积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简

要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值.

一: 定义法

例1. 化简 xxxxxxxxsintansintansintansintan••

解: 设点则且终边上一点为角,,),(22yxrOPxyxP.tan,sinxyxryx

0)(222••xryxryyxrxryryxyryxyryxyryxy原式

二: 弦切互化法

例2. xxxxxxx2222tan1tan1)cos2tantan(sin2tan••化简

解: 原式xxxxxxxxxxxxxxx2cos)cos2sin21(2cos2sincossin1cossin1)2cos2sincossin1(2cos2sin22222•••••

xxxxx2sin22coscos12cos2sin••

三: 变用公式

例3. oooooo15tan50tan50tan25tan25tan15tan•••化简

解: 原式15tan50tan)50tan15(tan25tan•

15tan50tan)50tan15tan1)(5015tan(25tan••

115tan50tan)50tan15tan1(••

说明: 公式tantan1tantan)tan(在解题中运用非常灵活.常常变形为

)tantan1)(tan(tantan来使用.

四: 连锁反应法

例5. oo78sin66sin42sin6sin化简

解: 原式12cos24cos48cos6sin•••6cos48cos24cos12cos6sin6cos••••

=1616cos96sin1616cos48cos24cos12cos12sin21•••

说明: 此题分子分母同乘以6cos,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.

五: 升降次法

例6. yxyxyx2cos2cos)(cos)(cos22•化简

解: 原式yxyxyx2cos2cos2)22cos(12)22cos(1•

yxyxyx2cos2cos)]22cos()22[cos(211• 12cos2cos2cos2cos1••yxyx

例7. xx4cos812cos2183:化简

解: 原式

)12cos2(81)1cos2(218322xx)1cos4cos4(41cos43)1cos2(41cos43242222xxxxxxxxx42242sin)cos1(coscos21

六: 基本技巧

例8 (1) 2cos2sin12cos2sin1:化简

解: 原式)cos(sincos2)cos(sinsin2cossin2coscossin2sin22sin)2cos1(2sin)2cos1(22

tan (2) .2cos2sin,2tan的值求已知xxx

解: xxxcos2sin,2tan

1cos2cos41cos2cossin22cos2sin222xxxxxxx

1tan161sec61cos6222xxx

511416

角的变换

角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

例1、已知sin=4sin(+),求证：tan(+)=4cossin。

证明：将角分解成=(+)由sin[(+)]=4sin(+)得：sin(+)coscos(+)sin=4sin(+)

即sin(+)(cos4)=cos(+)sin从而tan(+)=4cossin。

例2、若3tan=2tan(+)，则sin(2+)=5sin。

证明：由条件有3sincos(+)=2sin(+)cos，6sincos(+)=4sin(+)cos，

从而sincos(+)+cossin(+)=5[sin(+)cossincos(+)]，即sin(2+)=5sin。

例3、已知cos(4+x)=53，47127x，求xxxtan1sin22sin2的值。

解：)4cos()4sin(2sincossincos)sin(cossin2tan1sin22sin2•xxxxxxxxxxxx

而cos(4+x)=53>0，47127x，于是2465x，从而有sin(4+x)= 54。注意到 cos2(4+x)=2cos2(4+x)1=2(53)21= 257sin2x=257于是原式=752853)54(257•。

以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。

例4、已知：+(2，)，(0，2)，且sin()=734，cos(+)= 1411，求。

解：先求2，而2=(+)()，由题可得：cos()=71，sin(+)=1435，

cos2=cos[(+)()]=cos(+)cos()+sin(+)sin() =

1411•71+1435•734=21

又2<+<，0<<2 0<(+)()=2<2=3即=6。

例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30))45tan1(0的值。

解：由10+440=20+430=220+230及

(1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440

=1+tan(10+440)(1tan10tan440)+tan10tan440=1+1tan10440+ tan10440=2，

同理有：(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。

一般地，若AB=n •4(n为奇数)，均可考虑用tan)tantan1()tan(tan•化简。

例6、求120sin220cos2120sin220cos20000•tan250的值。

解：上式即为000000000025cos25cos20sin225cos20cos225sin25sin20sin225sin20cos2

分子=sin450+sin50cos450+cos50sin250=sin50+(sin850sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，原式=cot150=2+3。

和（差）角范围问题

在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。

一. 合理选用公式来确定

例1 已知α，β均为锐角， sinα=551010，sin，求α+β的值。

解析：由已知条件有cosα=25531010，cos，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 255310105510102204××＞，所以

二. 借用其他三角函数来确定

合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。

例2

已知sin,cos35513，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。

解析：由条件α，β都是第二象限角，则有

。。257)53(21sin212cos252454532cossin22sin1312sin,54cos22×，）（××所以

因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。

由cos(2α+β)=cos2αcosβ－sin2αsinβ

，03252531312)2524()135(257＞××知2α+β在一、四象限。

又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ

（）×（）×＞242551372512132043250

知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。

三. 挖掘隐含条件来确定

例3 已知cos(α－β)= 、，，2312sin21都是锐角，求cos(α+β)的值。 解析：由已知条件有

。322)31(12sin12cos,312sin22022则，又＜＜

因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜6，所以0＜α＜12。 ①

又因为0＜β＜2，所以2＜-β＜0 。 ②由①、②得2＜α-β＜12。

又因为cos（α-β）=12，所以20＜＜。

)(cos1)sin(2所以=23。

从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。6322233121322）（××

评析：本例通过0＜sin2α= 1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜12，将α-β的范围缩小为212＜＜，进而由cos(α-β)= 12,将α-β的范围确定为20＜＜，从而避免了增解。

例4 已知2222＜＜，＜＜，且tanα,tnaβ是一元二次方程xx23340的两个根，求α+β的值。解析：由已知条件得tanα+tanβ= 330＜，

tanαtanβ=4＞0，所以tnaα＜0，tanβ＜0。又因为2222＜＜，＜＜，

所以,0＜＜2，0＜＜2所以-π＜α+β＜0。又因为tan(α+β)= tantantantan1

=33143所以α+β= 23。