微积分基本定理

I 可积，
（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数 （4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用. 2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解
导数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲
B
C
——进一步突出重点，突破难点，并巩固和深化所 学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
三、微积分基本定理
（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f ( x) F ( x)，则a
b
f ( x)dx F (b) F (a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）。 b b 简记： f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
结构特征和心理认知特点）
（根据学生的年龄
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难 度的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学 生从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
5 、教具:
多媒体课件（增强课堂的趣味性）
二、教学过程
（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算

1
0
x dx
3
的过程
(分割、近似代替、求和、取极限） （二）创设问题情境
问题1、同学们能否用定积分的定义来求

2
1
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆 运算，它的逆运算我们如何去定义？
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
五、教学评价设计：
温 故 知 新
引 导 探 索
归 纳 总 结
整个是由特殊到一般，由局部到整体，直观到抽 象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想。正是体现了新课标对学生现有认知结构的 深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、严格推 理论证的模式。
六、课后反思：
微积分基本定理的推导是本节课的难点，如果直 接讲那样学生理解起来会很困难，而是采用了创设情 景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识 的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的 证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且 降低了教材的难度，便于学生的理解掌握．在教学过 程中介绍有关牛顿和莱布尼兹既丰富学生的数学历史 知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充 满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定 理的理解更立体．例题和练习的安排，没有人为的增 加难度，有利于本节课重点地落实。
a
其中
F ( x)
叫做
f ( x)
一个原函数
由于[F(x)+C]'＝f ( x)，F(x)+C也是f ( x)的原函数， 其中c为常数。
（1646－1716） （1642－1727） ——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材 料，以及他们的学术成果在整个社会乃至全世界的影响， 有利于丰富课堂内容。
（七）课后作业：
P 组1.(1), (3), (4) 62习题A
（八）.学生课后思考：通过计 算下列定积分 得到定积分的几何意义？

2
sin xdx

2
0
sin xdx
四 、板书设计 １．６ 微积分基本定理及应用
一１．温故知新 ２．微积分基本定理 ３．导数与定积分运算关系 二．用v(t)与s(t)来表示物体位移s 五.作业 三.例题 四.巩固练习
微积分基本定理
惠水民中 曾凡礼
一、教材分析
⒈教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
再 见
！
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？ 复习位移与速度之间的关系： s(t ) v(t )
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？ 在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b S V (t )dt ，已知路程函数 是对速度函数v(t)的定积分 a s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
22 3
（四）.巩固练习，强化提高 ：
1
5 0
2
4 xdx
1 ( x ) dx x
2 4
5
0
2
( x 2 x)dx
2
3 1

1
( x sin x)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性： （1）求定积分比较方便.
' F ) （2）若 ( x) f ( x，且 f ( x ) 在区间 则 F ( x ) 叫做 f ( x ) 原函数.
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
1 dx 的值 x
（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基 本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ： s s(b) s(a )
体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想.
运用近似、无限接近巧妙的方法.
3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义.
1 (2 x 2 ) dx （ 1） 1 x
3
教师给出规范的书写格式
解：因为
( x ) 2 x,
2 '
所以

3
1
3 3 1 1 (2 x 2 )dx 2 xdx 2 dx 1 1 x x
1 ' 1 ( ) 2 x x
3
1 x 1 x1
2 3
1 (9 1) ( 1) 3
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题 2 1 1 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx x dx 1 x 0

——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：