B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究

实验四：B 样条曲面一.实验目的用多个B 样条曲线画出一个曲面，并能实现鼠标球滚动。

二.算法思想B 样条曲面是B 样条曲线的拓广。

一块m ⨯n 次B 样条曲面片的数学表示式：)()(),(,,00w F u FP w u P n j mi m i nj ij∑∑===w u , ∈［０，１］ 式中，ij P （i =0,1,2，…..,m;j=0,1,2,…..n ）是定义此曲面片的顶点位置向量矩阵，共计（m+1）（n+1）个顶点。

)()(,,w F u F n j m i 为B 样条基底函数，w u ,为参数。

显然，m 与n 不一定相等，如m=n=3,则由4⨯4个顶点构成特征多面体，其相应的B 样条曲面片称为双三次B 样条曲面片。

其中：m i m i m k k m i k i m u c m u F )()1(!1)(10,--+-=+-=∑)!1(!)!1(1i m i m C im -++=+其中： 展开三次B 样条曲面数学表达式并写成矩阵()()()()TT s Ts W M ww w w F w F w F w F UM u u u u F u F u F u F w F w F w F w F p p p p p p p p p p p pp p p p u F u F u F u F w u Q =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000113334063133161)()()()(0141030303631331611)()()()()()()()()()()()(),(2343212343214321333231302322212013121110030201004321其中：三.程序主要代码#include <gl/glut.h>#include <stdio.h> #include "ggltools.h" #include "gmatrix3d.h" #include "gvector3d.h" GMatrix3d gRotMatrix ; bool gIsLBtnDown =false ; int gMouseX =0; int gMouseY =0;//控制点网络GPoint3d **gCtrlGrid =NULL ; //int gNumX=0;int gNumY=0;bool loadData(const char *fileName){FILE *fp =fopen(fileName,"r");if(fp == NULL)return false;fscanf(fp,"%d %d",&gNumY,&gNumX);printf("NumY=%d,NumX=%d\n",gNumY,gNumX);int i,j;float x,y,z;gCtrlGrid = new GPoint3d *[gNumY];for(i=0;i<gNumY;i++){gCtrlGrid[i]= new GPoint3d[gNumX];for(j=0;j<gNumX;j++){fscanf(fp,"%f %f %f\n",&x,&y,&z);gCtrlGrid[i][j].set (x,y,z);printf("%.1f %.1f %.1f\t",x,y,z);}printf("\n");}fclose(fp);return true;}void drawCtrlGrid(){int i,j;glColor3f(1,1,1);for(i=0;i<gNumY;i++){for(j=0;j<gNumX-1;j++){glBegin(GL_LINES);glVertex3dv(gCtrlGrid[i][j]);glVertex3dv(gCtrlGrid[i][j+1]);glEnd();}}for(j=0;j<gNumX;j++){for(i=0;i<gNumY-1;i++){glBegin(GL_LINES);glVertex3dv(gCtrlGrid[i][j]);glVertex3dv(gCtrlGrid[i+1][j]);glEnd();}}}GPoint3d cubicBSpline(int i0,int j0,GPoint3d **ctrlGrid,double u,double v){double bu[4] ,bv[4];bu[0]= (-u*u*u+3*u*u-3*u+1)/6.0;bu[1]= (3*u*u*u-6*u*u+4)/6.0;bu[2]= (-3*u*u*u+3*u*u+3*u+1)/6.0;bu[3]= (u*u*u)/6.0;bv[0]= (-v*v*v+3*v*v-3*v+1)/6.0;bv[1]= (3*v*v*v-6*v*v+4)/6.0;bv[2]= (-3*v*v*v+3*v*v+3*v+1)/6.0;bv[3]= (v*v*v)/6.0;int i,j,k;GPoint3d pt;for(k=0;k<3;k++){pt[k]=0;for(i=0;i<4;i++){for(j=0;j<4;j++){pt[k]+=ctrlGrid[i0+i][j0+j][k]*bu[j]*bv[i];}}}return pt;}void drawBSpline(GPoint3d **ctrlGrid,int ny,int nx){int i,j,nu,nv,iu,iv;GPoint3d pt0,pt1,pt2,pt3;double u,du,v,dv;nu=10;du=1.0/nu;nv=10;dv=1.0/nv;glColor3f(1,1,0);glPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK,GL_LINE);for(i=0;i<ny-3;i++){for(j=0;j<nx-3;j++){for(iv=0,v=0;iv<nv;iv++,v+=dv){for(iu=0,u=0;iu<nu;iu++,u+=du){pt0=cubicBSpline(i,j,ctrlGrid,u,v);pt1=cubicBSpline(i,j,ctrlGrid,u,v+dv);pt2=cubicBSpline(i,j,ctrlGrid,u+du,v+dv);pt3=cubicBSpline(i,j,ctrlGrid,u+du,v);glBegin(GL_QUADS);glVertex3dv(pt0);glVertex3dv(pt1);glVertex3dv(pt2);glVertex3dv(pt3);glEnd();}}}}}//将屏幕坐标映射我球面坐标GVector3d getSphereVec(int mx,int my,int w,int h) {double x,y,z,r;x=(2.0*mx-w)/w;y=(h-2.0*my)/h;r=x*x+y*y;if(r>1)r=1;z=sqrt(1-r);GVector3d v(x,y,z);v.normalize ();return v;}void drawPlane(){glColor3f(0.6f, 0.6f, 0.6f);for(float u=-1; u<1.01; u+=0.2f){glBegin(GL_LINES);glVertex3f(-1, 0, u);glVertex3f(1, 0, u);glVertex3f(u, 0, -1);glVertex3f(u, 0, 1);glEnd();}}四.程序截图。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面建模的经典技术。

