2025年湖南省中考数学一轮复习第五讲 整式方程(组)的概念及解法学生版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义 1.(1)下列是一元一次方程的是( )A.3-2xB.6+2=8C.x2-49=0D.5x-7=3(x+1)(2)下列是二元一次方程组的是( )A.{x2-y3=1y-z=2B.{2x2+y=13y-x=4C.{3x-y3=2x+y=5D.{x+y=73y+x=0(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是( )A.x2-1=0B.x2+1x+3=0C.x2+2x+1=0D.3x2+ 2x+1=02.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边的的值.只含一个未知数的方程的解,也叫 2.如果方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为{x=4y=1,那么这个方程可以是( )A.3x-4y=16B.14x+2y=5方程的.(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都的未知数的值. C.12x+3y=8D.2(x-y)=6y3.等式的性质(1)等式两边同时(或)同一个整式,等式仍然成立.(2)等式两边同时或同一个的整式,等式仍然成立. 3.下列变形不正确的是( )A.若x=y,则x+5=y+5B.若x=y,则xa=yaC.若x=y,则1-3x=1-3yD.若a=b,则ac=bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法 4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的过程:去括号,得1+8x-12=5x-1-3x,①移项,得8x-5x+3x=-1-1+12,②合并同类项,得6x=10,③系数化为1,得x=53.对于上面的解法,你认为( )A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x 2-4x -8=0的解是()A .x 1=-2+2 3,x 2=-2-2 3B .x 1=2+2 3,x 2=2-2 3C .x 1=2+2 2,x 2=2-2 2D .x 1=2 3,x 2=-2 3(3)关于x 的一元二次方程(m +1)x |m |+1+4x +2=0的解为()A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C .x 1=x 2=-1 D.无解(4)下列关于x 的一元二次方程没有实数根的是( )A .x 2+2x -5=0B .x 2-6=xC .5x 2+1=5D .x 2-2x +2=0(5)方程组{2x +y =1x -2y =8的解是{x =2y =-3.(6)已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2+3x -5=0的两个根,则x 1+x 2=32,x 1x 2=52.(7)目前以5G 为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G 用户20万户,计划到2023年底该市5G 用户数累计达到33.8万户.设该市5G 用户数年平均增长率为x ,则x 的值是 .考点1 整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组{ax +by =0x +2by =-3c 的解是{x =3y =-1则a -b +c 的值为()A .1B .0C .-2D .-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x 的一元二次方程(a +2)x 2+x +a 2-4=0的一个根是x =0,则a 的值为()A .2B .-2C .2或-2D .12【方法技巧】“让根回家”来求值 已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x 的一元一次方程2x -3m =6-x 的解是负数,则m 的取值范围是()A .m <-1B .m <-2C .m >1D .m >02.(2024·吉林模拟)若方程组{2x +y =m 2x -y =10的解为{x =3y =n ,小亮求解时不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了m 和n 两个数,则这两个数分别为( )A .6和4B .10和0C .2和-4D .4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x 2-3x +a =0的一个解为x =1,则a = .考点2 一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x -12-2x +36=1.(2)解方程组:{2x +3y =83x -2y =-14.【自主解答】(1)x -12-2x +36=1,去分母得,3(x -1)-(2x +3)=6,去括号得,3x -3-2x -3=6,移项得,3x -2x =6+3+3,合并同类项得,x =12.(2){2x +3y =8①3x -2y =-14②,①×2得4x +6y =16③,②×3得9x -6y =-42④,③+④得13x =-26,解得x =-2,把x =-2代入①得-2×2+3y =8,解得y =4,所以原方程组的解是{x =-2y =4.【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x ,y 的方程组{2x -y =5ax +by =2和{x +y =4ax +2by =10有相同的解,那么2a +b 值是( )A .3B .4C .5D .62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x 2=2-x 3+1.(2){3x +2y =122x -y =1.考点3 一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是()A .小张B .小王C .小李D .小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x 2-6x +8=0,配方后得到的方程是()A .(x +6)2=28B .(x -6)2=28C .(x +3)2=1D .(x -3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是( )A.x1=3,x2=1B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.考点4 根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为( )A.-10B.4C.-4D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a ≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x 的方程x 2+mx -2=0根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程x 2+2x +p =0两根为x 1,x 2,且1x 1+1x 2=3,则p 的值为()A .-23 B .23 C .-6 D .61.(2022·株洲中考)对于二元一次方程组{y =x -1①x +2y =7②,将①式代入②式,消去y 可以得到( )A .x +2x -1=7B .x +2x -2=7C .x +x -1=7D .x +2x +2=72.(2022·常德中考)关于x 的一元二次方程x 2-4x +k =0无实数解,则k 的取值范围是()A .k >4B .k <4C .k <-4D .k >13.(2023·怀化中考)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1,则m 的值为,另一个根为.4.(2024·湖南中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k 的值为.5.(2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是.6.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m=.7.(2023·常德中考)解方程组:{x-2y=1①3x+4y=23②.2025年湖南省中考数学一轮复习第五讲 整式方程(组)的概念及解法 教师版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义1.(1)下列是一元一次方程的是(D)A .3-2x B .6+2=8C .x 2-49=0D .5x -7=3(x +1)(2)下列是二元一次方程组的是(D)A .{x 2-y3=1y -z =2B .{2x 2+y =13y -x =4C .{3x-y 3=2x +y =5D .{x +y =73y +x =0(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是(B)A .x 2-1=0B .x 2+1x+3=0C .x 2+2x +1=0D .3x 2+ 2x +1=02.