【精编文档】吉林省四平四中2018-2019学年高三数学4月月考试卷理.doc
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精品 教育 试卷 习题 文档1 2018-2019学年下学期高三4月月考仿真卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·广安期末]已知集合{}20A x x =-≤，B =N ，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}2x x ≤C ．{}1,2D ．{}02x x ≤≤ 2．[2019·齐齐哈尔一模]23i1i -=+（ ）A ．15i 22- B ．15i 22-- C ．15i 22+ D ．15i 22-+3．[2019·济宁一模]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．[2019·乌鲁木齐一模]双曲线22136x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ） ABCD5．[2019·浏阳一中]设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“33log log a b <”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 6．[2019·桂林联考]已知等比数列{}n a 的前n 项和()131n n S λλ-=⋅-∈R ，则()8721S a +=（ ） A ．13 B ．3 C ．6 D ．9 7．[2019·福建毕业]执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值等于（ ）A ．3B ．3-C ．21D ．21-此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号精品 教育 试卷 习题 文档2 8．[2019·鹰潭期末]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）A．2y = B ．22y x = C．2y = D ．23y x =9．[2019·南昌一模]函数())2ln 31x x f x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．[2019·大连一模]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，且满足tan cos cos A b C c B =+，则A ∠=（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3 D ．2π311．[2019·南昌一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B． C． D．12．[2019·汉中联考]已知函数()e e x x f x -=-，若对任意的()0,x ∈+∞，()f x mx >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2019·临川一中]设向量a ，b 满足2=a ，1=b ，且()⊥+b a b ，则向量a 在向量b 方向上的 投影为______． 14．[2019·榆林一中]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，则34z x y =-+的最大值为____． 15．[2019·湘潭一模]已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为____． 16．[2019·铜仁期末]已知函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x = 为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在ππ,186⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·新乡期末]已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）设1233211log log 22n n n b a a ++=++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S ．精品 教育 试卷 习题 文档318．（12分）[2019·南昌一模]市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．19．（12分）[2019·南开期末]如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，DA AB ⊥，2AB AP ==，1DA DC ==，E 为PC 上一点，且23PE PC =． （1）求PE 的长； （2）求证：AE ⊥平面PBC ； （3）求二面角B AE D --的度数．20．（12分）[2019·临川一中]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，离心率12e =，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，1AF =，直线:4m x =-． （1）求椭圆C 方程；精品 教育 试卷 习题 文档4 （2）直线l 过点F 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线PA 、QA 分别与直线m 交于M 、N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．21．（12分）[2019·东北三校]已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），()()g x ax a =∈R ．（1）当e a =时，求函数()()()t x f x g x =-的极小值；（2）若当1x ≥时，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有且只有一个实数解，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】精品 教育 试卷 习题 文档5 [2019·大连一模]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα==⎧⎨⎩（t 为参数且π0,0,2t α⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ==+⎧⎨⎩（β为参数，且,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为：1cos 0,2πρθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=． （1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上变化时，求OP OQ +的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·东北三校]已知函数()4f x x a x =-+，a ∈R ．（1）若不等式()2f x a ≥对x ∀∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足42x y z m ++=，求()222x y y z +++的最小值．精品 教育 试卷 习题 文档1 2018-2019学年下学期高三4月月考仿真卷理科数学答案一、选择题．1．【答案】A 【解析】由题意{}2A x x =≤；{}0,1,2A B ∴=．故选A ．2．【答案】B 【解析】()()()()23i 1i 23i 15i15i 1i 1i 1i 222z -----====--++-，故选B ．3．