它通过在有限数量的控制点上定义曲面的特征，并利用一组特定的基函数，来实现曲面的几何形状。

B样条曲面的优点在于它能够高效地逼近复杂的几何形状，同时也具有很好的光滑性和可调性。

本文将介绍B样条曲面的构建算法设计与实现。

1. B样条曲线的基础知识B样条曲面是基于B样条曲线而建立的。

B样条曲线是一种多项式插值函数，它可以用于定义复杂的曲线形状。

B样条曲线的定义需要满足两个要求：首先，每个控制点必须与前后控制点之间有一定的关系；其次，每个控制点必须携带一定的权重值，以反映其对曲线形状的影响程度。

在B样条曲线中，每个控制点的权重值可以用来调节曲线的弯曲程度。

另外，在B样条曲线中，基函数与控制点的数量相同。

基函数是一组具有局部支撑区域的函数，它们被用来加权控制点的贡献值。

这些基函数通常称为B样条基函数，它们具有递归性质，使得它们可以在任意阶数上使用。

B样条曲面的构建算法需要满足几个关键要求。

首先，该算法必须能够通过控制点确定曲面的几何形状；其次，该算法必须保证曲面的光滑性和逼近性。

下面我们将介绍一种常见的B样条曲面构建算法。

2.1 控制点网格的定义B样条曲面的控制点通常以网格的形式进行定义。

该网格是由一个m*n的矩形点阵组成，它们被用来确定曲面的几何形状。

在这个点阵中，每个格子的位置就是一个控制点。

控制点的位置可以任意调整，以达到所需的几何形状。

2.2 基函数的定义B样条曲面的基函数是由B样条曲线的基函数扩展而来的。

这些基函数必须满足两个要求：首先，它们必须有足够的支撑区域；其次，它们必须满足一定的递推关系，以方便对曲面进行细分。

B样条曲面的基函数通常使用B样条基函数与升阶的技术相结合而得到。

这些技术使得基函数可以在任意次数上进行升阶，以适应曲面的细节需求。

一旦B样条曲面的基函数得到定义，我们就可以使用它们来计算曲面上的控制点贡献值。

这些贡献值将被用来决定曲面的几何形状。

B样条曲面构建算法设计与实现一、绪论曲面是三维空间中的一种重要的几何形状，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、虚拟现实等领域。

B样条曲面是一种重要的曲面表示方法，具有良好的数学性质和逼近性能，被广泛应用于曲面建模和图形渲染领域。

本文将着重介绍B样条曲面的构建算法设计与实现。

二、B样条曲面的定义B样条曲面是由控制点和节点向量决定的一种曲面表示方法。

在给定的节点向量和控制点的情况下，我们可以通过B样条曲面的插值算法求得曲面上的任意点的坐标。

B样条曲面的定义如下：设曲面S(u,v)的定义域为[0,1]x[0,1]，曲面上的点由参数(u,v)确定，称(u,v)为曲面的参数，分别在u方向和v方向上有节点向量U={u0, u1, …, um+k-1}和V={v0, v1, …, vn+l-1}，其中m和n分别为u和v方向上的控制点个数，k和l分别为B样条曲面的次数。

给定曲面的节点向量U和V，由控制点Pi,j和B样条基函数Ni,k(u)和Nj,l(v)求得曲面上点S(u,v)的表达式为：S(u,v) = ∑∑Pi,j * Ni,k(u) * Nj,l(v)Ni,k(u)和Nj,l(v)分别为u和v方向上的B样条基函数。

由上式可知，给定曲面的节点向量和控制点，可以求得曲面上任意点的坐标。

1. B样条基函数B样条基函数是B样条曲面构建算法的核心。

B样条基函数的定义如下：对于u方向，B样条基函数的定义为：Ni,k(u) = (u - ui) / (ui+k-1 - ui) * Ni-1,k-1(u) + (ui+k - u) / (ui+k - ui+1) * Ni-1,k-1(u)2. 控制点的影响B样条曲面的构建算法中，控制点对曲面的形状和逼近效果有着重要的影响。

