第4章 线性二次型最优控制

。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
线性二次型最优控制
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

f f f
t0
0
t0
∴
J { [X (t ), t ] λ (t )X (t )}
T
tf t0

{H [X (t ), u(t ), t ]
t0
tf
T
X (t )]}dt
④求 J ' 对控制向量及状态向量的一次变分， 并利用内积可换位性质（为方便，以下用J 代 ） J T 有： T J J,
d J ML dt u (t ) Ia CM CM
(t ) AX(t ) Bu(t ) 则状态方程为： X
式中：
0 ( t ) 1 0 1 C X (t ) , A , B 0 0 M ( t ) 2 J
现代控制理论
第四章 最优控制系统设计
§4.1 最优控制的基本概念 §4.2 无约束最优控制的变分方法 §4.3 线性调节器问题 *§4.4 受约束最优控制的极小值原理 *§4.5 最小时间系统的控制问题
§4.1 最优控制的基本概念
在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设 计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是:
将上面的 思想用数学形式表达如下： 已知：控制系统的最优性能指标为
J [X(t ),u (t ), t ]dt
t0 tf
附加约束为系统方程
X(t ) f [X(t ), u(t ), t ]
以及对应的边界条件（如给定初始条 件 X(t 0 ) X 0 ），求控制作用u(t)，使性能指 标J极小。
(0) 0, 1 (t f ) 1 初始状态给定为：
终点状态给定为：
2 (0) 0, 2 (t f ) 0
性能指标函数为最小，即：

【解】：
系统性能指标的值是
J=
1 T x (0) Px(0) 2
其中 P 是对应 Lyapunov 方程的对称正定解。具体写出这个 Lyapunov 方程，得到
2
第七章
线性二次型最优控制
⎡1 a ⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
由此可得以下的一组方程：
p12 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ p11 ⎢ ⎥−⎢ p 22 ⎥ ⎦ ⎣a − 1⎦ ⎣ p12
2ap12 + a 2 p 22 = −1
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
容易看出该系统是渐近稳定的。 7.3 考虑系统
⎡1 1 ⎤ ⎡1⎤ x(k + 1) = ⎢ x(k ), x(0) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a − 1⎦ ⎣0⎦
其中 −0.25 ≤ a < 0 。我们希望确定参数 a 的一个最优值，使得性能指标 1 ∞ J = ∑ x T (k )Qx(k ) 2 k =0 最小化。其中 Q = I 。
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x

基于MATLAB的线性二次型最优控制算法及应用研究摘要早在上世纪50年代，世界上就出现了对于线性二次型最优控制LQ（Linear Quadratic）的研究。

随着对LQ的不断深入研究，如今它已经成为了现代控制理论中最经典的最优控制之一。

在各种关于对LQ的研究中，基于状态反馈控制器的研究是最为系统且完整的。

而直线一级倒立摆系统作为研究控制理论的一种实验平台，它不但结构简单，价格低廉，而且可以反映出控制中的许多典型问题，从而使它在很多领域都得到了应用。

MATLAB作为数字仿真领域中所使用的系统软件的代表，且又具有功能强大的函数库，能使研究者们便捷地实现现代控制理论的目标。

本文针对一阶线性系统，以状态变量x和控制输入变量u构成的二次型函数为目标函数，研究了线性二次型最优控制算法中的三个主要研究方向，具体为状态调节器问题、输出调节器问题以及跟踪器问题，并分别给出数值算例进行了MATLAB仿真。

最后以直线一级倒立摆系统作为具体的例子，研究了如何利用线性二次型最优控制实现倒立摆控制器设计，并给出系统模型及MATLAB仿真波形。

该论文有图14幅，表2个，参考文献32篇。

关键词：线性二次型最优控制状态调节器输出调节器跟踪器MATLAB 倒立摆系统The Algorithm and Application Research of Linear Quadratic Optimal Control based on MATLABAbstractIn early 1950, there appeared for the research of the linear quadratic optimal control LQ (Linear Quadratic) , with the deepening study of LQ, LQ has now become one of the most classical optimal control of the modern control theory. In many of research on LQ, one of them which based on state feedback controller is the most systematic and complete. And the linear inverted pendulum system as an experimental platform which research the control theory, it not only has the advantages of simple structure, low price, but also can reflect many typical control problem, so it has been applied in many fields.MATLAB, as the representative of the system software used in the field of digital simulation, and has a powerful function library, so it can make the researchers easily achieve the goals of modern control theory.In this paper, for the first-order linear system, the quadratic function formed by the state variable x and the control input variable U is the objective function,and studies three major issues in the linear quadratic optimal control algorithm,which are the state regulator problem, the output regulator problem and tracker problem, and gives the specific numerical examples and simulates these problems by MATLAB. Then this paper studies the application of linear quadratic optimal control in the inverted pendulum controller design, gives system model and the MATLAB simulation waveform.Key Words:Linear quadratic optimal control state regulator output regulator tracker MATLAB inverted pendulum system目录摘要 (I)Abstract ........................................................................................................................ I I 目录 . (III)图清单 (V)表清单 (V)1 绪论 (1)1.1 课题的研究背景及意义 (1)1.2 课题的研究现状 (2)1.3 本文研究工作与内容安排 (3)2 MATLAB基础 (4)2.1 简述 (4)2.2 MATLAB基本功能及特点 (4)2.3 M文件的使用 (5)2.4 本章小结 (7)3 线性二次型理论研究及MATLAB仿真 (8)3.1 线性二次型基本理论 (8)3.2 状态调节器问题研究 (9)3.3 输出调节器问题研究 (14)3.4 跟踪器问题研究 (17)3.5 本章小结 (22)4 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现 (23)4.1 问题简述 (23)4.2 倒立摆系统的数学模型 (23)4.3 二次型最优控制器 (25)4.4 Simulink仿真 (27)4.5 本章小结 (31)5 总结与展望 (32)参考文献 (33)致谢 (35)附录 (36)图清单表清单1 绪论早在1950年，就有人开始对于线性二次型最优控制LQ 进行研究，到了现在LQ 的研究理论不断成熟，已经成为现代控制理论中最经典的最优控制之一。