2018秋九年级数学上册 素养提升专题 古代问题与新定义问题习题讲评课件 (新版)华东师大版

小专题8 古代数学问题及新定义问题

类型1 古代数学问题

1.《九章算术》卷九“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）.设长方形门的宽为x尺，可列方程为 .

2.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲走了 步.

3.印度古算书中有这一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？

4.（教材P39“读一读”变式）阅读材料，回答下列问题：

阿尔·花拉子密（约780~约850），著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”.

他用以下方法求得一元二次方程22350xx的解:

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x、宽为1，拼合在一起的面积就是22111xx，而由22350xx变形得221=351xx(如图所示)，即右边边长为1x的正方形面积为36.

所以2(1)36,5xx则.

运用上述方程构造出符合方程2890xx的一个正根的正方形.

5.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年（1524年），王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔各几何？”

2018(28) 一模 大题压轴

1.(2018东城一模28)

28．（8 分）给出如下定义：对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P（M，O，N 三点不共线，且点 P，O 在直线 MN 的异侧），当∠MPN+∠MON=180°时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点．图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图．

在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．

（1）如图 2，已知 M（，），N（（，﹣），在 A（1，0），B（1，1），

C（，0）三点中，是线段 MN 关于点 O 的关联点的是 ________；

（2）如图 3，M（0，1），N（，﹣），点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点．

①∠MDN 的大小为 ___________；

②在第一象限内有一点 E（m，m），点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，判断△

MNE 的形状，并直接写出点 E 的坐标；

③点 F 在直线 y=﹣33x+2 上，当∠MFN≥∠MDN 时，求点 F 的横坐标 x 的取值范围．

2.(2018西城一模28)

3.(2018朝阳一模28)

4.(2018海淀一模28)

5.(2018丰台一模28)

6.(2018石景山一模28)

8.(2018通州一模28)

9.(2018顺义一模28)

28.如图1，对于平面内的点P和两条曲线𝐿1、𝐿2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与𝐿1、𝐿2交于𝑄1、𝑄2，总有𝑃𝑄1𝑃𝑄2是定值，我们称曲线𝐿1与𝐿2“曲似”，定值𝑃𝑄1𝑃𝑄2为“曲似比”，点P为“曲心”．

例如：如图2，以点为圆心，半径分别为𝑟1、𝑟2 都是常数 的两个同心圆𝐶1、𝐶2，从点任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆𝐶1与𝐶2曲似，曲似比为𝑟1𝑟2，“曲心”为．

概率与代数、几何等知识的综合

► 类型一 游戏与概率问题

1．［2017·怀化］“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．

(1)用列表法或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；

(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

2．［2017·营口］如图Z－6－1，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则，小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)．

图Z－6－1

► 类型二 方程与概率问题

3．有四张质地相同并标有数字0，1，2，3的卡片(如图Z－6－2所示)，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，第一次任意抽取一张(不放回)，第二次再抽取一张．用列表法或画树状图法求两次所抽卡片上的数字恰好是方程x2－5x＋6＝0的两根的概率．

图Z－6－2

2

4．三个小球分别标有－2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀．

(1)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率(请用画树状图或列表的方法给出分析过程，并求出结果)；

(2)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下……这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于－4，平方和等于14，求这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数．

东城区

28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O

的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.

（1）如图2， 22,22M，22,22N.在A（1，0），B（1，1），2,0C

三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是 ；

（2）如图3， M（0，1），N31,22，点D是线段 MN关于点O的关联点.

①∠MDN的大小为 °；

②在第一象限内有一点E3,mm，点E是线段MN关于点O的关联点，

判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；

③点F在直线323yx上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．

西城区

28．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设AQBQkCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQBQ，2AQkCQ（或2BQCQ）．

已知在平面直角坐标系xOy中，(1,0)Q，(1,0)C，⊙C的半径为r．

（1）如图，当2r时，

①若1(0,1)A是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

②2(12,0)A是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．

（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，

①当1r，直线QM与⊙C相切时，求k的值．

②当3k时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线3yxb与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．

备用图CyxOQ图1CyxOA1A2Q