先验误差估计和数值稳定

第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。

1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。

这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。

例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。

例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。

二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。

令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。

2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。

在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。

令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。

3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。

设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。

Ｋｅ ｒｓ：ｐ ｏ ｓｉ ｔ ｎ；ａ ｐ ｉ ｄ ｓｈ ｍｅ ｏ ｎ ｏ — ｅ ａｍａ ｕｄ ｙ ｗｏ ｄ ｉｉ ｒ ｒ ｅｔ ｍａｉ ｏ ｎ ｕ ｗ ｎ ｃ ｅ ；Ｊｈ ｓｎ Ｓ ｇ ｌ ｎ ｆ ｉ ｌ
聚合物流体是一类属粘弹性的复杂流体 ， 包括填充各种形状 固体颗粒的熔体 、 溶液 、 泡沫 、 胶体 颗粒等多组分液体物质 ， 其共 同特点是流动性质的复杂性和在外力场中流动行为 的多样性．其流动的 数学模型是抛物型和双曲型耦合的非线性方程组． Ｊｈ ｓｎＳｇｌａ 体 ＿２（ ｏｎｏ —ｅａｍ ｎ流 ｌ 简称 Ｊ ＇ ｓ流体 ） 是具 有代 表 性 的 粘 弹性 流 体 ，由于其 模 型 中的本 构 方 程
较 简洁 而受 到广 泛 关 注 ．文 献 ［ ８ 实验 结 果证 实 当 Ｊ 体在 带 状容 器 中流动 时 ，流 体表 面会 发 生 ３～ ］ ｓ流 形 变 ，这种 现象 是 由本构 方 程不 稳定 而 引起 的动力 学行 为 ，该行 为与 非单 调 的本 构 应 力 及应 变 率 密切 相关 ，致使 Ｊ 型成 为一 类具 有 严 重退 化 性 质 的 扩散 模 型 ．Ｊ 型 在 不 同几何 形 状 中的稳 态 解 已有 ｓ模 ｓ模 研究 ［ ，发现 流体 的流 动有 连 续 的退化 ， 致流 体分 界 面 的位 置 不确 定 ． 文 将 Ｊ ９ 导 本 ｓ流体 剪切 流动模 型作 为 聚合物 流体 剪切 流 动 的数学 模型 ．
ｔ ａ ｎ ｔ ａ ｙ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｂ ｕ ｄ ｄ ａ ｒ ｓ ｎ ｅ ｒｏ ｓｉ ｔ ｎ ｉ ｏ ｏ ｅ ｏ ｎ ｎ ｎ ｕ ｗｉ ｄ ｓ ｈ ｍｅ ｈ ｔｕ ｓｅ ｄ ｏ ｕ ｉｎ ｉ ｏ ｎ ｅ ｎｄ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ａ ｐ ｒ ｅ ｔｍａｉ ｎ Ｓ ｂ ｌｖ ｎ ｒ ｌ ａ ｄ ａ ｐ ｎ ｃ ｅ ｉ ｉ ｏ ｗｉｈ ＝０ ｆ ｒｔ ｅ ｍｏ ｅ ． ｔ ｏ ｈ ｄ １

稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法何朝葵;速宝玉;盛金昌【摘要】Based on the characteristics of the steady seepage equation, a basic calculation formula of the local discontinuous Galerkin finite element method for steady seepage analysis was deduced according to the principle of the method, and the feasibility of the formula was studied. The variational formula of the basic formula was analyzed with consideration of the stability and boundedness of the bilinear operator in the variational formula. The Lax-Milgram theorem was used to verify the existence and uniqueness of the solution of the basic formula, in order to demonstrate that the local discontinuous Galerkin finite element method is applicableto steady seepage analysis. Through a priori error analysis, the formula was proved to have p + 1-order accurate approximations, indicating that the local discontinuous Galerkin finite element method is a high-precision numerical method compared with commonly used finite element methods.%针对稳定渗流分析问题的特征,依据局部间断伽辽金有限元法原理,推导出稳定渗流分析问题的局部间断迦辽金有限元法基本计算格式,并对该计算格式的有效性进行探讨.通过分析基本计算格式相应的变分形式,考虑变分形式中双线性算子的稳定性及有界性,利用Lax-Milgram定理论证这一基本计算格式解的存在性、唯一性,从而证明局部间断伽辽金有限元法可以用来处理稳定渗流分析问题.通过对该格式的解进行先验误差分析,证明其近似解具有p+1阶的精度,表明相对于一般的有限元法来说,局部间断伽辽金有限元法是一种高精度的数值计算方法.【期刊名称】《河海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)002【总页数】5页(P206-210)【关键词】渗流;间断有限元;局部间断伽辽金有限元;误差分析【作者】何朝葵;速宝玉;盛金昌【作者单位】河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学理学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O357.3间断有限元法[1-3]是一种在有限元法、有限体积法和有限差分法基础上发展起来的数值计算方法，它的特点在于允许插值函数在剖分单元边界处不连续，使得其在处理大梯度问题上具有独特的优势，并使其在多个领域得到广泛的应用[2-4].国外部分学者对间断有限元法在椭圆问题上的应用进行了分析[5-6]，国内则鲜见这方面的文献.局部间断伽辽金有限元法[2，7](the local discontinuous Galerkin methods，简称LDG法)是间断有限元法中最有效的方法之一，它具有良好的稳定性.笔者主要从理论上分析LDG法在稳定渗流分析问题中的应用.1 渗流方程稳定渗流方程及定解条件如下:式中:Ω——求解区域;H——水头函数;k——渗透系数(考虑各向同性，分片常数情形);ΓD，ΓN——第一类边界和第二类边界，且∂Ω=ΓD∪ΓN;n——边界ΓN上的外法线方向单位向量;g D，g N——常数.2 LDG法原理把水力梯度σ=k▽H作为中间变量，则式(1)中的二阶方程化为一阶方程组:假设 T h为Ω的1个剖分，E表示其中的任意1个单元，n E表示E的单位外法线方向向量.用σh和H h表示单元内插值函数，LDG法允许插值函数在单元边界处不连续，故插值函数在单元边界上的值用数值流通量[1-3]替代.数值流通量定义如下:若e为单元E和单元E′的公共边界，用 n E表示单元E在边界e上的外法线单位向量，H h，E和σh，E分别表示 H h和σh在边界上单元E侧的值，则有式中:α——边界e上的常数;β——边界e上的常向量.在式(2)中第1个方程两边分别乘以测试函数v，在第2个方程两边分别乘以测试向量函数τ，然后在每个单元上积分，得式中:▽h——单元内梯度算子;k E——单元E的渗透系数.单元方程(式(3)和式(4))通过数值流通量建立联系，构成整体代数方程.3 基本计算格式相对于剖分 T h，ε表示剖分单元边界的集合，ε0表示区域内部的单元边界的集合，εD表示在ΓD上的单元边界的集合，εN表示在ΓN上的单元边界的集合，要求ε=ε0+εD+εN.把式(3)和式(4)相对于剖分 T h在求解域Ω上对所有单元叠加，整理得式(5)和式(6)就称为渗流问题的LDG法基本计算格式.4 变分形式的稳定性和有界性若引入3个算子，则由式(6)可得σh在有限元空间∑h上的L 2投影:式中∏为投影算子.把式(7)代入式(5)，整理得基本计算格式的变分形式为其中显然B h(H h，v)是对称双线性算子.为证明变分的稳定性和有界性，定义如下半范数和范数[8-10]:式中‖u‖和分别为单元E上的Sobolev范数和半范数.在证明之前，先看下面的引理[9].引理其中C是与h无关的常数.证明再由L2投影的稳定性可得不等式(9).利用引理可以得 B h(H h，v)的稳定性，即对∀v∈V h有同样利用引理亦可得到B h(v，v)的有界性，即对∀v，w∈V h有结合引理有因而根据Lax-Milgram定理知变分问题B h(H h，v)=F h(v)存在唯一解.5 误差估计设H为渗流问题(式(1))的解，H I为相对剖分 T h下的某一插值函数，则由插值函数局部估计有其中的常数C仅与插值函数的次数p和单元E的最小角度有关.为了得到LDG法数值解误差的L2估计，先看2个定理[11]:定理1 若H为式(1)的解，H I为H的某个插值函数，则存在正数C使得式(13)成立.证明由迹不等式知存在常数C，使得定理2 若H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(15)成立.证明设 H I为 H的分片插值函数，由式(11)和式(12)有所以，再由三角不等式‖|H-H h|‖Ω=‖|H-H I+H I-H h|‖Ω ≤‖|H-H I|‖Ω+‖|H I-H h|‖Ω，结合定理 1得式(15).由定理1和定理2可得到误差的L2估计.定理3 若 H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(16)成立.证明由于LDG法的数值流通量是守恒的，因而变分格式(8)是自相容的，即对∀v∈H2(T h)有B h(v，，其中ψ为方程-Δψ=g，(x，y)∈ Ω以及ψ=0，(x，y)∈ ∂Ω的解[10].若取g=H-H h，则有B h(v，ψ)=(H-H h，v)，∀v ∈ V h.设ψI为ψ的线性插值，则根据椭圆边值问题的正则性，有2，Ω≤C2‖H-H h‖0，Ω，其中常数 C2只与Ω有关.结合式(15)即得‖H-H h ‖0，Ω ≤Chp+1p+1 ，Ω.6 结语间断有限元法已推广到水动力、气动力学等多个领域.笔者通过对稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法的理论分析，给出其计算格式，并论证说明该格式具有良好的稳定性.论证结果表明，运用局部间断伽辽金有限元法来处理稳定渗流分析是有效的;在运用本文格式计算时，可以通过选取正交的基函数来简化整体代数方程组.对这一方法的近似解进行的先验误差分析表明其具有p+1阶精度，所以相对于一般的有限元法来说，局部间断伽辽金有限元法是一种具有较高精度的数值计算方法.关于局部间断伽辽金有限元法在渗流问题上的一些具体计算及验证可见文献[12]，其他一些结论笔者正在整理中.参考文献:【相关文献】[1]REED WH，HILL T R.Triangular mesh methods for the neutron transportequation[R].Alamos:Los Alamos Scientific Laboratory，1973.[2]COCKBURN B，KAMIADAKISG，SHU Chi-wang，et al.Discontinuous Galerkin Methods[M].Berlin:Spring Verlag，2000:89-101.[3]刘儒勋，舒其望.计算流体力学的若干新方法[M].北京:科学出版社，2003:159-179.[4]FAGHERAZZIS，FURBISH D J，RASETARINERA P，et al.Application of the discontinuous spectral Galerkinmethod togroundwater flow[J].Advances in Water Resources，2004，27:129-140.[5]ARNOLD DN，BREZZIF，COCKBURN B，et al.Unified analysis of discontinuous Galerkinmethodsfor elliptic problems[J].SIAM J Numer Anal，2002，39(5):1749-1779. [6]CASTILLO P.Performance of discontinuous Galerkin methods for elliptic pde's[J].SIAM JSci Comput，2002 ，24(2):524-547.[7]COCKBURN B，SHU Chi-wang.The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems[J].SIAM J Numer Anal，1998，35:2440-2463.[8]CASTILLO P，PERUGIA I，SCHOTZAU D.An a priori error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems[J].SIAM JNumer Anal，2000，38:1676-1706.[9]PERUGIA I，SCHOTZAU D.An hp-analysis of the local discontinuous Galerkin method for diffusion problems[J].JSci Comp，2002，17:561-571.[10]肖捷，刘韶鹏.求解间断系数椭圆型问题的一种改进的DG方法[J].计算数学，2007，29(4):377-390.(XIAO Jie，LIU Shao-peng.A modified DG method for elliptic problems with discontinuous coefficients[J].Journal of Cumputational Mathematics，2007，29(4):377-390.(in Chinese)).[11]LEEMA ，SHINJY.Error estimiates for a discontinuous Galerkinmethod for elliptic problems[J].Appl Math&Computing，2006，21(1/2):189-201.[12]何朝葵，速宝玉，盛金昌，等.用局部间断伽辽金有限元法分析渗流场[J].水利水电科技进展，2010，30(2):21-23.(HE Zhao-kui，SU Bao-yu，SHENG Jin-chang，et al.Analysis of seepage field for aquifer problems by the local discontinuous Galerkinmethod[J].Advances in Science and Technology of Water Resources，2010，30(2):21-23.(in Chinese)).。

