第04讲 (2010)迭代 混沌 分形 综合

非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。

本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。

一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。

它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。

混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。

非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。

也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。

非周期性是混沌的另一个重要特征。

与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。

这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。

二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。

这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。

分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。

分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。

在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。

这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。

三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。

1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。

应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。

例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。

2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。

例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。

分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。

3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。

应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。

几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。

分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。

欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。

分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。

人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。

分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。

因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。

1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。

2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)⇒表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。

【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。

如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。

它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。

著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。

不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。

Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。

【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。

2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。

数字混沌理论——分形操作数字混沌理论是一种全新的哲学与经济行为理论，提供一种一致性获利的方法，这种方法源自混沌理论。

混沌理论让我们从新的角度观察市场，它使我们能更清楚的控制市场行为的根本架构，从而使我们脱离传统理论的束缚，脱离那瞹味不清的传统技术分析。

混沌虽远早于人类文明，但至到电脑的使用混沌才发挥效用，让我们能有效分析市场的根本架构与行为模式。

形结构为混沌理论的分支，它提供一种技巧可以使你分析任何市场，其此数字混沌理论包括了价、量、空间、基准、黄金数字混沌式实战应用。

市场价格的每秒钟变化都属于一种理想状态，而不可以预测的——奇异的——换言之一个随机的形态被包括至此，事实上系统呈现的不规则形为仍然是在某特定范围或者基准内。

数字混沌理论技术分析让你抽象的观察市场，摸清市场结构。

市场交易——或者现称为投机形为——已经被提升至半学术形为，交易者认为它必须绞尽脑汁才能获利，然而交易既不是学术题。

事实上，愈动脑你会发现你越亏损。

理想的交易基本上来自于勇气与心灵。

不需过度的思考、你需要的是直觉，对于自身需求与市场需求的敏感直觉、以及扎扎实实的普通常识。

数字混沌理论让你带领你回归交易的普通常识。

认为：市场的根本架构，以及你的根本架构。

头脑的运作方式将决定你是羸家还是输家，首先了解自已，在了解市场。

行情是不可以预测，这几乎成为市场铁的定律，我们做的只是用操作来迎合市场波动。

数字混沌理论技术分析规则：1、三日为一顶，三日为一低。

2、市场呈现规律运行，市场会重复，但市场未来便不同于过去。

3、以突破为方向确认遵守分析规则，才能有效、准确发挥数字混沌理论的最大效用。

数字混沌理论技术分析实战规则1、不追求爆利，用操作化解风险。

2、以有效锁定利润为基准，副合高抛低吸。

3、利用波动配置资金。

第一、分形分形分析中并不着重于长期的预测。

而在于以持续获利为原则，用预测来迎合波段。

分形理论便是市场中的“我目前将如何做”。

分形分析可以就目前市场活动提供一种更清晰的市场景观。

第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。

思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。

若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。

投资中的“混沌理论”！（深度剖析）在混沌的世界中，今天并不能预测明天，如果我们以简单的线性模式去理解世界，最终一定会被碰得头破血流。

投资表面上比拼的是能力、水平，其实比拼的是对世界真相的认识。

我们的老祖先很早就说过，真理是不可言说的，世上没有绝对真理，只存在相对真理。

所以，决定我们交易成绩的是最新的相对真理、最先进的世界观。

在股票交易市场里，想要成为赢家，对这个世界运动规律的探索，尤其重要。

迄今为止，人类对这个世界的认知，已经出现了五次颠覆。

这五大颠覆由五大定律所引发，五大定律实际上是人类的五种思维方式，展现了人类思维进化的路径。

第一定律是“勾股定律”，这反应了当时人类的“平行时空观”。

最先将其运用于实践的是毕达哥拉斯，这是当时最先进的理念，他也因此获取了很大的财富，宰了百头牛庆祝，故该定律也被称为“百牛定律”。

第二定律是“牛顿的万有引力和运动三定律”，该定律能解释人类肉眼所看到的一切现象，这反映了当时人类“绝对时空观”，这是对平行时空观的一大进步。

拥有此观念者，对平行时空观念者是“降维攻击”。

第三定律是“爱因斯坦的相对论理论”，该定律能解释我们肉眼所看不到的分子、原子、宇宙星系等运动的规律，是对牛顿定律的重大补充，这反映了当时人类的“弯曲时空观”。

第四定律是“热力学第二定律”，该定律描述了热不可能自发的、不付代价的从低温传到高温，这反映的是“不可逆的时空观”。

第五定律是“混沌理论”，该理论认为世界是非线性的，事物的发展总是敏感的依赖初始条件，通过自我相似的秩序复制来实现，其反映的是“分形时空观”。

它是当今世界最先进的世界观，已经开始广泛的运用于各大领域。

混沌理论是现在最先进的时空观！有人说：“20世纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子力学和混沌”。

“上世纪初人们经历了相对论和量子力学两次科学革命。

混沌革命，却是我们正在经历的革命。

”混沌理论认为，能量永远会遵循阻力最小的途径发展，事物的发展总是敏感的依赖初始条件，通过自我相似的秩序复制来实现。

设计题四：求线性方程的根组员：鲁利萍章程冯山林班级：信息与计算科学081指导教师：吴梅君完成日期：12月12日目录实验二十四：迭代——方程求解、混沌 (3)一、实验指导书解读 (3)二、试验计划 (3)1、迭代序列 (3)2、方程求根 (5)3、线性方程组的迭代求解 (6)4、蜘蛛网 (6)5、Feigenbaum图 (7)6、Logistic映射 (8)7、“听一听”混沌 (8)三、实验过程与结果 (8)1、迭代序列 (8)2、方程求根 (13)3、线性方程组的迭代求解 (14)4、蜘蛛网 (15)5、Feigenbaum图 (16)6、Logistic映射 (19)7、“听一听”混沌 (20)四、实验总结： (20)实验二十四：迭代——方程求解、混沌实验报告一、实验指导书解读本实验主要做三方面的工作：一是通过若干个函数通过迭代利用计算机求函数的不动点的近似值，在有关程序中改变有关参数值、初值、函数而体会序列敛散性（速度），通过蛛网图利用函数在不动点的导数来刻画不动点的类型；二是对一个方程（组）或几个方程（组）利用迭代求根（解），观察初值对序列敛散性的影响，比较不同迭代所形成的序列的求解效果，思考或研究有效迭代的条件；三是通过Logistic迭代函数中参数a的不同取值利用计算机研究序列发散时出现的周期收敛，利用计算机进行不同次数的迭代对Feigenbaum图体会分形的层次性与自相似性。

二、试验计划1、迭代序列（1）研究函数f(x)=(25x-85)/(x+3)的蛛网图（2）给定初值1及迭代函数f(x)=x/2+1/x,迭代n次产生相应的序列（3）给定初值1，分别就f（x）=（-x+15）/（x+1），g（x）=sinx做迭代序列{Xn}实验思路改变有关参数值、初值、函数思考：观察序列的通项并判断其敛散性，通过蛛网图利用函数在不动点的导数来刻画不动点的类型。

2、方程求根用迭代序列求g（x）=x^3-2x+1的根实验思路：改变初值思考：观察实验结果，求出方程的根3、线性方程组的迭代求解对给定的矩阵M，数组f和初始向量x^0,由已知的迭代结果求出线性方程组的解实验思路改变初值思考：观察结果，求出线性方程组的解；研究矩阵M的特征值对迭代序列的收敛性有何关系。

