该填344．【点评】找出阴影部分面积的等量关系即可．12．如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3，则阴影部分图形的周长为21π，面积为（圆周率用π表示）【分析】由题意，阴影部分图形的周长由两部分组成，外周是以3为半径的大圆，内周是5个以为半径的圆的一半与10个以为半径的圆；面积为大圆面积减去5个半圆的面积．【解答】解：由题意，阴影部分图形的周长由两部分组成，外周是以3为半径的大圆，周长为2π×3=6π，内周是5个以为半径的圆的一半，周长为2π××=π，10个以为半径的圆，周长为2π××=π，所以阴影部分图形的周长为6π+π+π=21π；面积为大圆面积减去5个半圆的面积，即=，故答案为：21π；．【点评】本题考查不规则图形的周长与面积的计算，考查分割法的运用，正确分割是关键．13．如图是一个对称的四角星形，其中四个顶点构成一个正方形，另外四个顶点在一个圆周上，正方形的边长为10厘米，阴影部分面积是正方形面积的，那么圆的半径为厘米．【分析】如图所示，△AOB面积是阴影部分面积的，是正方形面积的，即=厘米2，求出三角形的高，即可求出圆的半径．【解答】解：如图所示，△AOB面积是阴影部分面积的，是正方形面积的，即=厘米2，由于OA=，所以△AOB的高为h==，因为∠AOB=45°，所以OB=h=，即圆的半径为厘米，故答案为．【点评】本题考查圆的半径，考查图形面积的计算，正确求出三角形的高是关键．14．如图，一个半径为10的圆内接两个正方形，这两个正方形重叠的部分刚好构成一个正八边形，那么这个正八边形的面积与图中阴影部分的面积差为86．（π取3.14）【分析】只要证明S八边形﹣S阴=S正方形﹣S圆+S正方形即可解决问题．【解答】解：由图象可知，S圆﹣S正方形=S阴+4•S小三角形，∴S阴=S圆﹣S正方形﹣4•S小三角形，∵S八边形=S正方形﹣4•S小三角形，∴S八边形﹣S阴=（S正方形﹣4•S小三角形）﹣（S圆﹣S正方形﹣4•S小三角形）=S正方形﹣S圆+S正方形=2××202﹣π•102=86．故答案为86．【点评】本题考查圆、正方形的性质、正八边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用分割法，得出S八边形﹣S阴=S正方形﹣S圆+S正方形．15．如图，正方形边长为80厘米，O为正方形中心，A为OB中点，在正方形内以A点为圆心，OA为半径的圆，以B点为圆心，OB为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形．将这个图形绕O点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状．那么这个风车（阴影部分）的面积是912平方厘米．（π取3.14）【分析】首先分析其中一部分的阴影面积等于扇形面积减去小圆的面积再减去小三角形的面积即可．图中三角形OBC的面积为80×80÷4=1600（平方厘米）．可得出OB2=1600．OB2=3200．继续计算即可．【解答】解：依题意可知：图中三角形OBC的面积为80×80÷4=1600（平方厘米）．可得出OB2=1600．OB2=3200．∵∠OBC=45°．八分之一的圆的面积为πOB2=400×3.14=1256（平方厘米）．OA2==800．四分之一的圆的面积为：πOA2=628（平方厘米）．小三角形的面积是整个三角形OBC的四分之一．1600÷4=400（平方厘米）．一个小阴影的面积为：1256﹣628﹣400=228（平方厘米）．整个阴影面积为：228×4=912（平方厘米）．故答案为：912【点评】本题考查对圆的理解和运用，关键是找到阴影面积转换成标准图形的面积差，问题解决．16．如图所示，已知最大的圆的直径是100cm，则最小的圆的直径是50cm．【分析】可以利用勾股定理先求得最大正方形的边长，再求得第二大圆的半径，然后再求得第二大的正方形的边长，从而最后求得最小圆的半径．【解答】解：根据分析，如图，先求最大的正方形的边长，由勾股定理，得：AC2+OC2=OA2⇒=OC2；=×⇒OD=故最小圆的直径==50（cm）故答案是：50．【点评】本题考查了圆的直径，突破点是：利用圆的半径和正方形的边长以及勾股定理求得圆的半径．17．在如图所示的10×12的网格图中，猴子KING的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，图中阴影部分的面积是21.5．（圆周率π取3）【分析】按题意，可以将猴子KING的图中空白部分分割，而阴影部分的面积可以用圆的面积减去中间空白部分的面积，中间空白部分由一个长方形和两个半圆，以及两个圆组成．【解答】解：由图可知，圆的直径有8个方格，故可得：每个小方格的边长=8÷8=1，a和b部分的面积=2××π×12===4.5；c和d部分的面积==4π=4×3=12；矩形的面积=2×5=10；最大的圆的面积=π×42=16×3=48，故阴影部分的面积=最大的圆的面积﹣a和b部分的面积﹣c和d部分的面积﹣c 和d之间的矩形的面积=48﹣4.5﹣12﹣10=21.5．故答案是：21.5．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：利用大圆的面积减去中间空白部分的面积即可求得阴影部分的面积．18．如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，那么，图中阴影部分的面积是40．【分析】按题意，设小圆半径为a，可以利用勾股定理得到小圆面积和半圆面积的关系：a2+（2a）2=r2，解得：，进而求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，πr2=100，可得πr2=200，设小圆的半径为a，则根据勾股定理可得：a2+（2a）2=r2，解得：，故阴影部分的面积=πa2===40．故答案是：40．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：利用勾股定理求得圆的半径，再求得圆的面积．19．如图所示的网格图中，猴子KING的图片是由若干个圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，则阴影部分的面积是21.5．【圆周率取3】【分析】首先计算最大圆的面积然后与空白部分的面积做差即可．【解答】解：依题意可知：小方格的长度是8个小格代表8，那么每一个就是1．大圆的面积为：4×4×3=48．