第一章引论教学目标：1.了解科学与工程计算的一般过程，算法的基本概念，如算法的分类和算法的计算复杂性等；2.了解数值分析的研究对象、内容和意义，掌握该门课程的学习方法等；3.了解误差的来历，理解误差的分类以及原因；4.理解和掌握误差的几种度量方法，如绝对误差（界）、相对误差（界），有效数字等，理解几种度量之间的关系，并能运用相关概念和公式解决有关误差问题；5.了解误差传播的内涵与表现以及初值误差传播的含义，了解误差分析的几种方法，理解并掌握泰勒公式分析函数值和算术运算的误差分析方法；6.理解并掌握病态问题的含义及条件数的作用，并能分析一些简单数值方法的稳定性；7.掌握设计数值方法时避免误差危害的若干原则；8.通过复习线性代数的一些基本概念，掌握矩阵的特征值（向量）、线性空间、线性赋范空间、内积和范数等概念，能熟练计算内积和范数等简单问题；9.通过复习几种常见的矩阵，了解几种特殊矩阵的性质以备后续章节的学习。

教学重点：1.误差的分类及原因；2.误差的几种度量方式及相互关系；3.病态问题及条件数概念；4.避免误差危害的若干原则；5.内积及范数的概念、计算和相互关系。

教学难点：1.误差的几种度量方式及相互关系；2.避免误差危害的若干原则及经典例子讲解；3.内积及范数的计算。

教学方法：教具：§1.1 数值分析的研究对象、内容与意义1.1.1 科学与工程领域中问题求解的一般过程：1．提出实际问题；2．建立数学模型；3．提出数值问题；4．设计可靠、高效的算法；5．程序设计、上机实践计算结果；在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。

随着计算机技术的发展，科学计算（数值模拟）与科学理论（分析）、科学实验（分析）一并被称为近代科学研究的三大基本手段。

1.1.2 算法1．算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。

2．算法分类：分类方法1：若算法只包含一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。

不确定参数的量化方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不确定参数的量化方法是指在某些情况下，我们无法确定参数的确切数值，但需要对其进行量化分析的方法。

这种情况在实际生活中常常出现，比如在金融领域中，我们无法准确预测未来股票价格的波动，但需要对其风险进行评估；在医学领域中，我们无法确定某种药物对疾病的治疗效果，但需要对其疗效进行评价。

