线性系统理论8线性二次型最优控制
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制器设计
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
1 要寻求控制向量 (t ) 使得二次型目标函数 J u
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
2 0
( x Qx u Ru )dt
T T
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u
R
1
B Px Kx
T
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 T 1 P PB BP Q 0 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA
A
R
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),(k 0,1, , N 1)
要寻求控制向量u (k )使得二次型目标函数
1 T T J [ x (k )Qx(k ) u (k ) Ru (k )] 2 k 0
E[ (t ) (t )] 0 E[ (t ) (t )] 0
T
式中，E〔x〕为向量x的均值。E〔xxT〕为零均值的Gauss信号x的协方差。 进一步假设ω (t)和ν (t)为相互独立的随机变量，使得E〔 ω (t)ν T(t) 〕=0。定义最 优控制的目标函数为： T T
x(k 1) 2 x(k ) u (k ) y (k ) x(k )
试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
线性二次型最优控制共41页
。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
线性二次型最优控制
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
线性二次型最优控制
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
(优选)线性二次型最优控制器设计
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
线性二次型的最优控制
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
线性二次型最优控制问题
性能指标（6.1.2）的物理意义
式（6.1.2）中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状 态X(tf)具有适当的准确性。 式（6.1.2）中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系
2019/10/12
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。 实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反 映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明 期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
2019/10/12
10
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
状态调节器问题
J 1 tf [ X T (t)QX (t) U T (t)RU (t)]dt （6.2.2）
2 t0
其中Q是nn非负定、对称的常数矩阵，R是mm正定、 对称的常数矩阵，tf是给定的终端时刻，X(tf)是自由的 终端状态，控制函数U(t)不受约束。
2019/10/12
14
现在的问题是，要求确定最优控制函数 U*(t)，使性能指标（6.2.2）达到最小值。这样 的最优控制问题是以较小的控制能量为代价， 使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态 调节器问题。
式（6.1.2）中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状 态X(tf)具有适当的准确性。 式（6.1.2）中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系
2019/10/12
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。 实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反 映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明 期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
2019/10/12
10
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
状态调节器问题
J 1 tf [ X T (t)QX (t) U T (t)RU (t)]dt （6.2.2）
2 t0
其中Q是nn非负定、对称的常数矩阵，R是mm正定、 对称的常数矩阵，tf是给定的终端时刻，X(tf)是自由的 终端状态，控制函数U(t)不受约束。
2019/10/12