在确定控制点的位置时，需要考虑到曲面的形状，以及控制点的分布对曲面的光滑性和逼近性能的影响。

3. 节点向量的选择节点向量的选择对B样条曲面的构建算法有着重要的影响。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用于进行曲面建模的数学工具，它可以通过控制点来定义曲面的形状。

B样条曲面构建算法的设计与实现是曲面建模领域的一个重要研究方向。

本文将介绍B样条曲面构建算法的设计思路和实现方法。

B样条曲面的构建算法主要包括控制点的选择、曲面节点的确定、曲面的生成和曲面的细化等步骤。

下面将分别介绍每个步骤的详细内容。

控制点的选择是指确定用于定义曲面形状的关键点。

在B样条曲线构建算法中，控制点是曲线形状的决定因素。

同样，在B样条曲面构建算法中，控制点也起着决定曲面形状的重要作用。

一般来说，控制点的个数越多，曲面的形状描述能力越强。

过多的控制点会增加计算的复杂性和存储的开销。

如何选择合适的控制点对于B样条曲面的构建非常重要。

曲面节点的确定是指确定曲面形状的细分方式。

节点是曲面的划分点，它们决定了曲面的局部细节。

通常，曲面节点的位置被选择为在参数空间中等距离分布的点。

不同的节点分布方式会导致不同的曲面形状，因此节点的选择对于曲面的形状描述非常重要。

曲面的生成是指根据控制点和节点确定曲面的具体形状。

B样条曲面的生成方法通常是通过计算B样条基函数的线性组合来得到曲面上各个点的坐标。

B样条基函数是一组满足一定性质的函数，它们与控制点和节点的选择有关。

通过调整基函数的权重系数，可以得到不同的曲面形状。

曲面的细化是指对已生成的曲面进行适当的调整和优化，以提高曲面的质量和光滑性。

曲面的细化方法有很多种，其中比较常用的是均匀和非均匀细化方法。

均匀细化是指将曲面上的点等距离地细化，以增加曲面的细节信息。

非均匀细化是指根据曲面的局部特征调整曲面上的点密度，以提高曲面的光滑性和准确性。

B样条曲面构建算法的设计与实现涉及到控制点的选择、曲面节点的确定、曲面的生成和曲面的细化等步骤。

通过合理的算法设计和实现，可以得到具有良好形状描述能力和光滑性的B样条曲面模型，为曲面建模和可视化等应用提供有力的支持。

b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种基于局部控制点的曲线或曲面。

它是一种基于多项式插值的插值方法。

B样条曲线在插值时采用局部控制点，这意味着曲线上的每个点都受到它附近控制点的影响，而与其它控制点无关。

B样条曲线生成原理如下：
1.确定控制点：确定需要插值的一组控制点，它们用来定义曲线或曲面的形状和方向。

2.确定节点向量：确定节点向量，该向量定义样条曲线或曲面的参数空间。

3.建立基函数：使用节点向量来建立基函数，这些基函数是局部连续的、分段多项式函数。

4.拼接基函数：将相邻的基函数相加，得到样条曲线或曲面的表达式。

5.调整节点向量及其对应的控制点权值，得到最终的 B 样条曲线或曲面，用于插值和逼近目标函数。

总的来说， B 样条曲线是一种基于局部控制点和节点向量的插值方法，可以用于逼近任意复杂的函数，具有局部调整控制点的灵活性和良好的数学性质。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面构建算法，它通过控制点和节点向量来描述曲面的形状，具有良好的局部性和平滑性，被广泛应用于计算机图形学、CAD/CAM系统等领域。

本文将介绍B样条曲面的构建算法设计与实现，包括B样条基函数的计算、曲面的控制点设置、节点向量的确定等关键步骤。

一、B样条基函数的计算B样条曲面的构建首先需要计算B样条基函数，它是描述曲面形状的关键。

B样条基函数的计算采用递归的方法，具体步骤如下：1. 初始化基函数：对于每个控制点Pi和节点向量u，初始化一阶B样条基函数N_i1(u)为：N_i1(u) = {1, 若 u_i <= u < u_i+10, 否则}2. 递归计算高阶基函数：根据一阶基函数递归计算高阶基函数N_ij(u)，其中j为基函数的阶数。

递归计算公式如下：N_ij(u) = ((u - u_i) / (u_i+j-1 - u_i)) * N_i,j-1(u) + ((u_i+j - u) / (u_i+j - u_i+1)) * N_i+1,j-1(u)通过递归计算，可以得到所有的B样条基函数，用于曲面的计算和绘制。