在这种情况下，我们需要寻找合适的量化方法来处理不确定参数，以便做出有效的决策。

一种常见的不确定参数的量化方法是蒙特卡洛模拟。

蒙特卡洛模拟是一种基于概率的数值计算方法，通过随机抽样的方式模拟不确定参数的可能取值，并对结果进行统计分析。

在金融领域中，蒙特卡洛模拟常用来评估投资组合的风险，通过模拟股票价格的未来走势，计算投资组合的预期收益和风险。

在医学领域中，蒙特卡洛模拟可以用来评估某种药物的疗效，通过模拟药物对不同病患的治疗效果，计算其平均效果和置信区间。

另一种常见的不确定参数的量化方法是灰色系统理论。

灰色系统理论是一种处理不确定性信息的数学工具，通过建立灰色模型对不确定参数进行预测和分析。

在金融领域中，灰色系统理论常用来预测股票价格的未来走势，通过采集历史价格数据，建立灰色模型对未来价格进行预测。

在医学领域中，灰色系统理论可以用来预测某种药物的疗效，通过采集临床数据，建立灰色模型对药物的疗效进行评估。

除了蒙特卡洛模拟和灰色系统理论，还有许多其他不确定参数的量化方法，比如概率分布拟合、模糊数学、模糊集合理论等。

这些方法在不同领域和不同问题中都有广泛的应用，可以帮助我们处理不确定参数，做出合理的决策。

在实际应用中，选择合适的不确定参数量化方法是非常关键的。

我们需要考虑问题的具体情况，选择适合的方法来处理不确定参数，以提高分析的准确性和可靠性。

我们还需要不断改进和完善量化方法，以适应不断变化的实际情况，提高决策的效果和效率。

不确定参数的量化方法是一种重要的分析工具，可以帮助我们处理各种不确定性情况，做出合理的决策。

地球物理反演中的约束条件及其应用地球物理反演是一种通过观测数据推断地下物质分布和性质的过程。

为了提高反演结果的准确性和可解释性，需要使用约束条件来限制反演过程中可能出现的不确定性和非物理性解。

在地球物理反演中，约束条件可以分为以下几个方面：先验信息约束、物理约束、数值约束、模型约束和数据约束。

通过合理地使用这些约束条件，可以提高反演过程的可靠性和稳定性，并获得更准确的地下模型。

首先，先验信息约束是反演中常用的一种约束条件。

这种约束条件通过利用已知的地质、地球物理和地球化学知识，对反演模型的先验分布进行限制。

先验信息可以来源于地质观察、岩矿物学、地球化学分析以及地震记录等多种数据。

通过将这些先验信息纳入反演过程中，可以减小不确定性，并提高反演结果的可靠性。

其次，物理约束是反演中不可或缺的约束条件之一。

物理约束要求反演结果满足一定的物理规律，比如质量守恒、能量守恒、动量守恒等。

在地球物理反演中，物理约束可以包括介质的连通性、密度和速度的正定性等要求。

这些物理约束条件有助于滤除反演结果中的不合理现象，并提高解的可解释性。

数值约束也是地球物理反演中常用的约束条件之一。

数值约束要求反演结果满足数值计算的要求，比如非负解、非退化解、数值稳定性等。

通过引入数值约束conditions，我们可以避免反演过程中的数值不稳定性和振荡现象，并保证反演结果的可行性。

模型约束是指在地球物理反演中对模型参数的约束。

模型约束可以包括参数的范围、参数之间的关系以及参数的先验分布等。

模型约束可以通过经验评估、岩石物理模型和数值模拟等方法得到。

通过引入模型约束，可以限制反演结果的搜索空间，提高反演结果的准确性和可靠性。

最后，数据约束是指通过观测数据来约束反演结果的约束条件。

观测数据可能包括地震波形、电磁场、重力场、磁场等多个方面的数据。

通过将观测数据与模型进行比较，可以建立数据约束条件。

数据约束可以通过最小二乘法、最大熵法和贝叶斯推断等方法得到。

定常Navier-Stokes方程的一种高效稳定有限元方法杨建宏; 欧阳洁【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】6页(P181-186)【关键词】Navier-Stokes方程; 稳定有限元方法; 局部高斯积分方法; inf-sup条件; 两层有限元方法【作者】杨建宏; 欧阳洁【作者单位】宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡 721013; 西北工业大学应用数学系陕西西安 710072【正文语种】中文【中图分类】O241.1构造高效率、高精度又便于计算机实现的数值计算方法是科学计算工作的核心内容. N-S方程是不可压缩流体的控制方程,对它的求解方法的研究一直受到国内外众多有限元专家学者的关注.众所周知,利用有限元求解N-S方程,关于速度和压力的有限元必须满足in f-sup条件,即要求速度分片多项式次数比压力多项式次数高,在具体计算中需要采用不同的两套网格,显然,这使得计算的难度和工作量都大大增加了.而低次等阶有限元在并行实现和多重网格计算等方面具有较大的优越性.但它却不满足inf-sup条件,导致有限元方法不稳定.为了解决上述矛盾,充分利用不满足inf-sup条件的低次等阶有限元,常用的策略是采用稳定化技术避开或改善容许性条件.在过去的三十多年中,在这方面已经作了许多的工作[1-9].然而,稳定化的过程也存在许多困难.如很多方法依赖于稳定化参数[5],即参数选择得合适,计算结果较好;否则效果较差.所以,构造避开或改善容许性条件,而又能达到稳定化效果的有限元方法成为研究的热点.基于局部高斯积分技术的稳定有限元方法的思想源于文献[1-3,6-7].这种稳定有限元方法,无须对函数求导,不需计算边界积分,并且不含稳定化参数,在每个单元上完全局部化,所以计算简单方便. 两层算法最早由Xu教授[10-11]提出并应用在一系列半线性问题上.随后,由Niem isto在他的毕业论文[12]中推广到非定常鞍点问题.两层或多层方法最早被Layton 和Lenferink等人应用到定常N-S方程[13-14].最近,两层简单格式的有限元方法取得了一些好的结果[6-9].对于定常N-S方程,本文提出的两层稳定有限元方法的主要思想如下:第一步:在粗网格上用稳定有限元方法(局部高斯积分稳定化算法)求解定常N-S方程(选元方便简单).第二步:在细网格上利用粗网格的解对原问题线性化(非线性复杂性得以缓解).本文的数值结果表明:采用两层稳定有限元方法求解N-S方程,不仅保持稳定化方法在细网格上的精度,而且大大降低了问题的复杂性,节省了大量的工作时间.设Ω是R2上的有界区域,其边界Γ满足Lipschitz连续条件且进一步满足后面(A 1)的条件.定常N-S方程如下:其中u=(u1,u2)是速度向量,p=p(x)是压力,f=f(x)是体外力,ν＞0是粘性系数.关于变分问题的一些基本空间:定义‖·‖i是Sobolev空间Hi(Ω)或Hi(Ω)2,i=0,1,2的通常范数.用(·,·)和(|·|)分别定义空间L2(Ω)或L2(Ω)2上的内积和范数.空间和X的内积和范数分别为:显然,∀υ∈X满足如下不等式:其中γ是仅依赖于区域Ω的正常数.关于边界的(A 1)假设:(A 1)假设Ω是正则的,定常Stokes方程对于给定的g∈Y存在唯一解(υ,q)∈(X,M),并且它满足其中c是依赖于区域Ω的正常数.