线性二次型最优控制应用举例与仿真

LQR系统最优控制器设计的MATLAB实现及应⽤LQR 系统最优控制器设计的MATLAB 实现及应⽤LQR( linear quadratic regulator) 即线性⼆次型调节器, 其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统, ⽽⽬标函数为对象状态和控制输⼊的⼆次型函数。

LQR 最优设计指设计是出的状态反馈控制器K要使⼆次型⽬标函数J 取最⼩值, ⽽K由权矩阵Q 与R 唯⼀决定, 故此Q、R 的选择尤为重要。

LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的⼀种状态空间设计法。

特别可贵的是, LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律, 易于构成闭环最优控制。

⽽且Matlab 的应⽤为LQR 理论仿真提供了条件,更为我们实现稳、准、快的控制⽬标提供了⽅便。

⼀、LQR 最优控制器系统设计的Matlab 实现1.1 LQR 最优控制器的系统设计假设线性系统状态空间描述为:x = Ax+ Bu,v= Cx 。

其中x 为n*1状态向量, u为m*1输⼊向量。

不失⼀般性考虑⼀个⼆次型⽬标函数:(1)式( 1) 中, Q 、R 称为加权矩阵, 且Q 为n*n 维正半定阵, R 为m*m 维正定阵。

最优控制即寻求控制作⽤u(图1)使⽬标函数J 最⼩。

应⽤极⼩值原理, 可以得出最优控制作⽤:1T x u kx R B P -=-=-, 其中,P 为代数Riccati ⽅程1():0T T ARE A P PA PBR B P Q -+-+=的正半定解。

Matlab 中的lqr( )函数不仅可以求解ARE 的解P, 还可以同时求出K 。

1.2 Q ,R 的选择原则由原理知, 要求出最优控制作⽤u, 除求解ARE ⽅程外, 加权矩阵的选择也是⾄关重要的。

⽽Q 、R 选择⽆⼀般规律可循, ⼀般取决于设计者的经验, 常⽤的所谓试⾏错误法,即选择不同的Q 、R 代⼊计算⽐较结果⽽确定。

这⾥仅提供⼏个选择的⼀般原则:1) Q 、R 都应是对称矩阵, Q 为正半定矩阵, R 为正定矩阵。

线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。

它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。

最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。

一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。

然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。

系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。

因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。

变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。

庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。

尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。

二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。

它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。

线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。

它能兼顾系统性能指标的多方面因素。

例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。

线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。

2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。

线性二次型最优控制的MATLAB实现一理论依据应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很多简单、确定系统的实际设计问题。

但对于多输入多输出系统与阶次较高的系统，往往得不到满意的结果，这时就需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。

最优控制是现代控制理论的核心。

最优控制理论的实现，离不开一系列的最优化方法，主要包括两个方面就是如何将最优化问题表示为数学模型，如何根据数学模型尽快求出其最优解。

线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器，其目标函数是状态和控制输入的二次型函数。

二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。

由于线性二次型最优控制问题的性能指标具有鲜明的物理意义，其最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。

二MATLAB程序>> clear>> syms x1 x2 x3;>> x=[x1;x2;x3];>> A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];>> B=[0;0;1];>> R=1;>> Q=[1000 0 0;0 1 0;0 0 1];>> N=0;>> [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)>> u=-inv(R)*B'*P*xK =31.6228 19.0661 3.9377P =666.1690 219.3906 31.6228219.3906 108.5284 19.066131.6228 19.0661 3.9377u =-(5366634056803559*x2)/281474976710656 - (4433500461210591*x3)/1125899906842624 - 10*10^(1/2)*x1三Simulink仿真图及其响应曲线利用simulink仿真，画出系统反馈前后的仿真图、输出图像和性能指标图。

连续线性二次型最优控制的MATLAB 实现1. 绪论最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。

随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。

本文介绍了最优控制的基本原理，并给定了一个具体的连续线性二次型控制系统，利用MATLAB^件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计得到最优控制效果比较好，达到了设计的目的。

2. 最优控制理论介绍2.1 最优控制问题设系统状态方程为：?x(t) f x(t),u(t),t ,x(t 0) x0(2—1)式中，x(t)是n维状态向量；u(t)是r维控制向量；n维向量函数f x(t), u(t),t是x(t)、u(t)和t的连续函数，且对x(t)与t连续可微；u(t)在t o,t f上分段连续。

所谓最优控制问题，就是要寻求最优控制函数，使得系统状态x(t) 从已知初态x0 转移到要求的终态x(t f)，在满足如下约束条件下：(1)控制与状态的不等式约束g x(t),u(t),t 0 (2—2)(2)终端状态的等式约束M x(t f),t f 0 (2—3)使性能指标t fJ x(t f),t f t0F x(t),u(t),t dt (2—4)达到极值。

式中g x(t),u(t),t是口维连续可微的向量函数，m r ；M x(tf),tf是s维连续可微的向量函数，s n ；x(t f),t f和F x(t),u(t),t都是x(t)与t的连续可微向量函数2.2最优控制的性能指标自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度， 其内容与形式取决于最优 控制所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下： (1) 积分型性能指标；：F x(t),u(t),tdtx(t),u(t),t =1t f t odtto tf② 最小燃料消耗控制③ 最小能量控制F x(t),u(t),t u 2(t)(2—8)④ 无限时间线性调节器 取t f ，且其中，y(t)是系统输出向量，z(t)是系统希望输出向量。