混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。

逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。

迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。

④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。

⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。

以上这些特点可用图示法直观形象地给出。

逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。

X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。

k 从2.8增大到4。

⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。

它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。

图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。

较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。

图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。

数学作为一门学科，一直以来都扮演着解开自然界奥秘的工具和媒介的角色。

而迭代法作为数学中的一种重要工具，在数学的发展和应用中发挥着不可替代的作用。

从初等函数到混沌现象，我们可以通过迭代法的数学之旅，揭示出许多神奇而又令人着迷的现象。

初等函数是数学中最基础的函数类型之一，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

初等函数的特点是可以通过有限次的代数运算表达出来。

但是，通过迭代法，我们可以进一步拓展初等函数的应用范围。

迭代法是通过不断重复同一代数运算，得到一个数的序列。

例如，通过不断迭代$f(x)=ax(1-x)$，我们可以发现，对于不同的初值$x_0$，迭代结果会趋向于一个特定的值。

这种现象被称为“迭代收敛”，通过迭代法，我们可以求解一些非线性方程，如方程$f(x)=x$的根。

不仅如此，通过迭代法，数学家们还发现了一些非凡的现象，如“分岔现象”和“混沌现象”。

分岔现象是指当参数增加时，方程的解会从一个点变成两个点、四个点，甚至无穷多个点。

这种现象最早在简单的线性方程中被发现，而后也被应用于更为复杂的系统中。

而混沌现象则是指当参数增大到一定程度时，方程的解会变得非常敏感，微小的变动也会导致完全不同的结果。

混沌现象最早是由天体力学家勒夫布里（Henri Poincaré）在研究三体问题时发现的，后来被应用于气象学、生物学、经济学等领域。

迭代法的应用还远不止于此。

在图像处理中，迭代法可以用来对图像进行增强和去噪。

在机器学习中，迭代法常常用来求解最优解。

在金融领域中，迭代法可用于计算复利和模拟股票价格等。

可以说，迭代法贯穿了各个领域的数学应用。

通过迭代法，我们可以更深入地理解和探索数学中的种种现象。

从初等函数到混沌现象，我们可以看到数学的力量和美丽。

迭代法不仅是一种数学方法，更是一把打开自然之门的钥匙。

无论是解方程、研究科学现象，还是应用于实际问题的求解，迭代法都具有极其重要的作用。

通过迭代法的数学之旅，我们不仅可以领略到数学的魅力，还可以发现许多神奇而又令人着迷的现象。

分形和混沌（转载）分形和混沌（转载）(2010-08-27 19:20:40)转载标签：股票分类：理财之道财经（“混沌”⼀词的字⾯解释，有两个含义：⼀指多个组织构成的极端复杂的系统运⾏的状态；另⼀含义则指⼀种更⾼层次的秩序，或者可以理解为世间万事万物运⾏背后的真正的普适规律。

本⽂所指是后者。

） 是什么使⼀项才获诺贝尔奖的对冲套利理论，在强⼤计算机系统配合下，仅⼀年后即成巨型基⾦⽼虎破产的主因？⼜是什么使美国防部耗时数年的预测报告，仅因漏算了⼀只蝴蝶翅膀的扇动，预想的景致便⾯⽬全⾮？什么样的巨⼿成就了索罗斯，不久⼜肢解了量⼦基⾦？是什么使得⼈类百年地震预测史，成为百次预测九⼗九次失误的历史？千百年来，⼈类对预知未来的渴望⽆⽇稍减，但每年价值两千亿美元的预测产业，多数成果都被时间⽼⼈轻易废掉？科学的发展⾄今，⼈们已可轻易算出银河系内任⼀星体明年此时的准确位置，那么能不能也同样算算我股票明天此时的价格呢？预测是⼈类最⼤的梦想，但⾯对环环相扣的复杂组织系统，任何单⼀或复杂的单向性思考，都告⽆效。

那么，放弃预测，已成过去的历史，可以被解释清楚吗？科学家们提出的恐龙灭绝原因已超过千种：⼩⾏星撞击、海平⾯下降、⼆氧化碳窒息、⽕⼭、地震、过于⼲旱、过于潮湿、过暖、过寒、甚⾄四肢太重使之不能交配，等等；温室效应、海底⽕⼭、⼤⽓环流、⽔含盐量、信风逆转等，也丝毫改变不了“厄尔尼诺”继续依然故我的幽灵般游荡——致巴西暖冬如夏，智利沙漠汪洋，中美饱受龙卷风之苦，北美⼲旱产⽣森林⼤⽕，⽇本歌⼭飓风海啸，加拿⼤西部颗粒⽆收……⾦融市场更难琢磨，世贸谈判、扩容计划、利率政策、数百种国有股减持⽅案的反反复复、更有北约、⾮典等⽆数突发事件；基⾦、互联⽹这样的长期⼤事件；创业板、期指等永远的远景……之前⼏乎没有任何⼈料准，之后也没能达成些许的共识。

⽆数经济派系与理论依据，千百万种声⾳永远的争执⽆休，百年前如此，⼗年前如此，今天依然如此。