空间X×X和X×M上的双线性形式a(·,·)和d(·,·)分别定义如下:由它们生成空间(X,M)×(X,M)的双线性项为:三线性项定义为:由上知,方程(2.1)-(2.3)的变分问题为:求(u,p)∈(X,M),使得∀(υ,q)∈X×M满足方程变分问题(7)解的存在性,唯一性已经在文献[4-6]中给以证明.用有限元方法求解N-S方程,为了保证算法的稳定性要求有限元空间(Xh,Mh)必须满足如下条件即∀u∈D(A),P∈H1(Ω),存在Ihu∈Xh和Jhp∈Mh,使得成立.其中β是不依赖于h的正常数.本文采用速度-压力低次等阶有限元对(Xh,Mh),对定常N-S方程进行数值逼近:其中R1(K)表示K上的线性或双线性多项式.Xh是连续分片的线性或双线性空间. 众所周知,等阶有限元对不满足inf-sup条件,所以,上述有限元对构造的有限元方法是不稳定的.为了利用这种速度-压力构成的有限元配对求解不可压缩问题,本文定义稳定化双线性形式如下:其中双线性项G(ph,qh)=(Shp,Shq)是有界算子.采用局部高斯积分技术[2,3,7]得到Sh=I−Π,在此,Π:L2(Ω)→R0是局部压力投影算子.R0是分片常数空间.这样,(7)的变分问题即为:求解(uh,ph)∈(Xh,Mh),使得对于所有(vh,qh)∈(Xh,Mh)满足方程:该稳定有限元方法有如下先验误差估计[2]:其中κ是依赖于(υ,Ω,f)的正常数.设H和h≪ H是趋于0的正实参数.τH(Ω)和τh(Ω)分别表示区域Ω上的粗、细三角剖分. (Xh,Mh)和(XH,MH)⊂(Xh,Mh)分别是基于τH(Ω)和τh(Ω)的有限元空间配对.两层稳定有限元方法步骤如下:考虑定常N-S方程(1)-(3).其中求解区域取Ω:{0≤x,y≤1}；ν=0.1.假设:u(x,y)=(u1(x,y),u2(x,y)),p(x,y)=10(2x−1)(2y−1).u1(x,y)=10x2(x−1)2y(y−1)(2y−1),u2(x,y)=−10x(x−1)(2x−1)y2(y−1)2是上述问题的解析解.下面分别用传统稳定有限元方法和两层稳定有限元方法对问题进行数值计算.算法以有限元程序软件为平台,在HP6130,1G内存的微机上进行实现.数值计算结果如下:在图1中将传统有限元方法与两层稳定有限元方法的速度的H1误差收敛速度进行了比较;在图2中将它们的压力的L2误差收敛速度进行了比较.图中取对数坐标,横轴表示细网格尺度h,从左向右,数值变大,表示网格尺度由细变粗;纵轴表示相对误差,从下向上,数值变大,表示误差愈来愈大.其中′′−′′表示:理论误差;′′−◦−′′表示:传统有限元方法误差;′′−∗−′′表示:两层稳定有限元方法误差.由图可见:传统有限元方法和两层稳定有限元方法在速度和压力的计算误差上非常接近,而且随着网格尺度h的变小而更加接近.说明两种方法具有几乎相同的数值精度.表1给出了细网格尺度h分别取1/9,1/16,1/25,1/36,1/49,1/64,1/81,粗网格尺度取H=h1/2时,传统方法和两层方法的CPU工作时间;速度的H1范数相对误差、压力的L2范数相对误差、速度的H1范数收敛阶、压力的L2范数收敛阶.由表1中数据可见,传统稳定有限元方法和本文两层稳定有限元方法的速度和压力在相对误差和收敛阶方面都非常接近,而且随着网格剖分的细化,它们的相对误差愈来愈小,收敛阶趋于1.在CPU工作时间上,两层方法大约为传统方法CPU工作时间的1/2.随着网格尺度细化,两层方法比传统方法会节约更多的CPU时间.以上充分表明,两层稳定有限元方法在保持较高精度的同时提高了计算效率.由两种方法的误差估计公式:(1)传统方法:‖u−uh‖1+‖p−ph‖0≤ch(2)两层稳定化方法:‖u−uh‖1+‖p−ph‖0≤c(h+H2)可知，当h=O(H2)时,有c(h+H2)～ch.即两种方法具有相同精度的解.由于两层方法只需在粗网格解定常N-S方程,在细网格解Stokes方程(线性问题).从而节约了大量的工作时间.数值结果进一步证明了结论的正确性.【相关文献】[1] He Yinnian,Li Jian.A stabilized finite elementmethod based on local polynom ial p ressure p rojection for the stationary Navier-Stokes equations[J].App l NumerMath,2008,58:1503-1514.[2] Li Jian.Investigations on two kinds of two-level stabilized finite elem ent m ethods for the stationary Navier-Stokes equations[J].App l M ath Com put,2006,182:1470-1481. [3] Bochev P B,Dohrm ann C R,Gunzburger M D.Stabilization of low-order m ixed finite elem ents for the stokes equations[J].SIAM J Num er Anal,2006,44:82-101.[4] Tem am R.Navier-Stokes Equations,Theory and Num erical Analysis[M].third ed,Am sterdam:North-Holland,1983.[5] Girau lt V,Raviart P A.Finite Elem ent M ethod for Navier-Stokes Equations:Theory andA lgorithm s[M].Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1987.[6] He Yinnian,Wang Aiwen,Mei Liquan.A stabilized finite elementmethod for the stationary Navier-Stokes equations[J].Eng Math,2005,51:367-380.[7] Li Jian,He Yinnian.A stabilized finite element method based on local Gauss integral technique for the stationary Navier-Stokes equations[J].J Com p App l Math,2008,214: 58-65.[8] Li Jian,He Yinnian,Chen Zhangxin.A new stabilized finite elem entm ethod for the transient Navier-Stokes equations[J].Com p M eth App l M ech Eng,2007,197:22-35. 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课程大纲课程编号（理学院）课程名称随机规划学时40基本预备知识 1. 概率统计2. 最优化理论与算法3. 随机过程授课方式讲授、研讨基本要求掌握随机规划模型的类型。