二、曲面的控制点设置B样条曲面的形状受控制点的影响，因此需要合理设置控制点来描述所需的曲面形状。

控制点的设置需要考虑曲面的平滑性和细节，通常采用以下几种方式：1. 均匀设置控制点：在曲面的参数空间内均匀设置控制点，以保证曲面的平滑性和形状。

3. 自适应设置控制点：根据曲面的特性和局部形状需求，自适应设置控制点以满足曲面整体的形状和细节。

通过合理设置控制点，可以实现对曲面形状的有效控制和调整。

三、节点向量的确定2. 非均匀节点向量：根据曲面的具体形状需求，非均匀设置节点向量以调整曲面的细节和曲率。

四、B样条曲面的构建与实现在完成B样条基函数的计算、曲面的控制点设置和节点向量的确定后，即可进行B样条曲面的构建与实现。

具体步骤如下：1. 曲面参数化：首先对曲面的参数空间进行参数化，以方便后续的计算和绘制。

B样条曲面生成算法的研究与改进摘要本文首先介绍了B样条曲面生成的已有算法：基于B样条曲线生成的德布尔算法的B样条曲面的生成算法、基于样条曲面反算方法的B样条曲面生成算法。

接着介绍了两种双三次B样条曲面生成的改进算法：1.基于deBoor和CoxB递推公式构造B样条曲面基的曲面生成算法，2.提高双三次B样条曲面的生成效率的改进算法。

第2种算法能显著提高效率，提出B样条曲面正等测投影的建立方法，讨论用高性能的动态数组和Excel软件存储任意数量控制点的实现方法等关键技术。

采用Visual C++6.0为编程工具开发软件系统，实现了任意数量控制点的双三次B样条曲面生成。

通过将改进的算法和已有的算法进行比较我们得出改进算法的优点。

关键词：B样条曲面生成算法 deBoor、CoxB递推公式1引言B样条曲线曲面是实体造型，虚拟现实等CAD／CAM领域中广泛使用的几何造型工具。

B样条曲面具有与B样条曲线相同的局部支柱性、凸包性、连续性和几何不变性等性质。

与Bezier曲面相比，B样条曲面极为自然地解决了曲面片之间的连接问题。

它不仅继承了Bézier曲线曲面的所有优点，而且具有局部修改的性质，因此得到工业界的广泛认可。

B样条曲面的生成算法一直都是学者们的研究热点。

在施法中提出的B样条曲线生成的德布尔算法[1]的基础上，谭浩强将此算法推广到B样条曲面的生成[2]；吕科，耿国华，周明全等人提出了基于样条曲面反算方法的B样条曲面生成算法[3]；而近几年又有很多人提出了许多改进的算法，其中本文主要介绍了基于deBoor和CoxB递推公式构造B样条曲面基的曲面生成算法[4] 和提高双三次B样条曲面的生成效率的改进算法[9]。

2.已有算法介绍2.1基于样条曲面反算方法的B 样条曲面生成算法定义n,m 分别为u 向、v 向上待插值数据点个数，k=3,l=3,分别为生成曲面在u 向、v 向上的次数。

述的 B 样条曲面为 P ( u, w ) = W B T T UBV。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面重建和曲面拟合的方法。

它具有较好的数学性质和计算性能，被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和计算机辅助制造等领域。

本文将介绍B样条曲面的构建算法的设计与实现。

B样条曲面由B样条曲线构成，因此我们需要先了解B样条曲线的基本概念和算法。

B样条曲线是一种由多个控制点决定的曲线。

它的基本思想是通过插值或逼近的方式，将曲线上的点与控制点相对应，然后利用控制点之间的关系，生成曲线上的其他点。

B样条曲线的控制点决定了曲线的形状，在构建B样条曲线时，我们需要确定控制点的位置和权值。

B样条曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。

节点向量是一组单调递增的参数值，用于描述曲线上的点的位置。

权值用于确定曲线上每个点的形状。

节点向量的确定是一个关键的步骤，它决定了曲线上的点的位置。

常用的方法有均匀节点向量和非均匀节点向量。

均匀节点向量指的是参数值的差值相等，例如[0, 1, 2, 3]。

在构建均匀节点向量时，我们需要确定控制点的个数和阶数。

控制点的个数决定了曲线上点的数量，阶数决定了曲线的平滑程度。

非均匀节点向量指的是参数值的差值不等。

它可以根据曲线的需要进行调整，用于处理曲线的局部形状。

权值的确定是另一个关键的步骤，它决定了曲线上每个点的形状。

在构建B样条曲线时，我们可以使用多种方法确定权值，例如Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。

