偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解目录问题描述 (3)1解析解——分离变量法 (3)2数值解——隐式格式 (5)3证明隐式格式的相容性与稳定性 (5)4 数值解——分析与Matlab实现 (6)5数值解与解析解的比较 (9)6随时间变化的细杆上的温度分布情况 (11)7稳定后细杆上的温度分布情况 (13)参考文献 (13)附录 (13)有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100C的沸水中，当细杆的温度达到100C时取出。
假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0°c的冰水中。
一维热传导方2 2程：U t a U xx 0，现在令a 1，从而可知本题：U t U xx 0。
现在要求细杆温度分布：u(x,t)。
1解析解一一分离变量法\热传导偏微分方程：『U t U xx 0 \(1)u(O,t) U(1,t) 0.U(x，) (x)其中，0，x 0或x 1(x)"L 100，x (0,1)首先令：U(x,t) X(x)T(t) ⑵将(2)式带入(1)式得：\ X(x)T(t) T(t)X(x) 0于是可得:l(t) T(t) X(x) X(x)可以得到两个微分方程：T(t)L |T(t) 0X(x) X(x) 0先求解空间项：当0时，X(x) Ae x Be x由于U(0, t) U(1,t) 0, t.可知：由于解的收敛性，B 0X(0)=X(1) A Ae 0 A 0 则此时是平庸解。
当0 时，X(x) A BxX(0)=X(1) A A B 0 A 0,B 0则此时是平庸解。
当0 时，X (x) A cos kx Bsinkx,其中k 。
X(0) A 0 A 0 \X(1) Bsink 0 k n ,n 1,2,3…所以，X(x) B n sin(n x)，n 1,2,3…因为 2 2 n所以，T(t) n2 2tC n e n 1,2,3…则，u(x,t)nn2 2t D n e1sin(n x) 初始条件：u(x,) (x)u(x，) D n sin(n x) (x)n 11D n 2 0 (x)sin(n x)dxi2 100sin(n x)dx\ 1200 ( ) cosn (1 ) cosnn当0时，m D n = 200 (1 cosn )\ n / 最终，u(x,t) ■200(1 「1)n)e n t sin(n x)，n 1,2,3…n 1 n2数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。
热方程1．1简介我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和工程。
一个偏微分方程（PDE ）是一个数学方程含有偏导数，例如30u u t x∂∂+=∂∂ （1.1.1） 我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数(,)u x t 满足（1.1.1）。
但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。
我们这样做原因有两个。
第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。
许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。
没有列表可能是可以全部包含在内的。
然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备， 气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。
我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:1. 构想规划2. 解决方案3. 详细解释我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。
热能是由分子物质搅拌引起的。
热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。
在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。
因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。
此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。
这种类型的热能运动被称为对流。
以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。
因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。
虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是通过传导如果流体速度足够小。
1.2 在一维棒中的热传导的取得1、热能量密度 我们首先考虑杆变截面积A 在x 方向 （从0x =，则 x L =) 如图中所示。
1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度：(,)e x t ≡热能量密度。