空格部分的面积分为半径为2的圆，和半径为1的圆的1.5倍和2×5的长方形．空格的面积为3×2×2+3×1×1.5+2×5=26.5那么阴影的面积为：48﹣26.5=21.5【点评】本题考查圆的面积的理解和运用，关键问题是求出圆中空白的部分面积做差即可，问题解决．20．如图，圆0的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径画弧AB，则阴影部分面积是100平方厘米．【分析】按题意，利用已知，阴影部分的面积等于半圆的面积减去弓形的面积．【解答】解：根据分析，连接AC，BC，因为AB为直径，且AB与CD互相垂直，则有：AC2+BC2=AB2=（2OA）2∴AC=BC=OA=（厘米）；易知，阴影部分的面积=半圆ADB的面积﹣AEB的面积，S AEBO=S AEBC﹣S△ACB=×π×（10）2﹣=﹣100=50π﹣100；阴影部分的面积=﹣（50π﹣100）=100，故答案是：100．【点评】本题考查了圆的面积，突破点是：阴影部分的面积可以用半圆的面积减去弓形的面积．21．如图，有四种大小不同的圆，直径从小到大依次为5、10、15、20厘米．那么，图中阴影部分面积之和是314平方厘米．（π取3.14）【分析】首先分析阴影的面积和空白部分的面积部分有对称性，结合起来正好是最大圆的面积即可求解．【解答】解：依题意可知：阴影部分的面积和为最大的圆的面积．最大的圆的半径为20÷2=10（厘米）；面积为：πr2=100π=314（平方厘米）故答案为：314【点评】本题是考察对圆面积的理解和认识，关键的是找到对称图案，面积和正好是一个大圆的面积．问题解决．22．如图，半径为4厘米的两个圆如图放置，长方形中两块阴影部分面积相等，A、B两点为两圆圆心，那么AB的长度为6厘米．（π取3）【分析】首先将阴影部分平分变成2个长方形，然后发现圆的四分之一的面积和一个小长方形的面积是相等的，即可列出等式．【解答】解：依题意可知：圆的面积为=12．圆的面积和一个小长方形的面积是相等的，两个长方形的面积是24平方厘米．24÷4=6．故答案为：6【点评】本题考查对圆的理解与认识，关键的问题是找到题中的相等的量．问题解决．23．埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了个计算圆的面积的公式：S=（）2．其中，d是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率π取值为 3.16（保留两位小数）．【分析】因为d=2r，代入S=（）2可得圆周率π的取值．【解答】解：因为d=2r，所以S=（）2==所以，π=≈3.16．故答案为：3.16．【点评】本题考查了求圆周率的值，关键是利用代入法解答．24．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，那么分别以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和为14.13平方厘米．（π取3.14）【分析】根据题意分析，半圆的周长计算公式为：πr+2r；以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米，可得AB=6；然后根据题意中：△ABC为等腰直角三角形，可知：AC=BC=3；以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和就是一个圆的面积．利用圆的面积公式，即可解答．【解答】解：根据题意分析：半圆的周长计算公式为：πr+2r；以斜边AB为直径的半圆周长为15.42厘米；（π+2）×r=15.42；解得：r=3；AB=2r=6；已知：“△ABC为等腰直角三角形”，根据勾股定理，AC=BC=3；以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和就是一个圆的面积；根据圆的面积公式，以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和=π×（）2=14.13平方厘米；故答案为：14.13平方厘米．【点评】解题关键利用半圆的周长计算公式解得AB的长度，再根据等腰直角三角形，解得AC与BC的长度，以AC，BC为直径的两个半圆形（阴影部分）面积之和即可解答．本题主要考查半圆的周长公式，等腰直角三角形的勾股定理，圆的面积公式等．25．如图中的曲线是由半径分别为2，3，4厘米的三个圆周组成，如取π=3，则图中黑色阴影部分的面积是21.25平方厘米．【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积为三个圆再加上一个边长为1的正方形，最后减去一个空白的三角形即可解答．【解答】解：根据题意可知：图中阴影部分的面积为三个圆再加上一个边长为1的正方形，最后减去一个空白的三角形．可列式为：π×（2×2+3×3+4×4）+1﹣×3×1=21.25（平方厘米）．故答案为：图中黑色阴影部分的面积是21.25平方厘米．【点评】解题关键将图中阴影部分拆分清楚，利用圆面积公式，正方形面积公式，三角形面积公式等即可解答．26．如图中阴影部分的面积与空白部分的面积比是1：3．（取π=3）【分析】根据图形分析，空白部分面积为两个圆的面积，阴影部分的面积为长方形面积减去两个圆的面积即可．求出两者的面积，比值即可解答．。

小学奥数练习卷（知识点：最短线路问题）
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一．选择题（共5小题）
1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）
A．144B．156C．168D．180
2．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．
A．8B．10C．12D．16
3．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个
居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）。

小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。

甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