在实际应用中，我们通常使用B-spline曲线来构建B样条曲线。

B-spline曲线是一种通过控制点和节点向量确定形状的曲线，它具有较好的数学性质和计算性能。

B-spline曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。

节点向量的确定和B样条曲线的节点向量的确定方法类似，可以使用均匀节点向量和非均匀节点向量。

权值的确定方法也类似，可以使用Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。

B样条曲面构建算法设计与实现【摘要】B样条曲面是计算机图形学中常用的曲面表示方法，具有较好的平滑性和局部控制性。

本文针对B样条曲面构建算法设计与实现展开研究。

首先介绍了B样条曲线的基本概念，然后详细探讨了B样条曲面的构建算法和实现方法。

通过对算法性能进行分析，揭示了其在实际应用中的优势和局限性。

结合应用案例研究，展示了B样条曲面构建算法的实际效果。

最后对研究进行总结，并展望未来的发展方向。

本文的研究有望为B样条曲面构建算法的设计与实现提供新的思路和方法，对计算机图形学领域具有一定的贡献。

【关键词】B样条曲面、构建算法、设计、实现、性能分析、应用案例研究、研究背景、研究目的、研究意义、B样条曲线、基本概念、算法、总结、展望未来、贡献。

1. 引言1.1 研究背景B样条曲面是一种在计算机图形学和计算机辅助设计中广泛应用的曲面表示方法。

它具有良好的数学性质和灵活的控制特性，可以有效地描述各种复杂的曲面形状。

B样条曲面构建算法是指通过一定的数学方法和计算技术来生成B样条曲面的过程，是B样条曲面理论的重要内容之一。

随着计算机技术的快速发展，对于B样条曲面构建算法的研究和实现变得越来越重要。

在计算机辅助设计领域，设计师们需要能够快速、准确地生成各种形状的曲面模型，而B样条曲面构建算法可以帮助他们实现这一目标。

在计算机图形学领域，B样条曲面构建算法也被广泛应用于曲面重建、动画制作等方面。

对B样条曲面构建算法的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文旨在探讨B样条曲面构建算法的基本概念、实现方法和性能分析，并通过应用案例研究来验证算法的有效性和可靠性。

通过对B样条曲面构建算法的研究与实现，可以为相关领域的研究和应用提供理论支持和技术指导，推动B样条曲面技术的进一步发展和应用。

1.2 研究目的研究目的是在了解和掌握B样条曲面构建算法的基础上，对其进行深入分析和研究，进一步探讨其优势和局限性。

通过研究B样条曲面构建算法的设计原理和实现方法，可以为相关领域的工程与科学问题提供有效的解决方案，并推动相关技术的发展和应用。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，具有较好的灵活性和平滑性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工业设计等领域。

B样条曲面构建算法设计与实现是其中的核心内容。

本文将简要介绍B样条曲线和曲面的基本原理，然后详细阐述B样条曲面构建算法的设计与实现。

1. B样条曲线与曲面的基本原理B样条曲线是一种由控制点和节点序列所确定的曲线，其特点是局部控制和局部变化。

B样条曲线的参数化表示为：C(u) = Σ Ni,n(u) Piu为参数，Ni,n(u)为B样条基函数，Pi为控制点。

B样条曲线的节点序列决定了曲线的形状，通常采用均匀节点序列或非均匀节点序列。

均匀节点序列是指节点之间的间隔相等，非均匀节点序列是指节点之间的间隔不等。

B样条曲面是由两个参数u和v确定的二维曲面，其参数化表示为：B样条曲面构建算法的设计主要包括节点序列的确定、控制点的确定和B样条基函数的计算。

（1）节点序列的确定节点序列的确定一般采用均匀节点序列或非均匀节点序列。

均匀节点序列的确定比较简单，只需根据控制点数量和阶数确定节点个数和间隔即可。

非均匀节点序列的确定需要根据曲线或曲面的需要来决定。

通常采用的方法是将控制点均匀分布在参数空间，并根据需要将节点向重心区域移动，以实现对曲线或曲面局部细节的调控。

控制点的确定需要根据实际需求来决定。

一般情况下，控制点的数量和位置会影响曲线或曲面的形状。

在进行控制点的确定时，可以根据需要先构造一条初步的曲线或曲面，然后通过调整控制点的位置和数量来达到期望的效果。

（3）B样条基函数的计算B样条基函数的计算是B样条曲线和曲面构建算法中的关键步骤。

B样条基函数的计算可以采用递归方法或矩阵方法。

递归方法是一种简单直观的计算方法，其基本思想是利用递归关系式来计算B样条基函数的值。

B样条曲面构建算法的实现主要分为离散算法和连续算法两种。

离散算法是将曲面离散化为网格，然后通过调整网格顶点的位置来实现对曲面形状的调控。

千里之行，始于足下。

计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。

它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状，并且具有较好的平滑性。

本次实验中，我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示，并进行了相应的实验和分析。

实验目的：1.了解B样条曲线的原理和算法；2.掌握B样条曲线的生成和显示方法；3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。

一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线，它通过一系列连续的基函数（B 样条基函数）来插值控制点，从而生成曲线。

B样条曲线的基本原理如下：1.选择一组控制点P0，P1，…，PN-1；2.定义一组节点向量U={u0，u1，…，um}，其中u0<=u1<=…<=um；3.通过插值曲线的标准等式，通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。

二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U；2.定义B样条基函数；3.计算曲线上每个点的坐标。