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边 相等 的 未知数 的值.只含一个未知数的方程的 2.如果方程x -y =3与下面方程中的一个组成的方程组的解为{x =4y =1,那么这个方程可以是(D)A .3x -4y =16B .14x +2y =5解,也叫方程的 根 .(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都 成立 的未知数的值.C .12x +3y =8 D .2(x -y )=6y 3.等式的性质(1)等式两边同时 加上 (或 减去 )同一个整式,等式仍然成立. (2)等式两边同时 乘 或 除以 同一个 不为0 的整式,等式仍然成立.3.下列变形不正确的是(B)A .若x =y ,则x +5=y +5B .若x =y ,则x a =y aC .若x =y ,则1-3x =1-3yD .若a =b ,则ac =bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法 4.(1)研究下面解方程1+4(2x -3)=5x -(1-3x )的过程:去括号,得1+8x -12=5x -1-3x ,①移项,得8x -5x +3x =-1-1+12,②合并同类项,得6x =10,③系数化为1,得x =53.对于上面的解法,你认为(B)A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x 2-4x -8=0的解是(B)A .x 1=-2+2 3,x 2=-2-2 3B .x 1=2+2 3,x 2=2-2 3C .x 1=2+2 2,x 2=2-2 2D .x 1=2 3,x 2=-2 3(3)关于x 的一元二次方程(m +1)x |m |+1+4x +2=0的解为(C)A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C .x 1=x 2=-1 D.无解(4)下列关于x 的一元二次方程没有实数根的是(D)A .x 2+2x -5=0B .x 2-6=xC .5x 2+1=5D .x 2-2x +2=0(5)方程组{2x +y =1x -2y =8的解是 {x =2y =-3 . (6)已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2+3x -5=0的两个根,则x 1+x 2= -32 ,x 1x 2= -52 .(7)目前以5G 为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G 用户20万户,计划到2023年底该市5G 用户数累计达到33.8万户.设该市5G 用户数年平均增长率为x ,则x 的值是 30% .考点1 整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组{ax +by =0x +2by =-3c 的解是{x =3y =-1则a -b +c 的值为(D)A .1B .0C .-2D .-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x 的一元二次方程(a +2)x 2+x +a 2-4=0的一个根是x =0,则a 的值为(A)A .2B .-2C .2或-2D .12【方法技巧】“让根回家”来求值 已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x 的一元一次方程2x -3m =6-x 的解是负数,则m 的取值范围是(B)A .m <-1B .m <-2C .m >1D .m >02.(2024·吉林模拟)若方程组{2x +y =m 2x -y =10的解为{x =3y =n ,小亮求解时不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了m 和n 两个数,则这两个数分别为(C)A .6和4 B .10和0C .2和-4D .4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x 2-3x +a =0的一个解为x =1,则a = 2 . 考点2 一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x -12-2x +36=1.(2)解方程组:{2x +3y =83x -2y =-14.【自主解答】(1)x -12-2x +36=1,去分母得,3(x -1)-(2x +3)=6,去括号得,3x -3-2x -3=6,移项得,3x -2x =6+3+3,合并同类项得,x =12.(2){2x +3y =8①3x -2y =-14②,①×2得4x +6y =16③,②×3得9x -6y =-42④,③+④得13x =-26,解得x =-2,把x =-2代入①得-2×2+3y =8,解得y =4,所以原方程组的解是{x =-2y =4.【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x ,y 的方程组{2x -y =5ax +by =2和{x +y =4ax +2by =10有相同的解,那么2a +b 值是(B)A .3B .4C .5D .62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x 2=2-x 3+1.(2){3x +2y =122x -y =1.【解析】(1)x 2=2-x 3+1,去分母得,3x =2(2-x )+6,去括号得,3x =4-2x +6,移项,合并同类项得,5x =10,系数化为1得,x =2,∴原方程的解为x =2.(2){3x +2y =12①2x -y =1②,由①+②×2得,7x =14,解得x =2,将x =2代入②式得,2×2-y =1,解得y =3,∴原方程组的解为{x =2y =3.考点3 一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是(D)A .小张B .小王C .小李D .小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x 2-6x +8=0,配方后得到的方程是(D)A .(x +6)2=28B .(x -6)2=28C.(x+3)2=1D.(x-3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是(B)A.x1=3,x2=1B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.【解析】∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0,∴x=0或x-4=0,解得x1=0,x2=4.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.【解析】∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,则x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3.考点4 根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x +a =0的两个解,若(m -1)(n -1)=-6,则a 的值为(C)A.-10B.4C.-4D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a ≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x 的方程x 2+mx -2=0根的情况是(A)A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程x 2+2x +p =0两根为x 1,x 2,且1x 1+1x 2=3,则p 的值为(A)A .-23B .23C .-6D .61.(2022·株洲中考)对于二元一次方程组{y =x -1①x +2y =7②,将①式代入②式,消去y 可以得到(B)A .x +2x -1=7B .x +2x -2=7C .x +x -1=7D .x +2x +2=72.(2022·常德中考)关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解,则k的取值范围是(A)A.k>4B.k<4C.k<-4D.k>13.(2023·怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为 -1 ,另一个根为 2 .4.(2024·湖南中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k 的值为 2 .5.(2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是 2009 .6.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m= 3 .7.(2023·常德中考)解方程组:{x-2y=1①3x+4y=23②.【解析】①×2+②得5x=25,解得x=5,将x=5代入①得5-2y=1,解得y=2,所以原方程组的解是{x=5y=2.。