小学奥数练习卷（知识点：最短线路问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．1802．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．163．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．85．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有种不同的走法．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有只．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有种不同的走法．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有条不同的路线．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有种不同的移动路线．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有种最近的走法．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有千米．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有种最短线路的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走米才能到达 B 点．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有种不同的走法．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐站地铁．（不需要考虑换乘次数）19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有种不同走法．20．如图，小张驾车从T出发，经过A，B，C，D，E各一次后，最后回到T，不允许走重复路线．图中道路旁边的数值表示汽车经过这段公路所用的小时数．小张完成计划的行程至少要用小时．21．小明骑车到A、B、C三个景点去旅游，如果从A地出发经过B地到C地，共行10千米；如果从B地出发经过C地到A地，共行13千米；如果从C地出发经过A地到B地，共行11千米，则距离最短的两个景点间相距千米．22．某城市的交通系统由若干个路口（如图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．23．国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条．24．如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．25．如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．26．如图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，则先后共有个孩子到过路口C．27．如图中表示的是一些城镇之间的道路图，各城镇之间的距离如图所示，从A 到B的最短路程是．28．一位旅行者要从A城出发去B城，但途中他要让马儿去河边饮水，有三条线路供他走，如图所示，他应该将马牵到点去饮水，这样走的路程最短．29．用边长为1厘米的正方形瓷砖，黑白相间，铺成一个4×6的矩形（如图）．一只蚂蚁从左上角的A点的出发沿正方形的边爬到右下角的B点．如果蚂蚁在爬行中，它的左边必须始终是黑色的瓷砖，那么蚂蚁至少爬行了厘米．30．如图，C处由于施工不能通行，从A走到B的最短路线一共有条．31．在图中，要从A走到B，不能经过C、D两点，如果只能向右、向上或斜上方走，一共有种不同的走法．32．一个旅游团要从A城到B城去观光旅游，路线如图．他们要选择合适的路线，才能在最短的时间内到达B城．图中的数是表示走这段路程时必需的时间（单位：分钟）．那么，从A城到B城最短需要分钟．33．从学校到电影院的路线图：其中A点在建筑施工，不能通行．如果学校要组织学生看电影，那么有条最短路线．34．一个圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米（如图所示），一只蚂蚁从A 点爬到B点的最短路线长厘米．35．图中相当于一个棋盘，警察先走，双方交替走棋，每次只能沿线走一步．请问警察最少需要步才能抓住小偷．36．有10个村庄，分别用A1，A2，…，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10再回到A1，有种不同走法？注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走．37．在如图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线共有条．三．解答题（共13小题）38．一个城市交通道路如图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程．39．如图所示，从A到B，步行走粗线道ADB需要32分钟，乘车细线道A→C→D→E→B需22.5分钟．已知D→E→B段的距离是D→B段距离的4倍，A→C→D段的距离是A→D段的距离的5倍，车速是步行速度的6倍，问先从A至D步行，再从D→E→B乘车所需要的总时间是多少分钟？40．一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？41．小明要从学校出发去少年宫参加活动，如图是学校到少年宫的路线图，直线表示可通行的道路．如果小明要尽快到达少年宫，他一共有多少条不同的最短路线可以走？42．王大伯从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）．请帮他找一条最短路线，在图中表示出来，并写出过程．43．如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草．已知从甲地到河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使羊群所走的路线为最短？请在图上表示出来并作文字说明．44．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D 户．问：邮递员走的最短路程是多少米？45．