三、实验步骤和结果1.计算节点向量U：在实验中，我们选择均匀节点向量，即ui=i，其中i=0，1，…，m。

这样的节点向量比较简单，而且能够生成比较平滑的曲线。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

2.定义B样条基函数：B样条基函数是用来插值曲线的重要部分，它可以通过递归定义来实现。

在实验中，我们使用了三次B样条基函数，其递归定义如下：N(i,1)(u)={1，u∈[ui,ui+1]；0，否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标：通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。

具体计算方法如下：P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi，i=0 to n-1)，其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中，我们通过改变控制点的位置和数量，生成了不同的B样条曲线，并进行了显示和分析。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种经典的曲面构建方法，它通过对曲面进行局部建模，能够有效地描述复杂的曲面形状。

B样条曲面的构建算法设计与实现是计算机图形学中的重要课题，它涉及到曲线和曲面的参数化表示、插值计算以及曲面的渲染等方面。

本文将围绕B样条曲面构建算法的设计与实现展开讨论，介绍B样条曲面的基本理论、构建算法的设计思路和实现方法，以及在实际工程中的应用情况。

一、B样条曲面的基本理论B样条曲面是一种基于控制点和节点向量的参数化曲面表示方法，它可以通过一系列的局部插值计算来构建整个曲面，具有较好的曲面光滑性和局部调节性。

B样条曲面的基本理论包括曲线和曲面的参数化表示、插值计算和曲面渲染等方面。

1. 曲线和曲面的参数化表示B样条曲线和曲面都是通过一组控制点和节点向量来描述的，其中控制点决定了曲线和曲面的形状，节点向量则决定了曲线和曲面的参数化表示。

通常情况下，参数化表示都是通过多项式函数来实现的，其中节点向量和控制点的位置决定了曲线和曲面在参数空间中的形状。

2. 插值计算B样条曲面的构建是通过一系列的插值计算来完成的，这些插值计算都是针对曲面上的局部区域进行的，通过不断调整相邻控制点的位置来改变曲面的形状。

在插值计算中，通常会使用一些数学工具来进行优化求解，以达到较好的曲面效果。

3. 曲面渲染B样条曲面的渲染是指将曲面的参数化表示转换为真实的三维物体，并在屏幕上进行显示的过程。

曲面渲染包括曲面曲面生成、光照计算和投影等步骤，它能够将曲面的三维形状进行有效地呈现，以满足用户的需求。

B样条曲面的构建算法设计包括对曲线和曲面的参数化表示、插值计算和曲面渲染等方面的设计，而实现方法则是通过数学模型和计算机程序来实现这些设计。

在设计B样条曲面的构建算法时，需要首先确定曲线和曲面的参数化表示方法，其中包括节点向量的选择、控制点的位置和参数空间的范围等方面。

这些参数化表示的设计将直接影响到曲面的形状和效果。

B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面是一种常用的曲线和曲面构建方法，它可以通过控制顶点的位置和权重来
调整曲线和曲面的形状。

