计算方法(1)-数值计算中的误差

计算方法第三章习题答案计算方法第三章习题答案计算方法是一门涵盖了数值计算和计算机编程的学科，它在现代科学和工程中扮演着重要的角色。

第三章是计算方法课程中的重要章节，主要涉及到数值计算中的误差分析和插值方法。

本文将为大家提供第三章习题的详细答案，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 误差分析误差分析是计算方法中非常重要的一部分，它帮助我们理解和评估数值计算中的误差来源。

以下是一些常见的误差类型：- 绝对误差：绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。

它可以通过计算两者之差来得到。

- 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值。

通常以百分比的形式表示。

- 截断误差：截断误差是由于在计算过程中舍入或截断数字而引入的误差。

它通常是由于计算机的有限精度导致的。

- 舍入误差：舍入误差是由于将无限位数的小数截断为有限位数而引入的误差。

它通常是由于计算机的有限精度或计算方法的近似性质导致的。

2. 插值方法插值方法是一种用于通过已知数据点来估计未知数据点的技术。

以下是一些常见的插值方法：- 线性插值：线性插值是一种简单的插值方法，它假设两个已知数据点之间的未知数据点的取值在直线上。

通过已知数据点的斜率和截距，我们可以计算出未知数据点的值。

- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种使用多项式来逼近已知数据点的方法。

它通过构造一个满足通过已知数据点的多项式来估计未知数据点的值。

- 牛顿插值：牛顿插值是一种使用差商来逼近已知数据点的方法。

它通过构造一个满足通过已知数据点的差商多项式来估计未知数据点的值。

3. 习题答案以下是一些第三章习题的答案，供大家参考：- 习题1：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在[a, b]上的导数存在且连续，证明存在一点c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)。

这是拉格朗日中值定理的一个特例，根据定理的条件，我们可以得到上述结论。

- 习题2：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，证明存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。

三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。

四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。

五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。

七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。

2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。

这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。

此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。

数值计算误差分析首先，数值计算误差可以分为两类：绝对误差和相对误差。

绝对误差是指计算结果与真实值之间的差异的绝对值，而相对误差是指绝对误差除以真实值的比值。

相对误差更能反映计算结果的精度，因为它能够将误差与计算结果的大小相比较。

另一个导致数值计算误差的因素是数值计算方法的近似性。

在进行数值计算时，我们通常使用数值方法来近似解析解，以便进行计算。

这些数值方法本身就是基于一些近似原理和假设，因此其计算结果与真实解之间会存在误差。

例如，如果我们使用数值积分方法来计算一个定积分，那么结果与解析解之间会存在误差。

此外，计算机中的运算也会引入数值计算误差。

计算机的运算是基于二进制系统进行的，而浮点数（即带有小数点的数字）在二进制系统中并不能完全准确地表示。

因此，在计算机进行浮点数计算时，会发生舍入误差。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时将结果截断或四舍五入导致的。

为了进行误差分析和处理，我们需要了解误差的产生方式和传播方式。

当我们进行复杂的数值计算时，误差会逐渐积累并影响计算结果的精度。

因此，我们需要通过误差传播分析来评估整个计算过程中的误差。

误差传播分析可以通过Taylor展开和线性化的方法来进行。

在误差传播分析中，我们通常使用误差的上界来估计误差的大小。

误差的上界是指在所有可能的情况下，误差可能达到的最大值。

通过计算误差的上界，我们可以得出一个数值计算结果的置信区间。

这个置信区间可以帮助我们评估计算结果的可靠性。

除了误差传播分析外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值计算方法的稳定性。

数值稳定性是指计算方法在输入数据变化时计算结果的变化程度。

如果一个方法对输入数据变化非常敏感，那么它可能是不稳定的。

在进行数值计算时，我们应该选择稳定的计算方法，以减小误差的影响。

最后，为了减小数值计算误差，我们可以采取一些方法。

例如，可以增加测量仪器的精度，使用更精确的数值计算方法，增加计算的位数，或者对计算结果进行后处理等。

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

数值计算方法与误差分析数值计算方法是一种通过数值逼近和近似的方式来求解数学问题的方法。

在实际应用中，由于计算机的存在，我们可以通过数值计算方法来解决一些复杂的数学问题，比如求解方程、求解积分、求解微分方程等。

然而，由于计算机的运算精度有限，以及数值计算方法本身的近似性质，我们在进行数值计算时往往会引入一定的误差。

因此，误差分析对于数值计算方法的正确性和可靠性至关重要。

一、数值计算方法数值计算方法是一种利用数字计算机进行数学计算的方法。

它主要通过将数学问题转化为计算机可以处理的形式，然后利用数值逼近和近似的方法来求解。

常见的数值计算方法包括数值逼近、插值和拟合、数值积分、常微分方程数值解等。

1. 数值逼近数值逼近是一种通过用近似值来代替精确值的方法。

它主要通过选择适当的逼近函数和逼近方法，将原问题转化为一个近似问题，然后利用计算机进行计算。

数值逼近方法的精度取决于逼近函数和逼近方法的选择，常见的数值逼近方法包括泰勒级数逼近、拉格朗日插值、牛顿插值等。

2. 插值和拟合插值和拟合是一种通过已知离散数据点来构造连续函数的方法。

插值是一种通过在已知数据点之间构造一个满足插值条件的函数来求解问题的方法，常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

拟合是一种通过在已知数据点附近构造一个满足拟合条件的函数来求解问题的方法，常见的拟合方法包括最小二乘拟合等。

3. 数值积分数值积分是一种通过数值逼近方法来求解定积分的方法。

它主要通过将定积分转化为求和或求积的问题，然后利用数值逼近方法进行计算。

常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。

4. 常微分方程数值解常微分方程数值解是一种通过数值逼近方法来求解常微分方程的方法。

它主要通过将常微分方程转化为一个差分方程或代数方程组，然后利用数值逼近方法进行计算。

常见的常微分方程数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。

二、误差分析误差分析是对数值计算方法引入的误差进行评估和分析的过程。

数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。

无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。

本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。

一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。

主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。

在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。

这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。

这些近似方法往往会引入截断误差。

当近似的项数增多时，截断误差会减小。

因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。

2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。

计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。

特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。

这个过程中，会引入舍入误差。

舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。

为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。

二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。

以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。

绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。

相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。

绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。

2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。

截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。

这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。

3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。

当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。

稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。