（3TKH 主要类型），了解分布问题中参数LP 及其最优值得表达式，了解Z（3 ）的可测性及其概率分布，掌握简单分布问题的计算方法，了解逼近方法和最优值的数学期望的估计，掌握有补偿的二阶段问题和二阶段问题的数值解法，了解概率约束规划和随机拟次梯度法，了解上图收敛性。

教材及参考书《随机规划》，王全德编著，南京大学出版社，1990 年。

《随机线性规划》，Kall 著，王金德译，南京大学出版社。

讲授的主要内容：（每章后附学时数）1.随机规划的模型（6 学时）1.1分布问题，二阶段有补偿问题，概率约束问题；1.2多阶段有补偿问题和多阶段概率约束计划；1.3各类问题的统一形式与相互关系。

2.分布问题：（6 学时）2.1参数LP；2.2Z（3）的可测性；2.3最优化Z（3 ）的概率分布；2.4简单分布问题的计算方法；2.5逼近方法与最优值的数学期望的估计。

3.有补偿二阶段问题（8 学时）3.1一般有补偿二阶段的问题；3.2具有固定补偿矩阵的情形；3.3具有完备和简单补偿矩阵的二阶段问题。

4.二阶段问题的数值解法（8 学时）4.1具有离散随机变量的二阶段问题的解法；4.2简单补偿问题的解法。

5.概率约束规划（6 学时）可行解集合的特性，约束函数的分析性质，数值解法，逼近方法。

6.随机拟次梯度法（* ）（2 学时）7. 应用举例（2 学时）8. 上图收敛性（2 学时）注：（*）只做了解课程名称学时基本预备知识值代数601. 数学分析2. 线性代数3. 矩阵论4. 计算方法授课方式讲授基本要求1. 知道矩阵计算的基本工具，熟悉Vandermonde、Toeplitz 等方程组的解法及某些迭代法的收敛性，了解多项式加速技巧。