B样条曲面的构造算法可以分为两个主要步骤：控制顶点的布局
和曲线的生成。

控制顶点的布局是指确定曲面上的控制顶点的位置和权重。

一般情况下，我们可以通
过拖动顶点来调整曲线和曲面的形状。

在B样条曲面中，每个控制顶点都有一个相应的权重，用于调整该顶点对曲线/曲面的影响程度。

通过调整顶点的位置和权重，我们可以达
到我们想要的曲线/曲面形状。

曲线的生成是指根据控制顶点的布局来生成实际的曲线/曲面。

通常情况下，我们可
以使用插值或逼近方法来生成曲线/曲面。

插值方法通过将控制顶点直接连接起来形成曲
线/曲面，逼近方法则通过近似控制顶点之间的曲线/曲面来生成。

在实际实现中，我们可
以使用多项式函数或者矩阵运算来进行曲线/曲面的生成。

除了控制顶点的布局和曲线的生成，B样条曲面的构造算法还需要考虑到插值或逼近
的精度问题。

一般情况下，我们希望生成的曲线/曲面与控制顶点尽可能接近，同时又要
保持曲线/曲面的平滑度和连续性。

为了实现这一目标，我们可以通过调整控制顶点的位
置和权重，或者使用更高阶的多项式函数来增加曲线/曲面的精度。

B样条曲面的构造算法是一个综合考虑控制顶点布局、曲线生成和精度控制的过程。

通过合理地设计和实现这些算法，我们可以生成出符合要求的曲线和曲面。

在实际应用中，B样条曲面的构造算法被广泛应用于计算机图形学、机械设计和工业制造等领域，具有重
要的实际意义和研究价值。

B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究XXX（XXX学院数学与信息科学学院05级信本（2）班）摘要从B样条曲线曲面的定义入手，阐述了B样条曲线曲面的性质，在生成算法中提出了一个扩展B样条曲线曲面的新方法.扩展B样条曲线曲面的关键是为新增加的点确定节点值.生成算法的基本思想是:首先，B样条曲线和扩展部分在连接点处满足2GC连续，用能量极小化方法确定扩展部分的曲线形状，通过对曲线重新参数化使两部分曲线满足2C连续，进而确定新增加点的节点值.文章还讨论了运用该方法进行B样条曲面扩展，且以实例对新方法与其它方法进行了比较.关键词：B样条曲线; B样条曲面;参数化;曲线扩展Research On The Nature Of B-spline Curves And Surfaces AndTheir Generation AlgorithmYongning ZhangCollege of Mathematics and Information Science , Xianyang Normal University , InformationClass 05(2)AbstractFirst, the definitions of B-spline curves and surfaces are introduced, and then the nature of B-spline curves and surfaces are studied. On the final, a new generation algorithm on expansion of B-spline curves and surfaces is proposed. The key thought of expansion of B-spline curves and surfaces is to determine the value of the new points. The basic idea of generation algorithm is: First of all, B-spline curve and the extension of the connecting points in a row to meet with the energy minimization method to determine the extension of the curve shape of the curve through re-parameterized so that the two parts meet the continuous curve, and then determine the new value of the node points. The article also discussed the use of the method of B-spline surfaces expansion, and compared an example of the new method with other methods.Keywords: B-spline curve; B-spline surfaces; parameter; curve extension目录引言........................................................... - 3 - 1．B样条曲线.................................................. - 3 -1.1 B样条基函数的定义...................................... - 3 -1.2 B样条曲线的定义........................................ - 3 -1.3 B样条曲线的性质....................................... - 4 -1.3.1 严格的凸包性...................................... - 4 -1.3.2 分段参数多项式.................................... - 4 -1.3.3 可微性或连续性.................................... - 4 -1.3.4 几何不变性........................................ - 4 -1.3.5 局部可调性........................................ - 4 -1.3.6近似性............................................ - 5 -1.3.7变差缩减性........................................ - 5 -1.4 B样条曲线的分类....................................... - 5 -1.4.1均匀B样条曲线.................................... - 5 -1.4.2 非均匀B样条曲线.................................. - 6 -1.5 B样条曲线的生成算法.................................... - 7 -1.5.1B样条曲线的扩展................................... - 7 -1.5.2 2GC连续条件...................................... - 8 -1.5.3确定 的值........................................ - 8 -1.5.4确定节点u的值.................................... - 9 -1.5.5求控制顶点........................................ - 9 -2.1 B样条曲面的定义....................................... - 12 -2.2 B样条曲面的性质...................................... - 12 -2.3 B样条曲面的分类...................................... - 12 -2.3.1 均匀B样条曲面................................... - 12 -2.3.2 非均匀B样条曲面................................. - 13 -2.4 B样条曲面的生成算法.................................. - 14 -3.应用........................................................ - 15 - 4结论........................................................ - 16 - 谢辞.......................................................... - 17 - 参考文献...................................................... - 17 -引言B 样条曲线曲面以其直观性、连续性、局部可控性、使用方便、灵活等特点，在计算机图形学和CAD 中得到了广泛的应用，成为重要的曲线曲面描述工具. 在曲线曲面的设计中，经常需要对己有的B 样条曲线曲面进行扩展，并且要求扩展的曲线曲面满足一定的几何形状要求或者其它的工程要求.B 样条曲线曲面的扩展是在保持原有形状不变的情况下，使新的曲线曲面通过新给定的点.因此，B 样条曲线扩展问题，实际上是对给定B 样条曲线和扩展点的插值问题.目前曲线曲面插值有多种方法，一般通过反算控制顶点来实现.在一些CAD 系统中，B 样条曲线的扩展是通过增加一段Bezie:曲线，然后将扩展后的整个曲线转换为B 样条形式.1．B 样条曲线1.1 B 样条基函数的定义给定参数u 轴上的一个分割1{}(),(0,1,2,)i i i U u u u i +=≤=…，m ，由下列递推关系定义的,()i p N u 称为U 的p 次(p+1阶)B 样条基函数。

B样条曲面的算法生成及研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享摘要本文主要介绍B样条曲面的性质、算法、以及应用，让我们对B样条曲面有一个全面的了解。

Ｂ样条曲面不仅在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，而且成功地解决了样条函数的局部控制问题，轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。

B样条曲面中均匀双三次B样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。

而非均匀有理B样条曲面( NU RBS ) 是曲面构造的常用工具, 是目前工业界曲面曲线表示的数学标准。

B-样条曲面是一种特殊NU RBS , 在实际应用中是首选形式。

在本文中我们主要介绍了均匀双三次B样条曲面。

关键词：B样条曲面非均匀B样条曲面双三次均匀B样条曲面 B样条基函数1 引言计算机运用技术的不断发展使得CAD/CAM技术日益提高和完善,为实现工业生产过程自动化展示了光明的前景。