一元一次方程与二元一次方程组1、理解并掌握不等式的性质，理解它们与等式性质的区别。
2、能用数形结合的思想理解一元一次不等式(组)解集的含义。
3、正确熟练地解一元一次不等式(组)，并会求其特殊解。
4、会利用一元一次不等式(组)解综合题、应用题。
1．（宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A ． 4150048000x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．4150068000x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．1500468000x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．1500648000x y x y +=⎧⎨+=⎩ 2．（随州）我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小货仓农户实际出资是（ ）A ．80元B ．95元C ．135元D ．270元8．（黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种3．（南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）学习目标课前检测A．19 B．18 C．16 D．154．（泰安，）一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？【基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式。
2020年中考数学总复习《方程(组)与不等式(组)》单元测试卷(总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a ，b.若a ＞b ，则下列结论正确的是( )A ．a －5＜b －5B ．2＋a ＜2＋b C.a 3＜b3 D ．3a＞3b2．方程x ＋5＝3x ＋1的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x ＝4D ．x ＝－4 3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x －1)2＝0 4．方程x －2＝x(x －2)的解是( )A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 5．分式方程1x ＝2x ＋3的解是( )A ．x ＝3B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－2 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－1B ．k ≥－1C ．k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0 7．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5两个实数根的和与积分别是( )A.32，－2 B ．－23，2 C.23，－2 D ．－32，2 8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1≥－3，x －2（x －3）＞0的最大整数解为( )A ．x ＝8B ．x ＝6C ．x ＝5D ．x ＝4 9．某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？若购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400B⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400 C.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝400x ＋y ＝400 D.⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝300x ＋y ＝400 10．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的长方形．设长方形的长为x cm ，则可列方程为( )A ．x(20－x)＝64B ．x(20＋x)＝64C ．x(40－x)＝64D ．x(40＋x)＝64 二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为 ． 12．不等式2－2x ＜x －4的解集为 ．13．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则另一个根为 ． 14．如果⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －3y ＝5，2x ＋by ＝2的解，那么a －b 的值为 ．15．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则 2 020－a －b 的值是 ．16．暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为 ． 三、解答题(共52分)17．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，①x ＋2y ＝－2.②18．(6分)解方程：x 2＋1＝2(x ＋1)．19．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3x －4，23－x ≥－13，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．20．(10分)为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道路地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍．若甲、乙两个工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元．请你设计一种方案，既能使工程按时完工，又能使工程费用最少．21．(10分)某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？22．(12分)小明所在的学校为了加强学生体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元；购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，要求购买篮球和足球费用不超过4 000元，那么最多可以购买多少个篮球？23．(10分)李宁准备完成题目：解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，□x ＋y ＝－8，发现系数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，3x ＋y ＝－8；(2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x ，y 是一对相反数．”通过计算说明原题中“□”是几？24.(10分)HW 公司2018年使用自主研发生产的“QL ”系列甲、乙、丙三类芯片共2 800万块，生产了2 800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL ”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．答案解析一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a ，b.若a ＞b ，则下列结论正确的是(D)A ．a －5＜b －5B ．2＋a ＜2＋b C.a 3＜b3 D ．3a＞3b2．方程x ＋5＝3x ＋1的解是(A)A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x ＝4D ．x ＝－4 3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为(B)A ．(x ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x －1)2＝0 4．方程x －2＝x(x －2)的解是(D)A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 5．分式方程1x ＝2x ＋3的解是(A)A ．x ＝3B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－2 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(D)A ．k ＞－1B ．k ≥－1C ．k ≠0D ．k ＞－1且k ≠07．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5两个实数根的和与积分别是(C)A.32，－2 B ．