带形状参数Bézier型曲线曲面及其应用

０ 引 言
以Ｂ ｅ ｍｓ ｔ ｅ ｉ ｎ基 构 造 的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲 线 曲 面 由 于
角 函数 空 间 ｛ １ ， ｓ ｉ ｎ （ ７ ／ － ） ， ｃ ｏ ｓ （ 詈￡ ） ， ｓ ｉ ｎ （ 仃 ｔ ） ，
二 二
Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｗ ＇ ｔ ） ｝ 中构造一类带有形状参数的 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ
型基 函数 ， 并定义 相 应 的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 型 曲线 及 张 量 积 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 型 曲面 。 只要 适 当的选 择 形状 参 数 和 控 制 顶点 ， Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 型曲 线 曲 面 可 以简 单 且 精 确 表 示 椭 圆弧 （ 圆弧 ） ， 椭球 面（ 球面） ， 圆 柱 型 曲 面等 二 次 曲面 ， 同时 ， Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 型 曲线 曲 面在 图形及 实物造 型 中也有较 好 的应用 。
Ｆｅ ｂ． ２ ０ １ ３
ＶＯ Ｉ ． １ ９ ＮＯ． １
带 形状 参 数 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 型曲 线 曲面及 其应 用
陈素根 ， 苏本跃 ， 汪志华
（ 安庆师范学院 １ ．数学与计算科学学院 ； ２ ． 计算机与信 息学院 ， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：在三角函数空间 中构造了一组带有形状参数 的基函数 ， 具有类 似于 Ｂ ｅ ｍｓ ｔ ｅ ｉ ｎ基 函数 的性质 ， 称其 为 Ｂ ｅ ｍ—
ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ 型基函数 ， 利用此基 函数定义 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 型曲线及张量积 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 型 曲面。分析 了形状参数对 曲线曲面形状的调节作用 ， 调节形状参数可以使 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ 型曲线从双边逼近 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， 且可 以精确表示抛物线 、 椭圆弧（ 圆弧 ） 等， 同时， Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 型曲面
（ ， ） ＝
一 ． ｓ ｉ ｎ （ 争） ＋ ２ （ １ 一 ）
曲面。考虑到既能方便地精确表 示二次 曲线 曲
面， 又能方便地调节曲线 曲面的形状 ， 本文在三
…ｓ （ 手） ＋ 芋． ｓ ｉ ｎ （ ） 一 …ｓ （ 丌 ）
・
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２— ０ ９—２ ４
三角函数空间中构造曲线曲面方法的研究＿ ５ 。 文献 ［ ５ ］ 在代数三角函数空间中构造了 Ｔ— Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线， 文献 ［ ６ ］ 在三角 函数 空间中构造 了 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ
型 曲线 ， 文献 ［ ８ ， ９ ， ｌ ｌ ， ｌ ３ ］ 在 三 角 函 数 空 间 中 构
的研 究 Ｉ ４ Ｊ ， 这样 虽 然 解 决 了 曲线 形 状 的调 节 问
题， 但在飞机外形和机械零件加工中， 经常会遇到 由二 次 曲线 和 曲面片 表示 的形 状 ， 如椭 圆弧 、 椭 球 面等 ， 传统的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 曲面及带形状参数 的曲
线 曲面在 精确 表示 这 些 形状 方 面 是 无 能 为力 的 ， 所以， 许多学 者 又致 力 于 在 三角 函数 空 间及 代 数
仅需较少 的曲面片即可精确重建椭球面（ 球 面） 及圆柱型曲面， 可以达到 ｃ 连续足 以满足工程中的需求 。
关键词 ：计算机应用； Ｂ ｅ ｍ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ型基 函数 ； Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ 型 曲线／ 曲面 ； 形状参数
中田分类号：Ｔ Ｐ ３ ９ １ 文献标 识码：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ７－ ４ ２ ６ ０（ ２ ０ １ ３ ） ０ １— ０ ０ １ ８— ０ ４
２ ０ １ ３年 ２月 第ｌ ９卷第 １ 期
安庆 师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｍ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
在代 数三角 函数 空间 中构造 了一类 带形状 参数 的
）＝
＋２ （
． ｓ ｉ ｎ （ ７ ７ ＂ ）一
…ｓ （ 詈 ） ＋ 詈． ｓ ｉ ｎ （ ． ， ｒ ） ＋ …ｓ （ 丌 ｔ ）
９２３
，
拟Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ 插值曲线及拟 Ｃ ｏ ｏ ｎ ｓ 插值曲面， 这些文 献中的曲线曲面能够精确表示常见的二次曲线与
）＝
一２ （ １
． ｓ ｉ ｎ （
＋
…ｓ （ 手） 一 詈． ｓ ｉ ｎ （ Ｉ ｔ ｔ ） 一 …ｓ （ Ｉ ｔ ｔ ）
（ ９１ ３
，
造了三角多项式 曲线 ， 文献 ［ ７ ， ｌ ０ ， １ ２ ］ 在代数三 角 函数 空 间 中构 造 了 Ｃ—Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 ， 文献 ［ １ ４ ］
１ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ基 函数 定义及 其性质
足义 １ 对 Ｖ ａ Ｅ【 ０， １ ｊ， Ｖｔ∈ ｌ ０， １ ｊ， 杯：
９０３ （
，
结构直观而成为 Ｃ Ａ Ｇ Ｄ重要工具之一 ， 但随着控 制 顶点 的给 定 ， Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 曲 面 的 形 状 就 随 之 而 定 … 。很 多学 者开始 了对带 形状 参数 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线
基金项 目：安徽省高等学校省级 自然科学研究 项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ２ ９ ０ ８ ９ ， Ｋ Ｊ ２ ０ １ ２ Ｂ ０ ８ ８ ） 和安庆师范 学院青年科研 基金项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ０ １ ８ ， Ｋ Ｊ ２ ０ １ ０ １ ７ ） 资助 。 作者简介 ： 陈素根， 男， 安徽 当涂人， 硕士， 安庆师范学院数学与计算科学学 院讲师 ， 主要研究方向为计算机辅助几何设计与图形学 。
第１ 期
陈素 根 ， 苏本跃 ， 汪志华 ： 带形状参数 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 型曲线曲面及其应用