【答案】B【解析】7天假期的楼房认购量为91、100、105、107、112、223、276；成交量为8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错； 对于②，日平均成交量为8131626323816642.77++++++≈，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选B ．4．【答案】D 【解析】根据题意，双曲线的方程为22136x y -=，其焦点坐标为()3,0±，其渐近线方程为y =0y ±=，则其焦点到渐近线的距离d ==D ．5．【答案】D【解析】由333a b >>，可得1a b >>；由33log log a b <，得0b a >>．所以当“1a b >>”成立时，“0b a >>”不成立；反之，当“0b a >>”成立时，“1a b >>”也不成立， 所以“333a b >>”是“33log log a b <”成立的既不充分也不必要条件．故选D ． 6．【答案】D 【解析】因为131n n S λ-=⋅-，所以2n ≥时，2131n n S λ--=⋅-， 两式相减，可得2123n n n n a S S λ--=-=⋅，2n ≥， 111a S λ==-，22a λ=， 因为{}n a 是等比数列，所以2331λλλ=⇒=-， 所以123n n a -=⨯，31n n S =-，8831S =-，6723a =⨯， 所以()87219S a +=，故选D ． 7．【答案】B 【解析】由题意得，程序执行循环共六次， 依次是1S =，2i =；1S =-，3i =； 2S =，4i =；2S =-，5i =； 3S =，6i =；3S =-，7i =， 故输出S 的值等于3-，故选B ． 8．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，因为BC =，所以BC =，所以45DCA ∠=︒，22AC ==+211CF =+=，所以PF ==，即2p PF ==，所以抛物线的方程为2y =，故选A ．9．【答案】A【解析】()()))22ln 3ln 3011x x x x f x f x x x -++-=+=++，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，排除C ，D 选项；())ln 13102f -=<，排除B 选项，故选A ．10．【答案】A【解析】0πA <<，sin 0A ∴≠tan cos cos A b C c B =+，()tan sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A ⋅=+=+=，所以tan A ，那么π6A =，故选A ．11．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为3）所得，则该几何体的体积为1114643232V ⎛⎛=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎝⎝D ．12．【答案】C【解析】令()e e x x g x mx -=--，()0,x ∈+∞，()e e x x g x m -'=+-．当2m ≤时，()0g x '≥，则()g x 在()0,+∞上单调递增，又()00g =，所以()f x mx >恒成立； 当2m >时，因为()e e x x g x m -'=+-在()0,+∞上单调递增，故存在()00,x ∈+∞，使得()00g x '=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()00g =，则()00g x <，这与()0g x >恒成立矛盾， 综上2m ≤，故答案为C ． 二、填空题． 13．【答案】1- 【解析】由于()⊥+b a b ，所以()0⋅+=b a b ，即2210⋅+=⋅+=⋅+=a b b a b b a b ，1⋅=-a b ，所以向量a 在向量b 方向上的投影为111⋅-==-a b b ． 14．【答案】5 【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线l 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由()2301,210x y A x y -+=⇒-+⎧⎨⎩=，此时5z =，故答案为5． 15．【答案】6 【解析】设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，精品 教育 试卷 习题 文档3因为球心到这两个平面的距离相等，则12OO EO 为正方形，两圆半径相等， 设两圆半径为r，1OO，OE = 又222OE AE OA +=，2322216r -+=，29r =，3r =．这两个圆的半径之和为6．16．【答案】5 【解析】由题意可得4442ππkTT⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭， 即21212π24π4k k T ω++=⋅=⋅，解得()21,k k ω=+∈*N ， 又因为()f x 在ππ,186⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以12π618922πππTω-=≤=⋅，即9ω≤，验证9ω=，7，5，得知5ω=满足题意，所以ω的最大值为5．三、解答题．17．【答案】（1）详见解析；（2）21n nS n =+．【解析】（1）证明：数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+， 可得()1131n n a a ++=+，即有数列{}1n a +是首项为2，公比为3的等比数列．（2）由（1）可得1123n n a -+=⋅， 即有()11233332221121111log 3log 3log log 22n n n n n b a a n n n n +++⎛⎫====- ⎪++++⎛⎫⎛⎫⋅⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和11111122121223111n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．18．【答案】（1）32625；（2）应选择A 型节能灯．【解析】（1）由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2，用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为15． 所以一年内一支B 型节能灯在使用期间需更换的概率为45， 所以一年内5支恰好更换了2支灯的概率为23254132C 55625⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）共需要安装5支同种灯管， 若选择A 型节能灯，一年共需花费3512036005200.7510870-⨯+⨯⨯⨯⨯=元； 若选择B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换服从二项分布45,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故一年需更换灯的支数的期望为4545⨯=支， 故一年共需花费34552536005550.7510967.55-⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭元． 因为967.5870>，所以该商家应选择A 型节能灯． 19．【答案】（1；（2）见解析；（3）120︒． 【解析】（1）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，DA AB ⊥， 2AB AP ==，1DA DC ==，E 为PC 上一点，且23PE PC =，AC ∴，PC ∴==，23PE PC ∴==． （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,2P ，222,,333E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0,0B ，4 222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,0,2PB =-，()1,1,2PC =-，44033AE PB ⋅=-=，2240333AE PC ⋅=+-=，AE PB ∴⊥，AE PC ⊥，又PB PC P =，AE ∴⊥平面PBC ．