解读定积分与微积分基本定理
- 格式：doc
- 大小：332.50 KB
- 文档页数：3
解读定积分与微积分基本定理
一、知识点精析
知识点1 曲边梯形的面积
曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =，x b =和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间[]a b ，上看，用1n +个分点将区间[]a b ，分成n 个小区间（不一定相等）．
（2）近似代替：在每个小区间1[](12)i i x x i n -=L ，，
，，内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤，以()i f ξ为高，1i i i x x x -∆=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ∆，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值．
（3）求和：将分割成的n 个矩形面积加起来，其和为1
()n
i
i
i f x ξ=∆∑，它是所求曲边梯
形的面积的近似值．
（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值
1
()i
n
i
x i f ξ=∆
∑就越
接近于曲边梯形的面积，当i x ∆中的最大值{}max 0i x λ=∆→时，
1
()n
i
i
i f x ξ=∆∑的极限
1
lim ()n
i i i i f x ξ→=∆∑存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积．
知识点2 定积分
设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上，用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=L ，把
区间[]a b ，分成n 个小区间，其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +∆=-=-L ，
，，，记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1
()n n i
i
i I f x ξ-==
∆∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n
I
的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作
()b
a
f x dx ⎰
，即
1
()lim ()n b
i i a
i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰
．其中，()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限，
()f x dx 叫做被积式，此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积．
理解说明： （1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数()f x 和积分上限、
下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b
b b
a
a
a
f x dx f u du f t dt ===⎰
⎰⎰L （称
为积分形式的不变性）． （2）在定积分()b
a
f x dx ⎰
的定义中，总是假设a b <，而当a b =及a b >时，不难验
证
()0a
b
f x dx =⎰
，()()b
a a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰．这就是说当定积分的上限和下限相同时，定
积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号． （3）在区间[]a b ，上求连续函数()f x 的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：
①分割：将区间[]a b ，等分成n 个小区间； ②近似代替：取点
1[](01231)i i i x x i n ξ+∈=-L ，，，，，，；③求和：
1
()n i i b a
f n
ξ-=-∑
g ；④取极限：
1
()lim ()
n b
i a
i b a
f x dx f n
λξ-→=-=∑⎰
． 知识点3 定积分的几何意义 一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是表示由x 轴、曲线()y f x =以及直线
x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积的代数和．
在区间[]a b ，上，当函数()0f x ≥时，曲边梯形位于x 轴的上方，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的
几何意义是由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S ，即
()b
a
S f x dx =⎰．
当函数()0f x ≤时，曲边梯形位于x 轴的下方，在
()lim ()b
i i a
i f x dx f x ξ→=∆⎰
右端的和
式中，由于0i x ∆>，()0i f ξ≤，所以有()0i i f x ξ∆≤，从而定积分
()b
a
f x dx ⎰
的值为负
值，此时由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S 应是
()b
a
S f x dx -⎰或()b
a
S f x dx =
⎰
．
因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：
①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；
②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；
③计算各个定积分，求出所求的面积． 知识点4 微积分基本定理
如果()()F x f x '=，且()f x 在[]a b ，上可积，则()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰，这个结
论叫微积分基本定理，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．也常记为
()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰
．
理解说明：
（1）由于[()]()F x C f x '+=，所以()F x C +也是函数()f x 的原函数，其中C 为常数．
（2）利用微积分基本定理求定积分
()b
a
f x dx ⎰
的关键是找出被积函数()f x 的一个原函
数()F x ，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出
()F x ，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算．
二、应注意的几点
1．根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便． 2．利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限． 3．
()b
a
f x dx ⎰
，()b
a
f x dx ⎰与
()b
a
f x dx ⎰
有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于
被积函数()f x 在闭区间[]a b ，上可正可负，因而它的图象可都在x 轴的上方，也可都在x 轴的下方，还可以在x 轴的上下两侧，所以
()b
a
f x dx ⎰
表示x 轴、曲线()y f x =以及直线
x a =，x b =所围成图形的面积的代数和；而被积函数()f x 是非负的，所以()b a
f x dx ⎰表
示在区间[]a b ，上以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，而()b
a
f x dx ⎰
则是()b
a
f x dx ⎰的绝
对值，三者的值一般是不相同的．。
