Strong topology
Definition[edit]
Let be a dual pair of vector spaces over the field of real () or complex () numbers. Let us denote by the system of all subsets
bounded by elements of in the following sense:
Then the strong topology on is defined as the locally convex topology on generated by the seminorms of the form
In the special case when is a locally convex space, the strong topology
on the (continuous) dual space (i.e. on the space of all continuous
linear functionals ) is defined as the strong topology
, and it coincides with the topology of uniform convergence on
bounded sets in , i.e. with the topology on generated by the seminorms of the form
where runs over the family of all bounded sets in . The space with this topology is called strong dual space of the space and is denoted by .
Examples[edit]
If is a normed vector space, then its (continuous) dual space
with the strong topology coincides with the Banach dual space,
i.e. with the space with the topology induced by the operator norm.
Conversely -topology on is identical to the topology induced by the norm on .
一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B = ； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：② 10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④ 14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真 子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为
（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③ 17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个 数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：① 25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ） ① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④ 26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是 （ ） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=? ③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③ 27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是 （ ） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
1、设 {,}X a b =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ= 2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质拓扑不变性质 4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是R 5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有({})U A x φ?-≠ 6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A =X 7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A =X 8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A =X 9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A =X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{2} 11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{1} 12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1} 13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为φ 14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ= 15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ= 16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{3} 17、设{ 1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1} 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个嵌入 19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个商映射. 20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个开映射 21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个闭映射 22若拓扑空间 X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个不连通空间 23若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个不连通空间 24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间 25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质 28、若任意1n ≥个拓扑空间12,, ,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ???也具有性质P ，则性质P 称为有限可积性质 29、设 X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ，使得A B X ?=则称X 是一个不连通空间 30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足第一可数性公理 31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ?也满足第二可数性公理 32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为可遗传性质 33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个稠密子集 34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间 35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个Lindel ?ff 空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于闭子空间可遗传性质 38、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点 则称X 是一个0T 空间; 39、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另 一点则称X 是一个1T 空间; 40设X 是一个拓扑空间若X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交则称X 是一个2T 空间。 41、正则的 1T 空间称为3T 空间； 42、正规的1T 空间称为4T 空间 43、完全正则的1T 空间称为 3.5T 空间或Tychonoff 空间 三1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(对)：设 X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的. 2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑(错)：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?（２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２（３）对任意的21T T T ??'，则 21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；综上有T 1?T
代数拓扑的主要内容及其历史 拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。 20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。 代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。 代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。 代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。 1庞加莱（H.poincare,1854-1912） 庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。 庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。 庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）
《拓扑学基础》复习题 单项选择题 下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ） A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射 设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=（ D ） A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 下列拓扑性质中，没有继承性的是( D ) A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间 下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ） A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ） A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-= B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ= C 、对x A ?∈，且有(,)B x A εφ?≠，则A 为X 中的一个开集 D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 填空题 若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。 实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。 设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。 实数空间 的一个基是 {( ,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。 设X 是一个拓扑空间，D X ?，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。 设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。 名词解释 紧致空间： 设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