（3）()0,1,0D ，()2,0,0AB =，()0,1,0AD =，222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABE 的法向量(),,x y z =m ， 则20222333AB x AE x y z ⎧⎪⎨⎪⎩⋅==⋅=++=m m ，取1y =，得()0,1,1=-m ，设平面ADE 的法向量(),,a b c =n ， 则0222333AD b AE a b c ⎧⎪⎨⎪⎩⋅==⋅=++=n n ，取1a =，得()1,0,1=-n ，设二面角B AE D --的度数为θ， 则()1cos πcos ,2θ⋅-=〈〉===⋅m n m n m n ．120θ∴=︒，∴二面角B AE D --的度数为120︒．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-． 【解析】（1）121c a a c =-=⎧⎪⎨⎪⎩，得21a c ==⎧⎨⎩，所求椭圆方程22143x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线()():10l y k x k =+≠，()11,P x y 、()22,Q x y ， 直线()11:22y PA y x x =++，令4x =-，得1124,2y M x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理2224,2y N x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，以MN 为直径的圆()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()()()2121222121212121214422402424x x x x x x x y k y k x x x x x x x x ⎡⎤++++++++-+=⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦① ()221143y k x x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()22224384120k x k x k +++-=， 2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+② 将②代入①整理得226870x y x y k ++-+=，令0y =，得1x =-或7x =-． 当直线l 斜率不存在时，31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()4,3M --、()4,3N ， 以MN 为直径的圆()2249x y ++=，也过点()1,0-、()7,0-两点， 综上：以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-． 21．【答案】（1）0；（2）e 1a ≤+． 【解析】（1）当e a =时，()e e x t x x =-，()e e x t x '=-， 令()0t x '=则1x =列表如下：所以()()1e e 0t x t ==-=极小值． （2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，()1x ≥， ()1e x F x a x '=-+，()1x ≥， 设()1e x h x a x =-+，()2221e 1e x x x h x x x ⋅-=-='， 由1x ≥得，21x ≥，2e 10x x ->，()0h x '>，()h x 在()1,+∞单调递增， 即()F x '在()1,+∞单调递增，()1e 1F a ='+-， ①当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()1,+∞单调递增， 又()10F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有且只有一个实数解，符精品 教育 试卷 习题 文档5 合题意．②当e 10a +-<，即e 1a >+时，由（1）可知e e xx ≥，所以()11e e x F x a x a x x '=+-≥+-，e e 0e e a a F e a a a ⎛⎫'≥⋅+-=> ⎪⎝⎭，又e e11a >+， 故0e 1,a x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00F x '=，当()01,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又()10F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1． 又()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且()22e ln e e 1a a F a a a a a =+-+->-+，令()()2e 11x k x x x =-+≥，()()e 2x s x k x x ==-'，()e 2e 20x s x =-≥->'，故()k x '在()1,+∞单调递增，又()10k '>，1x ∴>当时，()0k x '>，()k x ∴在()1,+∞单调递增， 故()()10k a k >>，故()0F a >，又0eaa x >>，由零点存在定理可知，()10,x x a ∃∈，()10F x =， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1x ．又在[)01,x 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1，不合题意． 综上，e 1a ≤+． 22．【答案】（1）（2）1 【解析】（1）联立曲线3C ，4C 的极坐标方程1cos ,π0,2cos 1ρθθρθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎧⎪⎨⎪⎩得210ρρ--=，解得ρ（2）曲线1C 的极坐标方程为,0,π,02θααρ⎛⎫⎛⎫=∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为2sin ,0,2πρθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭联立得2sin ,0,2πραα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即2sin ,02π,OP αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,02π,ραα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，即1co 0πs ,,2OQ αα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin cos 1OP OQ αααϕ+=++=+，其中ϕ的终边经过点()2,1， 当2π2πk αϕ+=+，k ∈Z，即α=时，OP OQ +取得最大值为1 23．【答案】（1）44a -≤≤；（2）1621． 【解析】（1）因为函数()2444f x x a x x a x a a =-+≥--=≥恒成立， 解得44a -≤≤．（2）由第一问可知4m =，即()424424x y z x y y z ++=⇒+-+=，由柯西不等式可得()()][()222222242421x y y z x y y z ⎡⎤+-+≤+-++++⎡⎤⎣⎦⎣⋅⎦， 化简()2221621x y y z ⎡⎤≤⨯+++⎣⎦，即()2221621x y y z +++≥，当且仅当421x y y z +==-时取等号，故最小值为1621．。
