文科数学二轮复习： 导数及其应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解

第3讲 导数的几何意义及函数的单调性

[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形

式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，

以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．

考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼

1．导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．

(3)切点既在切线上，又在曲线上．

2．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.

例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )

A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0

C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0

答案 B

解析 由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x，

可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x，

所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，

f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，

所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．

答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)

解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)0ex)，O为坐标原点，依题意

得，切线斜率kOA＝

0=|

xxy'＝(x0＋a＋1)0ex＝0

0

0exxa

x

，化简，得x2

0＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x

＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x2

第𝟏𝟓讲 双变量统一

知识与方法

常见的双变量问题,有如下几类:

(1)极值点偏移问题;(2)拐点偏移问题;(3)双极值点问题;(4)零点差问题;(5)“恒成立”“能成立”双变量问题;(6)其他的双变量问题.

本节主要研究(5)和(6)两类问题的处理方法,其他类型将在后面继续研究.

对于一般的双变量问题,要灵活运用“消元”、“减元”、“换元”等操作手法,其核心思想就是化为单变量函数,研究函数的单调性、值域或最值.

对于含有“恒成立”“能成立”等关键词的双变量问题,要正确翻译“恒成立”“能成立”等关键词,理解“任意”与“存在”的含义及区别,将问题进行正确转化,分析函数的值域即可解决.

下面是一些常见“关键词”的翻译:

1.不等式恒成立、能成立问题通常利用分离参数转化为求函数的最值：

(1)∀𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)>𝑎(𝑓(𝑥)⩾𝑎)恒成立⇔𝑓(𝑥)min>𝑎(𝑓(𝑥)min⩾𝑎);

∀𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)<𝑎(𝑓(𝑥)⩽𝑎)恒成立⇔𝑓(𝑥)max<𝑎(𝑓(𝑥)max⩽𝑎).

(2)∃𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)>𝑎(𝑓(𝑥)⩾𝑎)能成立⇔𝑓(𝑥)max>𝑎(𝑓(𝑥)max⩾𝑎);

∃𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)<𝑎(𝑓(𝑥)⩽𝑎)能成立⇔𝑓(𝑥)min<𝑎(𝑓(𝑥)min⩽𝑎).

变量类函数恒成立、能成立问题

(1)若𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的值域分别为𝐴,𝐵,则有:

(1)∀𝑥1∈𝐷,∃𝑥2∈𝐸,使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2),则𝐴⊆𝐵;

(2)∃𝑥1∈𝐷,∃𝑥2∈𝐸,使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2),则𝐴∩𝐵≠∅.

(2)两个函数的最值问题

(1)∀𝑥1∈𝐷,∀𝑥2∈𝐸,使得𝑓(𝑥1)>𝑔(𝑥2),则𝑓(𝑥)min>𝑔(𝑥)max;

(2)∀𝑥1∈𝐷,∃𝑥2∈𝐸,使得𝑓(𝑥1)>𝑔(𝑥2),则𝑓(𝑥)min>𝑔(𝑥)min;

聪明在于学习，天才在于积累。所谓天才实际上是依靠学习。（华罗庚）

1 潍坊七中高三数学二轮复习“导数及其应用”分层导学案

主备人：刘宝娟 审核人：曹贤波 责任人：董树征

注：带有*的题目是为学有余力的学生准备的，请同学们自己选择完成。

【三维目标】

1.知识与技能：熟记导数公式及导数四则运算法则，能熟练运用导数解决切线问题，单调性问题及极值、最值问题。

2.过程与方法：在一轮复习的基础上，查漏补缺，结合典型例题、最新模拟题重点强化易错点与难点。

3.情感、态度与价值观：进一步提升综合分析问题与解决问题的能力。

【学习重点】导数在解决切线问题，单调性问题及极值、最值问题中的应用。

【学习难点】含参函数的分类讨论问题。

【学习过程】

《自我检查》

1. 基本初等函数导数公式表

。

2. 导数四则运算法则、复合函数求导法则

。

3. 导数的几何意义及应用时所要注意的问题

。

4. 函数的单调性与导数的关系

。

5.极值点的性质及应用注意事项、求函数极值的基本步骤

。

2023届新高考数学二轮复习：专题（导数解答题之零点题）提分练习

【总结】

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函

数零点情况，求参数的值或取值范围．

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴（或直线yk）

在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其

图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．

【典型例题】

例1．（2023秋ꞏ内蒙古包头ꞏ高三统考期末）已知函数

ln11fxxax.

(1)若

fx存在极值，求a

的取值范围；

(2)当2a时，讨论函数

singxfxx的零点情况.

例2．（2023春ꞏ全国ꞏ高三竞赛）已知函数1ecos,0,2xfxxx．设

fx

为

fx的

导函数．

(1)证明：

fx

有且仅有一个极值点；

(2)判断

fx的所有零点之和与2的大小关系，并说明理由．

例3．（2023秋ꞏ重庆ꞏ高三统考学业考试）已知函数2()ln,Rfxxxaxa.

(1)当1a时，求曲线

fx在点(1,0)处的切线方程；

(2)当02ea时，讨论函数

fx的零点个数.

例4．（2023秋ꞏ山东日照ꞏ高三校联考期末）已知函数()sine()xfxxafx，是()fx的导函

数．

(1)若()0fx

在(π,π)上恒成立，求实数a

的取值范围；

(2)若(π)0f，判断关于x

的方程()1fx在*[(21)π(22)π],(N)kkk，内实数解的个数，

并说明理由．

例5．（2023秋ꞏ江西赣州ꞏ高三统考期末）已知函数

exfx，2

2gxxxa．

(1)讨论函数

hxfxgx

的单调性；

(2)若函数

yfx的图象与函数

ygx的图象仅有一个交点M，求证：曲线