方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？46．如图是某地区的街道示意图，由图书馆到汽车站，要求走最短的路线，共有多少种不同的走法？47．某地风景区的旅游路线如图所示，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．一学生从A处出发，以每小时2千米的速度步行浏览，每个景点的逗留时间为0.5小时．（1）当他沿着路线A﹣D﹣C﹣E﹣A游览回到A处时，共用了3小时，求CE 的长．（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行时间最短的步行路线，并计算出这条路线步行的时间（不考虑其他因素）．48．这是一张台球桌面的示意图，图中所有的小方格都是正方形，现在点A处沿AB方向将小球击出，请问小球与桌沿碰撞几次后能达到点M处？请画出小球由点A至点M的运动路径．49．如图所示，AB、CD表示两条海岸线，O是小岛，若某只小船从O岛出发，先到AB海岸接人，再到CD海岸接人，最后回到O岛上，小船走什么路线最短，请画出示意图或用语言描述．50．如图为一变种蜘蛛的蜘蛛网，已知蜘蛛只会向上或向右爬行．若某只蜘蛛由A点爬行至B点，问它共有多少种可能路线？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．180【分析】从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．分类讨论，利用乘法原理可得结论．【解答】解：从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．（1）如果走的是B，接下来也是三大类，C，D，E．这样已经走了两步，还剩三步．从C三步回A共8种，从D三步回A共5种，从E三步回A共6种．所以走的是B共8×2+5×2+6=32种．（2）如果走的是C，那么接下来是两大类，B，D．从B三步回A共9种．从D 三步回A共5种．所以走的是C共9×2+5×2=28种．共（28+32）×3=180种．故选：D．【点评】本题考查最短路线问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．16【分析】利用标数法求出所走的最短路线的条数即可．【解答】解：如图，向上走由5条线路，向下走有5条线路，所以一共有10条线路．故选：B．【点评】此题考查利用标数法求最短线路问题，注意方向和线路的不同．3．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村【分析】花园小区花园一村到花园三村之间的距离是2个500米，花园五村到花园三村的距离是2个500米所以公交车站的站点应该设在花园三村．【解答】解：因为花园一村到花园三村之间的距离是2×500=1000（米）花园五村到花园三村的距离是2×500=1000（米）花园一村和花园五村到花园三村的距离相等，所以公交车站的站点应该设在花园三村．故选：C．【点评】解答本题关键求出到最远两村距离相等的中间点，然后确定出位置．4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．8【分析】本题利用加法原理的“标数法”，在交叉点上标数解答比较简单．【解答】解：根据分析画图如下，答：在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有6种故选：C．【点评】这种类型的最短路程问题，在标数的时候要按顺序标注，不要走“回头路”．5．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17【分析】如图，，根据每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间，按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短，据此把走每段路用的时间求和，求出从A出发走到B最快需要多少分钟即可．【解答】解：3+2+（4+1+2）+3=5+7+3=15（分钟）答：从A出发走到B最快需要15分钟．故选：B．【点评】此题主要考查了最短线路问题，解答此题的关键是判断出：按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短．二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有90种不同的走法．【分析】蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右，利用组合知识可得结论．【解答】解：蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右．所以就是=90种．故答案为90．【点评】本题考查最短路线问题，考查组合知识的运用，确定蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进是关键．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有12种．【分析】电子小虫的爬行速度是每秒3厘米，30秒到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点，据此利用“标数法”标数即可得出答案．【解答】解：电子小虫按时到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点．走法如下：由图可以看出一共有12种走法．故答案为：12．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有32只．【分析】因为任意两只小春香走的路线不同，所以有多少条不同的行走路线，就有多少只小春香，然后利用“标数法”标数解答即可．【解答】解：根据加法原理标数如下：由图可以看出一共有32条不同的最短行走路线，也就是这波小春香有32只．故答案为：32．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．注意本题不可以横走，只能向上走，这样才能保证经过的砖块数量最少．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有12种不同的走法．【分析】只能由北向南，由西向东，就是最短的路线，运用标数法进行求解，标出A到B的路线，然后根标数进行求解．