基于MATLAB的线性二次型最优控制算法及应用研究摘要早在上世纪50年代，世界上就出现了对于线性二次型最优控制LQ（Linear Quadratic）的研究。

随着对LQ的不断深入研究，如今它已经成为了现代控制理论中最经典的最优控制之一。

在各种关于对LQ的研究中，基于状态反馈控制器的研究是最为系统且完整的。

而直线一级倒立摆系统作为研究控制理论的一种实验平台，它不但结构简单，价格低廉，而且可以反映出控制中的许多典型问题，从而使它在很多领域都得到了应用。

MATLAB作为数字仿真领域中所使用的系统软件的代表，且又具有功能强大的函数库，能使研究者们便捷地实现现代控制理论的目标。

本文针对一阶线性系统，以状态变量x和控制输入变量u构成的二次型函数为目标函数，研究了线性二次型最优控制算法中的三个主要研究方向，具体为状态调节器问题、输出调节器问题以及跟踪器问题，并分别给出数值算例进行了MATLAB仿真。

最后以直线一级倒立摆系统作为具体的例子，研究了如何利用线性二次型最优控制实现倒立摆控制器设计，并给出系统模型及MATLAB仿真波形。

该论文有图14幅，表2个，参考文献32篇。

关键词：线性二次型最优控制状态调节器输出调节器跟踪器MATLAB 倒立摆系统The Algorithm and Application Research of Linear Quadratic Optimal Control based on MATLABAbstractIn early 1950, there appeared for the research of the linear quadratic optimal control LQ (Linear Quadratic) , with the deepening study of LQ, LQ has now become one of the most classical optimal control of the modern control theory. In many of research on LQ, one of them which based on state feedback controller is the most systematic and complete. And the linear inverted pendulum system as an experimental platform which research the control theory, it not only has the advantages of simple structure, low price, but also can reflect many typical control problem, so it has been applied in many fields.MATLAB, as the representative of the system software used in the field of digital simulation, and has a powerful function library, so it can make the researchers easily achieve the goals of modern control theory.In this paper, for the first-order linear system, the quadratic function formed by the state variable x and the control input variable U is the objective function,and studies three major issues in the linear quadratic optimal control algorithm,which are the state regulator problem, the output regulator problem and tracker problem, and gives the specific numerical examples and simulates these problems by MATLAB. Then this paper studies the application of linear quadratic optimal control in the inverted pendulum controller design, gives system model and the MATLAB simulation waveform.Key Words:Linear quadratic optimal control state regulator output regulator tracker MATLAB inverted pendulum system目录摘要 (I)Abstract ........................................................................................................................ I I 目录 . (III)图清单 (V)表清单 (V)1 绪论 (1)1.1 课题的研究背景及意义 (1)1.2 课题的研究现状 (2)1.3 本文研究工作与内容安排 (3)2 MATLAB基础 (4)2.1 简述 (4)2.2 MATLAB基本功能及特点 (4)2.3 M文件的使用 (5)2.4 本章小结 (7)3 线性二次型理论研究及MATLAB仿真 (8)3.1 线性二次型基本理论 (8)3.2 状态调节器问题研究 (9)3.3 输出调节器问题研究 (14)3.4 跟踪器问题研究 (17)3.5 本章小结 (22)4 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现 (23)4.1 问题简述 (23)4.2 倒立摆系统的数学模型 (23)4.3 二次型最优控制器 (25)4.4 Simulink仿真 (27)4.5 本章小结 (31)5 总结与展望 (32)参考文献 (33)致谢 (35)附录 (36)图清单表清单1 绪论早在1950年，就有人开始对于线性二次型最优控制LQ 进行研究，到了现在LQ 的研究理论不断成熟，已经成为现代控制理论中最经典的最优控制之一。

湖北文理学院物理与电子工程学院2014届本科毕业论文论文题目线性二次型最优控制器的matlab实现班级姓名学号指导教师（职称）线性二次型最优控制器的MATLAB实现摘要：本文从线性二次型最优控制器原理出发，对象是现代控制理论中用状态空间形式给出的线性系统，目标函数为状态和控制输入的二次型函数。

通过加权矩阵Q 和R的一些选择规则，利用MATLAB仿真分析参数Q和R的变化对最优控制系统的影响，然后对其最优控制矩阵进行求解。

分别介绍了连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现和最优观测器的MATLAB实现这三种研究方案，以不同的程序实现其功能。

关键词:MATLAB；线性二次型；最优控制；矩阵Applying MATLAB to the Design of the Linear QuadraticOptimal ControllerAbstract：In this paper, starting from the principle of the linear quadratic optimal controller, the object is given the linear system using the forms of state space in modern control theory , the objective function is the two type of function of state and control input. Through some selection rules of the weighting matrices Q and R, analysis of the changes of parameters Q and R influence on the optimal control system by using MATLAB simulation, and then to solve the optimal control matrix. Respectively introduces the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB these three research programs. Realize its function in a different program.Key words:MATLAB; Linear quadratic; The optimal control;Matrix目录1引言 (1)1.1概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (3)2最优控制的基本概念 (4)2.1最优控制基本思想 (4)2.2最优控制问题的求解方法 (5)2.3 Q、R的选择原则 (6)2.4加权矩阵的调整 (6)2.4.1廉价控制 (6)2.4.2昂贵控制 (7)2.5问题的阐述 (8)2.6问题的求解 (9)2.7利用仿真给定的控制系统 (9)3最连续系统最优控制的MATLAB实现 (12)3.1连续系统线性二次型最优控制 (12)3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (13)4离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (14)4.1 离散系统稳态线性二次型最优控制 (14)4.2 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (15)5最优观测器的MATLAB实现 (16)5.1 连续时不变系统的Kalman滤波 (16)5.2 Kalman滤波的MATLAB实现 (17)4结论 (19)[参考文献] (20)致谢 (21)1引言1.1概述近年来，仿真技术得到广泛的应用与发展，在系统设计、目标与环境模拟、人员培训等方面取得了丰硕成果，随着计算机技术的快速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛应用，目前已经达到了相当高的水平。