14
现在的问题是，要求确定最优控制函数 U*(t)，使性能指标（6.2.2）达到最小值。这样 的最优控制问题是以较小的控制能量为代价， 使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态 调节器问题。
线性二次型指标的最优控制46页PPT
K(t)
问题引入
K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值，从而得到所谓 无限时间(tf =∞)状态调节器或稳态状态调节器。
1.5
k22 k11
1
k12
0.5
0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t tf =1000时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)
第8章 线性二次型指标的最优控制
8.3 线性定常系统的状态 调节器问题
8.4 输出调节器问题
李芳燕 罗婧 李一飞 李东芳 安海潮 2019年10月1日
1
8.3 线性定常系统的状态调节器问题
1 问题引入 2 定理内容及说明 3 举例说明
问题引入
对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方 程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时， 其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于 黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。
在稳
态时，
，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提
代数方程，解出的K阵为常值矩阵。
Beihang University
定理内容及说明
可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为
和二次型性能指标为 式中，u不受限制，Q和R为常数对称正定阵，则使J为极小 的最优控制存在，且唯一，并可表示为 式中，K为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程
在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的 解，即 所对应的性能指标的最小值为
Beihang University
定理内容及说明
对于以上结论，作如下几点说明：
1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳； 而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无 限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分 值有限，x(t)和u(t)要收敛到零，也就是受控系统的状态 变量必须是渐进稳定的。
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
2023/12/21
1
线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
2023/12/21
13
6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
2023/12/21
线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
Lecture 08 线性二次型最优控制系统
T J * = 0.5 x0 Px0
(8 − 19) (8 − 20)
8.3 输出调节问题
• 被控系统是完全能观的，则输出调节问题可以转化为状 态调节问题处理。
设线性时变系统及性能指标为： & x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ), x (t 0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x (t ) 1 T 1 tf T J = y (t f ) Fy (t f ) + ∫ [ y (t )Qy (t ) + u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0 式中， F ∈ R m × m − 半正定常数矩阵； Q (t ) ∈ R m × m − 半正定矩阵； R (t ) ∈ R r × r − 正定矩阵. 并假设系统是完全能观的，控制 u不受约束，终端时刻 t f 是固定的。
当矩阵A, B, Q和R都是常数矩阵，在区间[t0 ,t f ]内，P(t)仍然是 时间函数，反馈增益矩阵K(t)是时变的。 具有时变调节器的系统是时变系统，结构复杂，不利于工程应用。 当原系统是线性时不变系统时，只要P(t)是常数，就能构成线性 时不变调节系统，便于工程实现。 随着tf无限增大，P(t)就变成常数，时变系统就变成了时不变系统。 u * (t ) = − R −1 BT Px(t ) = − Kx(t ) 式中，P ∈ R n×n是正定常数矩阵。它是Riccati方程的解。 PA + AT P − PBT R −1 BP + Q = 0 最优轨线x* (t )满足下列线性时不变齐次方程 & x = ( A − BR −1 BT P ) x, 最优性能指标为 x(0) = x0 (8 − 21)
(8 − 19) (8 − 20)
8.3 输出调节问题