－23，2 C.23，－2 D ．－32，2 8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1≥－3，x －2（x －3）＞0的最大整数解为(C)A ．x ＝8B ．x ＝6C ．x ＝5D ．x ＝4 9．某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？若购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是(B)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400C.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝400x ＋y ＝400D.⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝300x ＋y ＝400 10．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的长方形．设长方形的长为x cm ，则可列方程为(A)A ．x(20－x)＝64B ．x(20＋x)＝64C ．x(40－x)＝64D ．x(40＋x)＝64二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知关于x 的方程2x ＋a －5＝0的解是x ＝2，则a 的值为1． 12．不等式2－2x ＜x －4的解集为x ＞2．13．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则另一个根为12．14．如果⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －3y ＝5，2x ＋by ＝2的解，那么a －b 的值为5．15．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 020－a －b 的值是2__025．16．暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为8． 三、解答题(共52分)17．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，①x ＋2y ＝－2.②解：①－②×2，得 －7y ＝7，∴y ＝－1.③ 将③代入②，得x ＝0.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.18．(6分)解方程：x 2＋1＝2(x ＋1)．解：x 2－2x －1＝0. (x －1)2＝2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.19．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＞3x －4，23－x ≥－13，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 解：不等式组的解集为－32＜x ≤1.在数轴上表示不等式组的解集如图所示．20．(10分)为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道路地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍．若甲、乙两个工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元．请你设计一种方案，既能使工程按时完工，又能使工程费用最少．解：(1)设甲、乙工程队单独完成此项工程各需x 天，2x 天，根据题意，得 1x ＋12x ＝110. 解得x ＝15，2x ＝30.答：甲、乙工程队单独完成此项工程各需15天，30天． (2)分三种情况讨论：①甲单独做费用：4.5×15＝67.5(万元); ②乙单独做费用：2.5×30＝75(万元)；③甲、乙合作完成费用：(4.5＋2.5)×10＝70(万元)． ∵75＞70＞67.5,∴甲工程队单独做既能使工程按时完工，又能使工程费用最小，为67.5万元．21．(10分)某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？解：(1)设每千克核桃应降价x 元，依题意，得 (60－40－x)(100＋x2·20)＝2 240，解得x ＝4或x ＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知，每千克核桃应降价4元或6元， 为了尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元， 此时售价为60－6＝54(元)，5460×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售．22．(12分)小明所在的学校为了加强学生体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元；购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，要求购买篮球和足球费用不超过4 000元，那么最多可以购买多少个篮球？解：(1)设每个篮球x 元，每个足球y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝310，5x ＋2y ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50. 答：每个篮球80元，每个足球50元． (2)设购买z 个篮球，由题意，得 80z ＋50(60－z)≤4 000，解得z ≤3313.∵z 为整数， ∴z 最大取33.答：最多可以购买33个篮球．23．(10分)李宁准备完成题目：解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，□x ＋y ＝－8，发现系数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，3x ＋y ＝－8；(2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x ，y 是一对相反数．”通过计算说明原题中“□”是几？解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，①3x ＋y ＝－8，②②＋①，得4x ＝－4.解得x ＝－1.把x ＝－1代入①，得－1－y ＝4.解得y ＝－5. ∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.(2)设“□”为a ，∵x ，y 是一对相反数，∴把x ＝－y 代入x －y ＝4，得－y －y ＝4. 解得y ＝－2.∴x ＝2. ∴方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.代入ax ＋y ＝－8，得2a －2＝－8.解得a ＝－3.∴原题中“□”是－3.24．(10分)HW 公司2018年使用自主研发生产的“QL ”系列甲、乙、丙三类芯片共2 800万块，生产了2 800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL ”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW 公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL ”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL ”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW 公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m 的值．解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x 万块，由题意，得 x ＋2x ＋(x ＋2x)＋400＝2 800. 解得x ＝400.答：2018年甲类芯片的产量为400万块．(2)2018年丙类芯片的产量为3x ＋400＝1 600(万块)，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y 万块，则1 600＋1 600＋y ＋1 600＋2y ＝14 400. 解得y ＝3 200.∴丙类芯片2020年的产量为1 600＋2×3 200＝8 000(万块)．2018年HW 公司手机产量为2 800÷10%＝28 000(万部)．根据题意，得400(1＋m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8 000＝28 000×(1＋10%)，设m%＝t ，化简，得3t 2＋2t －56＝0.解得t ＝4或t ＝－143(舍去)． ∴m%＝4.∴m ＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8 000万块，m ＝400.。