目前,利用程序系统对某一产品实现机辅设计和数控加工的自动化过程已经开始。

然而在实际生产中,数控机床的使用还很不普遍,大部分数控机床仍靠手工编程来实现单一加工。

这除了数控设备价格昂贵之外,控制程序系统的设计难度较大也是重要原因之一。

譬如,对数控铣削加工控制程序系统的设计,尤其是在数控铣床上加工任意形状曲面的程序系统设计,目前还处于探讨摸索之中。

随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越来越高的要求。

工业产品的形状大致可以分为两类：一类是仅有初等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及它们组合而成的规则曲面；另一类是不能由任何解析表达的自由型曲面。

汽车、船舶、飞机的外部零件基本上都是自由曲面。

而自由曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种重要的曲面构建方法，在计算机图形学、计算机辅助设计以及数字化造型等领域有着广泛的应用。

B样条曲面具有较好的局部控制能力和光滑性，并且能够表示复杂的曲面形状。

本文将对B样条曲面的构建算法进行设计与实现，并针对实际应用进行讨论和分析。

一、B样条曲面基本原理B样条曲面是由B样条曲线推广而来的一种曲面表示方法，它是由一系列的原始控制点和基础函数相互组合而成的。

B样条曲面的构建需要确定控制点和节点向量，通过基础函数的线性组合来表示曲面形状。

B样条曲面的基本表示如下：\[S(u, v) = \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} P_{i,j} N_{i,k}(u)N_{j,l}(v)\]\(S(u, v)\)表示曲面在参数空间\((u, v)\)处的坐标，\(P_{i,j}\)为控制点，\(N_{i,k}(u)\)和\(N_{j,l}(v)\)分别表示在参数方向\(u\)和\(v\)上的基础函数，\(m\)和\(n\)分别为参数方向上的控制点个数减1，\(k\)和\(l\)为基础函数的阶数。

B样条曲面的构建原理主要包括控制点的确定、节点向量的选择、基础函数的求解和曲面的计算。

在构建B样条曲面的过程中，需要先确定控制点的位置，然后选择适当的节点向量，接着求解基础函数并进行线性组合，最后计算曲面的顶点坐标。

B样条曲面的构建算法主要包括以下几个步骤：1. 控制点的确定：根据实际曲面形状，确定曲面控制点的位置和顺序。

2. 节点向量的选择：选择适当的节点向量，通常使用均匀节点向量或者节点重心法进行选择。

3. 基础函数的求解：通过递归算法或者迭代求解的方法，计算并求解参数方向上的基础函数。

4. 曲面的计算：利用基础函数的线性组合，计算曲面的顶点坐标。

1. 控制点的确定在B样条曲面的构建过程中，首先需要确定曲面的控制点。

控制点决定了曲面的整体形状和结构，是曲面构建中的基础。

b样条曲线算法B样条曲线算法是一种用于计算和绘制平滑曲线的数学算法。

它可以在计算机图形学、CAD、动画等领域中广泛应用。

本文将详细介绍B 样条曲线算法的原理、应用、优缺点等方面。

一、B样条曲线概述1.1 定义B样条曲线是一种由多个控制点组成的平滑曲线，它通过对控制点之间的插值来确定曲线形状。

1.2 历史B样条曲线最早由Isaac Jacob Schoenberg于1946年提出，但直到20世纪60年代才开始被广泛使用。

最初，它主要应用于航空工业中的飞机设计和建模。

1.3 特点B样条曲线具有以下特点：（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。

（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。

（3）灵活性：可以通过增加或删除控制点来改变曲线形状。

二、B样条曲线原理2.1 插值问题在计算机图形学中，插值是一个常见的问题。

插值问题通常可以概括为：给定一组数据点，如何通过这些数据点来构造一个平滑的曲线或曲面。

2.2 B样条基函数B样条曲线使用B样条基函数来进行插值。

B样条基函数是一组递归定义的多项式函数，它们具有局部性和平滑性。

2.3 B样条曲线方程B样条曲线可以表示为以下形式：C(u) = ΣNi=0 Bi,k(u)Pi其中，C(u)是曲线上的点，Ni是控制点的数量，Bi,k(u)是B样条基函数，Pi是控制点。

三、B样条曲线应用3.1 计算机图形学在计算机图形学中，B样条曲线广泛用于三维建模和动画制作中。

它可以用于创建平滑的曲面和复杂的几何体。

3.2 汽车设计在汽车设计中，B样条曲线被用于创建汽车外观的流畅轮廓。

它可以通过调整控制点来实现汽车外观的微调。

3.3 航空工业在航空工业中，B样条曲线被广泛用于飞机设计和建模。

它可以用于创建复杂的飞行器结构和机翼形状。

四、B样条曲线优缺点4.1 优点（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。

（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。