【解答】解：根据只能由北向南，由西向东的方法，把从A走到B的路线标数如下：7+5=12一共有12种不同的走法．故答案为：12．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有13条不同的路线．【分析】不走冤枉路，就是走最短路线，根据标数法进行求解即可．【解答】解：根据题意标数如下：一共有13条不同的路线．故答案为：13．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动路线．【分析】解法一：标上字母，找出所有的路线；解法二：运用标数法进行求解．【解答】解：解法一：为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图）；我们从A点出发，先顺序往上推：①A﹣C﹣D﹣B；②A﹣C﹣F﹣O﹣B；③A﹣C﹣﹣F﹣J﹣B；④A﹣C﹣H﹣K﹣B；⑤A﹣C﹣O﹣B；再从A点向右推：①A﹣E﹣F﹣J﹣B；②A﹣E﹣F﹣H﹣K﹣B；③A﹣L﹣G﹣H﹣K ﹣B；④A﹣L﹣G﹣O﹣B；⑤A﹣M﹣I﹣O﹣B；⑥A﹣N﹣B．因此共有：5+6=11（种）．解法二：或见右图，与B点相邻的两个点，经过它们的路线分别有5条和6条，因此共有：5+6=11（条）．所以：要把棋子从 A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动．故答案为：11．【点评】要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，也不遗漏．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有11种最近的走法．【分析】要使路线最短，那么就只能朝着一个方向走，运用标数法，标出所有的路线即可求解．【解答】解：标数如下：一共有：7+4=11（种）；答：从学校到老年公寓有11种最近的走法．故答案为：11．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有44千米．【分析】图中共有6个奇点，必须在6个奇点间添加3条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，所示，共添加3条连线，这3条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．【解答】解：如图：红色线条是走两边的街道，其它是只走一边的街道：3+3+（3+3）×2+3+1+3×2+2×2+3+3+3+3=44（千米）；答：走完全程最少需要走44千米．故答案为：44．【点评】解决此题的关键是按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点，且要考虑重复走的路程最短，总路程就最短．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）【分析】要使驱车行驶的路程最少，首先需要减少重复走的路程，本题属于不能“一笔画”的图形，是“多笔画图形”；因为整个图的奇数点有4个，所以至少需要4÷2=2笔能画完，所以走的路程是内外两个正方形的周长加上两条对角线的长度，这是必须走的路程，由于是两笔画图形，所以至少还需要再重复走内部最短的一条3千米的街道，因此总路程是：（3+3）×6+4×4+3=55（千米）；据此解答．【解答】解：根据分析可得，（3+3）×6+4×4+3，=36+16+3，=55（千米）；答：至少要驱车行驶55千米．【点评】本题主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题．然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论往往不能直接用来解决这些问题，要转化为多笔画来解决实际问题；知识点：笔画数=奇点数÷2．15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有30种最短线路的走法．【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向下行走，以此为依据，从A到P只有2种走法；然后利用求最短路线的方法：“标数法”就可一次标出每个交叉点的走法．【解答】解：标数如下：一共30种最短线路的走法．故答案为：30．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走600米才能到达 B 点．【分析】本题从A到B的路线比较多，不可能都列举出来，所以要转变思考的角度，通过观察可知：无论怎么走都一定要横向走3条小线段，同理，竖向也走3条小线段，因此他最少走6个100米才能到达B点．【解答】解：根据分析可得，100×（3+3），=600（米）；答：他最少走600米才能到达B点．故答案为：600．【点评】本题考查了最短线路问题，注意寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来分析．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有6种不同的走法．【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2=6种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2=6（种），答：蚂蚁有6种不同的走法．故答案为：6．【点评】本题结合立体图形中最短路线问题灵活地考查了乘法原理，是个好题，关键是理解：它不论怎么走总要走正方形的面上．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐15站地铁．（不需要考虑换乘次数）【分析】本题给出的路线较多，观察找出哪一条线路中两站之间的距离较大的线路，从而数出经过的站数进而求解．【解答】解：最短的路线是：海淀黄庄﹣﹣知春里﹣﹣知春路﹣﹣大钟寺﹣﹣西直门﹣﹣车公庄﹣﹣阜成门﹣﹣复兴门﹣﹣宣武门﹣﹣和平门﹣﹣前门﹣﹣崇文门﹣﹣瓷器口﹣﹣天坛东门﹣﹣蒲黄榆，一共坐了15站．故答案为：15．【点评】本题仔细看清楚所有的路线，数清楚经过的站数是本题的解题关键．19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有18种不同走法．【分析】利用标数法，数出所有的可能即可求解．【解答】解：标数如下：。