2.掌握不完全分解预先共轭梯度法，广义共轭剩余法，Lanczos 方法，求解特征值问题的同伦方法和分而治之法以及求解Jacobi 矩阵特征值反问题的正交约化法。

状态估计误差曲线一、概述状态估计误差曲线（State Estimation Error Curve）是指在状态估计过程中，估计值与真实值之间的误差随时间变化的曲线。

它可以用来评估状态估计算法的性能，并且可以为后续的控制决策提供重要参考。

二、误差来源状态估计误差主要来自于以下几个方面：1.模型误差：由于模型无法完全描述系统的动态特性，导致估计值与真实值之间存在偏差。

2.观测误差：由于传感器本身存在噪声和不确定性，导致观测值与真实值之间存在偏差。

3.初始条件误差：由于初始状态的不确定性，导致估计值与真实值之间存在偏差。

三、误差曲线形态状态估计误差曲线通常呈现出以下几种形态：1.渐进稳定：随着时间推移，误差逐渐趋向于稳定，并且稳定在一个较小的范围内。

2.震荡稳定：随着时间推移，误差会出现周期性波动，但整体上仍然趋向于稳定。

3.发散：随着时间推移，误差逐渐增大，并且无法稳定在一个较小的范围内。

四、评估指标为了评估状态估计算法的性能，通常会使用以下几个指标：1.平均误差：表示估计值与真实值之间的平均偏差大小。

2.均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）：表示估计值与真实值之间的平均偏差大小的平方根。

3.最大误差：表示估计值与真实值之间的最大偏差大小。

4.误差曲线斜率：表示误差曲线上升或下降的速率，可以用来评估状态估计算法对系统动态特性的适应能力。

五、影响因素状态估计误差曲线受到以下几个因素的影响：1.模型精度：模型越精确，状态估计误差曲线就越接近于渐进稳定。

2.传感器精度：传感器越精确，状态估计误差曲线就越接近于渐进稳定。

3.初始条件准确度：初始条件越准确，状态估计误差曲线就越接近于渐进稳定。

4.状态估计算法：不同的状态估计算法对状态估计误差曲线的影响不同，需要根据具体情况进行选择。

六、应用场景状态估计误差曲线广泛应用于以下几个领域：1.航空航天：用于飞行器的导航和控制系统中，评估状态估计算法的性能。

05
1. 模型构建：该部分重点介绍线性混合效应模型的构建方法，包括随机效应与固定效应的处理、模型的参数估计等方面。
2. 模型应用：该部分介绍线性混合效应模型的应用场景，如医学、社会科学、生态学领域，其中包括一些经典案例的说明。
3. 模型评价与优化：该部分介绍线性混合效应模型的评价方法和优化技巧，包括模型的拟合程度、模型的稳定性和对异常值的处理等方面。
2. 反应变量和解释变量的关系：在广义混合效应模型中，我们考虑的是对一个反应变量的影响，同时考虑解释变量和多个随机效应之间的关系。这意味着我们可以对个体之间的变异性进行建模，并了解随机效应对反应变量的影响。
3. 模型选择和参数估计：广义混合效应模型可以使用最大似然估计法进行参数估计。同时，我们可以使用信息准则等方法来选择最好的模型。这有助于在给定数据集上找到最佳的模型，以准确地预测新的、未知的数据点。
2. 基于Bootstrap的变量选择方法：通过Bootstrap重采样技术，构建一系列的模型，并计算每个变量的被选择频率，选择被频繁选择的变量作为最终变量子集，提高模型鲁棒性和泛化能力。
拟合方法
非线性混合效应模型
一、 最大似然估计法：该法通过最大化参数的似然函数，寻找最符合数据的模型参数，优点是数值稳定且易于实现。
3. 应用：非线性混合效应模型常常用于分析复杂的数据结构，如多层次结构、重复测量数据和纵向数据等。它可以用来研究个体差异、时间变化趋势以及不同处理方式对观测值的影响。此外，非线性混合效应模型还可以结合机器学习技术进行预测和分类分析。
模型定义和优势
数据分布难以刻画的问题
1. 异常值对数据分布的影响
2. 噪声对数据分布的影响
2. 离群值检验：离群值指的是与其他观测值明显不同的极端观测值，可能对模型的分析和预测产生负面影响，因此需要进行离群值检验。一般采用基于学生化残差的Cook距离或基于概率模型的Mahalanobis距离来进行离群值检验，并考虑是否剔除离群值或进行调整。

