定积分和微积分基本定理知识梳理

§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数 常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：ab [a ，b ] f (x ) xf (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解](1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2)⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x )⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1， 得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43. 考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6， 而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )a0＝1－cos a ， 依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14， 解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， 所以a ＝2π3.故选B.[答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛提醒完成课时跟踪检测(十六)。

课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 . ② 了解微积分基本定理的含义. 教材复习1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义） 问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积 问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 32.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D ln 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。

.
F ( x)dx
a
b
.
方法技巧
方法 1 定积分的求解
1.计算一些简单的定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常
数的积的和或差;
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分;
做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
在时间区间[a,b]上的定积分,即s=② (2)变力做功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=③
v(t )dt
b a

1
1 3 3 ×2= 6 , 3 d2 1 = ∵ x x x=
5 5 1 6 2 x= 3 )d ∴ (xcos x+ ,故选D. x 1 5
1

5 3
5
1
方法 2 求曲边梯形的面积
1.求解步骤 (1)在直角坐标系中画出图形; (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和; (4)计算定积分.
b 为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成F(x) a ,即
b f ( x )d x = F ( x ) =F(b)-F(a). a
a b
考点二
1.定积分的几何意义
定积分的意义
b
(1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 a f(x)dx的几何意义是由直 线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴

答案 C
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).