• 被控系统是完全能观的，则输出调节问题可以转化为状 态调节问题处理。
设线性时变系统及性能指标为： & x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ), x (t 0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x (t ) 1 T 1 tf T J = y (t f ) Fy (t f ) + ∫ [ y (t )Qy (t ) + u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0 式中， F ∈ R m × m − 半正定常数矩阵； Q (t ) ∈ R m × m − 半正定矩阵； R (t ) ∈ R r × r − 正定矩阵. 并假设系统是完全能观的，控制 u不受约束，终端时刻 t f 是固定的。
当矩阵A, B, Q和R都是常数矩阵，在区间[t0 ,t f ]内，P(t)仍然是 时间函数，反馈增益矩阵K(t)是时变的。 具有时变调节器的系统是时变系统，结构复杂，不利于工程应用。 当原系统是线性时不变系统时，只要P(t)是常数，就能构成线性 时不变调节系统，便于工程实现。 随着tf无限增大，P(t)就变成常数，时变系统就变成了时不变系统。 u * (t ) = − R −1 BT Px(t ) = − Kx(t ) 式中，P ∈ R n×n是正定常数矩阵。它是Riccati方程的解。 PA + AT P − PBT R −1 BP + Q = 0 最优轨线x* (t )满足下列线性时不变齐次方程 & x = ( A − BR −1 BT P ) x, 最优性能指标为 x(0) = x0 (8 − 21)
线性二次型最优控制
✓ R(t)为r×r维时变旳分段连续旳正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定旳。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致旳讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中旳第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目旳旳控制误差旳要求和限制而引进旳,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定旳常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素旳 值旳不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 旳要求不同、主要性不同。 ✓ 若矩阵F旳第i行第i列元素值较大,代表二次项旳主 要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(9/12)
3) 性能指标泛函J[u(·)]中旳被积函数旳第2项u(t)R(t)u(t),表 达在系统工作过程中对控制向量u(t)旳大小旳要求和限 制。
✓ 因为时变旳加权矩阵R(t)为正定旳,故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正旳。 ❖ 而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指 标泛函所占旳分量就越大。
时变状态调整器(3/3)
因为所讨论旳系统为线性系统,给定旳性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,所以,状态调整器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划措施中旳任一种求解。
➢ 本节采用变分法给出最优控制解存在旳充分必要条件及 最优控制问题解旳体现式,讨论最优控制解旳存在性、 唯一性等性质及解旳计算措施。
➢ 最优轨线为下述状态方程
x *(t) A(t) x*(t) B(t)u*(t), x*(t0 ) x0, t [t0, t f ]
旳解,而最优性能值为
J*
J[u* (t)]
1 2
x0 P(0) x0 , x0
0
式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程旳正定或半正定解。
线性二次型最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
1 2
e
T
(t
f
)Fe(t f
)
1 2
tf t0
eT
(t)Q(t)e(t)
uT
(t ) R(t )u(t ) dt
演变为
J
1 2
xT (t f
)Fx(t f
)
1 2
tf t0
xT (t)Q(t) x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向
2021年4月30日
第7章第14页
可以证明，只要系统是能控的，无限时间状态调节器与有限时间状态调节器的求解过 程基本相同。最优控制为
u R1BT Px(t)
其中， P 是黎卡提矩阵方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
的解。最优轨线满足如下方程
性能指标最小值为
x(t) A BR1BT P x ， x(0) x0
P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) Q(t) 0 满 足 边 界 条 件
P(t1) S 的解。
2021年4月30日
第7章第12页
有限时间状态调节器问题的求解步骤：