承诺书　本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

　本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

　（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）　作者签名： 张静 日 期： ２００６．３．２０ 非线性Ｓｃｈｒ？ｄｉｎｇｅｒ方程几个守恒差分格式iv图表清单 表３．　１　005.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２　表３．　２　01.0=τ时五个差分格式误差比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２　表４．　１　0.05τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０　表４．　２　0.01τ=时格式ＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０　表４．　３　0.005τ=格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１　表４．　４　0.01τ=时格式ＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１　表５．　１　0.05τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０　表５．　２　0.01τ=时格式ＩＩＩ误差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３０　表５．　３　0.005τ=格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１　表５．　４　0.01τ=时格式ＩＩＩ与已有格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１　图４．　１　格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２　图４．　２　格式ＩＩ的误差曲线，h τ＝０．１，＝０．０１．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２　图４．　３　格式ＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２３　图５．　１　格式ＩＩＩ误差曲线0.05,0.1h τ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２　图５．　２　格式ＩＩＩ与文［１６］格式比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２　v 常用符号注释表　符号 定义 (,)ξη ξ与η的内积　ξ∞ ξ元素的∞范数　2ξ ξ元素的２范数　ξ ξ元素的范数　()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向前差商　()n j x U 网格函数在网格点空间方向的向后差商　ˆ()n j x U 网格函数在网格点空间方向的中心差商　()n j xx U 网格函数在网格点空间方向的二阶差商　()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向前差商　()n j t U 网格函数在网格点时间方向的向后差商　ˆ()n j t U 网格函数在网格点时间方向的二阶差商 1 第一章　绪论　１．１　引言　偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了微分方程的数值解问题。

348艺术文化交流2013年03月下半月刊文章研究如下捕食-食饵模型在Neumann 条件下的一些性质，P 一类Neumann 边界条件下捕食-食饵模型的性质 董巧玲 贾忠淼 （ 黄淮学院 数学科学系,河南 驻马店463000 ）一类特殊的捕食-食饵模型在Neumann边界条件下的一些性质.给出了其正解的先验估计。

-食饵;估计 研究如下捕食-食饵模型在Neumann条件下的一些性质, 112(1),,(1),,10,.u r u u b uv x av v r v x u u v x ìïï-D =--蜽ïïïïï-D =-蜽íï+ïï抖ïï==味W ïï疃 （1）计 10b −>时,系统(1)有唯一正常数平衡解(,)u v **.其中***1111,ar b u u v a b a −+==+. 统(1)存在非常数正解(,)u v ,则有以下结论: 111,max r r v a +<<. 正常数C 使得min{min ,min }u v C W W >. ⅰ)因为11(1),;0,.u u r u u b uv x x n ¶-D =--蜽=味W ¶,若0()max 0u x u W =>,则由极值原理00100())()()()0u x u x b u x v x - .所以1max u r < 2(1),;0,.1av v v r v x x u n ¶D =-蜽=味W + ,若1()max 0v x v W =>,则由极值原理[3]得: 111))()0()x v x x ,所以1111()11max u x r r v a a a +++＃ . 由Harnack inequality [4]可得：存在常数*C 使得*max min u C u W W £,*max min v C v W W £. ⅱ)不成立,则存在数列1{,}i i i c e ¥=使得对应的系统(1)的正解(,)i i u v 满足：max 0,i u W ® max 0,()i v i W .把,i i u v 代入系统(1),积分可得：对于1,2i =L 112(1)0,,,(1)0,,.1i i i i i i i r u u b u v dx x av r v dx x u W W ìï--=蜽ïïïíï-=蜽ïï+ïîòò 方程的正则定理可得：存在{,}i i u v 的子列仍用{,}i i u v 表示和非负的2,()u v C 蜽使得,),()u v i .又因为max 0,i u W ®()i 或者max 0,()i v i W ,所以0u º或0v º. 0或0v º时,令i ,可得2(1)0r av vdx W -=ò或1(1)0r u udx W -=ò,矛盾.所以存在正这里，,u v 分别为食饵和捕食者种群数量，1,,,i r a b k 均为正常数，其中k 衡量了捕食者除食饵之外的其他食物来源，文[1]探讨了系统（1）的生态学行为，主要分析了其解的有界性及正平衡点的存在性，证明了正平衡点是全局渐近稳定的，且系统在2R 内不存在极限环，并通过数值模拟验证了结论的正确性，最后简单地讨论了连续收获效应对系统的影响.文[2]研究了空间分布均匀情况下的具有避难所的上述模型的正平衡点的存在性及全局稳定性.先验估计当110ar b −>时，系统（1）有唯一正常数平衡解(,)u v **.其 中***1111,ar b u u v a b a −+==+.定理 若系统（1）存在非常数正解(,)u v ，则有以下结论：（ⅰ）111max ,max r u r v a +<<.（ⅱ）存在正常数C 使得min{min ,min }u v C W W >.证明（ⅰ）因为P 一类Neumann 边界条件下捕食-食饵模型的性质 董巧玲 贾忠淼 （ 黄淮学院 数学科学系,河南 驻马店463000 ） 摘要:研究了一类特殊的捕食-食饵模型在Neumann边界条件下的一些性质.给出了其正解的先验估计。