拓扑学的性质及在建筑形态中的应用 谷理1唐晶2韩文翔3 12郑州大学建筑学院3中原工学院建筑工程学院河南省450001 摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 Abstract：This article focuses on the nature of the topology,in particular,is described Mobius Strip and Klein due to bottle the two surfaces in architectural design.Look forward to the topological theory to guide the modern architectural form,in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶 中图分类号：O189.3文献标识码：A文章编号：Keywords：topology architectural form Mobius Ring Klein bottle 正文： 在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态的主要手段之一。 1.拓扑学的概念 拓扑学是由庞加莱创立并在20世纪繁荣起来的一个数学分支，往往被描绘成“橡皮膜几何学”，但它更适合被定义为“连续性的数学”。拓扑学是研究几何对象在连续变换下保持不变性质的数学。所谓连续变换“也叫拓扑变换”就是使几何学对象受到弯曲、压缩、拉伸、扭转或它们的任意组合，变换前后点与点相对位置保持不变。大小和形状与拓扑学无关，因为这些性质在拉伸时就会发生改变。拓扑学家们只问一个形状是否有洞，是否连通，是否打结。他们不仅想象在欧几里得一、二、三维的曲面，而且想象在不可能形象化的多维空间中的曲面。拓扑学研究逐渐的、光滑的变化，它属于无间断的科学，关心的是定性而不是定量问题，重点则是连续变换。 如今，在拓扑变换下，拓扑学主要研究拓扑空间的不变量和不变性质。拓扑学对于形态艺术具有相互促进的作用，从而，诸多建筑师将其引入到建筑之中。 2.拓扑学的性质 拓扑学的性质有哪些呢？首先来介绍拓扑等价，这是一个比较容易理解的拓扑性质。 一个几何图形任意被“拉扯”，只要不发生粘接和割裂，可以做任意变形，这就称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑等价”。如图1所示，1、2、3同构，4和1、2、3不同构。
拓扑学教案8 第三章 几种特殊类型的拓扑空间 说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。 在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。 本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。 § 3-1 第一与第二可数公理 基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。 定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。 解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。 定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。 定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。 例1 （1C 空间的例子） 结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。 解释：因为，设(,)x X d ∈，记 1 {(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n 为半径1 n 的球形邻域） 则x B 为x 的邻域族。 设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε?。因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。即X 是1C 空间。 例2 （非1C 空间的例子） 结论：设X 为不可数无穷集，{C C A A τ=是X 的可数子集}{}?? 为X 上的余可数拓扑， (,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。 解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），C x U 是可数集。 利用反证法。现设x V 是点x 处的可数局部基，由于对X 中每一个异于x 的点y ，有{}C y 是x 的邻域（因为，{}y 是X 的可数集），故必存在y x V ∈V 使得{}C y V y ?，即{}C y y V ?。于是，异于x 的全体{}C y x =，有
课题：拓扑学（下） 【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。 而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 莫比乌斯环（只有一个面）性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。
而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史 萌芽 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。 1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。 组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓
第4章连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用?这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间. § 4. 1连通空间 本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？ 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子?在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形. 定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 （A - B）（B - A）二?一 则称子集A和B是隔离的. 明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点. 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的， 而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的. 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的. 定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间. 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间. 定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价： （1）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集. 证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得 A U B = X，显然A A B= ?_ ,并且这时我们有 B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求. （2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于
——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@https://www.doczj.com/doc/d715945988.html, - 8 - 1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1. 2.1 度量空间的拓扑性质 定义1.2.1 邻域 设(,)X d 是度量空间，0x X ∈，0δ>，称集合0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=<∈为以0x 为中心，δ为半径的开球，或0x 的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用0()O x 表示0x 的半径；称0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=≤∈为闭球． 定义1.2.2 内点、开集与闭集 设(,)X d 是一度量空间，0x G X ∈?，若存在0x 的δ邻域0(,)O x δG ?，则称点0x 为G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ为开集．对于F X ?，若C F X F =?是开集，则称F 为闭集． 注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间(,)X d 的开球0(,)O x δ是开集． 证明 x ?∈0(,)O x δ,显然0(,)d x x δ<，取*01 ((,))2 d x x δδ=?，即*02(,)d x x δδ+=，则对任 何*(,)y O x δ∈，都有*(,)d x y δ<，从而 0(,)d y x 0(,)(,)d y x d x x ≤+*0(,)d x x δ<+δ<． 即*(,)O x δ?0(,)O x δ,所以0(,)O x δ是开集．□ 图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图 例1.2.2 度量空间(,)X d 的闭球0(,)O x δ是闭集．
' 一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. ! 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） * A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则
第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要求．
Strong topology Definition[edit] Let be a dual pair of vector spaces over the field of real () or complex () numbers. Let us denote by the system of all subsets bounded by elements of in the following sense: Then the strong topology on is defined as the locally convex topology on generated by the seminorms of the form In the special case when is a locally convex space, the strong topology on the (continuous) dual space (i.e. on the space of all continuous linear functionals ) is defined as the strong topology , and it coincides with the topology of uniform convergence on bounded sets in , i.e. with the topology on generated by the seminorms of the form where runs over the family of all bounded sets in . The space with this topology is called strong dual space of the space and is denoted by . Examples[edit]
拓扑学简介 拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标
系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题，扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这
“拓扑学基础”试题及答案 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】 A 、{,,{1}}X φ B 、{,,{1,2},{2,3}}X φ C 、{,,{2},{3}}X φ D 、{,,{1},{2},{3}}X φ 2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】 A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射 3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】 A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的 B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。 C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射 D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y 4、设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=【 D 】 A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】 A 、若A 和 B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =?，则X 是不连通的。 B 、有理数集Q 作为实数空间 子空间是一个连通空间 C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ?≠，则12Y Y ?也是X 的一个连通子集 D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ?，若Y Z ?，则Z 也是X 的一个连通子集 6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】 A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间 7、下列有关命题，正确的是【 B 】 A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的 B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的 C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的 D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的 8、下列有关实数空间 ，不正确的是【 D 】 A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的 9、下列有关Lindel ?ff 空间的描述正确的是【 A 】 A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde ?ff 空间 B 、任何一个Lindel ?ff 空间都是第二可数性空间 C 、Lindel ?ff 空间的子空间还是Linde ?ff 空间