（1）求解如下黎卡提矩阵微分方程
P AT P PA PBR1BP Q
量，使性能指标 J
1 2
yT (t f
)Fy(t f
)
1 2
tf t0
yT
(t)Q(t)
y(t)
uT
(t ) R(t ) u(t) dt
极小，即
使得系统状态 x(t) 始终保持在零平衡状态附近。因而，这一类线性二次型最优控制问题称
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
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tf
0
性能指标： x, u, t dt xt f 达极小。 J t
u t 为上 定理8.1.4 （基本定理） 设 述最优控制的解， t 为系统 x f x, u, t x
在 u t 驱动下的运动，则存在一个对应的 n 维向量函数 t ，它们满足下述正则方程
则 M t 在 t 0 , t f 上恒为零。
tf
t0
y T t M t dt 0
J x t 在 x t 定理8.1.2 泛函
处取得极值的必要条件是下述Euler方程
d 0 x dt x 和边界条件
x 0, x 0
例8.2.1给定系统x (t ) ax (t ) bu (t ), x (0) x0 1 tf 1 2 2 和性能指标J qx (t ) ru (t ) dt sx 2 (t f ) 2 t0 2 其中，q 0; r 0; s 0求最优控制u (t )。 解 从式u (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) x (t )知 1 u (t ) bP (t ) x (t ) 其中，P (t )应满足 r 方程 P t P t A t AT t P t
T
下的二次型最优状态调节器为
ut K t xt , K t R
1
t B t Pt
其中，P t 为一
n n
Hale Waihona Puke 阶矩阵，且满足下述矩阵微分方程
t P t A t AT t P t P P t B t R 1 t BT t P t Q t
最优控制
u t
，使得在该控制律的作用下
上述系统的状态在限定时间 t 0 , t f
内由给定的 x t 0 出发转移到某个 xt f
且同时使得式
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
例8.2.2 给定系统 x1 x2 , x2 u 及性能指标
1 x12 (3) 2 x2 2 (3) J 2 1 3 2 1 2 2 2 x1 ( t ) 4 x2 ( t ) 2 x1 ( t ) x2 ( t ) u ( t ) dt 2 0 2
的性能指标 J 取得极小值。
8.2.2 有限时间最优状态调节器 定理8.2.1 线性系统 T H x, u, , t x, u, t f x, u, t
在性能指标
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
J y1 x y2 x J y1 ( x) J y2 ( x) 则称 J y( x )为线性泛函，常记为 L y( x )
4. 泛函 J y( x )的增量： 由变量 y x 的变分导致的泛函增 量，记为 J ，即 J J y x y J y( x ) 5. 泛函 J y( x ) 的变分 泛函 J y( x ) 的变分记为 ：J ，其定 义为
上泛函 J 的Euler方程成立。
8.1.3
最优控制问题
问题OC 已知一个动态系统：
x f x, u, t 其中， R n为状态向量，u R r 为控制向 x
量，f 为一个关于所有变量连续可微的向量 函数； t0 , t f , xt0 x0 , xt f 自由。目的是 t 要寻找系统的一个控制 u t ，使下述泛函
第八章
线性二次型最优控制
8.1
变分法简介
最优控制理论是变分法,也是泛函极 值理论的一个分支。 定义8.1.1 设y( x ) 为已给的某类函数。如 果对于这类函数中的每一个函数，有某数 J 与之对应，则称 J 为这类函数的泛函， 记为 J J y( x )。函数类 y( x ) 称为泛函
0 1 0 解 在本系统中，易知 A 0 0 , B 1
求最优控制 u ( t )
2 1 1 0 1 Q , R 2 ; S 0 2 , t0 0, t f 3 1 4
P (t )
是 2 2 对称阵，设为
k
时有 J y x J y0 x 则称泛函 J y( x ) 为在 y0 x 处具有 k 阶 接近度的连续泛函。 3.线性泛函：设 J y( x ) 为一连续泛函。如 果对于任意常数 , , J 之定义域中的任 何变量 y1 x , y2 x ，有
或 ut R1 t BT t P t xt 作用下的最 优轨线有系统
t At Bt R1 t BT t Pt x t , x t0 x0 x
决定。 说明8.2.4 在上述最优控制问题中，我们并 没有要求系统是可稳的。 说明8.2.5 最优控制系统的结构如下图所 示。
当 maxy 0 时， y x , y 0
8.1.2 泛函的极值 定义8.1.2 给定泛函 J [ y( x)] 及其定义域中 一变量 y0 ( x ) 。如果对于任何一个与 y0 ( x ) 接近的变量 y( x ) ，都有 J y0 x J y( x ) 0
J y x y J L y x , y
L y( x ),y 为 J 的线性主部，即
J L y x y y x y maxy
其中， L y( x ),y 相对于 J 为线性泛函
H x, u , , t x
H x , u, , t u
x x
0
u u
状态方程 和边界条件 及横截条件
x f x ,u ,t
x t 0 x0
t f
x
t t f
其中
H x, u, , t x, u, t f x, u, t
P t B t R 1 t B T t P t Q t (t ) 2aP (t ) 1 b 2 P 2 (t ) q及边界条件 即P r P (t f ) s求解上述微分方程有
s
P (t )
b
2
dP (t ) 2 rP (t ) 2aP (t ) q
定理8.1.1 如果具有变分的泛函 J y( x ) 在 y y0 ( x )上达到极值，则 J y( x ) 沿着 y0 ( x ) 的变分 J 为零。
引理8.1.1 设 M t 是 t 0 , t f 上的 r 维连续 向量函数。如果对于任意的、在 t 0 , t f 上连续，且满足 yt 0 y t f 0 的 r 维向量函数 yt 有
tf
t
dt
由此可得
sb 2 r 2 ( t t f ) ( ) 2 e r sb r P (t ) 2 sb 2 r 2 ( t t f ) b 1 2 e sb r
式中
qb2 2 a r
维向量 函数）下的条件、极值问题等价 于下述泛函 t
f
F 的无条件极值问题，即在满足 x, x, t 0 , t t0 , t f 且极小化泛函 J x t 的 x t
t0
, t T F x, x, t dt x, x
J 的定义域。
例8.1.1 设 y( x) 为定义在 0,1 上的具有连 续导数的函数的全体，则 J y( x) 1 1 y 2 dx
0
为一个泛函。
泛函的一些基本概念
1.泛函J y( x )的变量 y x 的变分：
泛函 J y( x )的变量 y x 的增量称为变分， 记为： ，指两个函数间的差，即： y
T
称为Hamilton函数。
8.2 有限时间状态调节器问题 8.2.1 问题的描述 问题8.2.1 [有限时间的线性二次型最优状态
调节问题] 在满足受控对象状态方程： xt At xt Bt ut , xt 0 x0
的约束条件下，在容许控制的范围内求取
及边界条件
P tf S
且最优性能值为
1 T J x t 0 x t 0 P t 0 x t 0 2
说明8.2.1 方程
P T t AT t P T t P T t At P
T
t Bt R 1 t B T t P T t Q t
则称泛函 J y( x )在 y0 ( x ) 上达到一个相对 的极大值。如果上述关系对于泛函 J y( x ) 的定义域中所有的 y( x ) 均成立，则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到其定义域上的一个 绝对极大值。如果上式中的不等号反向， 则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到极小值。
2 b x a P ( t ) x( t ), x(0) x0 r
闭环系统的状态方程为
它是一个一阶时变系统，其解就是最优轨线
t b2 x ( t ) exp a P ( x )d x(0) r 0
y y x y1 x 2.泛函 J y( x )的连续性： 对于任意给定的正数 ，如果存在正 数 ，当 y x y0 x , y x y0 x ,,
0
性能指标： x, u, t dt xt f 达极小。 J t
u t 为上 定理8.1.4 （基本定理） 设 述最优控制的解， t 为系统 x f x, u, t x
在 u t 驱动下的运动，则存在一个对应的 n 维向量函数 t ，它们满足下述正则方程
则 M t 在 t 0 , t f 上恒为零。
tf
t0
y T t M t dt 0
J x t 在 x t 定理8.1.2 泛函
处取得极值的必要条件是下述Euler方程
d 0 x dt x 和边界条件
x 0, x 0
例8.2.1给定系统x (t ) ax (t ) bu (t ), x (0) x0 1 tf 1 2 2 和性能指标J qx (t ) ru (t ) dt sx 2 (t f ) 2 t0 2 其中，q 0; r 0; s 0求最优控制u (t )。 解 从式u (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) x (t )知 1 u (t ) bP (t ) x (t ) 其中，P (t )应满足 r 方程 P t P t A t AT t P t
T
下的二次型最优状态调节器为
ut K t xt , K t R
1
t B t Pt
其中，P t 为一
n n
Hale Waihona Puke 阶矩阵，且满足下述矩阵微分方程
t P t A t AT t P t P P t B t R 1 t BT t P t Q t
最优控制
u t
，使得在该控制律的作用下
上述系统的状态在限定时间 t 0 , t f
内由给定的 x t 0 出发转移到某个 xt f
且同时使得式
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
例8.2.2 给定系统 x1 x2 , x2 u 及性能指标
1 x12 (3) 2 x2 2 (3) J 2 1 3 2 1 2 2 2 x1 ( t ) 4 x2 ( t ) 2 x1 ( t ) x2 ( t ) u ( t ) dt 2 0 2
的性能指标 J 取得极小值。
8.2.2 有限时间最优状态调节器 定理8.2.1 线性系统 T H x, u, , t x, u, t f x, u, t
在性能指标
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
J y1 x y2 x J y1 ( x) J y2 ( x) 则称 J y( x )为线性泛函，常记为 L y( x )
4. 泛函 J y( x )的增量： 由变量 y x 的变分导致的泛函增 量，记为 J ，即 J J y x y J y( x ) 5. 泛函 J y( x ) 的变分 泛函 J y( x ) 的变分记为 ：J ，其定 义为
上泛函 J 的Euler方程成立。
8.1.3
最优控制问题
问题OC 已知一个动态系统：
x f x, u, t 其中， R n为状态向量，u R r 为控制向 x
量，f 为一个关于所有变量连续可微的向量 函数； t0 , t f , xt0 x0 , xt f 自由。目的是 t 要寻找系统的一个控制 u t ，使下述泛函
第八章
线性二次型最优控制
8.1
变分法简介
最优控制理论是变分法,也是泛函极 值理论的一个分支。 定义8.1.1 设y( x ) 为已给的某类函数。如 果对于这类函数中的每一个函数，有某数 J 与之对应，则称 J 为这类函数的泛函， 记为 J J y( x )。函数类 y( x ) 称为泛函
0 1 0 解 在本系统中，易知 A 0 0 , B 1
求最优控制 u ( t )
2 1 1 0 1 Q , R 2 ; S 0 2 , t0 0, t f 3 1 4
P (t )
是 2 2 对称阵，设为
k
时有 J y x J y0 x 则称泛函 J y( x ) 为在 y0 x 处具有 k 阶 接近度的连续泛函。 3.线性泛函：设 J y( x ) 为一连续泛函。如 果对于任意常数 , , J 之定义域中的任 何变量 y1 x , y2 x ，有
或 ut R1 t BT t P t xt 作用下的最 优轨线有系统
t At Bt R1 t BT t Pt x t , x t0 x0 x
决定。 说明8.2.4 在上述最优控制问题中，我们并 没有要求系统是可稳的。 说明8.2.5 最优控制系统的结构如下图所 示。
当 maxy 0 时， y x , y 0
8.1.2 泛函的极值 定义8.1.2 给定泛函 J [ y( x)] 及其定义域中 一变量 y0 ( x ) 。如果对于任何一个与 y0 ( x ) 接近的变量 y( x ) ，都有 J y0 x J y( x ) 0
J y x y J L y x , y
L y( x ),y 为 J 的线性主部，即
J L y x y y x y maxy
其中， L y( x ),y 相对于 J 为线性泛函
H x, u , , t x
H x , u, , t u
x x
0
u u
状态方程 和边界条件 及横截条件
x f x ,u ,t
x t 0 x0
t f
x
t t f
其中
H x, u, , t x, u, t f x, u, t
P t B t R 1 t B T t P t Q t (t ) 2aP (t ) 1 b 2 P 2 (t ) q及边界条件 即P r P (t f ) s求解上述微分方程有
s
P (t )
b
2
dP (t ) 2 rP (t ) 2aP (t ) q
定理8.1.1 如果具有变分的泛函 J y( x ) 在 y y0 ( x )上达到极值，则 J y( x ) 沿着 y0 ( x ) 的变分 J 为零。
引理8.1.1 设 M t 是 t 0 , t f 上的 r 维连续 向量函数。如果对于任意的、在 t 0 , t f 上连续，且满足 yt 0 y t f 0 的 r 维向量函数 yt 有
tf
t
dt
由此可得
sb 2 r 2 ( t t f ) ( ) 2 e r sb r P (t ) 2 sb 2 r 2 ( t t f ) b 1 2 e sb r
式中
qb2 2 a r
维向量 函数）下的条件、极值问题等价 于下述泛函 t
f
F 的无条件极值问题，即在满足 x, x, t 0 , t t0 , t f 且极小化泛函 J x t 的 x t
t0
, t T F x, x, t dt x, x
J 的定义域。
例8.1.1 设 y( x) 为定义在 0,1 上的具有连 续导数的函数的全体，则 J y( x) 1 1 y 2 dx
0
为一个泛函。
泛函的一些基本概念
1.泛函J y( x )的变量 y x 的变分：
泛函 J y( x )的变量 y x 的增量称为变分， 记为： ，指两个函数间的差，即： y
T
称为Hamilton函数。
8.2 有限时间状态调节器问题 8.2.1 问题的描述 问题8.2.1 [有限时间的线性二次型最优状态
调节问题] 在满足受控对象状态方程： xt At xt Bt ut , xt 0 x0
的约束条件下，在容许控制的范围内求取
及边界条件
P tf S
且最优性能值为
1 T J x t 0 x t 0 P t 0 x t 0 2
说明8.2.1 方程
P T t AT t P T t P T t At P
T
t Bt R 1 t B T t P T t Q t
则称泛函 J y( x )在 y0 ( x ) 上达到一个相对 的极大值。如果上述关系对于泛函 J y( x ) 的定义域中所有的 y( x ) 均成立，则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到其定义域上的一个 绝对极大值。如果上式中的不等号反向， 则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到极小值。
2 b x a P ( t ) x( t ), x(0) x0 r
闭环系统的状态方程为
它是一个一阶时变系统，其解就是最优轨线
t b2 x ( t ) exp a P ( x )d x(0) r 0
y y x y1 x 2.泛函 J y( x )的连续性： 对于任意给定的正数 ，如果存在正 数 ，当 y x y0 x , y x y0 x ,,